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3 Método das Forças - Problemas 1 3 Método das Forças - Problemas Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuição do esforço transverso, excepto quando expressamente indicado. Problema 3.1 Determine, pelo Método das Forças, os diagramas de esforços na estrutura indicada. Despreze a deformabilidade das barras por esforço transverso. Considere EA = 3.6× 106 kN e EI = 48× 103 kNm2. 10 kN/m 4 m2 m 2 m 3 m 16 kN C D B A E Problema 3.2 Recorrendo ao Método das Forças calcule a rotação relativa em C para o carregamento indicado na figura. Admita que é desprezável a deformabilidade axial das barras e que todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2 m1 m 1 m3 m 3 mA B 4 m 4 kN/m C 10 kNm 5 kN D 10 kNm 5 kN 3 Método das Forças - Problemas 2 Problema 3.3 Considere a estrutura representada na figura em que a rigidez à flexão, EI , é constante para todas as barras excepto a da barra CD de rigidez infinita. Para as deformações axiais adopte a rigidez EA = 10EI . Recorrendo aoMétodo das Forças determine a distribuição de esforços devido a acção isolada de cada uma das solicitações indicadas: 10 kN 5 kN/m 3 m 4 m A C D B a) solicitação representada na figura; b) variação da temperatura na barra CD constante na altura da barra e com variação linear ao longo do eixo da barra, sendo o valor máximo em tC = +10 ◦C e tD = 0 ◦C. Adopte um coeficiente de dilatação térmica α = 10−5/◦C. c) assentamento vertical (para baixo) no apoio A de 5 cm. Problema 3.4 Considere a estrutura representada na figura. Aplicando o Método das Forças determine os diagramas de esforços. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4.0 × 102 kNm2 e k = 5EI kNm. Considere apenas as deformações por flexão. 3 Método das Forças - Problemas 3 3 m 3 m C D F E G B 3 m 3 m A k 8 kN/m 8 kN/m Problema 3.5 Considera a estrutura representada na figura, em que todas as barras têm as mesmas características: secção rectangular de 0.4 m de altura, inércia à flexão EI e deformação axial EA = 10EI constantes. 3 m 3 m 20 kN/m A B C D Determine: a) os diagramas de esforços e o deslocamento do nó C para o carregamento representado. b) os diagramas de esforços para uma variação de temperatura uniforme ao longo da barra CD e variação linear na secção sendo a temperatura interior ti = −10◦C e exterior te = +5◦C. Adopte um coeficiente de dilatação térmica α = 10−5/C. 3 Método das Forças - Problemas 4 Problemas Propostos - Método das Forças Problema 3.6 Considere a estrutura representadas na figura: !! ! ! ! !! !! 4 m 3 m a) 20 kN/m D A 4 m B EI = const. AC axialmente indeformavel I/A = 0.1 m2 b)∆ = 3 cm C c) θ = 2◦ Determine a distribuição de esforços na estrutura e o deslocamento do ponto B devido a: a) uma carga uniformemente distribuída p = 20 kN/m; b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm. b) uma rotação de θ = 2◦ em C representada na figura. Problema 3.7 Considere a estrutura representada na figura: + 0.20 m tB im = +20◦C tBem = −20 ◦C Secção B: 4 m C 6 m 3 m D A 30◦ B 10 kN/m k ABC: α = 10−5 ◦/C h = 0.2 m BD: EA = 10EI0 kN k = 4EI0 kN/m EI = EI0 kNm2 EA→∞ Determine a distribuição dos esforços na estrutura devido ao momento aplicado no nó B e a variação de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixo da barra e diferencial na altura da secção com valor máximo na secção B de ti = +20 ◦ C e te = −20◦ C (como mostra na figura). 3 Método das Forças - Problemas 5 Problema 3.8 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuição de esforços na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotação em D devido a: 4 m 2 m 2 m B C A 4 m 4 m D C b)∆ = 5 cm α = 10−5 /◦C BD: A = 10I0 m2 AC,BC: EA→∞ EI0 = const. 30 ◦ a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na secção de +20◦ C nas barras BC e BD e variação uniforme ao longo da barra e diferencial na secção da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30◦ C na fibra superior e de −30◦ C na fibra inferior; b) um assentamento vertical de ∆ = 5 cm no apoio C; Problema 3.9 Para a estrutura e acção representadas na figura, determine a distribuição de esforços e trace a deformada aproximada: !! !! !! 10 kN/m B D C 4 m 1 m 1 m 20 kN EA = const. EI = const. I/A = 0.1 m2 4 m A 3 Método das Forças - Problemas 6 Problema 3.10 Para a estrutura e acção representadas na figura, determine: ! ! ! ! ! !! !! !! 10 kN/m EA = 4EI0 A 3 m D B k = EI0 CEI0 2 m 2 m 4 m EI0 50 kN a) a distribuição de esforços em todas as barras. b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotação em A. Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmente indeformável. Problema 3.11 Considere a estrutura representadas na figura: ! ! ! !!! + 3 m AB: EI = 4EI0 kNm2 EA =∞ BC: EI = 2EI0 kNm2 EA = 30EI0 kN b) +20◦C 0.30 m 3 m A B C a) p c) ∆ = 6 cm α = 10−5 ◦/C Determine a distribuição de esforços na estrutura e os deslocamentos do ponto B devido a: a) uma carga uniformemente distribuída p = 20 kN/m; b) uma variação de temperatura na barra AB, constante ao longo do eixo da barra e com variação linear na altura da barra, representada na figura b) c) assentamento vertical no apoio C de 6 cm. 3 Método das Forças - Problemas 7 Problema 3.12 A viga do caminho de rolamento de uma grua de um cais marítimo é construída por vários troços de 4 tramos apoiados em 5 estacas de betão trabalhando por resistência de ponta. Utilizando o modelo de cálculo representada na figura e considerando um carregamento uniformemente distribuído nos 2 tramos centrais, determine os esforços finais na estrutura. 8 m 8 m 8 m 8 m 200 kN/m A B C D E E = 30.5 GPa k EI I = 25× 106 cm4 k = 16× 105 N/cm a) Resolver o problema tomando em conta a simetria; b) Resolver o mesmo problema substituindo as molas por 4 apoios simples e um apoio fixo e comparar os resultados; c) Nas condições da alínea a) qual é o deslocamento do ponto C? Problema 3.13 Considere o pórtico representada na figura: !!! !!! !!! + 3 m 3 m5 m 5 m 2 m 4 m ABCDE: EI = const kNm2 EA =∞ α = 10−5 ◦/C h = 0.40 m BD: EA = 10EI kNB C D EA c) 2∆ b) 2∆ a) BC: 2∆◦C 0.40 m Determine os diagramas de esforços na estrutura devido: a) a uma variação da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo da barra e variação linear na altura da secção como mostra na figura a) b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a 2∆, figura b); c) a um assentamento do apoio E vertical igual a 2∆, figura c) 3 Método das Forças - Problemas 8 Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria. Problema 3.14 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representada na figura: !!! !!! 12 m 12 m 12 m 12 m 100 kN/m 16 m 8 m E2A2 E1I1 E1I1 E2A2 = 2 m2 Admita que os cabos estão pré-esforçados com um valor suficiente, de modo que o seu esforço total nunca seja de compressão. Admita ainda que é desprezável a deformabilidade axial do tabuleiro e da torre. a) Determine a parcela simétrica e anti-simétrica do carregamento b) Trace os diagramas de momento flector e de esforço axial para a parcela anti-simétrica do carregamento indicado.
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