Probest_Reinaldo C.Souza_Aula_1

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reinaldoreinaldo@@ele.pucele.puc--rio.br ing.jdhernandez@gmail.comrio.br ing.jdhernandez@gmail.com
street@ele.pucstreet@ele.puc--rio.br jjampinho@gmail.comrio.br jjampinho@gmail.com
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PROBESTPROBEST
Aula 1Aula 1
Reinaldo Castro Souza, Reinaldo Castro Souza, PhDPhD
Alexandre StreetAlexandre Street
José Daniel Hernández Vásquez, Monitor José Daniel Hernández Vásquez, Monitor 
José Aguinaldo M.Pinho, AuxiliarJosé Aguinaldo M.Pinho, Auxiliar
2014.22014.2
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 2
Nota Nota –– Instalação das Instalação das 
Ferramentas de Análise do ExcelFerramentas de Análise do Excel
 Muitas das técnicas descritas aqui requerem a prévia 
instalação do suplemento (“add-in”) “Ferramentas de 
Análise” do Excel. O procedimento de instalação é 
descrito a seguir:
 No menu Ferramentas, selecione “Suplementos” e na 
caixa de diálogo que será aberta marque a opção 
“Ferramentas de análise”. Se esta opção não estiver 
presente, clique “procurar” para encontrar o arquivo 
correspondente (em geral chamado Analys32.xll) ou 
rode novamente o “set-up” do MS-Office.
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Aula 1Aula 1
 Estatística Descritiva
 Definições básicas – Introdução à 
Probabilidade 
 Probabilidade
 Espaço amostral
 Eventos
 Propriedades das probabilidades
 Probabilidade Condicional
 Independência
 Teorema de Bayes
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Estatística Descritiva
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 5
Prá que serve estatística?Prá que serve estatística?
 Porque nos permite entender e lidar com a idéia
de variabilidade.
 Um exemplo típico é:
 Produção de parafusos. Uma fábrica produz
parafusos, que devem ter diâmetros dentro de
certas especificações.
 Ao medirmos os diâmetros de 100 parafusos
produzidos, selecionados ao acaso, existirão
variações individuais.
 Estas variações são importantes? Até que ponto
as variações observadas são aceitáveis?
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 6
EstatísticaEstatística
 Em geral um número em Estatística não é apenas
um número! A ele associamos uma medida de
incerteza ou variabilidade.
 População e Amostra
 População = coleção de todos os elementos cujas
características desejamos conhecer. Os elementos (ou
"indivíduos") na população não são necessariamente
pessoas!
 Amostra = subconjunto da população cujas características
serão medidas. A amostra será usada para descobrir
características da população.
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ExemplosExemplos
1) População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro
Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso)
Característica de interesse: percentual de eleitores que
planejam votar num candidato X nas próximas eleições.
2) População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e
2002
Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os 
sujeitos a “recall” das montadoras
Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro 
respondeu ao chamado de “recall” da fábrica
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ExemplosExemplos
3) População = todos os domicílios com TV na 
cidade do Rio de Janeiro
Amostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao
acaso
Característica de interesse = percentual de 
audiência de cada emissora de TV num certo dia
da semana no horário de 18 às 22 horas.
Em resumo:Em resumo: A partir de uma amostra coletamos A partir de uma amostra coletamos 
informações que nos permitinformações que nos permitemem aprender alguma aprender alguma 
coisa interessante sobre a população.coisa interessante sobre a população.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 9
Por que fazer isso?Por que fazer isso?
 É economicamente eficiente!É economicamente eficiente! Os custos 
são infinitamente mais baixos que os de 
amostrar a população inteira (“censo”).
 Pode-se provar que, para populações
muito grandes, uma amostra de cerca de
600 ou 1000 "indivíduos" fornece
resultados bastante confiáveis sobre as
características da população.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 10
E agora?E agora?
 Você coletou uma amostra e, dentro desta 
amostra você coletou dados numéricos 
(por exemplo, o consumo médio mensal 
em kWh dos domicílios numa certa área 
da cidade). O que fazer com isso?
 Existem 2 possibilidades:
 Você pode simplesmente descrever estes dados 
numéricos através de gráficos e tabelas. Isto é chamado 
de estatística descritivaestatística descritiva. A maioria das pesquisas de 
mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito 
importante. 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 11
E agora?E agora?
 Você pode tentar tirartirar conclusõesconclusões sobre
as características da população a partir
dos dados observados na amostra.
 Isso se chama estatísticaestatística inferencialinferencial (ou
simplesmente estatística!). Para que a
gente consiga fazer isso, é necessário ter
uma noção bastante abrangente de
Probabilidades.
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E agora?E agora?
 Na verdade, a estatística descritiva surgiu
muito antes da estatística inferencial.
 Esta última depende da especificação de
modelos matemáticos baseados numa
noção fundamental, que é a de
"probabilidade".
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Estatística descritivaEstatística descritiva
 Gráficos ("A picture is worth one thousand words")
 Histograma
 Diagramas de Pareto
 Gráficos de dispersão, gráficos da variável ao longo do
tempo, gráficos de barras, etc...
 Medidas Numéricas
 Média amostral
 Mediana amostral
 Desvio padrão amostral
 Variância amostral
 Assimetria e Curtose amostrais
 Percentis
 Covariância, Correlação amostrais
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Alguns gráficos da evolução de Alguns gráficos da evolução de 
variáveis ao longo do tempovariáveis ao longo do tempo
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Eficiência média de geração de Eficiência média de geração de 
usinas termelétricas (2011usinas termelétricas (2011--2013)2013)
Fonte: Eletrobras
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Consumo Total Energia ElétricaConsumo Total Energia Elétrica
Jan/1979 a Ago/2006Jan/1979 a Ago/2006
Consumo de Energia Elétrica - Total Brasil (GWh) - Fonte: Eletrobrás
7,000
12,000
17,000
22,000
27,000
32,000
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EXEMPLO: EXEMPLO: Preços de Petróleo Preços de Petróleo 
Brent e WTI Brent e WTI –– dados diários dados diários ––
02/01/1991 a 03/11/200602/01/1991 a 03/11/2006
Preços de Petróleo (US$/Barril) - Janeiro de 2000 a Novembro de 2006
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6
Petróleo WTI Petróleo Brent
monica@monica@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 18
EXEMPLO:EXEMPLO: IPCIPC--FFIPEIPE
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 19
EXEMPLO:EXEMPLO: IPCIPC--FFIPEIPE
 No gráfico anterior exibimos o IPC-FIPE (o Índice de 
Preços ao Consumidor da FIPE, um dos mais 
importantes índices de inflação com suas 
estimativas quadrissemanais) no período entre 
01/1995 e 10/2006.
 As prévias quadrissemanais servem como 
indicadores da inflação do próximo mês medida 
pelo IPC-FIPE.
 No próximo gráfico exibimos os valores (01/2002 a 
10/2006) do IPC-FIPE. 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 20
IPCIPC--FFIPE IPE -- Janeiro de 2002 Janeiro de 2002 
a 10/2006a 10/2006
Inflação FIPE (% a.m)- 01/2002 a 10/2006
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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6
INFLAÇÃO - IPC - FIPE (% a.m.)
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IBOVESPA Diário IBOVESPA Diário –– Julho de 1994 aJulho de 1994 a
a a 06/08/200406/08/2004
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 22
IBOVESPA Diário IBOVESPA Diário –– Julho de 1994 aJulho de 1994 a
a a 06/08/200406/08/2004
 Parece que a bolsa subiu muito durante 
quase todo o Plano Real.
 Será que isso é mesmo verdade?
 Veja o próximo gráfico, em que 
comparamos o IBOVESPA em R$ e US$.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 23
IBOVESPA Diário IBOVESPA Diário –– Julho de 1994 aJulho de 1994 a
a a 06/08/200406/08/2004
IBOVESPA em Pontos em Reais e Dólares
2000.00
5000.00
8000.00
11000.00
14000.00
17000.00
20000.00
23000.00
26000.00
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IBOVESPA em Dólares IBOVESPA em R$
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Gráfico de Dispersão Gráfico de Dispersão 
(uma variável versus outra)(uma variável versus outra)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 25
Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e DólarIBOVESPA e Dólar
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 12/06/2003
y = -3830.7x + 24366
R
2
 = 0.8954
9,000
9,500
10,000
10,500
11,000
11,500
12,000
12,500
13,000
13,500
14,000
14,500
2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90
Neste período parece fazer sentido 
ajustar uma reta e poderíamos 
estipular um modelo que pudesse 
prever o IBOVESPA em função da 
taxa de câmbio
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 26
Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e Dólar IBOVESPA e Dólar ––
incorporação de novos dadosincorporação de novos dados
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 02/03/2004
y = -10612x + 48010
R
2
 = 0.4532
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
22,000
24,000
26,000
2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90
Claramente, um modelo linear não é mais 
apropriado quando levamos em consideração os 
novos dados (entre junho de 2003 e março de 
2004) - OU SEJA: O MODELO MUDOU!
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 27
Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e Dólar IBOVESPA e Dólar ––
incorporação de novos dadosincorporação de novos dados
 Por que o modelo anterior não funciona?
 No período entre junho de 2003 e março 
de 2004 o dólar permaneceu praticamente 
estável, enquanto o índice Bovespa subiu 
consideravelmente, como podemos 
verificar no próximo gráfico.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 28
Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e Dólar IBOVESPA e Dólar ––
incorporação de novos dadosincorporação de novos dados
IBOVESPA - 10/12/2002 a 02/03/2004
9,000
11,000
13,000
15,000
17,000
19,000
21,000
23,000
25,000
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04
Junho de 2003
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 29
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 Dados:Temperatura máxima mensal (média das 
máximas diárias) na estação de Santa Cruz (Rio 
de Janeiro) entre Jan/1982 e Dez/1991.
 O que fazer com todos estes 120 números?
 A coisa mais sensata é fazer um gráfico da
temperatura versus o índice de tempo (mês e
ano). Este gráfico vai revelar o óbvio, isto é, que
as temperaturas no verão são mais altas que no
inverno!
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 30
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 Além disso, a gente vai perceber que
existe um comportamento sazonal nos
dados, ou seja, dentro de cada ano a
evolução da temperatura se repete mais
ou menos da mesma maneira.
 O gráfico também nos dá uma idéia do
quanto a temperatura está variando em
todo o período. Por exemplo, pode-se
verificar que a temperatura máxima nestes
10 anos está sempre acima de 22 graus.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 31
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
Temperaturas Máximas - 1982 a 1991
23
25
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29
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33
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ja
n/
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1
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1
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 32
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 OO gráficográfico éé muitomuito útil,útil, masmas certamentecertamente nãonão
“conta”“conta” todatoda aa informaçãoinformação ........
 Por exemplo,qual será a temperatura média de
todos os meses? Dentre os 120 meses, em
quantos a temperatura média esteve entre 28 e 33
graus? Qual o percentual de temperaturas entre
22 e 25 graus? Tomando-se os 120 pontos, quais
os valores de temperatura tais que 90% dos
meses têm temperaturas entre estes dois
valores?
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 33
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 Podemos pensar nestas, e numa infinidade de 
outras questões. O fato é que um simples gráfico 
da temperatura versus o tempo não fornece as 
respostas de maneira prática.
 O primeiro passo é fazer a distribuição de 
freqüência dos seus dados. Isto é simplesmente 
uma medida mais compacta de representação 
dos dados. Você divide as temperaturas em 
intervalos (chamados intervalos de classeintervalos de classe) e 
conta quantas observações caem em cada 
intervalo. 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 34
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 A escolha do número de intervalos é arbitrária.A escolha do número de intervalos é arbitrária.
 O importante é garantir que o número de classes 
não seja nem muito grande nem muito pequeno. 
 Se o número de classes for muito pequeno, fica 
difícil verificar as diferenças entre as classes. Ao 
contrário, se o número de classes for muito 
grande, existirão muito poucas observações em 
cada classe.
 O primeiro passo é ordenar os dados pois facilita
a colocação dos dados em cada classe.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 35
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 Escolha do número de classes num
diagrama de frequência
 Seja n o número de intervalos num diagrama de frequência.
Recomenda-se escolher n entre 5 e 20. Quanto maior o
número de observações, maior o número de intervalos.
 GeralmenteGeralmente usausa--sese nn igualigual àà raizraiz quadradaquadrada dodo númeronúmero totaltotal
dede observaçõesobservações, que neste caso seria aproximadamente 11.
Para facilitar a visualização em geral usamos intervalos
com o mesmo comprimento. Muitas vezes o primeiro
intervalo é descrito como "abaixo de um certo valor" e o
último como "acima de um certo valor".
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 36
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 Neste exemplo usamos n = 7, por uma questão 
puramente prática, pois este número nos permite
encontrar intervalos de classe de comprimento 
1.9 em todas as classes, exceto a primeira, e 
todas as classes terminam com uma temperatura 
que é um número inteiro e par. 
 A primeira classe vai de 24 a 26 graus, a segunda 
vai de 26.1 a 28 graus e assim sucessivamente. O 
diagrama de freqüências encontrado está a 
seguir.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 37
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
Classe Frequência Frequência Relativa Frequência 
Relativa 
Acumulada
24-26 graus 7 7/120 = 5.83 % 5.83%
26.1- 28 graus 31 31/120 = 25.83 % 31.66%
28.1-30 graus 26 26/120 = 21.67 % 53.33%
30.1-32 graus 26 26/120 = 21.67 % 75.00%
32.1-34 graus 25 25/120 = 20.83 % 95.83%
34.1-36 graus 3 3/120 = 2.50 % 98.33%
36.1-38 graus 2 2/120 = 1.67 % 100%
Totais 120 100%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 38
Exemplo Exemplo –– temperaturastemperaturas
 O diagrama de frequências já nos permite
responder a diversas outras questões. Por
exemplo, a grande maioria (69.17%) das
temperaturas máximas está entre 26.1 e 32 graus.
Também percebemos que temperaturas máximas
acima de 34.1 graus são incomuns (apenas 5
dentre as 120).
 VejaVeja queque outrasoutras conclusõesconclusões vocêvocê consegueconsegue obterobter
aa partirpartir destedeste diagramadiagrama..
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 39
Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas
 A partir de um diagrama de frequências podemos 
facilmente construir um histograma.
 Histograma:
Gráfico de barras, onde o eixo vertical contém as 
frequências (ou freqüências relativas) e o eixo 
horizontal contém os intervalos de classes. Muitas 
vezes faz-se a área de cada barra igual à freqüência 
relativa de cada classe, de tal forma que a área total 
sob o histograma é 1 (100%).
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 40
Histograma Histograma –– produção no Excelprodução no Excel
 É automática, mas você precisa ter instalado 
antes o suplemento (“add-in”) de ferramentas de 
análise de dados.
 Aliás, este suplemento será muito útil para nós, 
portanto instale-o.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 41
Histograma Histograma –– produção no Excelprodução no Excel
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 42
Histograma Histograma –– produção no Excelprodução no Excel
Células contendo os dados
Células contendo os limites dos intervalos (não precisam ser 
especificados) – mas geralmente quando não os especificamos o 
Excel gera uns limites meio “feios”
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 43
Histograma Histograma –– implementação implementação 
no Excel em Portuguêsno Excel em Português
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 44
Histograma Histograma –– produção no Excelprodução no Excel
Histograma
0
5
10
15
20
25
30
35
24 26 28 30 32 34 36 38 acima de 38
Intervalo
Fr
eq
üê
nc
ia
Note que este histograma usa intervalos diferentes 
dos especificados na tabela de freqüência mostrada 
anteriormente
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 45
Histograma Histograma –– Retorno diário do Retorno diário do 
preço do petróleo WTI preço do petróleo WTI –– 01/1991 a 01/1991 a 
08/200608/2006
Histograma - Log Retornos Petróleo WTI - 1991 a 2006 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
-1
3.
1%
-1
2.
2%
-1
1.
3%
-1
0.
4%
-9
.5
%
-8
.6
%
-7
.7
%
-6
.8
%
-6
.0
%
-5
.1
%
-4
.2
%
-3
.3
%
-2
.4
%
-1
.5
%
-0
.6
%
0.
3%
1.
2%
2.
0%
2.
9%
3.
8%
4.
7%
5.
6%
6.
5%
7.
4%
8.
3%
9.
2%
10
.0
%
10
.9
%
11
.8
%
12
.7
%
13
.6
%
14
.5
%
M
or
e
Bin
Fr
eq
ue
nc
y
A grande maioria dos 
retornos diários 
(variações diárias) 
nesta faixa, mas 
também variações 
extremas
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 46
Exemplo: Produção da energia Exemplo: Produção da energia 
eólica mensal eólica mensal 
((IcaraizinhoIcaraizinho -- NE). NE). 
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
Jan
-81
Ma
r-82
Ma
y-8
3
Jul-
84
Sep
-85
Nov
-86
Jan
-88
Ma
r-89
Ma
y-9
0
Jul-
91
Sep
-92
Nov
-93
Jan
-95
Ma
r-96
Ma
y-9
7
Jul-
98
Sep
-99
Nov
-00
Jan
-02
Ma
r-03
Ma
y-0
4
Jul-
05
Sep
-06
Nov
-07
Jan
-09
Ma
r-10
Ma
y-1
1
Jul-
12
Pro
duç
ão 
(% 
pot
ênc
ia m
áxi
ma
)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 47
HitogramaHitograma
 Produção da energia eólica mensal (Icaraizinho - NE). 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
Fre
q. 
Re
lat
iva
 Ac
um
ula
da
Fre
qü
ên
cia
 Re
lat
iva
 (%
 nú
m.
 ob
s)
Bloco (Produção de energia mensal em % Potência máxima)
Histograma e Frequência Acumulada
(Relativa)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 48
Diagrama de ParetoDiagrama de Pareto
 Como fazer um diagrama de Pareto?
1) Faça um gráfico de barras colocando a freqüência de cada 
tipo de evento no eixo vertical, e arranjando os eventos em 
ordem decrescentede ocorrência. Assim, a primeira barra 
corresponde ao evento que ocorre com mais freqüência, a 
segunda barra diz respeito ao segundo evento mais 
freqüente, e assim por diante.
2) Crie um eixo vertical no lado direito do seu gráfico 
contendo as freqüências relativas acumuladas. Faça uma 
linha juntando as frequências relativas acumuladas e a 
superponha ao gráfico de barras.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 49
Exemplo Exemplo –– Consumo ResidencialConsumo Residencial
 Os dados a seguir representam a distribuição de
domicílios residenciais por classe de consumo de
energia elétrica na área de concessão de uma certa
distribuidora de energia. Os dados referem-se a uma
pesquisa realizada em 2012 com uma amostra de 2100
domicílios.
Consumidores Residenciais
Faixas de consumo número de domicílios frequência relativa
< 80 kWh 170 (170/2100)x100 = 8,1%
80 - 150 kWh 467 (467/2100)x100 = 22,24%
151 - 220 kWh 445 21,19%
221 - 400 kWh 582 27,71%
>400 kWh 436 20,76%
Total 2100
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 50
Exemplo Exemplo –– Consumo ResidencialConsumo Residencial
 O diagrama de Pareto para estes dados é:
0
100
200
300
400
500
600
221 - 400 
kWh
80 - 150 
kWh
151 - 220 
kWh
>400 kWh < 80 kWh
N
ú
m
e
ro
 d
e
 d
o
m
ic
íl
io
s
Faixa de consumo
Diagrama de Pareto
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 51
Medidas NuméricasMedidas Numéricas
 A partir de agora suponha que os dados 
observados na amostra são x1, x2, ..., xn . 
 n é o tamanho da amostra. 
 A partir dos x's vamos encontrar números que 
resumem as características da amostra. Vamos 
estar interessados em dois tipos principais de 
medidas numéricas: as que caracterizam a 
localização do centro da amostra e as que 
caracterizam a dispersão dos dados.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 52
Medidas NuméricasMedidas Numéricas
 Medidas de Localização ou de tendência 
central
 dizem onde está o "meio" dos seus dados
 exemplo: média e mediana amostrais
 Medidas de Dispersão
 dizem o quanto os seus dados estão “espalhados”
 exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude 
amostral 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 53
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
 Média Amostral
 No Excel: função Média (....)
 Considere agora a amostra x1, x2, ..., xn e suponha que você 
a ordene, de tal forma que x(1) seja o menor elemento da 
amostra, x(2) seja o segundo menor elemento, ...., x(n) seja o 
maior elemento da amostra. Os valores x(1), x(2), ..., x(n) são 
chamados de estatísticas de ordemestatísticas de ordem da amostra. Outras 
medidas de tendência central e de dispersão serão 
definidas a partir das estatísticas de ordem.



n
i
iX
n
X
1
1
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
Jan
-81
Ma
r-82
Ma
y-8
3
Jul-
84
Sep
-85
Nov
-86
Jan
-88
Ma
r-89
Ma
y-9
0
Jul-
91
Sep
-92
Nov
-93
Jan
-95
Ma
r-96
Ma
y-9
7
Jul-
98
Sep
-99
Nov
-00
Jan
-02
Ma
r-03
Ma
y-0
4
Jul-
05
Sep
-06
Nov
-07
Jan
-09
Ma
r-10
Ma
y-1
1
Jul-
12
Pro
duç
ão 
(% 
pot
ênc
ia m
áxi
ma
)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 54
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
 Média Amostral: Produção da energia eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
37.5%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 55
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
 Média Amostral Condicional: Produção da energia eólica 
mensal (Icaraizinho - NE). 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Pr
od
uç
ão
 M
éd
ia 
(%
 Po
t)
Anos do Histórico
Aug Média Aug Feb Média Feb
56%
22%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 56
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
 Mediana
 É definida a partir das estatísticas de ordem.
 Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a 
mediana equivale à média entre x(5) e x(6) . Se a amostra 
contém 11 elementos, a mediana é x(5) . A mediana amostral 
é menos influenciada que a média por observações 
aberrantes (“outliers”).
 No Excel é a função med(...)
1
2 2
1
 
2
 se n, o tamanho da amostra, é par
2
 ou 
se n, o tamanho da amostra, é ímpar
n n
n
X X
m
X
   
   
   
 
 
 




 




reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 57
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
 Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a 
média amostral é: (1+2+3+4+5)/5 = 3 e a mediana 
amostral tem o mesmo valor.
 Se agora os dados são:
 1,2,3,4,45, a média amostral é:
 (1+2+3+4+45)/5 = 11, mas a mediana amostral 
continua sendo 3.
 Logo, a média amostral foi profundamente 
influenciada por um único valor, e o mesmo não 
aconteceu com a mediana amostral.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 58
Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
 As medidas de tendência central não são as 
únicas medidas necessárias para caracterizar 
uma amostra (ou população). 
 Precisamos também saber o quanto as 
observações na amostra estão " espalhadas".
 Por exemplo, no gráfico a seguir as populações 
têm a mesma média, mas certamente a segunda 
distribuição tem maior dispersão.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Pr
od
uç
ão
 M
éd
ia 
(%
 Po
t)
Anos do Histórico
Aug
Feb
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 59
Medidas de Dispersão:Medidas de Dispersão:
Produção da energia eólica mensal Produção da energia eólica mensal 
((IcaraizinhoIcaraizinho -- NE). NE). 
Tem maior 
dispersão:
é mais 
“espalhada” 
em torno da 
média
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 60
Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
 Variância Amostral
 É a medida mais comum de dispersão . A 
variância amostral, denotada por s2 é definida 
como:
 Onde é a média amostral.
 Note que, por definição, a variância amostral é a variância amostral é 
sempre não negativa!!!sempre não negativa!!!
 A unidade de medida da variância é o quadrado 
da unidade de medida das observações, o que 
dificulta a sua interpretação.
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1
X
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 61
Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
 Desvio Padrão Amostral
 O desvio padrão amostral, denotado por s, é
definido como a raiz quadrada positiva da
variância amostral. Pelos comentários anteriores,
notamos que s é expressoexpresso nasnas mesmasmesmas unidadesunidades
de medida queque asas observaçõesobservações nana amostraamostra.
 s s
n
X Xi
i
n
 



2
2
1
1
1
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 62
Medidas de Medidas de Dispersão: Produção da Dispersão: Produção da 
energia eólica mensal (energia eólica mensal (IcaraizinhoIcaraizinho --
NE). NE). 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Pro
du
ção
 M
éd
ia (
% P
ot)
Anos do Histórico
Aug Méd+Desv Aug Média Aug Méd-Desv Aug
Feb Méd+Desv Feb Média Feb Méd-Desv Feb
4.9%
8.3%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 63
Medidas de DispersãoMedidasde Dispersão
 Coeficiente de variação amostral
 É uma medida adimensional, e serve principalmente 
para comparar duas amostras que foram coletadas 
em unidades de medida diferentes, por exemplo, 
uma em cm e outra em polegadas.
 Amplitude Amostral
X
s
CV 
mínmáxXXA n  )1()(
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 64
Como obter estatísticas Como obter estatísticas 
descritivas no Excel?descritivas no Excel?
 Opção 1
 Use as funções apropriadas, por exemplo, 
média(..), med(...), máximo(...), mínimo(...), 
desvpad(...), ...
 Opção 2
 Use a ferramenta “estatística descritiva” 
dentro das opções de “análise de dados”, 
como indicado na tela a seguir. Várias outras 
estatísticas, como a curtose (que mede o 
“peso” das “caudas”(extremos) e a assimetria, 
são também fornecidas).
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 65
Como obter estatísticas Como obter estatísticas 
descritivas no Excel?descritivas no Excel?
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 66
Como obter estatísticas Como obter estatísticas 
descritivas no Excel?descritivas no Excel?
Células contendo os 
dados
Indicador de nome 
da variável na 1a. 
posição da coluna 
ou linha
Produzir estatísticas 
descritivas
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 67
PercentisPercentis
 O percentil x% é o ponto tal que, a 
probabilidade de estar abaixo dele é x%.
 O percentil 50% é a MEDIANA de um 
conjunto de dados, e qualquer percentil 
entre 0 e 100% pode ser encontrado 
através da função PERCENTIL do Excel.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 68
Percentis: no MS ExcelPercentis: no MS Excel
 Ordenar o conjunto de dados: {x(i)}i=1,...,n
 O percentil de P%, por exemplo, 40% de um 
conjunto de dados ordenado {15, 20, 35, 40, 50} é 
calculado da seguinte forma:
 x = (n+1)P/100 = 2.4
 k = inteiro[x] = 2
 f = fracionário[x] = 0.4
 Percentil(P%) = x(k)+f(x(k+1)-x(k)) = 20 + 0.4x15 = 26
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 69
QuartisQuartis
 Primeiro Quartil: Q1 – é o percentil 25%, 
ou seja, 25% das observações estão 
abaixo de Q1
 Segundo Quartil: Q2 - é a mediana 
 Terceiro Quartil: Q3 – é o percentil 75%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 70
Estatísticas Descritivas Estatísticas Descritivas –– Retorno Retorno 
do Petróleo WTI do Petróleo WTI –– 01/1991 a 08/200601/1991 a 08/2006
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 71
Percentis Percentis –– Retorno do Petróleo Retorno do Petróleo 
WTI WTI –– 01/1991 a 08/200601/1991 a 08/2006
5% -3.53%
10% -2.53%
25% -1.17%
50% 0.07%
75% 1.28%
90% 2.51%
95% 3.45%
Percentis
5% dos retornos 5% dos retornos 
abaixo de abaixo de --3.53%3.53%
90% dos retornos 90% dos retornos 
abaixo de +2.51%abaixo de +2.51%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 72
Percentil:Percentil:
Produção da energia eólica mensal Produção da energia eólica mensal 
((IcaraizinhoIcaraizinho -- NE). NE). 
Percentil = 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5%
Jan 24.9 24.5 23.6 22.3 20.9 20.1 19.1 17.7 16.4 13.8
Feb 18.8 18.5 18.2 17.2 16.7 16.0 15.5 14.4 12.1 11.0
Mar 15.7 14.5 13.7 13.3 12.4 10.5 10.2 9.9 9.5 9.0
Apr 17.5 16.0 14.3 12.0 11.6 10.6 9.8 9.3 9.2 8.0
May 24.1 21.8 18.9 17.7 16.5 15.6 14.6 12.5 11.4 10.9
Jun 30.6 29.4 27.6 27.2 26.9 26.2 25.3 23.5 23.2 21.2
Jul 37.7 37.2 36.8 36.6 36.4 35.9 33.7 30.7 27.7 26.5
Aug 54.6 54.4 53.7 53.4 52.6 51.9 50.6 50.3 49.7 47.7
Sep 62.1 61.9 61.0 60.4 60.1 58.3 56.3 54.3 51.2 49.7
Oct 58.3 57.9 56.3 56.0 55.3 54.3 51.3 50.6 48.7 46.2
Nov 52.3 51.9 51.5 50.4 49.7 48.4 47.5 45.4 44.6 41.0
Dec 39.9 39.5 38.7 37.4 35.2 31.9 31.5 28.0 27.0 21.4
Média 36.4 35.6 34.5 33.7 32.8 31.6 30.4 28.9 27.6 25.5
50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5%
Todos os
meses 35.8 32.1 29.1 27.2 24.9 22.4 18.8 17.1 14.4 11.2
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 73
Percentil:Percentil:
Produção da energia eólica mensal Produção da energia eólica mensal 
((IcaraizinhoIcaraizinho -- NE). NE). 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
 - 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0
Fre
qu
ên
cia
 Re
lat
iva
 A
cu
mu
lad
a
Produção de energia (% potência máxima)
Feb Aug
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 74
Análise dos Retornos do Análise dos Retornos do 
IBOVESPAIBOVESPA
 Considere agora os retornos diários do 
IBOVESPA no período entre 04 de julho de 1994 e 
06/08/2004.
 Defina o retorno diário entre os dias t e t + 1 
como:
 Onde log denota o logaritmo natural (base e) e Pt
e Pt+1 são, respectivamente, os preços nos dias t e 
t + 1.
 O retorno definido acima é chamado de retorno retorno 
geométrico.geométrico.






 
t
t
t
P
P
R 11 log
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 75
Histograma dos Retornos Histograma dos Retornos 
IBOVESPAIBOVESPA
Histograma dos retornos diários do IBOVESPA
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-7.00%
-6.50%
-6.00%
-5.50%
-5.00%
-4.50%
-4.00%
-3.50%
-3.00%
-2.50%
-2.00%
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
1.50%
2.00%
2.50%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
5.50%
6.00%
6.50%
7.00%
M
ais
Bloco
Fr
eq
üê
nc
ia
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 76
Percentis dos RetornosPercentis dos Retornos
Percentil Retorno Correspondente
1.0% -6.75%
5.0% -3.90%
10.0% -2.74%
25.0% -1.24%
50.0% 0.13%
75.0% 1.48%
90.0% 2.69%
95.0% 3.66%
99.0% 6.63%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 77
Análise dos Retornos do Análise dos Retornos do 
IBOVESPAIBOVESPA
 Uso da função “freqüência”Uso da função “freqüência”
 Produz a freqüência (número de ocorrências 
num determinado intervalo).
 Por exemplo, dentre 2501 retornos diários do 
IBOVESPA, a referência:
 FREQÜÊNCIA(E$3:E$2503;G7) significa:
 Olhe para todos os dados em E$3 a E$2503 (são 
os retornos diários) e conte QUANTOS estão 
ABAIXO do valor em G7.
 O gráfico destas frequências é mostrado na 
próxima página.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 78
Análise dos Retornos do Análise dos Retornos do 
IBOVESPAIBOVESPA
Frequüências Acumuladas - Retornos Diários
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
-1
5.
00
%
-7
.0
0%
-6
.5
0%
-6
.0
0%
-5
.5
0%
-5
.0
0%
-4
.5
0%
-4
.0
0%
-3
.5
0%
-3
.0
0%
-2
.5
0%
-2
.0
0%
-1
.5
0%
-1
.0
0%
-0
.5
0%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 79
Análise dos Retornos do Análise dos Retornos do 
IBOVESPAIBOVESPA
 Se dividirmos cada uma destas freqüências 
por 2501 obtemos as freqüências relativas 
acumuladas – veremos mais tarde que isso 
é uma aproximação para a função de 
distribuição acumulada.
 Veja o próximo gráfico.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 80
Análise dos Retornos do Análise dos Retornos do 
IBOVESPAIBOVESPA
Frequüências Relativas Acumuladas - Retornos Diários
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
-1
5.
00
%
-7
.0
0%
-6
.5
0%
-6
.0
0%
-5
.5
0%
-5
.0
0%
-4
.5
0%
-4
.0
0%
-3.5
0%
-3
.0
0%
-2
.5
0%
-2
.0
0%
-1
.5
0%
-1
.0
0%
-0
.5
0%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 81
AssimetriaAssimetria
 O coeficiente de assimetria amostral é 
definido como:
 
 
 
 
2/3
1
2
1
3
2/3
1
2
1
3
3
1
1






































n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XX
XXn
XX
n
XX
n
Se o coeficiente é zero, seus dados são simétricos em torno da Se o coeficiente é zero, seus dados são simétricos em torno da 
média.média.
Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem 
valores “grandes” maiores que a média => existe uma cauda valores “grandes” maiores que a média => existe uma cauda 
comprida para a direita.comprida para a direita.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 82
AssimetriaAssimetria
 Na curva A acima a 
assimetria é positiva, 
a curva B é simétrica 
e a curva C tem 
assimetria negativa.
 Em geral, se a 
assimetria é positiva, a 
média é MAIOR que a 
mediana.
 O oposto ocorre se a 
assimetria é negativa (em 
geral média MENOR que a 
mediana).
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 83
AssimetriaAssimetria
Dados com assimetria 
positiva
Dados simétricosDados simétricos
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 84
CurtoseCurtose
 É uma medida do “achatamento” de uma 
distribuição de probabilidade.
 Como a distribuição Normal tem curtose 
igual a 3, usualmente define-se: “excesso 
de curtose”, ou seja, o quanto uma 
distribuição de probabilidade tem mais 
curtose que a Normal e “falta de curtose”, 
quanto uma distribuição de probabilidade 
tem menos curtose que a Normal.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 85
CurtoseCurtose
 Distribuições de retornos de ativos 
financeiros geralmente tem a “cara” de 
uma Normal, mas com excesso de 
curtose!
 Ao lado, a curva B 
(mesocurtica) é a Normal 
padrão, a curva C (platicurtica) 
tem excesso de curtose e 
curva A (leptocurtica) tem falta 
de curtose.
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 86
CurtoseCurtose
 A fórmula do excesso de curtose é:
 Note que, se os seus dados são Normais, esta 
medida é próxima de zero.
o Se k4 for igual a zero a curva é mesocurtica.
o Se k4 for maior que zero a curva é platicurtica.
o Se k4 for menor que zero a curva é leptocurtica.
 
 
4
1
4 2
2
1
3
n
i
i
n
i
i
n X X
X X
 


 
 
 
 


reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br
87
Exercício1 (para casa)Exercício1 (para casa)
 Tomou-se uma amostra de 60 estudantes que fizeram uma
prova, e, a estatística descritiva, diagrama de frequência e 
gráfico das notas da prova estão a seguir:
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Média 5,4
Erro padrão 0,3
Mediana 5,6
Moda 3,8
Desvio padrão 2,6
Variância da amostra 7,0
Curtose -1,2
Assimetria -0,1
Intervalo 8,4
Mínimo 1,2
Máximo 9,6
Soma 325,7
Contagem 60,0
Bloco Freqüência
Frequência relativa 
acumulada
≤ 1,2 1 1,67%
(1,2 - 2,4] 11 20,00%
(2,4 - 3,6] 4 26,67%
(3,6 - 4,8] 9 41,67%
(4,8 - 6,0] 10 58,33%
(6,0 - 7,2] 8 71,67%
(7,2 - 8,4] 5 80,00%
> 8,4 12 100,00%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br
88
Exercício1 (para casa)Exercício1 (para casa)
 Histograma
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br
89
Exercício1 (para casa)Exercício1 (para casa)
 Pergunta-se:
a) 80 % dos alunos, tiraram notas menores ou igual a 
8,4. 
V ( ) ou F ( ).
b) 60 % das notas dos alunos estão entre 1,2 e 8,4. 
V ( ) ou F ( ).
c) Os valores da média e mediana permitem dizer que a 
distribuição é simétrica. 
V ( ) ou F ( ).
d) Podemos dizer que 20% dos alunos tiraram notas 
menores ou igual a 2,4. 
V ( ) ou F ( ).
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br
90
Exercício1 (para casa)Exercício1 (para casa)
e) A assimetria negativa indica que existem mais notas 
altas e menos notas baixas.
V ( ) ou F ( ).
f) Podemos dizer que a nota 5,4 é a que mais vezes
acontece. 
V ( ) ou F ( ).
g) O coeficiente de Variação conforme a estatística
descritiva é igual a 1,296. 
V ( ) ou F ( ).
h) Construa o diagrama de Pareto desta amostra, 
montando em blocos onforme o diagrama de 
frequência dado (esboce o gráfico).
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91
Exercício1 (para casa)Exercício1 (para casa)
i)- Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma
amostra de 50 elementos onde: os intervalos [Li-1-L1) são
iguais; : é o ponto médio de cada classe (intervalo); fi: 
frequência absoluta simples; Fi: frequência cumulada.
- Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.
[Li-1-L1) fi Fi xifi
[160 – 180) 850
190
27 2730
9
-260) 1500
50
ix
ix