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Grupo de Cálculo I 
 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I: DERIVADAS 
2014/2 
 
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Derivadas 
 
Objetivo geral 
 
Propiciar o aprendizado dos conceitos de derivadas, para a posterior fundamentação do 
conceito de derivadas na otimização e análise de fenômenos do cotidiano. 
 
 
 
Objetivos Específicos 
 
Após o desenvolvimento deste conteúdo o aluno deverá: 
 Calcular derivada através do limite. 
 Conhecer as regras de derivação. 
 Compreender as variações das funções. 
 Aplicar as regras de derivação. 
 Resolver problemas práticos de taxa de variação. 
 Resolver problemas otimização. 
 
 
 
Conteúdo: 
 
Interpretação geométrica da derivada de uma função, definição de derivada, derivadas de 
funções elementares, propriedades das derivadas, derivada de função composta (regra da 
cadeia). Uso da tabela de derivadas, derivadas sucessivas de funções, taxa de variação, 
derivada implícita, máximos e mínimos. 
 
 
 
Considerações Gerais 
 
A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as 
aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática 
propriamente dita, tendo aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, 
economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias. 
 
 
 
 
 
 
Grupo de Cálculo I 
 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I: DERIVADAS 
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DERIVADAS POR DEFINIÇÃO, EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 
1) Determine a equação da reta tangente à função 
)(xf
no ponto indicado: 
 
a) 
2)( 2  xxxf
 b) 
2
1
)(  x
x
xf
 
c) 
9)(  xxxf
 d) 
1)( 2  xxxxf
 
 
2) Calcule 
)(' xf
, pela definição: 
 
a) 
1)( 2  xxxxf
 b) 
4)(  xxxf
 
c) 
335)(  xxxf
 d) 
1
1
)(  x
x
xf
 
e) 
3)(  xxxf
 f) 
2
1
)(
2
 x
x
xf
 
g) 
13)(  xxf
 h) 
3)( xxf 
 
i) 
1
)(


x
x
xf
 j) 
43)(  xxf
 
k) 
42
3
)(



x
x
xf
 l) 
52)(  xxf
 
 
Respostas: 
1) a) 
44  xy
 b) 
1
4
1
 xy
 c) 
096  yx
 d) 
1 xy
 
2) a) 
3
 b) 
4
1
 c) 
5
 d) 
1
 e) 
32
1
 f) 
4
1

 
g) 
3
 h) 
23x
 i) 
2)1(
1
x
 j) 
432
3
x
 k) 
2)42(
10
x
 l) 
52
1
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1) Determine a derivada da função indicada: 
 
43253
233
5
6
3
2
5 3
6
5
6
44435535
2
45
6272
2
22
1313
2
3423
323
2
23234
)6(15' )6()17
)3)(4(' )4cos()16
)1(5
3
y' 
1
1
y)15
1
6
' )1ln()14
)95.()62(
3
10
)(' )62(
3
1
)()13
)12(
1
.
12
23
5)(' 
12
23
)(12)
)52()25(7)(' )25()(11)
 
11
)(' 
1
cos)(10)
 )cos(.2)(' )()()9
3ln3 )(' 3)(8)
 2ln3.2 )(' 2)(7)
5
2
ln
5
2
)(' 
5
2
)()6
4
5
)(' 
4
52
)()5
1210)(' )32()()4
cos3)(' cos)()3
2
1
2)(' )()2
22)(' 
4
1
2
1
3
2
2
1
)()1



































































xxyxy
xxsenyxy
x
x
x
x
x
yxy
xxxxxfxxxf
xx
x
xf
x
x
xf
xxxxfxxxf
x
sen
x
xf
x
xf
xxxfxsenxf
xfxf
xfxf
xfxf
x
xf
x
x
xf
xxxfxxxxf
senxxxxxfxxxf
x
xxfxxxf
xxxxfxxxxf
xx
xx
xx
 
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xyxy 6' 53)18 2 
 
3 2
3
3
2
' 2)19
x
yxy 
 
322
104
' 
54
)20
xx
y
xx
y 
 
22
2
2 )1(
1
' 
1
)21





x
x
y
x
x
y
 
2
22
)35(
151815
' 
35
33
)22






x
xx
y
x
x
y
 
2)1(2
1
' 
1
)23





xx
x
y
x
x
y
 
22
2
2 )1(
cos2).1(
' 
1
cos
)24





x
xxsenxx
y
x
x
y
 
2)cos(
)(cos3
' 
cos
3
)25
xsenx
senxx
y
xsenx
y





 
)1(cos)12(' )1(cos)26 22  xxxsenxysenxxxy
 
xsenx
senxxxx
y
senxx
x
y
22.
cos).1(
' 
.
1
)27




 
xyxseny 4cos.4' 4)28 
 
xx eyey 33 3' )29 
 
323 cos3' )30 ttytseny 
 
12
2
' )12ln()31

t
yty
 
)(cos)cos(3' )cos()32 23 senxxxsenxyxsenxy 
 
132
3
' 13)33


x
yxy
 
3
2
2
3
1
1
.
)1(3
2
' 
1
1
)34 












x
x
x
y
x
x
y
 
93
32
' )93ln()35
2
2



tt
t
ytty
 
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)cos(cos.' )(cos)36 xsenxyxseny 
 
3242 )3(8' )3()37  ttyty
 
)3(2' )3cos()38 22  xxsenyxy
 
x
x
x
ex
e
yexy



2
1
' )39
 
xxtgyxy 33sec3' 3sec)40 
 
xsenyxy 88' 8cos)41 
 
teyey sentsent cos.' )42 
 
xx eyey 55 5' )43  
 
xxx seneeyey .' cos)44 
 
)3(3)2(10)2cos(10' )3cos()2(..5)45 22 xsenxxsenxxyxxsenxy 
2
22
)1(
32
' 
1
3
)46






t
tt
y
t
tt
y
 
)4(4
3
4
' cos(4x)2)47
3
3 2 xsen
x
yxy 
 
3 232
3
3 32
)2(3
34
' 2)48
x
x
x
ex
ex
yexy






 
)(cos.2
)](.).[cos(5
' 
)cos(.2
5
)49
2
2
x
xsenxx
y
xx
x
y




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADAS IMPLÍCITAS 
 
Dada as equações, determinar a sua derivada. 
 
4
1cos
)
4)()
3
1
)()cos()
17²9²4)
8³³)





seny
e
x
ee
yxtgd
yxsenyxc
yxb
yxa
 
2
1
)
9
²²
32
)
0ln
²
)
0²²)
2³2²)







y
x
senj
yx
yx
i
y
x
eh
xsenyyxg
yxyxyf
 
Respostas 
seny
ey
xesenx
dx
dy
e
dx
dy
d
dx
dy
c
y
x
dx
dy
b
y
x
dx
dy
a
.cos
cos.
)
1)
1)
9
4
)
²
²
)





 x
y
dx
dy
j
yxyx
yxyx
dx
dy
i
y
x
xe
dx
dy
h
yxyx
senyxy
dx
dy
g
yxy
y
dx
dy
f











)
²34²3
²)3²(2
)
.
2
2)
cos²2
²2
)
2²62
²1
)
 
 
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