pendulo foucault

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UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO DE FOUCAULT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santos – SP 
2007 
 
UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
HANDERSON OLEGÁRIO 
MARCUS VINICIUS 
RODRIGO DANZI 
RODRIGO DE CAMPOS MANOEL 
THIAGO TADEU RODRIGUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO DE FOUCAULT 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado como exigência parcial para 
obtenção do título de Engenheiro Mecânico à 
Comissão Julgadora, sob a supervisão do 
Professor Valmir Demarchi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santos – SP 
2007 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dirigimos nossos agradecimentos a Deus, pois sem Ele nada seria possível. Aos 
nossos pais, pelo amor, carinho e bons valores que nos ensinaram. À nossa 
família e às nossas namoradas, pela companhia e apoio. Um agradecimento 
especial aos nossos professores, sem exceção, pela paciência, dedicação e 
atenção. Um agradecimento especial se faz necessário aos Mestres Marcelo, 
Morila, Molinari, Demarchi e Moino, que nos incentivaram e nos orientaram na 
conclusão deste trabalho. Agradecemos também ao nosso colega Thiago Oliveira, 
pelo fundamental auxílio na análise dimensional pelo Método dos Elementos 
Finitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se considerar o Pêndulo de Foucault como um dos maiores e mais 
importante experimentos científicos já realizados até a atualidade. Idealizado pelo 
francês Leon Foucault, o pêndulo montado no Phantéon francês em 26 de março 
de 1851, conseguiu demonstrar que a Terra gira em torno do seu próprio eixo e ao 
redor do sol, e não o contrário. 
À força responsável pela oscilação do Pêndulo de Foucault, entre outros 
movimentos, dá-se o nome de Força de Coriolis, em homenagem ao físico francês 
Gaspard-Gustave Coriolis, que a descobriu em 1835. 
Esta força é responsável pelo sentido de rotação da água ao descer por um ralo, 
pelo movimento das tempestades na Terra e, na engenharia mecânica, é 
essencial em diversos aspectos, como: projetos de tubulações com alta diferença 
de Energia Potencial, equipamentos mecânicos que trabalham em rotação, para o 
traçamento de rotas de vôos, entre outras aplicações. 
Para realizarmos a reprodução da experiência de Foucault, recorremos aos 
nossos conhecimentos adquiridos ao longo do curso de Engenharia Mecânica, 
especificamente nas disciplinas de Física, Resistência dos Materiais e Mecânica 
de Vibrações. 
Da Física, retiramos os conceitos de gravitação; da Resistência dos Materiais, 
retiramos os conceitos de dimensionamento de estruturas e o sistema de cálculos 
pelo Método dos Elementos Finitos e, da Mecânica de Vibrações, retiramos os 
conceitos de oscilação, oscilação harmônica e a própria força de Coriolis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS E TABELAS 
 
FIGURA 1 – Léon Foucault 7 
 
FIGURA 2 – Gaspard Gustave Coriolis 10 
 
FIGURA 3 – Efeito Coriolis na superfície terrestre 13 
 
FIGURA 4 – Demonstração da força de Coriolis em uma superfície circular 14 
 
FIGURA 5 – Pêndulo de Foucault na Universidade Santa Cecília 19 
 
FIGURA 6 – Idéias e projetos parciais 21 
 
FIGURA 7 – Perspectiva do projeto final 22 
 
FIGURA 8 – Visualização em 3D do projeto final 23 
 
FIGURA 9 – Perspectiva de aplicação da carga axial 26 
 
FIGURA 10 – Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial 27 
 
FIGURA 11 – Deformação após a aplicação da carga axial e tangencial 28 
 
FIGURA 12 – Perfil tubular quadrado 29 
 
FIGURA 13 – Rolamento autocompensador axial – vista perfil 29 
 
FIGURA 14 – Bola de boliche 30 
 
FIGURA 15 – Pino de Aço 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
LISTA DE FIGURAS 5 
 
1 INTRODUÇÃO 7 
 
2 JEAN BERNARD LÉON FOUCAULT 8 
 
3 GASPARD-GUSTAVE CORIOLIS 11 
 
4 A FORÇA DE CORIOLIS 13 
 
5 PÊNDULO DE FOUCAULT 17 
 
6 DEMONSTRAÇÃO NA UNISANTA 20 
 
6.1 Reconstrução e Materiais 22 
 
6.1.1 Observação de Experiências já Realizadas 22 
 
6.1.2 Idéias 22 
 
6.1.3 Projeto 23 
 
6.1.4 Cálculos – Método dos Elementos Finitos 25 
 
6.1.5 Materiais 29 
 
7 CONCLUSÃO 32 
 
8 ANEXOS 33 
 
8.1. Anomalias no Pêndulo de Foucault 33 
 
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 35 
 
10 COMPACT DISC CONTRA-CAPA 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Antes da aplicação prática e correta dos conceitos de engenharia na fabricação de 
equipamentos mecânicos, construções civis, equipamentos elétricos e 
desenvolvimento de novos materiais, muitos outros conceitos precisam ser 
adquiridos, como o cálculo diferencial e integral, os fenômenos físicos, entre 
outros. 
 
Entretanto, devido à grandiosidade do conteúdo das disciplinas acadêmicas, 
muitos pontos são somente comentados, porém, não são explorados e 
aprofundados. Por este motivo, realizamos esta pesquisa para compreender com 
propriedade o fenômeno físico em questão: a força de Coriolis. 
 
Por meio da reprodução da experiência do pêndulo de Foucault, aliamos o 
conhecimento teórico adquirido no decorrer do curso acadêmico e intentamos 
demonstrar a atuação da força de Coriolis e sua real importância para a 
Engenharia. 
 
Para a pesquisa dos conceitos e realização da experiência, o grupo utilizou como 
fonte de informação a pesquisa dos teóricos (falar quais são os teóricos), 
publicações, consulta a mestres e doutores em Física e Engenharia, consultas à 
rede mundial de computadores Internet e uma visita ao Phantéon em Paris, 
França. 
 
Os capítulos a seguir, obedecem à cronologia da pesquisa e discussão dos 
fenômenos, sendo que, o primeiro, traz a biografia de Jean Bernard Léon 
Foucault, idealizador da experiência em março de 1851. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Jean Bernard Léon Foucault 
 
 
Figura 1 – Jean Bernard Léon Foucault 
 
Físico francês, filho de publicitários, Jean Bernard Léon Foucault (Figura 1), 
nasceu no dia 18 de setembro de 1819. Após receber a educação básica em sua 
própria casa, Léon Foucault estudou medicina, abandonando-a rapidamente para 
se dedicar aos estudos em Física. Amante de fotografias, concomitantemente a 
esses estudos, dedicou parte de sua atenção a aprender as técnicas de Louis-
Jacques-Mandé Daguerre1. 
 
Com Hippolyte Fizeau2, Foucault comprovou que a intensidade da luz do sol, 
comparada com o carbono no arco de lâmpada e o cal contido na chama de um 
tubo de oxi-hidrogênio, associado às interferências da radiação infravermelha e à 
 
1
 Artista e Químico francês, inventor do Dagurerreotype, processo fotográfico no qual a imagem é 
exposta diretamente contra um espelho polido composto por partículas pratas de vapor, 
depositadas por vapor de iodo aquecido. Este processo permite a obtenção da fotografia sem 
utilização de um negativo. 
 
2
 Físico francês que, além de estudar processos fotográficos, dedicou seu tempo ao estudo da 
interferência da luz e do calor nos corpos. Em 1848, descobriu o Efeito Doppler em ondas 
eletromagnéticas.Em 1849, juntamente com Léon Foucault, publicou os primeiros resultados 
obtidos para o estudo para determinação da velocidade da luz, e, em 1850 juntamente com E. 
Gounelle mediu a velocidade da eletricidade. 
 
radiação da luz, diferem grandiosamente em caminhos e comprimentos na luz de 
polarização cromática. 
 
Em 1840, Léon Foucault contribuiu para o Comptes Rendus, um periódico 
publicado pela Academia de Ciências francesa. Nele descreveu um regulador 
eletromagnético para o arco de lâmpada elétrico. Em 1850, utilizou um 
estereoscópio semelhante ao usado por Sir Charles Wheaststone3 e demonstrou a 
velocidade da luz4 no ar e na água, comprovando que a velocidade da luz no 
meio, é inversamente proporcional ao seu índice de refração. 
 
A demonstração do movimento da Terra, em 1851, por Foucault revolucionou as 
teorias até então vigentes. Ele o fez por meio da oscilação de um plano longo e 
pesado suspenso livremente no Panthéon, em Paris. 
 
No ano seguinte inventou e construiu o primeiro giroscópio para auxiliar na 
comprovação de seus experimentos sobre a rotação da Terra. Em 1855 foi 
agraciado com a Copley Medal5 pela Real Sociedade de Londres (Real Society of 
London). Em setembro de 1855, descobriu que a força requerida para a rotação 
de um disco de cobre, transforma sua borda entre os pólos de um ímã. O disco se 
aquece pela corrente de eddy ou “correntes de Foucault”, induzidas no metal. 
 
Foucault inventou em 1857 o polarizador, o qual carrega seu nome. No ano 
seguinte, desenvolveu um método para dar ao espelho refletor do telescópio, a 
forma esférica e parabólica para, juntamente com Wheastone, em 1862, 
determinar a velocidade da luz em 298.000 km/s (aproximadamente 185.000 
milhas/s). Este valor é 10.000 km/s menor que o obtido no experimento anterior e 
somente 0,6% fora do valor utilizado atualmente. 
 
No mesmo ano de 1862, Léon Foucault foi nomeado membro do Bureau des 
Longitudes e membro oficial honorário da Legião da Honra – Legion of Honour. 
Em 1864, foi nomeado membro estrangeiro da Sociedade Real de Londres e, no 
ano seguinte, um membro da seção mecânica do Instituto. Em 1865, tornaram-se 
mais intensos seus estudos para modificar o regulador do Watt e para a criação de 
um novo equipamento que regulasse a luz elétrica. 
 
 
3
 Cientista e inventor inglês foi responsável pelo desenvolvimento do telégrafo e por muitas 
descobertas, entre elas o estereoscópio (instrumento utilizado para mostrar uma imagem tri-
dimensional). 
 
4
 A velocidade da luz no vácuo é uma importante constante física denominada pela letra c. No 
sistema métrico a constante c é exatamente 299.792.458 metros por segundo. 
 
5
 A Copley Medal é o maior prêmio concebido pela Real Society of London. Os agraciados com 
este prêmio se alternam em ciências físicas e ciências biológicas. O vencedor deste prêmio recebe 
uma medalha coberta de prata e ouro, acompanhada de uma quantia de £5000. 
 
Foucault faleceu em 11 de fevereiro de 1868, vítima de uma esclerose múltipla 
rapidamente desenvolvida. Seu corpo foi cremado e sua cripta encontra-se no 
Cemetière de Montmarte em Paris. [1], [2], [6], [8], [12] e [13]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Gaspard-Gustave Coriolis 
 
 
 
Figura 2 – Gaspard-Gustave Coriolis 
Gaspard - Gustave Coriolis nasceu em 21 de maio de 1792 em Paris, França. 
Provindo de uma família aristocrática, ingressou na Ècole Polytechnique, em 1808 
e continuou seus estudos na Ècole des Ponts et Chaussées, onde estudou 
mecânica e matemática aplicada à engenharia. 
Iniciou a sua atividade docente em 1816, como professor assistente de Análise e 
Mecânica na Ècole Polytechnique. Foi professor de mecânica na École Centrale 
des Arts et Manufactures entre 1829 e 1836 e, em 1832, tornou-se professor de 
mecânica na École des Ponts et Chaussées. Em 1836, foi nomeado diretor de 
estudos na École Polytechnique e aí desenvolveu importantes estudos sobre a 
força centrífuga. 
Coriolis foi um professor notável e contribuiu decisivamente para a sistematização 
do ensino da mecânica por meio da introdução de termos e definições próprias. 
De seus estudos, destacam-se as primeiras definições precisas de trabalho e 
energia cinética, publicadas em 1929 no artigo “Du calcul de l’effet des machines”. 
O nome de Coriolis está intrinsecamente associado à descoberta do fenômeno 
batizado com seu nome: o efeito de Coriolis. 
No artigo “Sur les équations du movement relatif des systèmes de corps” (1835), 
Coriolis desenvolveu um princípio matemático para descrever o movimento dos 
objetos em relação a um referencial não inercial, em rotação uniforme, tal como a 
Terra. 
A descoberta de Coriolis permitiu explicar a circulação de ar em torno de um 
centro de altas ou baixas pressões com um deslocamento, cujo sentido é 
dependente do hemisfério onde se processa o fenômeno. Essa descoberta foi 
fundamental para o desenvolvimento das ciências atmosféricas. 
Desenvolveu ainda uma nova medida – o “dinamode” (que equivale a 1000 kg-m), 
e publicou as obras "Théorie mathématique du jeu de billard" (1835) e "Traité de la 
mécanique des corps solides" (1844) e escreveu diversos artigos científicos para o 
"Dictionnaire de l'industrie". Faleceu em 19 de setembro de 1843 em Paris, 
França. [1], [4] e [8]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 A FORÇA DE CORIOLIS 
 
Em meados de 1851, a comunidade científica e a Academia de Ciências da 
França possuíam duas opções plausíveis: aceitar o que Foucault havia provado 
por meio de suas teorias e experimentos ou provar a lei da cinética sem a 
utilização de equações ou derivações matemáticas. 
 
Em resposta à prova de Foucault, os matemáticos buscaram em teorias descritas 
e comprovadas a explicação do fenômeno do pêndulo de Foucault e os seus 
resultados. 
 
Até então, a maioria dos importantes matemáticos dos séculos XVII, XVIII e XIX 
havia publicado trabalhos que explicavam o fenômeno de reação do pêndulo 
sobre a rotação da Terra. Em vista disso, Gapaillard explicou o trabalho de 
Foucault e, com isso, causou uma divisão entre dois campos dentro da Academia 
de Ciências: de um lado, os analistas e do outro, os sintesistas. 
 
O primeiro grupo acreditava na matemática pura e na geometria, enquanto que o 
segundo grupo buscava explicações dos fenômenos em termos cinemáticos do 
movimento dos objetos, isto é, dos movimentos físicos. Entretanto, na 
interpretação teórica de Foucault, ambas as escolas não levaram em conta o 
trabalho e o conhecimento do físico francês Gaspard-Gustave Coriolis, que 
falecera oito anos antes da demonstração de Foucault. 
 
A força de Coriolis, também conhecida como aceleração de Coriolis, é uma 
tradicional derivação da coordenada de transformação e afeta os corpos em 
rotação. Ela é similar à outra força relacionada à rotação dos corpos: a centrífuga. 
Muitos cientistas as chamam de “forças fictícias”, visto que o corpo afetado por 
estas não é empurrado por algo material, porém, uma pessoa em rápida rotação 
sente a força centrífuga com sendo real. 
 
Na Terra, a força de Coriolis atua mudando a direção do movimento do corpo para 
a direita, no hemisfério norte e, para a esquerda, no hemisfério sul. Esta deflexão 
está presente desde a grande escala da circulação atmosférica, no 
desenvolvimento de furacões, tempestades e brisas marítimas, até em um simples 
torneio de baseball: uma bola rebatida horizontalmente a uma velocidade de 25 
m/s em uma distância inferiora 20 m, nos Estados Unidos da América, desviará 
em 1,5 cm para direita, devido à força de Coriolis. 
 
 A relação entre a aceleração e o vetor B, em um sistema de coordenadas fixas 
relativas para as estrelas (f) e o sistema (r) girando com a velocidade angular � é: 
 
 
 
 
 
 
O procedimento é para aplicar (1) primeiro para a posição do vetor r, quando para 
velocidade v é aplicada a velocidade vr. Combinando expressões e chegando a 
uma expressão para aceleração absoluta a, temos: 
 
 
 
Qual para um observador girando é composto ao observador à aceleração ar. A 
aceleração de Coriolis depende da velocidade e da aceleração centrífuga � x (� x 
r), qual somente depende da posição. Para um movimento horizontal dado, a 
deflexão mais forte está nos pólos e a deflexão não horizontal está no equador, 
para o movimento oposto vertical é verdadeiro, como mostra figura 4. 
 
 
 
Figura 3. Efeito da Força de Coriolis na Superfície Terrestre. 
 
Uma maneira simples de explicar a ação do efeito Coriolis, é tomar como exemplo 
uma pessoa em posição ereta sob o centro da superfície de um disco em rotação: 
se esta pessoa se mover no sentido da borda externa do disco, uma força na 
direção perpendicular do movimento do disco agirá sobre está pessoal. Esta é à 
força de Coriolis em ação. 
 
Tomando-se o mesmo exemplo, pode-se afirmar que o efeito Coriolis age das 
seguintes maneiras: se a superfície estiver girando no sentido anti-horário e a 
pessoa se mover para o lado interno da superfície, esta pessoa sentirá uma força 
a empurrando para o lado direito. Caso a superfície esteja girando no sentido 
horário, esta pessoa sentirá uma força a empurrando para o lado esquerdo. Figura 
5. 
 
 
 
Figura 4. Demonstração da força de Coriolis. 
 
 
O exemplo acima é claramente observado quando se coloca corpos em descanso 
sobre uma superfície em rotação. Todos os corpos sentirão uma força os 
impulsionando para fora e não o contrário. Tem-se a força centrífuga em ação. 
 
O conhecimento da força de Coriolis é de fundamental importância para a 
Engenharia, especificamente para a Mecânica, pois, todos os projetos de 
equipamentos mecânicos envolvem rotação. Na artilharia também é 
imprescindível, pois, as munições lançadas pelos canhões no hemisfério norte 
tendem a desviar para o leste e, contrariamente, as munições lançadas pelos 
canhões no hemisfério sul, tendem a desviar para o oeste. Na Engenharia 
Aeronáutica, o conhecimento da existência da força de Coriolis é de fundamental 
importância, como pode ser observado no exemplo abaixo: 
 
Exemplo: 
 
O planeta Terra completa uma rotação em 24 horas. A linha do equador possui 
aproximadamente 40234 km de circunferência. Quando uma pessoa está sob a 
linha do equador, ela estará se movendo a uma velocidade de 1677 km/h durante 
a rotação da Terra. A 27 graus, no sul do estado da Flórida, a velocidade desta 
pessoa será de aproximadamente 1497 km/h, e, em Barrow no Alasca, a 71 graus 
norte, sua velocidade será de 547 km/h. Exatamente no Pólo Norte, a velocidade 
será igual a zero. Um avião, que voa do sul da Flórida com destino a Barrow, terá 
que adicionar 950 km na direção leste em seu plano de vôo. Esta diferença é 
devido à diferença de 1497 e 547 km, e existe porque a Terra cessa seu 
movimento de rotação. 
 
Conclui-se, portanto, que é inteiramente plausível a utilização do efeito de Coriolis 
para explicar a oscilação do pêndulo de Foucault. [1], [4], [8], [9] e [13] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 PÊNDULO DE FOUCAULT 
 
O Pêndulo de Foucault, assim chamado em referência ao físico francês Jean 
Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação 
da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis. 
A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do 
Panthéon em Paris. 
 
A originalidade do pêndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilação em 
qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação deste se dá com 
a rotação da Terra e sua velocidade e direção de rotação permitem, igualmente, 
determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação 
astronômica exterior. 
 
Princípio 
 
Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo, este 
oscilará sempre no mesmo plano em relação a este ponto, no entanto, a Terra gira 
em torno dele, o que é previsto e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo. Em um 
referencial habitual é o pêndulo que irá sofrer uma rotação. 
 
O pêndulo deve ser inicialmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período 
de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude 
local. 
 
Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequena 
para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloque horizontalmente. 
Notemos Oxy pelo plano horizontal, com O sedo a posição da massa no repouso, 
Ox o eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo) e Oy dirigido 
para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical dirigido 
para cima. 
 
Caso do Pêndulo Simples 
 
Sem se levar em conta à rotação da Terra, as equações do movimento são as do 
pêndulo simples, sistema 1, ou seja: 
 
 Sistema 1. 
 
 
Onde � é a oscilação própria do pêndulo simples, equação 1, ou seja: 
 
 
 Equação 1. 
Onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. 
 
A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma 
velocidade V0 segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é: 
 
Sistema 2. 
 
Caso do pêndulo de Foucault 
 
Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis, 
equação 2: 
 
 Equação 2. 
 
Onde, 
 
 é a velocidade do pêndulo 
é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre 
 � a velocidade de rotação angular da Terra 
 
Essa velocidade de rotação � é muito menor que a oscilação própria � do 
pêndulo. 
 
Se nos encontramos à latitude �, então o vetor tem como componentes no 
referencial Oxyz: 
 
 . 
 
 
 tem como componentes , de modo que a aceleração de Coriolis terá os 
 
componentes . 
 
As equações de movimento no plano Oxy tornam-se: 
 
 Sistema 3. 
 
Supõe-se ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V0 
no eixo Ox, então se pode verificar que as soluções x e y do sistema diferencial 
são tais que: 
 
 Sistema 4. 
 
Com: 
 Equação 3. 
 
Pode-se escrever que: 
 
 
 
Interpretação e comparação 
 
A quantidade exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com 
uma pulsação própria �0 ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas 
como � é muito pequeno em comparação com �, a diferença entre � e �0 é muito 
pequena. 
 
Mais remarcável, a oscilação se dá segundo a direção que 
roda lentamente segundo a pulsação �sin (�). [1], [2], [4], [8], [9], [12], [13] e [14]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 DEMONSTRAÇÃO NA UNISANTA 
 
A figura (Figura 1) nos traz a latitude que se encontra a cidade de Santos, os pólos 
sul e norte, a linha do equador, com estes dados e utilizando-se da Lei dos Senos, 
pode-se demonstrar o círculo descrito pela oscilação do pêndulo que será 
construído na Universidade Santa Cecília – UNISANTA. 
 
. 
 
 
Figura 5. Pêndulo de Foucault na Universidade Santa Cecília. 
 
 
Considerando a velocidade relativa do movimento no extremo sul e o extremo 
norte do circulo descrito com raio r como é mostrado na figura 
 
Considerando a inclinação da Terra, o extremo sul émais distante da linha central 
de rotação da Terra, e conseqüentemente, se moverá mais rapidamente do que o 
extremo norte. 
 
Fazendo � a velocidade angular da Terra e R o raio da Terra, utilizando 
trigonometria básica, observamos na figura que o centro do círculo se move com 
velocidade �R cos�, onde �=latitude de Santos (23 graus 56’ 26” Sul). 
 
Observando na figura, que o ponto mais ao norte se move com velocidade �R 
cos� + �r sen�, analogamente, o ponto mais ao sul, se move com velocidade �R 
cos� – �r sen�. 
 
A diferença entre a velocidade de qualquer um destes dois pontos e a velocidade 
do centro do círculo é �r sen�. 
 
Se o pendulo inicia seu movimento no plano norte-sul, a componente leste-oeste 
da velocidade será semelhante à velocidade do centro do círculo. A circunferência 
do circulo, como nós sabemos, é igual a 2 � r. 
 
Assim o período para o circuito completo será por volta de: 
 
T = 2 � r / �r sen� = 24 horas/ sen�, porque � = 2 � / 24 horas, desde que a 
Terra realize uma volta completa em 24 horas. [1], [2], [3] e [10] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 RECONSTRUÇÃO E MATERIAIS 
 
Para demonstração da existência da Força de Coriolis, será realizada a 
construção, com os conhecimentos adquiridos ao longo do curso de graduação 
em Engenharia Mecânica, de uma estrutura, que será utilizada como base para 
um pêndulo e, com a oscilação deste pêndulo, a ação da força de Coriolis. 
 
Para tornar possível a realização da experiência e do objetivo proposto, o projeto 
foi dividido em xxx partes, as quais estão descritas abaixo: 
 
6.1.1 Primeira Parte: Observação de experiências já realizadas 
 
Vide vídeos no Compact Disc em anexo. 
 
6.1.2 Segunda Parte: Idéias 
 
 
Figura 6. Idéias e projetos parciais. 
 
 
 
 
6.1.3 Terceira Parte: Projeto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Perspectiva do projeto final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Visualização em 3D do projeto final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.4 Quarta Parte: Cálculos – Método dos Elementos Finitos 
 
Grande parte dos problemas de engenharia pode ser formulada através dos 
princípios gerais da Mecânica do Contínuo. Este ramo da mecânica trata a matéria 
como sendo um meio contínuo, ou seja, sem vazios interiores, desconsiderando 
sua estrutura molecular. Este conceito permite a definição do ponto geométrico 
(de volume igual a zero), por um limite matemático tal como a definição de 
derivadas no cálculo infinitesimal, isto é, na mecânica do contínuo os princípios 
físicos são descritos sob a forma de equações diferenciais. 
 
A primeira etapa do processo de modelagem computacional de um fenômeno 
físico consiste na identificação dos fatores que influenciam de maneira relevante 
no problema, ou seja, no caso do Pêndulo de Foucault, os fatores influenciáveis 
são: 
 
- Geometria da barra de sustentação; 
- Material de construção da sustentação; 
- Posicionamento (ângulo) da barra de sustentação (estrutura); 
- Carga (Peso) sustentada pela estrutura. 
 
Como critério de cálculo para a análise estrutural para o projeto do pêndulo 
proposto, foi utilizado o critério de von Mises. 
 
O critério de von Mises, estabelece que a energia da distorção é a magnitude 
determinante no fenômeno de plastificação, ou seja, na deformação plástica. 
Assim sendo, o escoamento do material se inicia quando a energia de deformação 
atinge um valor crítico. 
 
Com o auxílio do software CosmosWorks, foram realizadas as análises 
construtivas estruturais para o pêndulo proposto, ou seja, realizou-se uma análise 
do comportamento dos materiais e componentes que serão utilizados na 
montagem (vide lista de materiais, página 29). 
 
Para o peso suportado pela estrutura foi considerado o peso de 120 N do pêndulo 
mais o peso dos componentes, que foi superestimado em 50% do peso do 
pêndulo, ou seja, para o conjunto pêndulo + componentes o peso total utilizado 
nos cálculos é de 180 N 
 
Para as características geométricas da estrutura, do peso a ser suportado pela 
estrutura, pelo critério de von Mises e para um número de 13656 nós – gerados 
pelos próprio software utilizado na análise, os resultados obtidos foram: 
 
- Coeficiente de Segurança mínimo = 1,7E4 (Figura 9). 
- Local com maior esforço exigido em todas as barras = 5,46m (Figura 10). 
- Tensão de Ruptura máxima = 1,68E4 N/m2 (Figura 11). 
 
 
1 - Carga axial: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Perspectiva de aplicação da carga axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Deformação após aplicação da carga axial por Von Mises: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial por Von Mises. 
 
 
 
 
 
 
3 – Carga axial e tangencial por Von Mises: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial e tangencial por Von Mises. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.5 Quinta Parte: Materiais 
 
-Barra de Perfil Tubular Quadrado em Aço Carbono SAE 1020 
 
Dimensões e Características: 
 
l (comprimento) = 6m 
h (altura) = 25mm 
e (espessura) = 1,5mm 
E (módulo de elasticidade) = 2,05E11 N/m2 
�esc (tensão de escoamento) = 2,83E8 N/m2 
�rup (tensão de ruptura) = 4,25E8 N/m2 
 
 
Figura 12. Perfil tubular quadrado. 
 
A escolha do perfil tubular quadrado deu-se pelo motivo de suas características e 
propriedades mecânicas serem semelhantes as do perfil sólido de quadrado, 
porém com peso específico e custo menor. 
 
-Rolamento Autocompensador Axial 
 
Características e Dimensões: 
 
NSK Rolamento Axial de Esfera – Diâmetro Série I e Dimensão Série II 
Di (diâmetro interno) = 10mm 
De (diâmetro externo) = 24mm 
 
 
Figura 13. Rolamento autocompensador – vista perfil. 
A função do rolamento autocompensador axial é de não deixar o fio de nylon rodar 
no seu próprio eixo, evitando assim a perda de energia, além de permitir o livre 
movimento do pêndulo. 
 
-Bola de Boliche 
 
Peso 120N 
 
Figura 14. Bola de Boliche. 
Com o objetivo de deixar o fio totalmente esticado durante a oscilação e por 
oferecer uma menor resistência ao ar. 
 
- Pino de Aço Carbono SAE 1020 
 
Dimensões e Características Construtivas: 
 
 
Figura 15. Pino de Aço. 
 
Possui o objetivo de suportar o suportar o peso do pêndulo, fixação do fio de nylon 
e operar rotacionalmente com o rolamento. 
 
-Fio de Nylon 
 
O fio escolhido para o experimento foi o que possui diâmetro de 0,43mm para 
carga de 30 lb, aproximadamente 13 kg.[11] 
 
-Chapa de Aço Carbono SAE 1020 
 
Dimensões e Características: 
 
D (diâmetro) = 500mm 
e (espessura) = ½” ou 12,7mm 
 
Possui o objetivo de manter as barras da estrutura afastadas e sustentar / apoiar o 
peso e o rolamento autocompensador axial. [5], [7], [10] e [11]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 CONCLUSÃO 
 
 
O Pêndulo de Foucault representa não só um dos maiores experimentos físico 
realizados até hoje, representa também a possibilidade de inúmeros estudos 
relativos a sua construção e aos fenômenos físicos nele contido. 
 
Através de uma simples visita a sua sala no Phantéon, em Paris, o visitante 
percebe o quantidade de segredos que ainda existem no universo e o quanto a 
física, engenharia e matemática podem nos ajudar nas suas descobertas. 
 
Acuriosidade pelo entender como o universo e as leis que o regem funcionam 
influenciaram os pesquisadores, físicos, matemáticos e engenheiros do passado, 
e está mesma curiosidade é o que deve motivar os engenheiros atuais e das 
próximas gerações. Afinal a engenharia também pode ser definida na ciência que 
transforma um bem natural em um bem de consumo, visando criar facilidades e 
conforto aos homens. 
 
Com o auxilio de conceitos físicos e matemáticos de séculos passados e com o 
auxílio das facilidades computacionais criadas a partir deste conhecimento 
primário, o grupo conseguiu atingir seu objetivo no que se refere ao projeto básico 
para reconstrução da experiência realizada por Foucault. Com os conhecimentos 
adquiridos ao longo do curso, principalmente, nas disciplinas de Física, 
Resistência dos Materiais e Mecânica de Vibrações ministradas pelos mestres, 
respectivamente, Marcelo (FEI/UNISANTA), Morila (UNISANTA/UNIP) e Rodolfo 
Molinari (UNISANTA/POLI-USP), de Engenharia Mecânica, o grupo conseguiu 
dimensionar, quantificar e qualificar os materiais que podem ser utilizados na 
construção do projeto. 
 
Como resultados obtidos nas análises estruturais e dimensionais realizadas pelo 
Método dos Elementos Finitos, já apresentadas (vide páginas 25 a 28), chega-se a 
conclusão que o material escolhido, as forças propostas, os pinos e rolamentos 
dimensionados, suportam, com alta tolerância numérica, o projeto proposto. 
 
Com estás conclusões o Projeto do Pêndulo de Foucault pode ser construído com 
segurança estrutural e de funcionamento no campus da UNISANTA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 ANEXOS 
 
8.1 ANOMALIAS NO PÊNDULO DE FOUCAULT 
 
(Extraído e traduzido do site www.elmundo.es/ciencia/pendulo - acessado em 21 de outubro de 
2006) 
Os cientistas registraram durante o eclipse solar da última quarta-feira, uma 
variação no movimento do pêndulo instalado no Monastério de Kremsmünster. 
A Agência Espacial Norte Americana, NASA, não saberá antes de 10 anos se o 
eclipse afetou o pêndulo de Foucault. 
A NASA realizou na quarta-feira, uma experiência com um resultado, em uma 
primeira e rápida análise, surpreendente. No monastério austríaco de 
Kremsmünster, próximo a Linz, cientistas de diversas partes do mundo viram 
como o pêndulo de Foucault variava seu movimento durante o eclipse total do sol 
na última quarta-feira. 
No ano de 1851, o inventor do pêndulo, Jean Bernard Léon Foucault, demonstrou 
que um pêndulo pode oscilar na mesma velocidade de rotação da Terra. 
O pêndulo, que neste local, se move com uma oscilação de 11 graus, em um 
determinado momento, o pêndulo moveu-se com uma velocidade mais rápido que 
o normal. Cientistas renomados neste assunto foram consultados por este jornal, 
disseram que os resultados precisam ser cuidadosamente analisados, pois se esta 
variação na oscilação for confirmada, as leis da física poderiam vir a serem 
revistas. 
A NASA questiona: Terão os eclipses solares provocados alguns efeitos sobre o 
pêndulo de Foucault? 
Em 1954, Maurice Allais, afirmou que o pêndulo de Foucault mostrou um 
comportamento peculiar durante um eclipse do Sol ocorrido naquele ano. “Se o 
fato ocorrido for confirmado, nós estaremos diante de novas questões em torno 
deste fenômeno”. 
Afirma também que o mais indicado para verificar tal fenômeno seria aproveitar o 
escurecimento do meio-dia no próximo eclipse solar a ser realizado em 11 de 
agosto, para verificar se as teses lançadas por Allais se correspondiam com a 
realidade. 
No Futuro – A quarta-feira, o eclipse total do Sol sobre o monastério de 
Kremsmüster, localizado no estado de Alta Áustria, alcançou graduação de 
sombra de 102,8%. A sensação deste ponto de observação era que a Lua estava 
maior que o Sol. 
O meteorologista austríaco Georg Zapletal, dedicado na investigação, foi o 
primeiro a anunciar o fenômeno: “Ocorreu algo extraordinário”. Por quê? “Não 
temos nenhuma explicação ortodoxa que revele a razão deste fenômeno.” 
Nenhum dos cientistas acreditava na possibilidade de mudança da oscilação do 
pêndulo, porque, como é sabida, a oscilação obedece exclusivamente à força da 
gravidade, e não tem nada a ver com a Lua que se interponha ou não entre o Sol 
e a Terra, segundo informa Mônica Fokkelman. 
A NASA possui um vídeo gravado com o ocorrido em Kremsmünster. O vídeo foi 
enviado aos laboratórios da Agência Espacial Americana no estado de Alabama. 
Em sua informação sobre o fenômeno estudado, os norte-americanos disseram 
que: “Sendo bastante otimista, isto levará uma década para decifrar quais são as 
razões que fazem variar o movimento do pêndulo de Foucault durante um eclipse 
total do Sol”. 
Mais Elementos – Mas a investigação não conta com todos os elementos 
imprescindíveis para dar-se por concluída. Os cientistas querem averiguar um a 
um todos os aspectos, mas primeiro se, esta variação no movimento do pêndulo 
ocorreu somente na zona do eclipse, que ocorreu no centro da Europa e parte da 
Ásia ou se, pelo contrário, se produziu em todo o mundo durante o tempo que 
durou este fenômeno. Segundo, deve-se realizar uma nova observação nos 
próximos quinze dias, quando a Lua sem encontra no ponto oposto ao que estava 
no momento do eclipse. 
A origem desta investigação, como já foi dito, está na mente de Maurice Allais, 
que já plantou a possível influência destes afagues sobre o pêndulo. “Durante os 
eclipses totais do Sol em 30 de junho de 1954 e de 22 de outubro de 1959, 
observou desvios no plano de oscilação do pêndulo.” Allais, que nasceu em 1911, 
ganhou o Prêmio Nobel de Economia em 1988. 
As observações de Allais tiveram reconhecimento mundial, e este economista foi 
homenageado em 1959 com o Prêmio Galabert da Sociedade Astronômica da 
França e condecorado pela Fundação de Gravidade dos Estados Unidos. 
As suas primeiras observações se realizaram sucessivos experimentos para tratar 
de confirmá-las. Na Escócia (1954) e na Itália (1965) não se obtiveram resultados 
satisfatórios. Em Boston (1970), o efeito descrito por Allais se repetiu. O mesmo 
se sucedeu na Romênia em 1981. Nada de positivo se provou na Finlândia (1990) 
e no México (1991). [3]. 
 
 
9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
[1 ACZEL, Amir D. Pendulum, Léon Foucault and the Triumph of Science, 1 
ed. Atria Books, New York, 2003 – ISBN: 0-7434-6478-8 
 
[2] An Applied Physicist. Devorak Rudolf. França. Disponível em: 
<http://www.obspm.fr/~expositions//L.Foucault/intro.html> Acessado em: 12 de 
outubro de 2006. 
 
[3] Anomalías en el péndulo de Foucault. El Mundo. España. Disponível em: 
<http://www.elmundo.es/ciencia/pendulo/> Acessado em: 21 de outubro de 2006. 
 
[4] Coriolis. Inglaterra. Disponível em: 
<http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Coriolis.html> Acessado: 
em 02 de novembro de 2006. 
 
[5] Chumbadores. Brasil. Disponível em: 
<http://www.bonier.com.br/chumbadores.htm> Acessado em 30 de outubro de 
2006. 
 
[6] Foucault. Wikipedia. Brasil. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_de_Foucault_%28experi%C3%AAnci
a%29> Acessado em: 12 de outubro de 2006. 
 
[7] Furukawa, Cláudio H; Sano, Walter. Pêndulo de Foucault para Demonstração 
da Rotação da Terra. Ensino da Física, 13. p. 2-11, dezembro de 1991. 
 
[8] Jean Bernard Léon Foucault. Wikipedia. USA. Disponível em: 
<http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9on_Foucault> Acessado em: 08 de 
setembro de 2006. 
 
[9] Physics. USA. Disponível em: 
<http://www.physics.ohio-state.edu/%7Edvandom/Edu/newcor.html> Acessado: 
em 13 de novembro de 2006. 
 
[10] Sartarelli, José Carlos. Pêndulo de Foucault. Ciência e Cultura, 41. p. 318, 
junho de 1989. 
 
[11] Tabelas de Seleção de Fios. Brasil. Disponível em: 
<http://www.pesca.com.br/mundodapesca/equipamentos/linhas.htm> Acessado 
em: 30 de outubro de2006. 
 
[12] TECHINIQUES, Museé National. The Foucault Pendulum at The Phantéon, 
Paris, France. 
 
[13] TOBIN, Willian. The Life and Science of Léon Foucault. The Man who 
Proved the Earth Rotates, Cambridge University Press, 2003 – ISBN: 0-521-
80855-3. 
 
[14] TOBIN, Willian. Léon Foucault. Le Miroir et le Pendule, EDP-Sciences, Les 
Ulis, France, 2002 – ISBN: 2-86883-615-1