Topico2 - Vetores

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Baseado em: Geometria Analítica – UnisulVirtual - autores: Mario Selhorst; Carlos Henrique Hobold 
Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
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2 - Vetores 
2.1 - Sistemas de coordenadas bi e tridimensionais 
 
Para a representação de um ponto no plano são necessários dois números reais, que associados a dois eixos 
coordenados (retas reais perpendiculares), constituem um par ordenado que indica a posição do ponto. 
 
 
 
Se os eixos são denominados x e y, conforme na figura 1, o ponto A é 
definido pelo par ordenado (a, b). 
 
O par ordenado (a, b) corresponde as coordenadas do ponto A no plano xy 
situado no espaço bidimensional )( 2R . 
 
 
Para representar pontos no espaço tridimensional precisamos de três números reais e de três eixos coordenados 
)( 3R . Geralmente chamamos estes eixos de x, y e z e são dispostos perpendicularmente entre si, x e y na 
horizontal e z na vertical, cruzando-se mutuamente na origem 0. Um ponto P no espaço é definido por uma 
tripla ordenada (a, b, c) de números reais, como na figura 2.2(a). Os três eixos coordenados determinam três 
planos coordenados xy, xz e yz que dividem o espaço em oito octantes. O primeiro octante é aquele definido 
pelos eixos positivos como mostrado na figura . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
A representação dos pontos 
A (2, 1, 3) e C(-3, 2, 3) é a das 
figuras: 
 
 
 
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2.2 - Vetores 
 
No nosso dia a dia estamos acostumados a diversas situações que na maioria das vezes passam despercebidas 
quanto ao seu significado. Por exemplo, quando ligamos a televisão e assistimos os noticiários, o jornalista 
informa que a temperatura mínima na cidade para o dia seguinte será de 17º C e máxima de 32º C ou quando 
ouvimos sobre a pavimentação de uma rodovia de com 22 km de extensão, ou ainda, que o preço de 1 kg de 
frango está 30% mais barato. 
 
Nas três situações descritas abordamos as grandezas temperatura, comprimento e massa, que na física recebem 
o nome de grandezas escalares. 
 
Grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada por um número 
associado a uma unidade de medida. 
 
Vamos agora considerar outra situação: Se eu dissesse que viajei 200 km, provavelmente alguém perguntaria, 
“para onde?”, ou seja, para que a informação fosse adequada deveríamos acrescentar, por exemplo, que 
viajamos de Florianópolis a Joinville, teríamos uma direção norte-sul, um sentido de Florianópolis a Joinville, e 
uma intensidade do deslocamento de 200 km. Esta situação é definida como grandeza vetorial, pois só falando 
em 200 km a informação fica muito vaga. 
 
Grandeza vetorial é aquela que fica caracterizada quando conhecemos sua 
direção, seu sentido e sua intensidade. 
 
Uma grandeza, que precisa ser caracterizada por uma direção, um sentido e um número chamado módulo (ou 
intensidade) é chamada de vetor. 
 
Vetor é ente matemático caracterizado por uma direção, um sentido e um módulo (ou intensidade). 
 
Representamos vetor por um segmento orientado de reta 
→
AB , ou também por uma letra minúscula, com uma 
flecha em cima ABBAv −==
rr
. Na figura 4 representamos estas características. 
 
 
 
Figura 2.4: Características de um vetor 
 
Agora vamos observar as situações representadas nas figuras. São segmentos orientados em diferentes posições. 
 
Situação 1 
 Situação 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe que nas duas situações, 
os três segmentos têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido, por isso, podemos 
 dizer que estes segmentos são eqüipolentes. 
 
Se estes segmentos representam vetores, são vetores iguais? 
 
São sim. Vetores iguais são representados por segmentos eqüipolentes. Assim os segmentos cba r
rr
 , , 
representam vetores iguais, assim como fed rrr , , . 
 
 
 
Observe agora a situação 3, na figura ao lado, onde também 
representamos segmentos orientados. Os segmentos orientados 
têm o mesmo comprimento, mesma direção e sentidos contrários, 
e são denominados vetores opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
Na situação 4, representada na figura ao lado, os segmentos orientados são 
somente paralelos, representando vetores paralelos: cba r
rr //// 
 
 
 
 
 
 
Observação: Quando a origem de um vetor coincide com a extremidade, é denominado vetor nulo e 
representado por 0 ou AA , isto é, não possui direção, sentido ou intensidade. 
 
 
Um vetor bastante utilizado é o chamado vetor unitário ou versor, cujo módulo é 1. Em geral, se 0≠ar , então o 
vetor que tem a mesma direção e sentido de a
r
 e módulo 1 é o vetor unitário de a
r
. 
 
Exemplo 1: Na figura, representamos um vetor unitário vr de um vetor ur de módulo 4. 
 
 
 
Observação: Num vetor v
r
, unitário, temos 1=vr . Na 
figura, 4=ur e 1=vr . 
 
 
 
Os vetores podem ser representados e utilizados no espaço bidimensional e tridimensional. Se a origem e a 
extremidade de diversos vetores estão situadas num mesmo plano ou não, estes são denominados coplanares ou 
não coplanares, como nas figuras seguintes. 
 
 
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Vetores coplanares 
 Vetores não coplanares 
 
 
 
 
 
Um pouco de História 
Os Vetores surgiram no início do século XIX com trabalhos de Caspar Wessel (1745--1818), Jean Robert 
Argand (1768--1822) e Carl Friedrich Gauss (1777--1855) que no estudo dos números complexos como pontos 
no plano bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com representação bidimensional. 
Diversos matemáticos e cientistas trabalharam na mesma época com este tipo de representação, sem a 
denominação de vetores, mas como pares ordenados de números reais. Avanço significativo houve em 1827 
com August Ferdinand Möbius quando publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual 
introduziu diretamente segmentos de reta denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas ainda não 
no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética 
destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses 
estavam em outro lugar, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos (Eves, 2002, p.491). 
 
 
 
2.3 – Operações com Vetores 
 
Nesta seção estaremos tratando das operações com vetores, especificamente, a adição e a subtração, produto de 
vetores por números reais e a representação de vetores no plano e no espaço. 
 
Quando operamos grandezas escalares, usamos apenas regras aritméticas e a unidade de medida da grandeza. 
 
Exemplo 1: Grandezas como massa de um corpo, distância entre dois pontos e volume de um líquido, são 
grandezas escalares e podem ser somadas aritmeticamente, mantendo a unidade de medida: 
 
kgkgkg 7 5 2 =+ 
kmkmkm 500030002000 =+ 
mlmlml 725 =+ 
 
Quando lidamos com grandezas vetoriais, o cálculo aritmético vem acompanhado com a interpretação e 
representação gráfica, pois além do módulo, trabalhamos também com a direção e o sentido do vetor que 
representaa grandeza. 
 
 
Exemplo 2: Vamos considerar um carro que sai da cidade A e percorre 40 km em linha reta para o Sul, 
atingindo a cidade B; em seguida, percorre mais 30 km, a partir da cidade B, para o Oeste, até chegar a cidade 
C.. Qual é a distância que separa a cidade A da cidade C? 
 
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Para resolver a questão temos que considerar as referências dadas para os deslocamentos. Na figura, 
representamos estes deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, temos que: 
( ) ( ) 50250090016003040 22222222 =⇒=⇒+=⇒+=⇒+= ddddBCABd , logo a distância da 
cidade A até a cidade C, é de km50 , na direção e sentido previstos. 
 
Observação: As grandezas vetoriais exigem a utilização de representações gráficas. 
 
Para resolvermos problemas que envolvam adição de vetores vamos recorrer a duas regras conhecidas: a regra 
do polígono e a regra do paralelogramo. Vamos ver como funcionam. 
 
 
2.3.1 - Adição de Vetores 
 
Regra do polígono 
 
A soma de dois vetores u
r
 e v
r
, representados na figura se dá transportando o vetor u
r
, mantendo sua direção, 
sentido e comprimento, e, a partir da extremidade desse vetor, transportamos o segundo vetor v
r
 mantendo 
também suas características. Ligamos a origem do primeiro vetor u
r
 com a extremidade do segundo vetor v
r
 e 
obtemos o vetor s
r
, que é a adição de u
r
 e v
r
. 
 
 
 
Observação: Para determinar a adição de mais vetores procede-se da mesma maneira, ligando cada um deles a 
extremidade do anterior, mantendo o módulo, a direção e o sentido, até desenhar todos. O vetor resultante da 
adição se obtém ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor representado. 
 
 
Regra do paralelogramo 
 
Esta regra utiliza a representação de um paralelogramo construído sobre cada dois vetores a serem somados. Na 
soma de dois vetores u
r
 e v
r
 transportamos os dois vetores, fazendo que suas origens coincidam e, pela 
extremidade de cada um dos vetores, traça-se uma reta paralela ao outro, construindo um paralelogramo a partir 
de suas extremidades. A soma s
r
de u
r
 e v
r
é o vetor que corresponde a diagonal desse paralelogramo. 
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Observação: A diferença de vetores é definida através da operação soma, do primeiro vetor com o oposto do 
segundo vetor. Se d
r
 é o vetor diferença entre a
r
 e b
r
 temos a operação )( badbad
rrrrrr
−+=⇒−= , 
conforme representamos na figura. 
 
 
 
 
Logo, para subtrairmos um vetor de outro, vamos somar o oposto desse vetor ao outro. 
 
 
2.3.2 - Propriedades da Adição de Vetores 
 
A adição de vetores apresenta algumas propriedades peculiares à adição de escalares. 
Sejam dados cba r
rr
 e , , vetores quaisquer, então: 
 
a) abba r
rrr
+=+ (comutativa) 
b) )()( cbacba r
rrrrr
++=++ (associativa) 
c) aa r
rr
=+ 0 (elemento neutro) 
d) 0)(
rrr
=−+ uu (elemento simétrico) 
 
2.3.3 - Produto de um número real por um vetor 
 
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero 
por um vetor mantém a mesma direção do vetor original, enquanto que a direção e o módulo dependem do 
número real. O novo vetor diminui, aumenta de tamanho e até pode mudar o sentido se o número tiver sinal 
negativo, preservando a mesma direção. 
 
Exemplo 1 
 
Seja ar o vetor dado, podemos multiplicar este por números reais conforme representado na figura. 
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A multiplicação de vetores também tem suas propriedades. Seja ar e b
r
vetores quaisquer e c e d números reais 
temos: 
a) bcacbac
rrrr
+=+ )( (distributiva) 
b) adacadc rrr +=+ )( (distributiva) 
c) )()( adcacd rr = (associativa) 
d) aa rr =⋅1 (elemento neutro) 
 
 
2.4 - Vetores como combinação linear dos vetores da base ortogonal i, j e k; 
 
 
Até agora tratamos os vetores exclusivamente do ponto de vista geométrico, como segmento de reta orientado. 
Os vetores também podem ser associados com os sistemas de coordenadas do plano )( 2R e do espaço )( 3R . 
 
 
a) Vetores no plano )( 2R 
 
 
 
Para representar vetores no plano, podemos utilizar como base os vetores 
cujas origens são a origem do plano cartesiano xy e extremidades os pontos 
)0,1( e )1,0( , conhecidos respectivamente como vetores ir e jr , as vezes 
simplesmente representados por i e j, conforme a figura. 
 
 
 
Observação: A base formada pelos vetores i
r
 e jr é chamada de base canônica que é particularmente 
importante por estar associada à representação cartesiana usual da geometria plana. Os vetores e os pares 
ordenados compartilham os mesmos pontos do plano cartesiano. 
 
Conhecidos os vetores i
r
e jr , de módulo 1, qualquer vetor vr do plano cartesiano pode ser decomposto 
segundo as direções de i
r
e jr , ou seja, temos que determinar dois vetores cujas direções sejam ir e jr , e cuja 
soma seja vr . Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar 
(número real), podemos indicar o vetor vr como a soma dos vetores i
r
e jr 
multiplicados pelos escalares a e b convenientes. 
 
Temos então, o vetor jbiav rrr += , que pode ser representado no plano 
usando as projeções ortogonais das extremidades de vr sobre os eixos 
coordenados x e y, determinando ali os componentes escalares a e b, da 
representação vetorial. A figura ao lado ilustra essa decomposição. 
Assim, qualquer vetor no plano xy pode ser expresso em função da base 
padrão i
r
e jr . 
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Um vetor bidimensional jbiav rrr += pode ser representado genericamente por um par ordenado: 
 jbiav rrr += pode ser representado por ),( bav =r ou bav ,=r 
 
Exemplo 2 
Vejamos a representação genérica de vetores com base ortogonal ir e jr para os vetores: 
a) )0,1(0,1 ==ir 
b) )1,0(1,0 ==jr 
c) )3,2(3,232 ==+= jiv rrv 
d) 





−=−=+−=
5
3
,1
5
3
,1
5
3 jiu rrr 
 
Exemplo 3 
O vetor jiw rrr 2
2
3
+= tem a representação gráfica conforme a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando esta modalidade de representação, a adição de dois vetores ),( 11 bau =
r
 e ),( 22 bav =
r
 define-se 
como: 
 ),( 2121 bbaavu ++=+
rr
 
 
A multiplicação de um vetor ),( bau =r por um escalar c define-se como: 
 ),( cbcauc =⋅ r 
 
 
Exemplo 4 
 
Se jiu rrr 32 += e jiv rrr −= 4 , determine vu rr + , vu rr − , ur2 , vu rr 32 + . 
a) vu rr + 
)2,6()1,4()3,2( =−+=+ vu rr , ou seja, jivu rrrr 26 +=+ 
 
b) vu rr − 
)4,2()1,4()3,2( −=−−=− vu rr , ou seja, jivu rrrr 42 +−=− 
 
c) ur2 
)6,4()3,2(22 =⋅=ur , ou seja, jiu rrr 642 += 
 
d) )3,16()3,12()6,4()1,4(3)3,2(232 =−+=−⋅+⋅=+ vu rr , ou 
seja, jivu rrrr 31632 +=+ 
 
 
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Matemática e informática 
Alguns softwares matemáticos permitemfazer cálculos com vetores e representá-los graficamente. Entre eles 
estão o Derive, já comentado, e o GeoGebra, um software gratuito que relaciona a geometria plana com a 
álgebra e o cálculo. O GeoGebra pode ser obtido fazendo download do site www.geogebra.at e é constituído de 
duas janelas paralelas, uma gráfica e outra algébrica, e uma barra de entrada de dados na parte inferior da 
interface. É um software de geometria dinâmica cuja principal característica é a possibilidade de “arrastar” os 
objetos construídos (com o ponteiro) preservando suas propriedades e atualizando suas características. Com 
vetores é possível, entre outras, representar, adicionar, subtrair e multiplicar vetores, calcular vetor unitário e 
vetores perpendiculares. Para representar os vetores é conveniente exibir os eixos coordenados e a malha, para 
melhor visualização. 
Faça o download do programa, instale-o, faça a exploração básica de suas funções e utilize-o. 
 
b) Vetores no espaço tridimensional )( 3R 
 
 
 
Quando estivermos tratando com vetores no espaço tridimensional, vamos 
utilizar como base os vetores cujas origens são a origem do plano cartesiano 
xyz e extremidades os pontos )0,0,1( , )0,1,0( e )1,0,0( , constituindo os 
vetores i
r
, jr e k
r
, denominada base canônica, representados na figura ao 
lado. Alguns autores utilizam simplesmente i, j e k. 
 
 
 
 
Assim como no plano, qualquer vetor v
r
 do espaço tridimensional pode ser decomposto segundo as direções de 
i
r
e jr e k
r
, ou seja, podemos determinar três vetores cujas direções sejam ir , jr e k
r
, e cuja soma seja vr . 
Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar (número real), podemos indicar o vetor vr como a 
soma dos vetores i
r
, jr e k
r
 multiplicados pelos escalares a, b e c convenientes. 
 
 
 
 
Similar aos vetores no plano, temos o vetor kcjbiav
rrrr
++= , 
que pode ser representado no sistema cartesiano xyz usando as 
projeções ortogonais das extremidades de vr sobre os eixos 
coordenados x, y e z, determinando ali os componentes escalares 
a, b e c, da representação vetorial. 
A figura ao lado ilustra essa decomposição. 
 
 
 
 
Assim, qualquer vetor no espaço xyz pode ser expresso em função da base padrão i
r
, jr e k
r
. 
Um vetor tridimensional kcjbiav
rrrr
++= pode ser representado genericamente por uma tripla ordenada: 
 kcjbiav
rrrr
++= pode ser representado por ),,( cbav =r ou cbav ,,=r 
As operações com vetores no )( 3R são realizadas tal como no plano. 
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Exemplo 5 
Dados os vetores kjis
rrrr 62 +−= e kjiw
rrrr
−−= 2 , determine ws rr + , ws rr − , wr
3
1
− . 
a) ws rr + 
)5,3,3()1,2,1()6,1,2( −=−−+−=+ ws rr , ou seja, kjiws
rrrrr 533 +−=+ 
b) ws rr − 
)7,1,1()1,2,1()6,1,2( =−−−−=− ws rr , ou seja, kjiws
rrrrr 7++=− 
 
c) wr
3
1
− 
)
3
1
,
3
2
,
3
1()1,2,1(
3
1
3
1
−=−−⋅−=− w
r
, ou seja, kjiw
rrrr
3
1
3
2
3
1
3
1
++−=− 
 
 
Observação: Um vetor jbiau rrr += do plano pode ser representado como um vetor kcjbiaw
rrrr
++= do 
espaço tridimensional considerando a componente c igual a zero. Afinal, o plano xy está contido no espaço xyz. 
 
 
Exemplo 6 
Determine wu
rr
+ , wu
rr 3− , sendo jiu rrr 53 += e kjiw
rrrr 42 ++−= 
 
a) wu rr + 
)4,6,1()4,1,2()0,5,3( =−+=+ wu rr , ou seja, kjiwu
rrrrr 46 ++=+ 
 
b) wu rr 3− 
)12,2,9()12,3,6()0,5,3()4,1,2(3)0,5,3(3 −=−−=−⋅−=− wu rr , ou seja, kjiwu
rrrrr 12293 −+=− 
 
No início desta seção, descrevíamos que um vetor v
r
 de origem A e extremidade B pode ser expresso como uma 
diferença: ABABv −==r . Vamos analisar um exemplo. 
 
 
Exemplo 7 
Se v
r
 é um vetor com origem no ponto A(1, 4) e extremidade no ponto B(5, 6), determine o vetor vr como a 
diferença ABABv −==r 
 
ABABv −==r 
)2,4()4,1()6,5( =−=vr , ou seja, jiv rrr 24 += 
 
Graficamente, podemos observar na figura ao lado que o vetor 
AB é o mesmo que o vetor ABABv −==r , ou seja, 
corresponde a um vetor de origem zero. O vetor v
r
 é representante 
do vetor AB . 
 
 
O que podemos então concluir? Ë fácil: o vetor vr é o 
representante na origem do sistema, de qualquer vetor que possui 
mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de v
r
. 
 
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Se considerarmos um outro vetor 
→
CD com origem no ponto )3,5(C e extremidade no ponto )5,9(D , temos 
)2,4()3,5()5,9( =−=−=
→
CDCD , portanto igual a vr , que é representante também do vetor 
→
CD . 
 
 
2.5 - Módulo ou norma de um vetor 
 
O módulo, ou magnitude, ou norma, ou comprimento de um vetor v
r
 , representado por v
r
 é o comprimento de 
qualquer um dos seus representantes e é calculado pela fórmula da distância entre dois pontos no plano, ou seja, 
a distância entre a origem 0 e a extremidade do vetor. 
 
Se ),( bajbiav =+= rrr é um vetor bidimensional como na figura 2.25, e aplicando o teorema de 
Pitágoras no triângulo retângulo OAB formado, tem-se que: 222 bav +=r , logo 
22 bav +=r
 
 
Se ),,( cbakcjbiav =++=
rrrr é um vetor tridimensional, como na figura abaixo, tem-se dois triângulos 
retângulos: OAB e OBC. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAB, obtém-se que 
222 baOB += e no triângulo OBC tem-se que 222 cOBv +=r . 
 
Substituindo ter-se-á: 2222 cbav ++=r 
 
E assim, 
222 cbav ++=r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8 
Se )4,1(=wr e )1,2,2( −=mr , calcule wr e mr . 
 
1741 22 =+=wr 
 
391)2(2 222 ==+−+=mr 
 
 
2.6 - Vetor unitário ou versor de um vetor 
 
Se tomarmos qualquer vetor diferente do vetor nulo, e dividirmos pelo seu módulo, teremos um novo vetor de 
mesma direção e sentido, seu módulo será igual a 1. Este vetor representa a unidade do vetor considerado para o 
problema. Assim para o vetor v
r
, diferente do vetor nulo, o seu versor ou vetor unitário será 
v
v
r
r
 . 
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Exemplo 9: 
Dado o vetor )2,2,1(−=vr , o seu versor 
v
v
u r
r
r
= pode ser obtido calculando primeiro o módulo do vetor v
r
: 
 
 3944122)1( 222 ==++=++−=vr 
 
Logo: 





−=
−
==
3
2
,
3
2
,
3
1
3
)2,2,1(
v
v
u r
r
r
 
 
Podemos verificar se o módulo do vetor obtido é realmente 1, calculando v
r
: 
 
11
9
9
9
4
9
4
9
1
3
2
3
2
3
1 222
===++=





+





+





−=u
r
 
 
 
Observação: Os vetores i
r
, jr e k
r
 são exemplos de versores ou vetores unitários. 
 
 
Exemplo 10 
Determine o versor u
r
 do vetor )4,1(=wr 
 
a) O módulo do vetor 1741 22 =+=wr 
 
Sendo 
w
w
u r
r
r
= , temos que 





===
17
4
,
17
1
17
)4,1(
w
w
u r
r
r
. 
 
Se houver necessidade de conferir o módulo do vetor u
r
 obtido, fazemos: 
 
11
17
17
17
16
17
1
17
4
17
1
22
===+=





+





=u
r
 
 
 
 
 
2.7 – Produto de Vetores 
 
Nesta seção trataremos dos produtos de vetores, denominados produto escalar, produto vetorial e produtomisto, 
bem como a interpretação geométrica destes produtos. 
 
 
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Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
39
39 
2.7.1 - Produto escalar 
 
Qual é o significado físico do produto escalar? 
 
Segundo (Halliday, 2002) uma força fr constante que atua sobre um corpo e este corpo sofre um deslocamento 
d
r
, o produto interno entre a força fr e o deslocamento d
r
, e se representa por
 w , é o trabalho w realizado para 
mover o corpo. 
 
O autor exemplifica com uma situação em que um corpo de massa m se move sob ação de uma força fr , que 
forma um ângulo α com a direção do movimento. O corpo parte da posição A para a posição B, conforme a 
figura abaixo. Usando conceitos da Física estabelece que o trabalho )(w da força fr é dado por 
αcosdfw
rr
⋅= , que é caracterizado por um produto de dois vetores, denominado produto escalar. 
 
 
 
 
 
Trabalho de uma força 
 
 
 
 
 
Matematicamente o produto escalar ou interno de dois vetores u
r
 e v
r
 representa um número que é expresso 
por: 
 
αcos⋅⋅=• vuvu
rrrr
 
 
onde α é a medida do ângulo formado entre os vetores u
r
 e v
r
, e 
00 1800 ≤≤ α . Graficamente pode ser 
representado como na figura. 
 
 
 
Podemos observar que αcosv
r
 é exatamente o comprimento da projeção do vetor vr sobre ur . 
 
 
Propriedades do produto escalar 
 
Quaisquer que sejam os vetores ur , vr , wr e Rm ∈ , temos: 
 
I) uvvu rrrr •=• 
II) wuvuwvu rrrrrrr •+•=+• )( 
III) )()()( vmuvumvum rrrrrr •=•=• 
 
Para realizar o produto escalar de dois vetores consideramos suas componentes cartesianas e as propriedades já 
relacionadas, conforme apresentamos a seguir: 
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40 
 
Expressão cartesiana do produto escalar 
 
Sejam os vetores kcjbiau
rrrr
111 ++= e kcjbiav
rrrr
222 ++= , temos que: 
 
)()( 222111 kcjbiakcjbiavu
rrrrrrrr
++•++=• 
 
Aplicando a propriedade II, obtemos a expressão: 
 
 
)(
)()(
212121
212121212121
kckcjbkciakc
kcjbjbjbiajbkciajbiaiaiavu
rrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
•+•+•+
+•+•+•+•+•+•=•
 
 
 
Considerando a propriedade III podemos organizar o produto agrupando escalar com escalar e vetor com vetor: 
=•+•+•
+•+•+•+•+•+•=•
kkccjkbcikac
kjcbjjbbijabkicajibaiiaavu
rrrrrr
rrrrrrrrrrrrrv
212121
212121212121
 
 
Resolvendo os produtos escalares com kji
rrr
 e , sendo vetores unitários, obtemos: 
11110cos
11110cos
11110cos
0
0
0
=⋅⋅==•
=⋅⋅==•
=⋅⋅==•
kkkk
jjjj
iiii
rrrr
rrrr
rrrr
 
 
e ainda 
 
001190cos 0 =⋅⋅==• jiji rrrr , consequentemente pela propriedade I, 0=• ij rr 
001190cos 0 =⋅⋅==• kjkj
rrrr
, consequentemente pela propriedade I, 0=• jk v
r
 
001190cos 0 =⋅⋅==• kiki
rrrr
, consequentemente pela propriedade I, 0=• ki
rr
 
 
Concluímos que a expressão cartesiana do produto escalar é: 
 
212121 ccbbaavu ++=•
rr
 
 
Exemplo 1: 
Dados os vetores )1,1,2( −=ar e )4,2,3( −=b
r
, calcule ba
rr
• . 
 
Para resolver basta utilizar a expressão cartesiana do produto escalar: 
 
1242641)2()1(32 =++=⋅+−⋅−+⋅=• ba
rr
 
 
 
Exemplo 2: 
Dados os vetores )3,2(=ur e )1,6(=vr , calcule o produto escalar vu rr • . 
 
 
 
 
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41 
Distância entre dois pontos 
 
A distância entre os pontos ),,( 1,11 cbaA e ),,( 222 cbaB do espaço pode ser definida como sendo o 
comprimento do vetor 
→
AB conforme figura: 
 
 
O comprimento do vetor 
→
AB se obtém calculando o módulo da diferença entre os dois pontos: 
 
),,( 121212 ccbbaad
ABABd
−−−=
−==
→
 
 
2
12
2
12
2
12 )()()( ccbbaad −+−+−= 
 
Exemplo 2: 
Calcule a distância entre os pontos )1,2,1( −−A e )2,4,2( −B 
 
14)1(23
))1(2()24())1(2(
222
222
=−++=
−−−+−+−−=
d
d
 
 
 
 
Ângulo entre dois vetores 
 
Da definição de produto escalar temos que αcosvuvu
rrrr
=• . 
 
Se u
r
 e v
r
 são diferentes do vetor nulo podemos isolar a expressão αcos e assim, 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos
 
que nos permite determinar o ângulo existente entre os dois vetores. 
 
 
Exemplo 3: 
Calcular o ângulo entre os vetores: 
a) jim rrr 23 −= e jin rrr 24 += 
b) kjiu
rrrr 352 −+= e kjiv
rrrr
−−= 2 . 
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42
42 
 
Resolvendo: 
a) Como 
nm
nm
rr
rr
•
=αcos , precisamos calcular o produto escalar nm
rr
• , como no exemplo 1, e o módulo de 
cada um dos vetores jim rrr 23 −= e jin rrr 24 += : 
 
2024
13)2(3
84122)2(43
22
22
=+=
=−+=
=−=⋅−+⋅=•
n
m
nm
r
r
rr
 
 
Se 
nm
nm
rr
rr
•
=αcos , então 
 
4961,0cos
2013
8
cos
≅
⋅
=
α
α
 
 
Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos: 
025,60
)4961,0(
≅
≅
α
α arctg
 
 
b) Como 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos , calculamos inicialmente o produto escalar vu
rr
• e o módulo de cada um dos vetores 
kjiu
rrrr 352 −+= e kjiv
rrrr
−−= 2 . 
 
6)1()2(1
38)3(52
53102)1()3()2(512
222
222
=−+−+=
=−++=
−=+−=−⋅−+−⋅+⋅=•
v
u
vu
r
r
rr
 
 
Se 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos , então 
 
3311,0cos
638
5
cos
−≅
⋅
−
=
α
α
 
 
Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos: 
033,109
)3311,0(
≅
−≅
α
α arctg
 
 
Observação: 
Se dois vetores u e v forem ortogonais, seu produto escalar será igual a zero, pois 090cos =o . 
 
0=• vu rr
 
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43 
Exemplo 4 
Verifique se os vetores )3,2,1(−=ar e )0,1,2(=b
r
, são ortogonais? 
Resposta: Devemos verificar se 0=• ba
rv
 
00220.31.22.1 =++−=++−=• ba
rr
, logo os vetores são ortogonais. 
 
 
Ângulos diretores 
 
 
Um vetor forma ângulos com os eixos x, y, e z, chamados 
ângulos diretores, conforme a figura. 
 
 
Utilizando a formula do ângulo entre dois vetores, 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos
 podemos deduzir que o ângulo formado 
pelo vetor ),,( cbav =r com o eixo x, é o mesmo que o 
ângulo formado entre o vetor v
r
o vetor unitário i
r
. 
 
 
v
a
v
cba
iv
iv
rrrr
rr
=
⋅
•
=
•
=
1
)0,0,1(),,(
cosα 
 
O ângulo formado pelo vetor v
r
com o eixo y, é o mesmo que o ângulo formado entre o vetor v
r
o vetor unitário 
jr , conforme figura 2.31. 
 
v
b
v
cba
jv
jv
rrrr
rr
=
⋅
•
=
•
=
1
)0,1,0(),,(
cos β 
 
O ângulo formado pelo vetor v
r
com o eixo z, é o mesmo ângulo formado entre o vetor v
r
o vetor unitário k
r
, 
conforme figura 2.31. 
 
v
c
v
cba
kv
kv
rrrr
rr
=
⋅
•
=
•
=
1
)1,0,0(),,(
cosδ 
 
 
Exemplo 5. 
Calcular o ângulo que o vetor kjim
rrrr 432 +−= forma com os eixos coordenados x, y e z. 
 
Resolução: Devemos achar primeiramente o módulo do vetor m
r
,para depois calcular os cossenos dos ângulos 
δβα e , e finalmente, os ângulos. 
294)3(2 222 =+−+=mr 
o
m
x 2,68371,0arccos371,0cos
29
2
cos ≅⇒=⇒=⇒== αααα r 
o
m
y 8,123)557,0arccos(557,0cos
29
3
cos ≅⇒−=⇒−=⇒
−
== ββββ r 
o
m
z 0,42743,0arccos743,0cos
29
4
cos ≅⇒=⇒=⇒== δδδδ r 
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44
44 
2.7.2 - Produto vetorial 
 
O que significa produto vetorial? Na física o produto vetorial representa o torque τ , para os engenheiros 
significa momento. Torque é uma palavra que vem do latim e significa torcer, pode ser identificada como a ação 
de girar ou de torcer de uma força. 
 
Vamos partir da seguinte situação: Na hora que usamos o saca-rolha para abrir uma garrafa de vinho estamos 
aplicando uma força fr sobre ele, fazendo-o girar para penetrar na rolha conforme figura a) abaixo. Na figura, o 
braço do saca-rolha, que vai do centro até a extremidade, é chamado de alavanca e corresponde a um vetor rr . 
 
Definimos o módulo do vetor torque τ
r
 como sendo o produto do vetor comprimento rr e a intensidade da 
força fr pelo seno do ânguloα formado entre fr e
 
r
r
, sendo que fr e rr estão no mesmo plano. 
 
Assim sendo ατ senfr
rrr
= . 
O vetor torque τ
r
 é perpendicular a fr e rr . É expresso pela equação fr
rrr
×=τ , a qual define como produto 
vetorial. 
Na situação inversa, de retirar o saca-rolha, a ação dos vetores se dá conforme a figura b), ou seja, fr rrr ×−=τ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Forças num saca-rolha1 b) Forças num saca-rolha 2 
 
 
A partir desta idéia, podemos definir produto vetorial ou externo. 
 
Dados dois vetores u
r
e v
r
, não paralelos entre si, o produto vetorial ou externo, é um terceiro vetor que 
apresenta as seguintes características: 
 
1- A direção do vetor vu
rr
× é perpendicular 
 aos vetores u
r
 e v
r
; 
 
2- Os sentidos dos vetores vu rr, e vu
rr
× nesta ordem 
formam um triedro positivo; ou seja, se observado a partir 
de vu
rr
× , u
r
 está situado a direta e v
r
 a esquerda, 
conforme a figura. 
 
3- Seu módulo é ,αsenvuvu
rrrr
=×
 onde α é a 
medida do ângulo entre u
r
 e v
r
. 
 
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45
45 
 
Produto vetorial nulo 
O produto vetorial é nulo, ,0
rrr
=× vu
 quando um dos vetores for nulo ou quando os dois vetores forem 
paralelos, isto é 0=αsen , ou seja, 00=α ou 0180 . 
 
 
Vetores paralelos 
 
Podemos tratar da condição de paralelismo de dois vetores 
 Sejam 0
rr
≠u e 0
rr
≠v . Os vetores ),,( 111 cbau =
r
e ),,( 222 cbav =
r
 são paralelos, se acontecer a 
condição vmu
rr
= , isto é, ),,(),,( 222111 cbamcba = , ou ),,(),,( 222111 mcmbmacba = . 
Donde vem que: 21 maa = , 21 mbb = e 21 mcc = , consequentemente, 
2
1
a
a
m = ; 
2
1
b
b
m = e 
2
1
c
c
m = , logo 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
 é uma condição de paralelismo. 
 
 
Observação: Se uma das componentes do vetor for zero então para que os vetores sejam paralelos a 
componente correspondente também terá que ser igual a zero. 
 
 
Exemplo 1 
 
Verificar se os vetores )4,1,2( −=ur e )12,3,6( −−=vr são paralelos? 
Aplicando a condição 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
== , obtemos 
12
4
3
1
6
2
−
=
−
=
−
. 
Simplificando, resulta em 
3
1
3
1
3
1
== . 
Verificada a igualdade, concluímos que os vetores são paralelos. 
 
Exemplo 2 
Qual dever ser o valor de x para que os vetores )0,2,( −= xar e )0,3,4( −=b
r
sejam paralelos? 
Aplicando a condição 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
== , obtemos 
3
2
4 −
−
=
x
. 
Não consideramos a terceira componente dos dois vetores pelo fato de ambas serem iguais a zero. 
 
Da igualdade obtida, podemos escrever: 
3
8
3
2
4
=⇒
−
−
= x
x
 
 
 
Propriedades do Produto Vetorial 
 
I) )( uvvu rrrr ×−=× (figura 2.35) 
II) )()()( vmuvumvum rrrrrr ×=×=× 
III) wuvuwvu rrrrrrr ×+×=+× )( 
 
 
 
 
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46
46 
Produto vetorial dos versores i
r
, jr e k
r
 
 
Em particular os versores i
r
, jr e k
r
 , nesta ordem, formam um triedro positivo, representado na figura abaixo. 
 
E como você pode identificar um triedro positivo? 
Digamos que fosse possível ficar em pé na posição do versor k
r
 , a sua direita estaria o versor i
r
 e a sua 
esquerda o versor jr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Triedro positivo Circunferência do produto vetorial 
 
 
Na prática, podemos utilizar a circunferência ou a regra da mão direita para efetuar o produto externo de dois 
desses versores. 
 
Na circunferência, o resultado é o versor faltante, de sinal positivo se no sentido anti-horário, negativo se no 
sentido horário. 
 
 
Exemplo 3: 
a) kji
rrr
=× b) jki r
rr
−=× c) ijk rr
r
−=× d) jik rr
r
=× 
 
Exemplo 4: Casos particulares 
 
Por serem paralelos 0
rrr
=× ii , 0
rr
=× jj e 0
rrr
=× kk . 
 
 
Regra da mão direita 
 
 
 
 
Podemos também aplicar a regra da mão direita para determinar o sentido do produto 
vetorial de dois vetores não nulos: colocamos a mão sobre o primeiro vetor u
r
 fechamos 
para cima do vetor v
r
, o polegar indica o sentido do vetor resultante do produto de 
vu
rr
× . Conforme a figura 2.38: 
 
 
 
 
 
 
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47
47 
 
Expressão cartesiana do produto vetorial 
 
Sejam os vetores kcjbiau
rrrr
111 ++= e kcjbiav
rrrr
222 ++= , então: 
)()( 222111 kcjbiakcjbiavu
rrrrrrrr
++×++=× 
 
Pela propriedade III, do produto vetorial, temos: 
kckcjbkciakc
kcjbjbjbiajbkciajbiaiaiavu
rrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
212121
212121212121
×+×+×+
+×+×+×+×+×+×=×
 
 
Usando a propriedade II agrupamos escalar com escalar e vetor com vetor: 
=×+×+×+
+×+×+×++×+×+×=×
kkccjkbcikac
kjcbjjbbijabkicajibaiiaavu
rrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
212121
212121212121
 
 
Resolvendo os produtos escalares conforme os exemplos 3 e 4 desta seção: 
=−++−−=× ibcjacicbkabjcakbavu rrr
rrrrr
212121212121 
 
Fatorando obtemos: 
kbabajcaacibccbvu
rrrrr )()()( 122121212121 −+−+−=× 
 
A expressão obtida corresponde ao determinante de uma matriz formada pelos vetores u
r
 e v
r
. 
 
222
111
cba
cba
kji
vu
rrr
rr
=×
 
 
Exemplo 5: 
Sendo dados os vetores kjiu
rrrr
−+= 23 e kjiv
rrrr 242 −−= , calcule vu rr× . 
Inicialmente calculamos o determinante de vu
rr
× . 
)16,4,8(16484641224
242
123 −−=−+−=−+−−−−=
−−
−=× kjiijkkji
kji
vu
rrrrrrrrr
rrr
rr
 
 
Exemplo 6: 
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores a
r2 e ba
rr
− , sendo dados os vetores 
)3,2,1(−=ar e )1,0,2( −=b
r
. 
Iniciamos a resolução calculando os vetores a
r2 e ba
rr
− : 
)6,4,2()3,2,1(22 −=−=ar)4,2,3()1,0,2()3,2,1( −=−−−=− ba
rr
 
 
Como o produto vetorial é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores que compõe o produto, conforme a 
definição, podemos escrever: 
 
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48
48 
423
642)()2(
−
−=−×
kji
baa
rrr
rrr
. 
 Resolvendo o determinante 
)8,10,4(8104)()2(
8121241816)()2(
−=+−=−×
+−+−−=−×
kjibaa
jikkjibaa
rrrrrr
rrrrrrrrr
 
Assim, o vetor simultaneamente ortogonal aos vetores a
r2 e ba
rr
− é kji
rrr
8104 +− . 
 
 
2.7.3 - Produto misto 
 
 
Dados os vetores w e , rrr vu , tomados nesta ordem, chama-se 
produto misto dos vetores w e , rrr vu ao número real 
)( wvu rrr ו ou ),,( wvu rrr . 
Podemos escrever que : αcos)( ⋅×=ו wvuwvu rrrrrr onde 
o1800 ≤≤ α . 
 
Note que, se o ângulo entre u
r
 e wv
rr
× for de 090 , já que wv rr× 
é perpendicular a v
r
e w
r
, os três vetores u
r
, v
r
 e w
r
serão 
coplanares (vetores no mesmo plano). 
 
 
 
Podemos então deduzir que para três vetores serem coplanares o produto misto 
0)( =ו wvu rrr
. 
 
 
Expressão cartesiana do produto misto 
 
 
Sejam os vetores kcjbiau
rrrr
111 ++= , kcjbiav
rrrr
222 ++= e kzjyixw
rrrr
333 ++= , então: 
Para determinar )( wvu rrr ו , determinamos por etapas o produto. 
 
1ª etapa: Calculamos o produto vetorial 
 
kabbajcaacibccbwv
jcaibckabkbajacicb
cba
cba
kji
wv
rrrrr
rrrrrr
rrr
rr
)()()( 323232323232
323232323232
333
222
−+−+−=×
=−−−++==×
 
 
2ª etapa: Calculamos o produto escalar 
 
[ ]
321321321321321321
323213232132321
323232323232111
)(
)()()()(
)()()()()(
abcbaccabacbbcacbawvu
abbaccaacbbccbawvu
kabbajcaacibccbkcjbiawvu
−+−+−=ו
−+−+−=ו
−+−+−•++=ו
rrr
rrr
rrrrrrrrr
 
 
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49
49 
Que é equivalente ao determinante da matriz composta pelos componentes dos três vetores ur , vr e wr 
envolvidos: 
333
222
111
)(
cba
cba
cba
wvu =ו
rrr
 
 
Exemplos 
1) Dados os vetores kjia
rrrr 232 −+= , kjib
rrrr
−+= 2 e kic
rrr 3−= , calcule: 
a) )( cba r
rr
ו 
b) )()( cbba r
rrr
ו+ 
 
Resolvendo: 
a) Devemos calcular o determinante conforme a definição )( cba r
rr
ו . 
Assim sendo, 
301
121
232
)(
−
−
−
=ו cba r
rr
 
Calculando o determinante: 
215139040312)(
3.1).3(2).1.(0)2.(2.10.1).2(1).1.(3)3.(2.2)(
−=−=+−++−−=ו
=−−−−−−−+−+−=ו
cba
cba
rrr
rrr
 
 
b) )()( cbba r
rrr
ו+ 
Primeiramente calculamos 
)3,5,3()1,2,1()2,3,2( −=−+−=+ ba
rr
 
Calculamos o produto misto )()( cbba r
rrr
ו+ usando o determinante da expressão cartesiana do produto misto. 
301
121
353
)()(
−
−
−
=ו+ cbba r
rrr
 
Calculando: 
2)()(
15060518)()(
5.1).3(3).1.(0)3.(2.10.1).3(1).1.(5)3(23)()(
−=ו+
++++−−=ו+
=−−−−−−−+−+−⋅⋅=ו+
cbba
cbba
cbba
rrrr
rrrr
rrrr
 
 
 
2) Verificar se os vetores )1,1,2( −−=ur , )0,1,1(−=vr e )2,3,2( −=wr são coplanares. 
Devemos mostrar que o produto misto 0)( =ו wvu rrr 
=
−
−
−−
=ו
232
011
112
)( wvu rrr 
156202304
)1).(1).(2()2.(0.31.1.23).1.(12.0).1()2.(1.2
=−=+−−−+=
=−−−−−−−−+−+−−=
 
 
Logo, como 01)( ≠=ו wvu rrr , os vetores não são coplanares. 
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50
50 
 
3) Determine o valor do componente x do vetor ar para que vetores ar , b
r
 e c
r
 sejam coplanares, sendo dados 
kxjia
rrrr
−+−= 32 , kjib
rrrr
32 −+−= e kjic
rrrr
−+= 2 . 
Se os três vetores são coplanares o produto misto 0)( =ו cba r
rr
. Podemos escrever: 
0
112
321
32
)( =
−
−−
−−
=ו
x
cba r
rr
5
23
0364184
03)1()1()2()3(1)(221)1()(2)3(3)1(22
0
112
321
32
=
=−−++−
=⋅−⋅−−−⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−⋅−+⋅−⋅+−⋅⋅−
=
−
−−
−−
x
xx
xx
x
 
 
Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial 
 
 
A interpretação geométrica do módulo do produto 
vetorial pode ser entendida a partir de um 
paralelogramo construído sobre dois vetores, 
conforme a figura. 
 
O paralelogramo da figura tem a área definida como 
o produto da medida da base b pela sua altura h, o 
seja hbAp ×= . 
A base b do paralelogramo corresponde ao módulo 
do vetor u
r
, ou seja, ub r= , assim, a área pode ser: 
huÁreaABCD
r
= , onde αα senvh
v
h
sen
r
r =⇒= 
 
Substituindo, temos: αsenvuÁreaABCD
rr
= 
 
A expressão obtida corresponde ao produto vetorial de dois vetores u
r
 e v
r
, definido anteriormente, 
αsenvuvu
rrrr
=× . 
Concluímos que o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde área do paralelogramo obtido pelas 
projeções paralelas aos vetores a partir dos seus vértices conforme a figura 2.40. 
Logo: 
vuÁreaABCD
rr
×=
 
 
 
Exemplo 1: 
Calcule a área do paralelogramo cujos lados são construídos com os vetores ar3 e ba
rr
+ , onde )3,2,1( −−=ar e 
)4,1,0( −−=b
r
. 
Como o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde a área do paralelogramo construído sobre estes 
vetores, podemos considerar que: 
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51
51 
 
( ) ( )baaAP rrr +×= 3 
Inicialmente determinamos os vetores a
r3 e ba
rr
+ . 
)7,1,1()4,1,0()3,2,1(
)9,6,3()3,2,1(33
−−=−−+−−=+
−−=−−⋅=
ba
a
rr
r
 
)3,30,33(33033
21963942
711
963)()3(
−=++−=
=+++−++−=
−−
−−=+×
kji
jikkji
kji
baa
rrr
rrrrrr
rrr
rrr
 
Como ( ) ( )baaAP rrr +×= 3 , precisamos ainda calcular o módulo do vetor obtido: 
( ) ( ) 22231998330)33()3,30,33(3 222 ==++−=−=+×= baaAP rrr 
Logo, 2223=PA unidades quadradas 
 
 
Exemplo 2: 
Calcule a área do triangulo de vértices ),0,2,1(−A )1,4,1( −B e )3,2,0( −−C . 
 
O triângulo está situado no espaço tridimensional 
e pode ser representado de modo simplificado 
pela figura: 
 
Da geometria elementar sabemos que a área de 
um triangulo é igual a medida da área de um 
paralelogramo dividido por dois. Assim podemos 
propor que a área do triângulo ABC corresponde 
à metade do módulo do produto vetorial dos dois 
vetores AB e AC que determinam o 
paralelogramo. 
Logo, 
2
ACAB
AABC
×
=
 
 
Como não temos os vetores, temos que determiná-los a partir dos pontos que determinam os vértices, ou seja, 
AB e AC . 
kjiACAC
kjiABAB
rrr
rrr
34)3,4,1()0,2,1()3,2,0(
62)1,6,2()0,2,1()1,4,1(
−−=−−=−−−−=−=
+−=−=−−−=−=
 
Como 
2
ACAB
AABC
×
= , calculamos inicialmente o produto vetorial ACAB× . 
)2,7,22(2722664818
2)3(1)4()6(1)4(211)6()3(
341
162
−=−+=+++−+=
=⋅⋅−−⋅⋅−−−⋅−⋅−⋅+⋅⋅+⋅−⋅−=
−−
−=×
kjikjikji
jikkji
kji
ACAB
rrrrrrrrr
rrrrrr
rrr
 
 
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52 
Calculando o módulo do produto vetorial: 
 
537)2(722 222 =−++=× ACAB 
Finalizando temos que a área do triângulo é 
2
537
2
=
×
=
ACAB
AABC u.a (unidades de área). 
 
 
Interpretação geométrica do módulo do produtomisto 
 
A interpretação geométrica do módulo de um 
produto misto é desenvolvida a partir do cálculo do 
volume de um paralelepípedo construído sobre os 
três vetores que o compõem, conforme a figura. 
 
Para calcular o volume do paralelepípedo )( PPV 
utilizamos, da geometria espacial, que hAbVPP ⋅= 
 
Vimos anteriormente que a área da base do 
paralelepípedo, que é um paralelogramo, é dado pelo 
módulo do produto vetorial dos vetores v
r
 e w
r
, ou seja, wvAb rr ×= . 
Na figura observamos que αα cos cos ⋅=⇒= uh
u
h r
r 
Como hAbVPP ⋅= , podemos escrever que αcos⋅⋅×= uwvVPP
rrr
 ou αcoswvuVPP
rrr
×= . 
A expressão obtida é igual ao produto misto de três vetores, αcos)( wvuwvu rrrrrr ×=ו , logo: 
 
)( wvuVPP
rrr
ו=
 
, que corresponde ao volume do paralelepípedo. 
 
 
Exemplo 1: 
Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores kjia
rrrr 32 ++= , kjib
rrrr
22 +−= e 
kjic
rrrr
+−= 24 . 
O volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do produto misto dos vetores a
r
, b
r
 e c
r
, ou seja, 
)( cbaVPP
rrr
ו= . 
Inicialmente calculamos o produto misto )( cba r
rr
ו . 
291.1.12.2).2(3).2.(4)2.(1.34.2.11).2.(2
124
221
312
)( =−−−−−−++−=
−
−=ו cba r
rr
 
Como )( cbaVPP
rrr
ו= 
2929 ==PPV u.v (unidades de volume) 
 
 
 
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53 
Exercícios propostos A 
 
1) Dados os vetores ur e vr da figura, mostrar graficamente um representante do vetor: 
 
a) ur + vr 
b) 2ur - vr 
c) 2 vr - ur 
 
 
 
 
 
2) Represente analiticamente os vetores ur , vr , wv e 
z
r
representados na figura ao lado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determinar o vetor wv na igualdade 3 wv +2ur = ½ vr + wv , sendo dados ur = (3, -1) e vr = (-2, 4) 
 
 
4) Encontrar os números a1 e a2 tais que wv = a1 ur + a2 vr , sendo ur = (1,2), vr = (4,-2) e wv = (-1,8) 
 
 
 
 
5) O que tem em comum os vetores representados na 
figura ao lado? Como escrever sua representação 
analítica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar D(x,y) de modo que ABCD
2
1
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos B 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos C 
 
 
 
 
 
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57 
Exercícios propostos D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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58 
Exercícios propostos E 
 
 
 
 
 
 
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59 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Dados os vetores ar , b
r
e c
r
, representados na figura abaixo, apresentar um representante de cada um itens 
propostos: 
 
 
a) ba
rr
+ 
b) cba r
rr
+− 2 
 
2) Dados os pontos no 3R como )5,4,1(−A , )1,2,3(−B e )1,3,4( −C , determinar o vetor CBCA
rr
23 − . 
3) Dados os vetores )2,3,4(=ur , )1,2,1( −=vr e )4,1,0(=wr , calcule as operações wvu rrr 32 +− e 
)()(2 wvvu rrrr −−+ . 
4)Sabendo que 22=ar , calcule o valor de m no vetor kjmia
rrrr 23 ++= . 
5) Qual deve ser o valor de x para que os vetores )3,2,(xu =r e )4,2,3( xv −=r sejam ortogonais? 
6) Considere o triângulo ABC de vértices )4,1,3( −−A , )0,1,4(−B e )1,2,3( −C . Determine o ângulo interno ao 
vértice C desse triângulo. 
7)Mostrar que 1coscoscos 222 =++ γβα , sendo α , β e γ os ângulos diretores de um vetor. 
8) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 045 , 030 e 030 ? 
9)Uma força fr , cuja intensidade é igual a N4 , desloca um carrinho por m8 , num plano horizontal, sem atrito. 
A força fr faz um ângulo de 060 com o deslocamento. Qual o trabalho realizado pela força fr ? 
10)Dados os vetores )1,0,1(−=ur , )1,1,2( −=vr e )3,1,1( −=wr , calcule os produtos vetorial e produto misto 
solicitados em cada item. 
a) )2()3( vu rr × 
b) )()( wvvu rrrr ו+ 
c) )()( uvvu rrrr −•+ 
11)Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores kjiu
rrrr 322 −+= e kjiv
rrrr
+−= 2 . 
12) Calcule a área do triângulo ABC do exercício 6. 
13)Verificar se os pontos )2,3,1(A , )0,1,1(−B , )0,3,0(C e )1,2,2( −−D estão no mesmo plano. 
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60
60 
14)Dados os vetores )1,,2( −= mar , )1,2,1( −=b
r
e )2,1,1( −=cr . Calcular o valor de x para que o volume do 
paralelepípedo determinado por a
r
, b
r
e c
r
 seja igual a 9 u.v. (unidades de volume). 
 
 
 
 
15)Calcular a intensidade do torque (ou momento) 
sobre o segmento 20,0=AO m da figura a seguir 
quando giramos a ferramenta apertando o parafuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS - Vetores 
1) a) ba
rr
+ 
Vamos utilizar a regra do polígono. Para isso transportamos os vetores a
r
 e b
r
 com 
mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento, fazendo com que a origem de 
b
r
coincida com a extremidade de a
r
. Ligando a origem de a
r
 com a extremidade de b
r
, 
temos a soma de a
r
 e b
r
 conforme mostramos na figura: 
 
 
 
 
 
b) cba r
rr
+− 2 
Usando a regra do polígono, representamos: 
Tal como no item a, transportamos os vetores de modo que a origem 
de cada um deles coincida com a extremidade do anterior. O resultado 
da operação corresponde ao vetor que inicia na origem do primeiro 
vetor e termina na extremidade do último. 
2) Primeiramente vamos determinar os vetores CA
r
 e CB
r
. 
)6,1,5()5,4,1()1,3,4( −−=−−−=−= ACCA
r
 
)2,1,7()1,2,3()1,3,4( −=−−−=−= BCCB
r
 
 
Calculando o valor da expressão CBCA
rr
23 − , temos: 
)14,5,1()4,2,14()18,3,15()2,1,7(2)6,1,5(323 −−=−−+−−=−−−−=− CBCA
rr
 ou kji
rrr
145 −− 
 
3) a) wvu rrr 32 +− 
Calculando: 
)12,10,2()12,3,0()2,4,2()2,3,4()4,1,0(3)1,2,1(2)2,3,4(32 =+−−+=+−−=+− wvu rrr 
 
b) )()(2 wvvu rrrr −−+ 
neste caso podemos calcular inicialmente algumas partes da expressão: 
)3,1,5()1,2,1()2,3,4( =−+=+ vu rr 
)3,3,1()4,1,0()1,2,1( −−=−−=− wv rr 
Calculando o valor de toda a expressão, temos: 
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61
61 
 
)9,5,9()3,3,1()6,2,10()3,3,1()3,1,5(2)()(2 =−−−=−−−=−−+ wvvu rrrr 
 
4) Sabemos que o módulo de um vetor vr é dado por 222 cbav ++=r . 
Adaptando temos: 
222 23 ++= mar , como 22=ar 
222 2322 ++= m , elevando os dois lados da igualdade ao quadrado 
( ) ( )22222 2322 ++=m 
4922 2 ++= m 
13222 −=m 
92 =m 
9±=m 
3±=m 
Logo o valor de m pode ser 3− e 3. 
 
5) Para que ur e vr sejam ortogonais devemos ter o produto escalar destes vetores nulo, ou seja, 0=• vu rr . 
Assim, 0)4,2,3()3,2,( =−• xx , 
04.3)2.(23 =+−+ xx 
01243 =+− xx 
12=− x multiplicando por ( 1− ), temos 
12−=x 
 
6) Fazendo um esboço do triângulo podemos representar os lados CB e CA 
como vetores. Para determinar o ângulo entre dois vetores u
r
 e v
r
 utilizamos 
a expressão 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos , onde α é o ângulo entre os lados no vértice C. 
Chamando de u
r
 o vetor CB e de vr o vetor CA , temos a representação: 
 
Primeiramente determinamos os vetores u
r
 e v
r
 . 
)1,3,7()1,2,3()0,1,4( −−=−−−=−== CBBCu rr 
)3,1,6()1,2,3()4,1,3( −=−−−−=−== CAACv
rr
 
Em seguida, o produto escalar e o módulo desses vetores: 
4233423).1(1.3)6).(7()3,1,6()1,3,7( =−+=−++−−=−•−−=• vu rr 
591949)1(3)7( 222 =++=−++−=ur 
46913631)6( 222 =++=++−=vr 
Calculando o ângulo com 
vu
vu
rr
rr
•
=αcos , temos: 
o27,36
2714
42
arccos
2714
42
cos
46.59
42
cos ≅⇒=⇒=⇒= αααα 
Logo o ângulo C mede aproximadamente 36,27°. 
 
7) Considerando um vetor ),,( cbav =r , os cossenos diretores de vr são as expressões: 
 
v
a
r=αcos , 
v
b
r=βcos e 
v
c
r=γcos 
Substituindo estas expressões na equação dada, temos: 
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62
62 
1
1
1
1coscoscos
2
222
2
2
2
2
2
2
222
222
=
++
=++
=







+







+







=++
v
cba
v
c
v
b
v
a
v
c
v
b
v
a
r
rrr
rrr
γβα
 
Como módulo do vetor ),,( cbav =r é 222 cbav ++=r , podemos escrever que 2222 cbav ++=r 
Logo, se 12
222
=
++
v
cba
r então 1222
222
=
++
++
cba
cba
, ou seja, 11 = . 
Portanto, 1coscoscos 222 =++ γβα 
 
8) Usando a relação demonstrada no exercício anterior, 1coscoscos 222 =++ γβα , e nomeando α , β e 
γ , respectivamente como 045 , 030 e 030 , temos: 
12
1
4
3
4
3
4
2
1
2
3
2
3
2
2
130cos30cos45cos
222
020202
=
=++
=







+







+







=++
 
Como 12 ≠ , os ângulos descritos não satisfazem a condição e não são ângulos diretores de um vetor. 
 
9) Desenhando podemos observar a situação 
Definimos o trabalho w realizado por uma força fr 
como αcosdfw
rr
= 
Assim, sendo 4=fr , 8=d
r
 e 
060=α , temos que o 
trabalho é: 
16
2
32
2
1
.8.4
60cos.8.4 0
===
=
w
w
 Logo Jw 16= 
 
10) a) )2()3( vu rr × 
Inicialmente calculamos os vetores que compõem o produto vetorial: 
)3,0,3()1,0,1.(33 −=−=ur 
)2,2,4()1,1,2.(22 −=−=vr 
Para calcular o produto vetorial utilizamos o cálculo do determinante dos componentes dos vetores. Assim 
temos: 
kjijikkji
kji
vu
rrrrrrrrr
rrr
rr 61866606120
224
303)2()3( ++=++−++=
−
−=× 
 
 
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63
63 
b) )()( wvvu rrrr ו+ 
Neste caso, primeiro calculamos a adição e depois o valor do produto misto. 
)2,1,1()1,1,2()1,0,1( −=−+−=+ vu rr 
O produto misto é equivalente ao determinante da matriz composta pelos componentes dos três vetores 
envolvidos: 
189612413
311
112
211
)()( =−=+++−−−=
−
−
−
=ו+ wvvu
rrrr
 
c) )()( uvvu rrrr −•+ 
Já calculamos vu
rr
+ do item b, ou seja, )2,1,1()1,1,2()1,0,1( −=−+−=+ vu rr . 
Também )0,1,3()1,0,1()1,1,2( −=−−−=− uv rr 
Assim temos os vetores que compõem o produto escalar: 
40130.2)1).(1(3.1)0,1,3()2,1,1()()( =++=+−−+=−•−=−•+ uvvu rrrr 
 
11) O resultado do produto vetorial vu rr × é o vetor que é simultaneamente ortogonal aos vetores ur e vr . 
Calculando o produto vetorial, 
 )6,8,1(68234262
112
322 −−−=−−−=−−−−−=
−
−=× kjijikkji
kji
vu
rrrrrrrrr
rrr
rr
 
Concluímos que kjivu
rrrrr 68 −−−=× é simultaneamente ortogonal a ur e vr . 
Observação: Como não foi especificada a ordem dos vetores, o produto poderia ser na ordem )6,8,1(=× uv rr , 
que também é ortogonal a u
r
 e v
r
. 
 
12) A área de um triângulo é dado por 
2
vu
At
rr
×
= , sendo u
r
 e v
r
 os vetores que determinam dois dos lados do 
triângulo. 
No exercício 6 os vetores obtidos foram )1,3,7( −−=ur e )1,3,6(−=vr , vamos calcular o determinante . 
kjijikkji
kji
vu
rrrrrrrrr
rrr
rr 24271021184269
316
137 −+=+++−+=
−
−−=× 
Como 
2
vu
At
rr
×
= , ou seja, corresponde a metade do módulo do produto vetorial, escrevemos: 
2
1405
2
576729100
2
)24(2710 222
=
++
=
−++
=tA u.a (unidades de área) 
 
13) Se os pontos são coplanares então os vetores que podem ser construídos com estes pontos também são 
coplanares. Para que três vetores sejam coplanares o produto misto destes é nulo, ou seja, 0)( =ו wvu rrr . 
Como não temos os vetores u
r
, v
r
 e w
r
, começamos pela sua 
determinação. 
Podemos escolher qualquer um dos pontos A , B , C e D 
como a origem dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
. Escolhemos o ponto 
A, como na figura seguinte. 
 
 
Assim temos: 
)2,2,2()2,3,1()0,1,1( −−−=−−=−== ABBAu rr 
Baseado em: Geometria Analítica – UnisulVirtual - autores: Mario Selhorst; Carlos Henrique Hobold 
Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
64
64 
)2,0,1()2,3,1()0,3,0( −−=−=−== ACCAv
rr
 
)3,1,3()2,3,1()1,2,2( −−−=−−−=−== ADDAw rr 
 
Para que os três vetores sejam coplanares 0)( =ו wvu rrr 
Calculando 012126402120
313
201
222
)( =+−=++−−−=
−−−
−−
−−−
=ו wvu
rrr
 
Os vetores são coplanares, consequentemente os pontos estão no mesmo plano. 
 
14) O volume de um paralelepípedo determinado por três vetores ar , b
r
e c
r
 é dado pela expressão 
)( cbaVPP
rrr
ו= , ou seja, pelo módulo do produto misto. Assim temos: 
722218
211
121
12
)( −−=−+−++−=
−
−
−
=ו mmm
m
cba r
rr
 
Como 9=PPV e )( cbaVPP
rrr
ו= , podemos escrever: 
97 =−− m e resolvendo a equação modular temos que: 
 97 =−− m ou 97 −=−− m 
 
Resolvendo: 
16167997 −=⇒=−⇒+=−⇒=−− mmmm 
 227997 =⇒−=−⇒+−=−⇒−=−− mmmm 
Logo o valor de m pode ser 16− ou 2 
 
 
15) Podemos observar que a força de intensidade NF 4= está na direção do eixo z e forma um ângulo de 
090 com o segmento AO . O vetor jAO r
r
20,0= , por estar na direção do eixo y e o vetor força kf rr 4−= . 
O vetor torque é dado pelo produto vetorial fAO rrr ×=τ . 
Assim, 
mNi
mNii
kji
rr
rr
rrr
r
80,0
80,020,0.4
400
020,00
−=
−=−=
−
=
τ
τ
 
Calculando a intensidade (ou módulo) do torque teremos: 
( ) 80,080,0 2 =−=τr mN . 
Também podemos calcular utilizando a expressão 
mNsen
senfr
80,01.80,0904.20,0 0 ===
=
τ
ατ
r
rrr