funçao de varias variaveis

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Notas de aula --- Parte II 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escritas pelo Professor Wilson Canesin 
 
 
Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade 
Braz Cubas 
Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 
Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 18
1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, 
depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual 
representar estas relações como funções de várias variáveis. 
 Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de 
produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número 
de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A 
representação funcional dessa relação é 
 
 P = f( L, K) 
 
O mesmo conceito se estende para qualquer número de 
variáveis. 
 
1.2 – Funções de duas variáveis 
 Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-
se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um 
único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio 
da função. 
Assim, 
D é o domínio da função em R2 , 
f é a função 
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). 
 
 
Exemplos de valores de função de 2 variáveis: 
Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 
Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 
 
Domínio das funções de duas variáveis 
 O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio 
de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal 
que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em 
valores finitos e reais para f(x,y). 
 
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = xy − 
A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu 
domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }. 
y
zx 
z 
 (x,y) D 
f(x,y) 
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Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = yx
x
−2
2
 , a função é finita 
quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais 
que, 
 
 
 
 D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }. 
 
 
 
 
Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = 
yx
x
−3
2
 , a função é finita 
quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, 
 
D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }. 
 
 
1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis 
 
 Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no 
plano x,y e y=f(x). 
 Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma 
função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
z
z 
x 
 D 
 D 
A superfície é obtida 
para cada par x,y , 
fixando um valor de 
x e variando y, em 
seguida fixa um 2o 
valor de x e varia y , 
depois fixa um 3o x e 
varia y ,etc., até 
variar x e y em todo 
o domínio. 
Y 
X Y 
0 0 
0 1 
0 2 
0 3 
1 0 
1 1 
1 2 
1 3 
2 0 
2 1 
2 2 
2 3 
3 0 
3 1 
... ... 
X 
Z 
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Exemplos de funções de 2 variáveis: 
 
Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5 
 
 
 
 
 
 
Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser 
escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para 
achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer : 
 
a) x =0 e y =0 → z = 6 
b) x =0 e z = 0 → y = 2 
c) y =0 e z = 0 → x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Y 
5 
Z 
A superfície é um 
plano infinito, paralelo 
a x,y e passando por 
z=5 
X 
Y 
Z 
(3,0,0) 
(0,2,0) 
(0,0,6) 
Portanto, o gráfico de f no 
plano é ⇒ 
Z 
Y 
X 
A superfície é 
um parabolóide 
de revolução. 
A superfície gerada 
é uma semi-esfera 
de centro na origem. 
Z 
Y 
X 
Ex. 4 - A função é 
 z = f(x,y) = 221 yx −− Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x
2 + y2 
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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis 
 
 O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor 
(x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por 
 ),(),(
),(
00 yxyx
Lyxfmil
→
=
 
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0), 
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a 
função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um 
intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite 
existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar 
a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma. 
Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas 
restrições. 
 
Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y 
 
Ex.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y 
 
Ex.3 f(x,y) = 1
22
−
+
yx
yx
 é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 4 f(x,y) = yx
yx
−
+
 é contínua se ∀ x ≠ y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
y 
D 
X 
y 
D 
y = x 
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Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 
ou y > x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.6 f(x,y) = 221 yx −− é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.7 f(x,y) = xy /1− a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x 
Que resulta no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y > x 
y 
x 
x 
y 
D 
O domínio é uma 
circunferência de 
centro na origem 
e de raio r ≤ 1 
y 
x 
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1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis 
 
 A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a 
mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é 
que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa 
enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , 
sua derivada em relação a x é 
 
 ),(),( yxfyxxff −∆+=∆ incremento da função 
 
 
x
yxfyxxf
x
f
∆
−∆+=∆
∆ ),(),( taxa de variação da função 
 
 
 
 
 
Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a 
 derivada parcial em relação a y é 
 
 
 
 
 
 
1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial 
 
 Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da 
reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de 
duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta 
tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela 
ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ),( yxf
x
f
x
f
x=∂
∂=∆
∆ Derivada parcial em x 
y0 
y x0 
x 
z 
β 
α 
Assim, 
 
tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x 
 
 tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y 
 l i m 
∆x→0 
0→∆y
mil ),( yxf
y
f
x
f
y=∂
∂=∆
∆
 Derivada parcial em y 
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 TABELA DE DERIVADAS (adaptadap/derivadas parciais)
Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y 
1 f = k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 
2 f = x ou f = y fs = 1 s = x ou y 
3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)
4 f = n mu Ds n msn m uun
umu = 
5 f = ln u Ds ln u = 
u
u s 
6 f = lga u Ds lga u = 
au
u s
ln
 
7 f = au Ds au = au lna us 
8 f = eu Ds eu = eu us 
9 f = u v fs = v us + u vs 
10 f = u / v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v2 
11 f = senu fs = cosu .us 
12 f = cosu fs = -senu .us 
13 f = tanu fs = sec2u .us 
14 f = secu fs = secu.tanu.us 
15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 
16 f = cotu fs = -cotu.cscu.us 
 
 
 
 
 
 
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1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais 
 
 A derivada parcial em relação a "x" , considera y como 
constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" 
considera x como constante. 
 
fx = ∂ f / ∂ x → y=constante 
 
fy = ∂ f / ∂ y → x=constante 
 
Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2 
 
fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y 
 
 
Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2 
 
fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y 
 
 
Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 ) 
 
f = u / v , u =x e v = x2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2 
 
fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2 
 
fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2 
 
Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da 
superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). 
Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante. 
 
 332 8)()4( yyxyx
x
yx
xx
z −=∂
∂−∂
∂=∂
∂ 
 
mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se 
 
 tanα = )2,3(
x
f
∂
∂ = 40 ⇒ α = tan-1(40) = 88,57° 
Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície 
 z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4). 
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x
f
∂
∂ = 3x2 + 2y 
tanα = )1,1(
x
f
∂
∂ = 5 ⇒ α = tan-1(5) = 78,69° 
 
Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx 
 
x
f
∂
∂ = 
x
vu
∂
∂ ).( = 
x
vuv
x
u
∂
∂+∂
∂ .. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx 
y
f
∂
∂ = 
y
vu
∂
∂ ).( = 
y
vuv
y
u
∂
∂+∂
∂ .. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx 
 
 
1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis 
 
 A condição para que uma função seja diferenciável é que suas 
derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua 
diferencial total é : 
 dyy
fdx
x
fzd ∂
∂+∂
∂= 
Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1 
 
x
f
∂
∂ = 9x2y2 – 2y3 +y e 
y
f
∂
∂ = 6x3y – 6xy2 + x 
assim, a diferencial da função é 
 
df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy 
 
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais 
forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n 
variáveis é: 
 
 dF = 1
1
dx
x
F
∂
∂ + 2
2
dx
x
F
∂
∂ +......+ n
n
dx
x
F
∂
∂ = ∑
= ∂
∂n
i
i
i
dx
x
F
1
 
 
 
Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy 
 
 Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y 
 
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 dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz 
 
 
1.8 – Derivada de funções compostas 
 
 Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A 
derivada desta função em relação a “t” é 
 
 
td
yd
y
f
td
xd
x
f
td
fd
∂
∂+∂
∂= 
 
Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , 
onde x(t) = et e y(t) = t3 . 
 
a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 
 
E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 
 
b) Calcula-se pelas derivadas parciais 
 
x
f
∂
∂ = 2x ; 
y
f
∂
∂ = 3 ; =
td
xd et ; =
td
yd 3t2 
 
Assim 
 
td
Fd = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2 
Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), 
x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é 
dada pela regra da cadeia 
 
 td
xd
x
f
dt
df in
i
∑
= ∂
∂=
1
= 
td
xd
x
f
td
xd
x
f
td
xd
x
f n
n∂
∂++∂
∂+∂
∂ ...2
2
1
1
 
 
 
Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2 
 
fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t 
 
tet
td
fd t 4.3cos.2 −+= 
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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt 
 
1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 
2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 
3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3 
 
 
1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis 
 
Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida 
para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável 
são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma 
implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc. 
A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a 
x é 
0=∂
∂+∂
∂
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f → 0=∂
∂+∂
∂
dx
dy
y
f
x
f 
 
ou, 
 
 
 
 
Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a 
fórmula acima, 
 
 215
4
y
x
y
f
x
f
dx
dy −=
∂
∂
∂
∂
−= 
 
Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0 
 
xy
y
y
f
x
f
dx
dy
68
6
−=
∂
∂
∂
∂
−= 
 
Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e 
diferenciando, e após algumas considerações teremos 
 
y
x
f
f
y
f
x
f
dx
dy −=
∂
∂
∂
∂
−= 
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Ex.3 - Achar as derivadas xz ∂∂ e yz ∂∂ , da função x2+y3- z=0. 
Solução; 
 
zf
xf
x
z
∂∂
∂∂−=∂
∂
= x
x 2
1
2 =−
−
 
zf
yf
y
z
∂∂
∂∂−=∂
∂
= 2
2
3
1
3 yx =−
−
 
 
Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar xz ∂∂ e 
yz ∂∂ , nas expressões abaixo 
 
1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0 
 
2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0 
 
 
1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem 
 
 Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas 
parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas 
mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, 
que são representadas por 
 
 2
2
x
ff xx ∂
∂= , 
yx
ff xy ∂∂
∂=
2
 , 
xy
ff yx ∂∂
∂=
2
 , 
xy
ff yy ∂∂
∂=
2
 
 
 
Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas 
cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . 
 
 
Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy 
 
fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6x 
z
x
f
f
zf
xf
x
z −=∂∂
∂∂−=∂
∂
 e 
z
y
f
f
zf
yf
y
z −=∂∂
∂∂−=∂
∂
 
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2
2
x
ff xx ∂
∂= = 8 ;; 
xy
ff yx ∂∂
∂=
2
 = -6 
yx
ff xy ∂∂
∂=
2
= -6 ; 
xy
ff yy ∂∂
∂=
2
 = -6 
 
EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y 
 
fx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y 
 
2
2
x
ff xx ∂
∂= = 4e2x+5y ; 
xy
ff yx ∂∂
∂=
2
 = 10e2x+5y 
 
 
yx
ff xy ∂∂
∂=
2
= 10e2x+5y ; 
xy
ff yy ∂∂
∂=
2
 = 25e2x+5y 
 
 
 
 
 
 
 
EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) 
 
fx =∂f /∂x = 22 2 yx
x
+ ; fy = ∂f /∂y = V
U
yx
y =+ 22
2 
 
2
2
x
ff xx ∂
∂= = 2 .. V
VUUV xx − = 222
22
)(
)(2
yx
xy
+
− ; 
xy
ff yx ∂∂
∂=
2
 = 222 )(
4
yx
xy
+
− 
 
 
yx
ff xy ∂∂
∂=
2
= 2
..
V
VUUV yy − = 222 )(
4
yx
xy
+
− ; 
xy
ff yy ∂∂
∂=
2
 = 222
22
)(
)(2
yx
yx
+
− 
 
 
 
 
 
 
 
Note que fxy = fyx 
 
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1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis 
 
As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis 
e são representadas da mesma forma. 
Exemplos: 
 
1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x 
 
fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx 
 
2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) 
fx = 2232
2
tzyx +−+ ; fy = 2232
3
tzyx +−+ 
fz = 2232
2
tzyx
z
+−+
− ; ft = 2232
2
tzyx
t
+−+ 
 
Exercícios propostos - Derivar as funções: 
1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 
2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz 
3) f(x,y,z) = zx
yx
−
+
 
4) f(x,y,z) = xyz 
5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 
6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 
7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3) 
 
 
1.12 – Derivadas de Ordem Superior 
 
Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de 
ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. 
fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc. 
 
Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3 
 
fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0 
 
fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2 
 
fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z 
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Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : 
 
 f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us 
fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = )( 1−∂
∂ x
x
 = -1.x-2 = -1/x2 
fxy = 0 ; fxz = 0 
 
fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = )2( 1−∂
∂ y
y
 = -2y-2 = -2 / y2 
fyz = )2( 1−∂
∂ y
z
 = 0 
 
fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2 
 
 
EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas) 
 
1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y 
 fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 
 f yx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 
 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 
 
2) f(x,y,z) =
zy
yx
−
+ ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 
fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ; 
fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3 
 
3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2 
;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z) 
;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z) 
; fzz= 18(x+2y+3z) . 
4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2 
 
fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; 
 
fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; 
 
fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ; 
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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ; 
 
fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 . 
 
 
5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2) 
 
fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2; 
 
fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2; 
 
fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2; 
 
fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2 
 
 
6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ; 
 
fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2); 
 
fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2) 
fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2) 
fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2) 
fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ; 
fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) 
 
7) f(x,y,z) = 
322 zyxe ++ ; fx=2x
322 zyxe ++ ; fy=2y
322 zyxe ++ ; fz=3z2
322 zyxe ++ 
 
fxx=2
322 zyxe ++ +4x2
322 zyxe ++ ; fxy=4xy
322 zyxe ++ ; fxz=6xz2
322 zyxe ++ 
fyx=fxy ; fyy=2
322 zyxe ++ + 4y2
322 zyxe ++ ; fyz= 6yz2
322 zyxe ++ 
fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z
322 zyxe ++ +9z4
322 zyxe ++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
 
 Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a 
da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar 
seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma 
variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos 
extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo 
são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano 
calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir. 
 
 H(x0,y0 ) = 
),( 00 yx
yyyx
xyxx
ff
ff
 
Assim , 
 
Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e 
 
 
a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo. 
 
b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo. 
 
c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela. 
 
d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
Q 
S 
L 
T 
Os pontos P e Q são pontos 
de máximo, porque qualquer 
deslocamento em sua vizinhança, 
irá descer. 
O ponto S é uma sela porque nos 
sentidos SP e SQ sobe, mas no 
sentido SL ou ST desce. 
F(x,y) 
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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm 
de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade 
máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois 
triângulos. 
 
A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) 
 
 f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ 
 
Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. 
fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0 
 
 2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x 
 
fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0 
 
 = x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ 
 
 substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e 
 resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 
 
 cosθ = ½ → θ = 60o 
 
O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, 
também pó causa do trabalho que estasdariam. Mas para ter certeza 
podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima 
destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima. 
 
 
sen2θ = 2senθcosθ 
 =2 cos2θ - 1 
 
cos2θ =cos2θ - sen2θ 
 = 2cos2θ -1 
x x 
x senθ y cosθ 
12-2x 
θ 
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X Y, Z,
 Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 ) 
0 5 10 15 20
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
XYZ
0 1 2
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
4 6 3.336
4 12 6.58
4 18 9.647
4 24 12.453
4 30 14.928
4 36 17.013
4 42 18.662
4 48 19.846
4 54 20.553
4 60 20.785
4 66 20.562
4 72 19.919
4 78 18.904
4 84 17.576
4 90 16
=
 
 
 
 
 
 
 
Ex.2 – Achar os extremos da função 
 
f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. 
 
Calculando as primeiras derivadas , tem-se: 
 
fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0 
 
 
fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0 
 
Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) 
então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 
0 , que resulta x = 10 e y =10 . 
Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as 
segundas derivadas. 
 
fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 
fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 
 
Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: 
fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função. 
 
máximo 
100 75 
50 
25 
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Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar 
zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é 
confirmado pelo gráfico tridimensional da função. 
 
 
M
Gráfico 3D da função seno
0 5 10 15
0
5
10
15
0.5
0
0.5
 
 
 
 
 
 
Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do 
exemplo 2, para uma exponencial. 
 
f(x,y) = 
5,4)(45,0)(0225,0 22 ++++− yxyxe = ef(x,y) 
 
fx = [-0,045 x + 0,45] . 
5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe 
 
fy = [-0,045 y + 0,45] . 
5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe 
 
 
fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) 
 
fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) 
 
No ponto x=y=10, tem-se: 
 
fxx + fyy < 0 
 
que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser 
verificado no gráfico da função. 
 
 
Note que nos pontos x =10 e y 
=10, a função tem um de seus 
mínimos. 
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M
Gráfico 3D da função exponencial
0
10
20
0
10
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
 
Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é 
dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos 
pontos mais quentes e mais frios da região. 
 
fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y 
 
Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando 
 
 x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 . 
 
 
H(x0,y0 ) = 
),( 00 yx
yyyx
xyxx
ff
ff
= 
)0,4/3(800
032
−
 > 0 
 
 
H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo. 
 
O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro 
ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme 
mostra o gráfico da superfície. 
 
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X Y, Z,
Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)
0
5
10
15
200
5
10
15
20
0
100
XYZ
0 1 2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
-1 1.2 49.6
-1 1.6 94.4
-1 2 152
-0.8 -2 151.04
-0.8 -1.6 93.44
-0.8 -1.2 48.64
-0.8 -0.8 16.64
-0.8 -0.4 -2.56
-0.8 0 -8.96
-0.8 0.4 -2.56
-0.8 0.8 16.64
-0.8 1.2 48.64
-0.8 1.6 93.44
-0.8 2 151.04
-0.6 -2 151.36
=
 
 
 
 
 
Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x . 
 
Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: 
 
fx = 2x –2 = 0 , ou x=1 
 
fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0) 
 
Por outro lado, 
 
fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2 
 
H(1,0) = 
yyyx
xyxx
ff
ff
=
20
02 = 4 >0 
 
 
fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y). 
 
 
1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis 
 
Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto 
P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando 
f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho 
de P0(x10,x20,...xn0). 
mínimo
 Escala em x = x-10Escala em y =y-10 
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Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local 
de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) 
vizinho de P0(x10,x20,...xn0). 
 
O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações: 
 
fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto) 
 
O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou 
de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por: 
 
H(P0) = 
)(....)()(
................
)(....)()(
)(....)()(
000
000
000
11
12212
12111
PfPfPf
PfPfPf
PfPfPf
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
 
 
 
Além disso é necessário calcular os n determinantes 
 
 ∆0 =1 
 
 ∆1 = )( 011 Pf xx 
 
∆2 = )()(
)()(
00
00
2212
2111
PfPf
PfPf
xxxx
xxxx
 
 
 
∆3 = 
)()()(
)()()(
)()()(
000
000
000
332313
322212
312111
PfPfPf
PfPfPf
PfPfPf
xxxxxx
xxxxxxx
xxxxxx
 
 
.................................................................. 
 
∆n = 
)(....)()(
................
)(....)()(
)(....)()(
000
000
000
11
12212
12111
PfPfPf
PfPfPf
PfPfPf
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
 
 
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Então, se: 
 
a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de 
mínimo de f . 
 
b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é 
um ponto de máximo de f. 
 
 
Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e 
verificar se são de máximos ou de mínimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H(0,0,0) = 
200
020
002
 = 8 
∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 20
02
= 4 ; ∆3 = 
200
020
002
=8 
 
todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f. 
 
 
 
Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . 
 
 Os pontos críticos da função são: 
 
 
 
 
 
 
fx = 2x = 0 →x =0 
fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico 
fz = 2z =0 → z =0 
 
fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 
fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 
fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2 
fx = -2x = 0 →x =0 
fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico 
fz = -2z=2 =0 → z =1 
 
fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0 
fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0 
fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2 
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H(0,2,1) = 
200
020
002
−
−
−
 = - 8 
∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 20
02
−
−
= 4 ;∆3 = 
200
020
002
−
−
−
=-8 
 
Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto 
de máximo da função f. 
 
Ex.3 – Estudar os extremos da função: 
 
 f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = 
2040
062
−
−
y
x 
 
H(4,7) = 
80
02 >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 80
02
= 4 ; 
 
O ponto é de mínimo. 
 
H(4,3) =
80
02
− <0 (sela) 
 
H(2,7) =
80
02− < 0 (sela) 
H(2,3) = 
80
02
−
− >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 80
02
−
−
= 16 
 
fxx =2x-6 , fxy =0 , 
fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . 
→ existem pontos que podem ser críticos, ou seja 
 
 P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3) 
fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2 
fy = 2y2 – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3 
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O ponto é de máximo. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1 
Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e 
 P2(0,6) e P3(4,0) são selas. 
 
2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) 
Resp. P1(π/2,0) é máximo. 
 
 
3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 
Resp. P1(5,-3) é mínimo. 
 
4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1 
Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.15 – Operadores especiais da física 
1.15.1 - Gradiente 
 Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e 
representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: 
 
grad f = ∇f = ix
f ˆ∂
∂
 + jy
f ˆ∂
∂
 + kz
f ˆ
∂
∂
 
 
O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários. 
 
1.15.2 - Divergência 
 Denomina-se divergência de um vetor kVjViVV zyx ˆˆˆ ++=
r
 , e 
representa-se por div V ou ∇. V , a expressão 
 
 div V = ∇. V = x
Vx
∂
∂
+ y
Vy
∂
∂
+ z
Vz
∂
∂
 
 
Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de 
um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela 
velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de 
volume num ponto do fluido. 
 
1.15.3 - Rotacional 
 O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é 
definido por 
 rot V = ∇×V = 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zyx VVV
zyx
kji ˆˆˆ
 
 
 = i
z
V
y
V yz ˆ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ + j
x
V
z
V zx ˆ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ + k
y
V
x
V xy ˆ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
 
O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação 
(Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma 
 
 Ω = (1/2). rot (ρ v) 
 
 
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1.16 – Integrais múltiplas 
 As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou 
podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais 
simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de 
integração simples: 
 
 
 ∫ undx = 1
1
+
+
n
u n
 + C , onde u =f(x) e 
 n≠ 1 
 
 
=∫ udu ln u + C 
 
 ∫ eudu = eu + C 
 
∫ audu = au / lna + C 
 
 ∫cosu du = senu + C 
 
 ∫senu du = -cosu + C 
 
 ∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C 
 
∫secu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C 
 
 
∫csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C 
 
∫cotu du = ln ⎢senu ⎢ + C 
 
∫ sec2u du = tanu + C 
 
∫ csc2u du = - cotu + C 
 
∫ secu tanu du = secu + C 
 
 ∫ cscu cotu du = -cscu + C 
 
 ∫sen2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C 
 
 ∫cos2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C 
 
 
 
 
A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a 
área de uma figura plana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
dx 
dy 
 x1 x2 
f(x) 
dA 
A área infinitesimal dA = dx. dy 
é obtida integrando de x1 até x2 
 
[ ]∫∫ ∫ ==
2
1
2
1
)(
0
)(
0
.
x
x
xfx
x
xf
dxydydxA 
 ∫= 2
1
)(
x
x
dxxfA 
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Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3. 
 
 
A = ∫ ∫2
1
)(
0
.
x
x
xf
dydx = ∫ 2
1
)(
x
x
dxxf = ∫ +−30 2 )182( dxx = [ ]30
3
18
3
2 xx +− 
 
A = - 18 + 54 = 46 (unid2) 
 
Outros exemplos de integrais são: 
 
Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫ ∫
2x
x
xydxdy 
Solução: 
 
∫ ∫
2x
x
xydxdy = dxyx
x
x
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 2
2
.
2
 = dx
xxx∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
22
.
24
 = cxx +−
812
46
 
 
Ex.3 Calcular a integral múltipla mista ∫ ∫ +x
o
dxdyyx )sen( 
∫ ∫ +x
o
dxdyyx )sen( = [ ] dxyx x∫ +− 0)cos( = - ∫ − dxxx ]cos)2[cos( = 
= cxx ++− sen)2sen(
2
1 
 
As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de 
volume de sólidos, conforme mostra a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx 
dy 
dz 
x 
y 
z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral 
tripla, do tipo: 
 
 ∫ ∫ ∫= a b c dxdydzV
0 0 0
 
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1.16.1- Volume de sólidos de revolução 
Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em 
torno de uma reta fixa. 
Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido 
gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo 
[1,2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = π
1
2
7
xdxxdx]x[dx)]x(f[
72
1
62
1
232
1
2 π∫ =π∫ =π=∫ = π7
127 (unid)3 
 
 
 
Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a] 
 a b x 
y = f(x) 
r = f(x) 
dV = πr2 dx 
 
dV = π[f(x)]2 dx 
∫= b
a
dxxfV 2)]([π
 
y 
 Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume 
 1 2 x 
y = x3 
(1,1) 
(2,8) 
R 
y 
(1,1) 
(2,8) 
x 
r 
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 V = π
a
a
3
xxadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[
3
22
1
22a
a
222a
a
2
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −π∫ =−π∫ =−π=∫
−−
 
= π 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
3
aa
3
aa
3
3
3
3 = π ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −+− 
3
aa
3
aa 
3
3
3
3 = π ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ − 
3
a2a2 
3
3 
= 2πa3 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −
3
11 = 
3
4 πa3 que é o volume da esfera gerada. 
 
Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno 
do eixo de y, no intervalo [0,4]. 
 
 
 
 
 
 
 
V = π
0
4
2
yydydy]y[dy)]y(g[dyr
4
0
24
0
2b
a
2b
a
2 ∫ π=π=∫π=∫π=∫ = 8π = 25,13 unid3.Sólido (esfera) gerado pela rotação 
do semi-círculo 
-a a x 
y 
y = 
22 xa − = r 
 Semi-círculo em rotação 
y 
4 
 0 x 
y = x2 
Seção plana parábola 
girando em y
 x = y 
x 
y 
Sólido gerado pela parábola 
de revolução 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3 
Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k 
 
2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule a 
sua divergência. 
 
Resp. div V = 6x2 + 3xz2 
 
3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k 
 
Resp. rot V = 5z2 i + 2y k 
 
4) Calcular a integral ∫ ∫ +x dxdyyx
0
)( Resp. x3 / 2 = C 
5) ∫ ∫a b xydxdy
0 0
 Resp. a2b2 / 4 
6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana, 
transformando integral dupla em integral simples. As expressões em 
integral dupla são: xc = (1/A) ∫ ∫2
1
)(
)(
x
x
xf
xg
dxdyx e yc = (1/A) ∫ ∫2
1
)(
)(
x
x
xf
xg
dxdyy 
Resp. xc =(1/A). ∫ −2
1
.)]()([
x
x
dxxxgxf e yc =(1/2A). ∫ −2
1
)]()([ 22
x
x
dxxgxf 
7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de 
0,5 até 3 
Resp . V = π ∫∫ == 3
5,0
2
3
5,0
2 ]1[)]([ dx
x
dxxf π 8,34 unid3