AULA 02 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ENGENHARIA CIVIL (1)

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FACULDADE PITÁGORAS DE UBERLÂNDIA 
MINAS GERAIS 
 
 
Graduação em Engenharia Civil 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
AULA 02 
 
Prof. MSc. Fabrício Silvestre Mendonça 
 
05/09/2014 
OBJETIVOS ESPECÍFICO DA AULA 
Tensão Normal e deformação (aula passada); 
2.4. Propriedades Mecânicas dos Materiais; 
2.4.1. Diagrama Tensão Deformação; 
2.5. Ductibilidade, Módulo de Resiliência e 
Módulo de Tenacidade; 
2.6. Alongamento Percentual e Redução 
Percentual. 
 
REFERÊNCIA 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 
7ª edição. SP: Pearson Prentice Hall, 2010. 
•Páginas 57 a 65; 
•Itens 3.1. a 3.5.; Capítulo 3. 
04) A peça fundida 
mostrada na figura é feita 
da aço, cujo peso 
específico é aço=80kN/m
3. 
Determine a tensão de 
compressão média que 
age nos pontos A e B. 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO (AULA 01) 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO (AULA 01) 
07) A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos 
cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um 
deslocamento de 10mm para baixo na extremidade C, 
determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e 
BD. 
R: CE=0,0025 e BD=0,00107. 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO (AULA 01) 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO (AULA 01) 
RESISTÊNCIA 
DOS 
MATERIAIS 
CONTEXTUALIZANDO 
“RESISTÊNCIA” é um termo 
genérico que se refere a capacidade 
de uma material ou estrutura 
RESISTIR a cargas. 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
O projeto de máquinas e estruturas exigem que 
entendamos o comportamento mecânico dos 
materiais; 
 
Por meio de experimentos em laboratório 
(corpos de prova em máquina de testes), 
aplicam-se cargas axiais com medição das 
deformações. 
Muitas propriedades de um 
material podem ser 
determinadas a partir de um 
ensaio de tração ou 
compressão, a partir de uma 
amostra do material. O 
resultado desse ensaio pode ser 
representado num diagrama 
tensão-deformação. 
Figura. Corpo de prova padronizado. 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
Corpo de prova padrão (ASTM): 
 
Diâmetro – 0,505 in. 
Comprimento – 2,0 in. 
 
 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
Método de aplicação de cargas padronizado: 
 
ASTM – American Society for Testing and Materials 
 
ASA – American Standars Association 
 
NIST – National Institute of Standards and Technology 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
Fig. Esta máquina é utilizada para ensaios de 
corpos de prova a tração. 
Fig. Corpo de prova com carga de tração. 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
Surge então a necessidade de expressar os 
resultados dos testes de forma que possam ser 
aplicados a membros de qualquer tamanho; 
 
Muitas propriedades de um material podem ser 
determinadas a partir de um ensaio de tração ou 
compressão, a partir de uma amostra do material. 
O resultado desse ensaio pode ser representado 
num Diagrama Tensão-Deformação. 
2.4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
2.4.1. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
O diagrama tensão-deformação é executado 
num corpo de prova padronizado, tendo como 
dimensões originais, a seção transversal A e o 
comprimento L. A TENSÃO considerada no 
diagrama é a força aplicada P na seção transversal 
original A: 
A
P
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
Da mesma forma, a DEFORMAÇÃO é obtida 
diretamente da leitura do extensiômetro, ou pela 
divisão da variação de comprimento 
(alongamento) pelo comprimento original L. 
L
O diagrama tensão-deformação é o gráfico 
dos correspondentes valores de σ e ε, 
onde o eixo das ordenadas representa 
as tensões σ e o eixo das abcissas 
representa as deformações ε. 
2.4.1. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Figura. Diagrama de Tensão-Deformação em um ensaio de tração. 
Comportamento elástico: Quando o corpo de prova retorna à 
sua forma original quando a carga aplicada é removida. O material 
é considerado linearmente elástico até o limite superior da tensão, 
chamado de limite de proporcionalidade. 
Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do limite 
elástico, resultará numa acomodação do material causando uma 
deformação permanente. A tensão que causa o escoamento é 
chamada de tensão de escoamento. 
Endurecimento de Deformação: Se ao término do escoamento, 
uma carga adicional for aplicada ao corpo de prova, a tensão 
continuará a aumentar com a deformação específica continuamente 
até atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última. 
Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal 
começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Uma 
vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área 
só pode sustentar uma carga menor. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Figura. Estricção da seção transversal do corpo de prova. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Figura. a) Estricção e ruptura dúctil. 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
( P) - Tensão de proporcionalidade: Representa o valor máximo da 
tensão, abaixo do qual o material obedece a lei de Hooke. 
( P) 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
(σE) - Tensão de escoamento: A partir deste ponto aumentam as 
deformações sem que se altere, praticamente, o valor da tensão. Quando 
se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. 
( E) 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
(σU) – Tensão Última. A tensão correspondente a este ponto recebe o 
nome de limite de resistência ou tensão última, pois corresponde a máxima 
tensão atingida no ensaio de tração. 
( U) 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
(σR) – Tensão de Ruptura: A tensão correspondente a este ponto 
recebe o nome de limite de ruptura; é a que corresponde a ruptura 
do corpo de prova. 
( R) 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
(εE) - Deformação Elástica: O trecho da curva tensão-deformação, 
compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade, recebe o nome 
de região elástica. 
Pontos importantes no DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
(εP) - Deformação Plástica: O trecho compreendido entre o limite 
de proporcionalidade e o ponto correspondente a ruptura do 
material. 
 
O comportamento do corpo de prova pode ser de diferentes 
formas, dependendo da intensidade da carga aplicada e do 
seu grau de deformação. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Comportamento elástico: Quando o corpo de prova 
retorna à sua forma original quando a carga aplicada é 
removida. O material é considerado linearmente 
elástico até o limite superior da tensão, chamado de 
limite de proporcionalidade. O material pode ainda se 
comportar elasticamente até o limite elástico, mesmo se 
exceder ligeiramente este limite de proporcionalidade. Neste 
caso porém, o comportamento não é mais linear. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do 
limite elástico, resultará numa acomodação do material 
causando uma deformação permanente. A tensão que 
causa o escoamento é chamada de tensão de 
escoamento. Neste caso, mesmo se a carga for removida, 
o corpo de prova continuará deformado. O corpo de prova 
poderá continuar a se alongar mesmo sem qualquer 
aumento de carga. Nesta região, o material é 
denominado perfeitamente plástico. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Endurecimento de Deformação: Se ao término do 
escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo 
de prova, a tensão continuará a aumentarcom a 
deformação específica continuamente até atingir um valor 
de tensão máxima, referida por tensão última. Durante a 
execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo de 
prova é alongado, sua área da seção transversal 
diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto 
que a deformação corresponda a tensão última. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção 
transversal começa a diminuir em uma região localizada do 
corpo de prova, e não mais ao longo do seu comprimento 
nominal. Este fenômeno é causado pelo deslizamento de 
planos no interior do material e as deformações reais 
produzidas pela tensão cisalhante. Uma vez que a área da 
seção transversal diminui constantemente, esta área 
só pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama 
tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até a 
ruptura do corpo de prova com uma tensão de ruptura. 
A área sob a curva tensão-deformação representa a 
energia de deformação absorvida pelo material. 
Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a 
energia de deformação é denominada módulo de 
resiliência. Quando a tensão atingir a tensão de 
ruptura, a energia de deformação é denominada de 
TENACIDADE. Os materiais com alta tenacidade 
são os mais utilizados em projetos estruturais, pois 
materiais com baixa tenacidade podem romper 
subitamente sem dar sinais de um rompimento 
iminente. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
• Módulo de tenacidade, ut, representa a área inteira 
sob o diagrama tensão-deformação. 
• Indica a densidade de energia de deformação do 
material um pouco antes da ruptura. 
MÓDULO DE TENACIDADE 
• Quando um material é deformado por uma carga externa, tende 
a armazenar energia internamente em todo o seu volume. 
• Essa energia está relacionada com as deformações no material, e 
é denominada energia de deformação. 
 
E
u
pl
plplr
2
2
1
2
1
 Módulo de resiliência 
• Quando a tensão atinge o limite de 
proporcionalidade, a densidade da 
energia de deformação é denominada 
módulo de resiliência, ur. 
MÓDULO DE RESILIÊNCIA 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
A presença de um ponto de escoamento 
claramente definido seguido de grandes 
deformações plásticas é característica do aço 
estrutural; 
 
Materiais, como o aço estrutural, que sofrem 
grandes deformações permanentes antes 
da fratura são chamados de DÚCTEIS. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO p/ o Aço Estrutural 
MATERIAL 
DÚCTIL 
Materiais dúcteis 
• Material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes de sofrer ruptura é 
denominado material dúctil. 
 
Materiais frágeis 
• Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento 
antes da falha são denominados materiais frágeis. 
MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO – Materiais Dúcteis 
DUCTIBILIDADE 
“DUCTIBILIDADE” é a propriedade 
que permite a uma barra de aço ser 
dobrada em um arco circular ou ser 
esticada até um fio sem quebrar. 
DUCTIBILIDADE 
ATENÇÃO: para um material dúctil verifica-se 
distorções visíveis caso as cargas sejam 
grandes demais, possibilitando tomar ações 
corretivas antes que ocorra uma fratura real; 
Um material dúctil absorve 
grandes quantidades de energia 
antes de fraturar. 
Materiais Frágeis são materiais que falham em tração 
em valores relativamente baixos de deformação. 
Fig. Diagrama tensão-deformação para um material frágil típico. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO – Materiais Frágeis 
MATERIAIS FRÁGEIS x MATERIAIS DÚCTEIS 
DUCTIBILIDADE 
A “DUCTIBILIDADE” de um material 
em tração pode ser caracterizada pelo 
seu alongamento e pela redução na 
área de seção transversal onde a 
fratura ocorre. 
ALONGAMENTO PERCENTUAL 
Onde: 
 
L0= comprimento original; 
L1= distância entre as marcas de medição na fratura. 
%)100(_
0
01
L
LL
percentualoAlongament
REDUÇÃO PERCENTUAL 
Onde: 
 
A0= área da seção transversal original; 
A1= área final da seção de fratura. 
%)100(_Re
0
10
A
AA
percentualdução
Mede a quantia de estricção que ocorre. 
EXERCÍCIOS 
DE 
CLASSE 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
02) Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para 
um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear 
entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em 
gráfico e determine o módulo de elasticidade, o módulo de 
resiliência e o valor aproximado do módulo de tenacidade. 
R: E=387,3GPa, uR=0,0697MJ/m
3 e uT= 0,6009 MJ/m
3 
Tensão (MPa) Deformação 
0,0 0,0000 
232,4 0,0006 
318,5 0,0010 
345,8 0,0014 
360,5 0,0018 
373,8 0,0022 
Diagrama de Tensão-Deformação
0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018 0,0020 0,0022
Deformação
0,0
232,4
318,5
345,8
373,8
T
e
n
sã
o
 A
x
ia
l (M
P
a
)
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Cálculo do Módulo de Elasticidade: 
O módulo de elasticidade será encontrado pelo diagrama de 
Tensão-Deformação onde tem-se o comportamento elástico, que 
obedece a Lei de Hooke ( =E. ). 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Cálculo do Módulo de Resiliência: 
Em termos físicos a resiliência de um material representa sua 
capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano 
permanente. 
plplru
2
1
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Cálculo do Módulo de Resiliência: 
plplru
2
1
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Cálculo do Módulo de Tenacidade: 
O Módulo de Tenacidade representa a área interna sobre o 
diagrama Tensão-Deformação, portanto indica a densidade de 
energia de deformação do material um pouco antes da ruptura. 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Cálculo do Módulo de Tenacidade: 
2
0006,04,232
1A
2
0004,0)4,2325,318(
2A
2
0004,0)5,3188,345(
3A
2
0004,0)8,3455,360(
4A
2
0004,0)5,3608,373(
5A
54321 AAAAAuT
3
6009,0
m
MJ
uT
03)Um corpo de plástico é 
testado em tração em 
temperatura ambiente 
produzindo os dados de 
tensão deformação listados 
na tabela. Construa a 
curva de tensão-
deformação e determine o 
limite de 
proporcionalidade e o 
módulo de elasticidade 
(a inclinação da parte 
inicial da curva de 
tensão-deformação). O 
material é dúctil ou 
frágil? 
Tensão (MPa) Deformação 
8,0 0,0032 
18,5 0,0073 
25,6 0,0111 
31,1 0,0129 
39,8 0,0163 
44,0 0,0184 
48,2 0,0209 
53,9 0,0260 
58,1 0,0331 
62,0 0,0429 
62,1 Fratura 
Dados de Tensão-Deformação 
para o problema 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Tensão (MPa) Deformação 
8,0 0,0032 
18,5 0,0073 
25,6 0,0111 
31,1 0,0129 
39,8 0,0163 
44,0 0,0184 
48,2 0,0209 
53,9 0,0260 
58,1 0,0331 
62,0 0,0429 
62,1 Fratura 
Dados de Tensão-
Deformação para o problema 
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045
Deformação
0
10
20
30
40
50
60
70
T
en
sã
o 
(M
P
a)
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045
Deformação
0
10
20
30
40
50
60
70
T
en
sã
o 
(M
P
a)
( P) - Tensão de proporcionalidade: Representa o valor máximo 
da tensão, abaixo do qual o material obedece a lei de Hooke. 
P 47MPa 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
Módulo de elasticidade (a inclinação da parte inicial da curva 
de tensão-deformação)? 
Var1 = -0,014+2400,2593*x
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020
Deformação
0
10
20
30
40
50
T
ensão (M
P
a)
Inclinação 2,4GPa 
EXERCÍCIOS DE CLASSE 
O material é dúctil oufrágil? 
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045
Deformação
0
10
20
30
40
50
60
70
T
en
sã
o 
(M
P
a)
O material é FRÁGIL!! 
EXERCÍCIOS DE CLASSE