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Avaliação Parcial FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 2018.1

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Avaliação Parcial: CEL0687_SM_201603436537 V.1 
Acertos: 8,0 de 10,0 Data: 09/05/2018 18:41:45 (Finalizada) 
 
 
1a Questão (Ref.:201604217535) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = 1 
 Existe elemento neutro e = 2 
 Existe elemento neutro e = 0 
 Existe elemento neutro e = -1 
 
 
2a Questão (Ref.:201604217542) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto 
não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 
Podemos concluir que 
 
 
A afirmação II é verdadeira 
 
 
A afirmação III é falsa 
 A afirmação I é verdadeira 
 
 
A afirmação III é verdadeira 
 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
 
3a Questão (Ref.:201604217503) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 
 
 1, 2 ,3, 4 e 5 
 1, 3 e 4 
 1, 2 e 5 
 2, 3, 4 e 5 
 2, 3 e 5 
 
4a Questão (Ref.:201604124395) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
 
 2 
 3 
 1 
 4 
 - 5/3 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201604217543) Acerto: 0,0 / 1,0 
Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a
2
 . 
 
 2 
 4 
 16 
 1 
 8 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201604201654) Acerto: 1,0 / 1,0 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua 
encontre a solução da equação bxc = d
-1
, onde x é um elemento de G. 
 
 
 x = d 
 x = a 
 x = f 
 x = b 
 x = c 
 
 
7a Questão (Ref.:201604264740) Acerto: 1,0 / 1,0 
Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
 
 H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. 
 H∩J é um subgrupo normal de G. 
 H∩J não é um subgrupo de G. 
 H∩J é um subgrupo abeliano de G. 
 H∩J é um subgrupo cíclico de G. 
 
 
8a Questão (Ref.:201604264741) Acerto: 0,0 / 1,0 
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 Grupos finitos não têm subgrupos. 
 A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
 A ordem de G divide a ordem de H. 
 H é cíclico 
 A ordem de H divide a ordem de G. 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201604217528) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos. 
 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de 
grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1 
 Dizemos que f é um homomorfismo de grupos se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆), e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um 
homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em 
(G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um 
homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201604217550) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 N(f) = {3} 
 N(f) = {1} 
 N(f) = {4} 
 N(f) = {0} 
 N(f) = {2} 
 
 
 
 
 
 
Avaliação Parcial: CEL0687_SM_201603436537 V.1 
Acertos: 10,0 de 10,0 Data: 10/05/2018 13:35:34 (Finalizada) 
 
 
1a Questão (Ref.:201604217522) Acerto: 1,0 / 1,0 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro. 
 
 
e = 4 
 
e = 6 
 
e = 1 
 e = 3 
 
e = -2 
 
 
2a Questão (Ref.:201604217537) Acerto: 1,0 / 1,0 
O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 
 
Sim, pois existe elemento simétrico 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada 
ser um grupo. 
 
Sim, pois existe elemento neutro e = 1 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
 
 
3a Questão (Ref.:201604124402) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 
 
 
1, 3 e 4 
 
2, 3, 4 e 5 
 
1, 2 ,3, 4 e 5 
 1, 2 e 5 
 
2, 3 e 5 
 
 
4a Questão (Ref.:201604568415) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2 
 
 
5 
 3 
 
6 
 
7 
 
4 
 
 
5a Questão (Ref.:201604217548) Acerto: 1,0 / 1,0 
Determine 2-4 em (Z, +). 
 
 
-4 
 
4 
 
2 
 -8 
 
8 
 
 
6a Questão (Ref.:201604217512) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um subgrupo de G. Marque a 
alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o 
elemento e ∈G, assim e ∈R ∩ S . Considere dois elementos x, y ∈R ∩ S. Pela 
teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈S. Agora considerando um elemento x ∈R ∩ 
S , temos x ∈ R e x ∈S, pela hipótese x-1 ∈R e x-1 ∈S , temos então x-1 ∈R ∩ 
S.Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o 
elemento e ∈G, assim e ∈R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois 
elementos x, y ∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈S. Pela 
hipótese xy ∈R e xy ∈S então xy ∈ R ∩ S . Agora considerando um elemento 
x∈ R ∩ S , temos x ∈ R e x ∈S, pela hipótese x-1 ∈R e x-1 ∈S , temos então x-1 ∈R 
∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R subgrupo de G. R contém o elemento e ∈ G. Isso 
mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈ R ∩ S .Pela hipótese 
xy ∈ R e xy ∈ S então xy ∈ R ∩ S . Agora considerando um elemento x∈ R ∩ S , 
temos x ∈ R e x ∈ S, pela hipótese x-1∈ R e x-1 ∈ S , temos então x-1 ∈ R ∩ 
S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o 
elemento e ∈ G, assim e ∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois 
elementos x, y ∈ R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈ S. Pela hipótese 
xy ∈ R e xy ∈ S então xy ∈ R ∩ S . Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o 
elemento e ∈ G, assim e ∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere um 
elemento x ∈ R ∩ S , temos x ∈ R e x ∈ S, pela hipótese x-1 ∈ R e x-1 ∈ S , temos 
então x-1 ∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 
 
7a Questão (Ref.:201604217524) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a 
alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1} , {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {i, - i} 
 
 
8a Questão (Ref.:201604217521) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra 
que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), eO(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à 
esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes 
laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes 
e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = 
(G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. 
Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H 
é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou 
o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez 
nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = 
o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à 
esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes 
laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à 
esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o 
número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = 
o(G) ou o(H)/o(G). 
 
 
9a Questão (Ref.:201604201881) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque a alternativa correta. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. 
 
 
10a Questão (Ref.:201604201889) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, 
são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: 
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas 
as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y).

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