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Cálculo 1 - capitulo 02 Revisão e Pré requisitos (2) - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 2
Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
2.1 Coordenadas no plano
Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a nu´meros reais, ditos suas coordenadas, os
pontos do plano podem ser associados a pares de nu´meros reais.
Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada uma
delas. Usualmente, uma delas e´ horizontal com a direc¸a˜o positiva para a direita. Esta reta sera´ chamada eixo x ou
eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direc¸a˜o positiva para cima, e´ chamada eixo y ou eixo das ordenadas.
Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um u´nico par de nu´meros da seguinte maneira: a
coordenada x ou abscissa de um ponto P e´ a coordenada no eixo x, do pe´ da perpendicular a este eixo passando por
P e a coordenada y ou ordenada de P e´ a coordenada no eixo y, do pe´ da perpendicular a este eixo passando por P .
Se P tem coordenadas x e y escrevemos P(x, y). Veja o gra´fico:
1
P
P
x
y
–2
–1
0
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
Observe que a ordem na qual as coordenadas sa˜o escritas e´ importante. O ponto de coordenadas (1, 3) e´ P1, e este
ponto e´ diferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y) mostrados na figura acima. Neste sentido, as coordenadas
de um ponto formam um par ordenado de nu´meros reais.
Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de nu´meros reais, reciprocamente, todo par
ordenado de nu´meros reais (a, b) determina um u´nico ponto do plano. Temos, enta˜o, uma correspondeˆncia biun´ıvoca
entre os pontos do plano e os pares ordenados de nu´meros reais. Uma correspondeˆncia desse tipo e´ chamada sistema
de coordenadas no plano.
O sistema de coordenadas que definimos e´ chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas
cartesianas em homenagem ao matema´tico e filo´sofo franceˆs Rene´ Descartes (1596-1650), que assinava seu nome em
latim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo
ramo da Matema´tica chamado, hoje, Geometria Anal´ıtica. Parte do me´rito da descoberta da Geometria Anal´ıtica
deve ser creditado, tambe´m, a um outro franceˆs, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princ´ıpios,
mais ou menos na mesma e´poca que Descartes.
O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmente
chamado plano coordenado ou plano cartesiano, e´ denotado pelo
s´ımbolo R2. O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usual-
mente colocados na posic¸a˜o indicada na figura ao lado, dividem o
plano em quatro regio˜es, denominadas quadrantes, que esta˜o indi-
cados pelos s´ımbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo com
a figura, o primeiro quadrante e´ o conjunto de todos os pontos (x,
y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, o
conjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y
> 0 e assim por diante.
iv
ii i
iii
Como a correspondeˆncia entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de nu´meros reais e´ biun´ıvoca, em
geral nos referimos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x, y), quando, na realidade queremos nos referir ao
15
16 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
ponto P cujas coordenadas sa˜o (1, 2) ou (x, y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambigu¨idade, que
estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas sa˜o dadas, de modo u´nico, pelo par ordenado (x, y) de nu´meros
reais. Repare que a notac¸a˜o usada para intervalo aberto (a, b) e´ a mesma usada para o ponto cujas coordenadas sa˜o
a e b. Dependendo do contexto onde estas notac¸o˜es forem usadas, voceˆ devera´ ser capaz de fazer a distinc¸a˜o!
2.1.1 Distaˆncia entre dois pontos do plano
A distaˆncia entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano, representada por d(P1 P2), e´ definida pela fo´rmula
d(P1 P2) =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Esta fo´rmula e´ facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(P1 P2) e´ a medida da hipotenusa
de um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem |x2 − x1 | e | y2 − y1 |, como mostra a figura abaixo.
x2x1
y1
y2
P1
P2
• Que teorema garante a validade dessa fo´rmula?
• O que acontece quando x1 = x2 ou quando y1 = y2?
Exemplo Determine a distaˆncia entre os pontos (1,−2) e (6, 2).
Soluc¸a˜o d =
√
(1− 6)2 + (−2− 2)2 = √25 + 16 = √41
O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distaˆncia automaticamente, como fazemos a seguir:
> with(student):
> distance([1,-2],[6,2]);
√
41
2.1.2 Exerc´ıcios
1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2 t+ 4, 3− 2 t) esteja:
(a) No primeiro quadrante
(b) No quarto quadrante
(c) Sobre o eixo x
(d) Sobre o eixo y
2. As duas retas trac¸adas abaixo representam a mesma func¸a˜o y = x4 . Por que as figuras trac¸adas “parecem”
diferentes? O que se pode concluir?
–0.4
–0.2
0.2
0.4
–2 –1 1 2
x
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
3. A rec´ıproca do Teorema de Pita´goras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um
triaˆngulo e´ igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo. Use este teorema
e a fo´rmula de distaˆncia entre dois pontos para mostrar que os pontos (−3, 4), (1, 0) e (5, 4) determinam um
triaˆngulo retaˆngulo.
W.Bianchini, A.R.Santos 17
4. Um sistema de coordenadas na˜o ortogonal
Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um aˆngulo, na˜o nulo, α 6= 90o.
(a) Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?
(b) Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2), qual a distaˆncia P1P2 nesse novo sistema?
5. Um sistema de coordenadas tridimensional
Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na intersecc¸a˜o de ambos, poderemos definir um sistema de
coordenadas no espac¸o. Nesse sistema, temos uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do espac¸o e triplas
ordenadas de nu´meros reais. A projec¸a˜o ortogonal de um ponto em um eixo e´ a coordenada deste ponto naquele
eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas treˆs coordenadas e escrevemos P (x, y, z).
(a) Seja P um ponto do plano xy. Sua projec¸a˜o no eixo x e´ 2 e no eixo y e´ 3. Quais sa˜o as suas coordenadas?
(b) Se P1 e´ um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de nu´meros
reais.
(c) Sobre que eixo esta´ cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(−2, 0, 0) e C(0, 0, 5).
(d) Sobre que plano esta´ cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3,−2, 0) e T (0, 1, 5).
(e) Se P ′ e´ a projec¸a˜o do ponto P (2, 3, 4) no plano xy, quais sa˜o as coordenadas de P ′?
(f) Qual a distaˆncia do ponto (3, 2,−2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz?
(g) Responda o item anterior para o ponto (x, y, z), onde x, y e z sa˜o nu´meros reais quaisquer.
(h) Qual a distaˆncia do ponto P1(x1, y1, z1) ao ponto P2(x2, y2, z2)?
(i) Quais as coordenadas do ponto me´dio do segmento que liga os pontos P1 e P2?
2.2 Gra´ficos de equac¸o˜es
A ide´ia ba´sica da Geometria Anal´ıtica e´ explorar a correspondeˆncia entre pontos e suas coordenadas para estudar
problemas geome´tricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da A´lgebra. Dessa maneira,
podemos usar o ferramental computacional da A´lgebra em problemas geome´tricos, e este foi o grande avanc¸o na
Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.
A equac¸a˜o y = 2x−1 descreve uma relac¸a˜o entre as varia´veis x e y. Uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ um par ordenado
de nu´meros reais que, quando substitu´ıdo na equac¸a˜o dada, produz uma sentenc¸a verdadeira. Assim, os pares (0,−1),
(1, 1) e ( 12 , 0) sa˜o todos soluc¸o˜es da equac¸a˜o em questa˜o. O gra´fico desta equac¸a˜o e´ o conjunto de todos os pontos no
plano coordenado que sa˜o soluc¸o˜es da mesma. Mais geralmente, uma equac¸a˜oda forma F(x, y) = 0 determina uma
curva no plano, cujo gra´fico e´ o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o dada.
Reciprocamente, uma curva definida por alguma condic¸a˜o geome´trica pode, usualmente, ser descrita por uma equac¸a˜o
da forma F(x, y) = 0.
Exemplo 1 Vamos esboc¸ar o gra´fico de y = 2x− 1. Comec¸amos determinando pontos com coordenadas (x, y)
que satisfazem a equac¸a˜o dada. E´ conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano
coordenado.
x y
−2 −5
−1 −3
0 −1
1 1
2 3
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
Como existem infinitas soluc¸o˜es para a equac¸a˜o dada, na˜o e´ poss´ıvel completar a tabela e, consequ¨entemente, o
gra´fico da equac¸a˜o listando todas as soluc¸o˜es. Em geral, os poucos pontos que calculamos na˜o seriam suficientes para
identificar o gra´fico da equac¸a˜o, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que
o gra´fico da equac¸a˜o y = 2x− 1 e´ a reta que trac¸amos abaixo.
18 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Na pro´xima sec¸a˜o provaremos que o nosso palpite esta´ correto e que o gra´fico de uma equac¸a˜o do tipo Ax+B y+C =
0 define uma reta no plano.
A te´cnica de esboc¸ar gra´ficos marcando um nu´mero suficiente de pontos ate´ que se obtenha um padra˜o e de trac¸ar
o gra´fico de acordo com este padra˜o carece de rigor e e´ muito imprecisa, podendo levar a concluso˜es completamente
erroˆneas. O pro´ximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.
Exemplo 2 Vamos esboc¸ar o gra´fico da equac¸a˜o q = 10p2+1 .
Como a relac¸a˜o dada na˜o expressa y em termos de x, o que necessariamente na˜o precisa acontecer, devemos decidir
se o primeiro nu´mero do par ordenado, a abscissa do ponto, representara´ q ou p. Qualquer escolha estara´ correta,
no entanto, como a equac¸a˜o expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo a
tabela ter´ıamos:
p -3 -2 -1 0 1 2 3
q 1 2 5 10 5 2 1
Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave ter´ıamos va´rias possibilidades,
como as mostradas abaixo:
2
4
6
8
10
–3 –2 –1 0 1 2 3
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
q
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4p
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
q
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4p
2
4
6
8
10
q
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4p
Para decidir quais dos gra´ficos acima e´ o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (E´ dessa maneira
que os computadores trac¸am gra´ficos. Veja o projeto Programando o Computador para Trac¸ar Gra´ficos de Func¸o˜es).
Durante este curso aprenderemos te´cnicas que permitira˜o trac¸ar gra´ficos com precisa˜o sem necessidade de marcar
muitos pontos. Por ora, nas pro´ximas sec¸o˜es, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gra´ficos.
Exemplo 3 Abaixo trac¸amos o gra´fico de y = x2. Esta curva e´ uma para´bola. O ponto mais baixo (0, 0) e´
chamado ve´rtice da para´bola. Neste exemplo, dizemos que a para´bola tem a concavidade voltada para cima (veja
abaixo a` esquerda). Se o gra´fico e´ invertido, como no caso da para´bola y = −x2 (veja abaixo a` direita), dizemos que
a para´bola tem a concavidade voltada para baixo.
W.Bianchini, A.R.Santos 19
0
2
4
6
8
10
12
14
16
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
x
A figura seguinte mostra o gra´fico de algumas para´bolas da forma y = ax2, para va´rios valores do paraˆmetro a.
Em todos os casos o ve´rtice e´ a origem.
a=–3
a=–1
a=1/2
a=1
a=3
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
40
60
80
100
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Execute tambe´m, na versa˜o eletroˆnica, a animac¸a˜o que mostra o efeito da variac¸a˜o do valor de a no gra´fico da
curva y = a x2.
• O que acontece quando a e´ positivo e se aproxima de zero?
• E quando a e´ negativo e se aproxima de zero?
Para responder a estas perguntas execute, na versa˜o eletroˆnica, as animac¸o˜es correspondentes.
Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a para´bola tem a concavidade voltada para cima, e se a <
0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x, y) pertence ao gra´fico da para´bola, o ponto (−x, y) tambe´m pertence.
Neste caso, dizemos que o gra´fico da para´bola e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y ou que o eixo y e´ o eixo de simetria da
para´bola.
O gra´fico da equac¸a˜o x = a y2 (veja abaixo) tambe´m representa uma para´bola que pode ser obtida a partir da
para´bola y = a x2 por meio de uma reflexa˜o em relac¸a˜o a` diagonal principal, isto e´, em relac¸a˜o a` reta y = x. (Trocar
x por y numa equac¸a˜o qualquer resulta em refletir o seu gra´fico em relac¸a˜o a` reta y = x.)
–2
–1
1
2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
a>0
–2
–1
1
2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
a<0
Nestes exemplos, os gra´ficos sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo x porque se (x, y) pertence ao gra´fico de x = a y2
enta˜o o ponto (x,−y) tambe´m pertence.
Exemplo 4 Esboce a regia˜o limitada pela para´bola x = y2 e pela reta y = x− 2.
Para esboc¸ar a regia˜o pedida, primeiro vamos achar os pontos de intersecc¸a˜o das curvas resolvendo o sistema{
x = y2
x = y + 2
Resolver este sistema e´ equivalente a resolver a equac¸a˜o y + 2 = y2 ou y2 − y − 2 = 0. Como y2 − y − 2 = 0 e´ equiva-
lente a (y − 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = −1. Assim, os pontos de intersecc¸a˜o das curvas sa˜o (4, 2) e (1,−1).
Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como e´ feito a seguir:
> solve({x=y^2,x=y+2},{x,y});
{y = −1, x = 1}, {y = 2, x = 4}
20 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
Trac¸amos, enta˜o, a reta que passa pelos pontos de in-
tersecc¸a˜o (lembre-se de que dois pontos determinam
uma u´nica reta!) e esboc¸amos a para´bola com ve´rtice
na origem, passando por estes mesmos pontos.
A regia˜o limitada por x = y2 e y = x− 2 significa a
regia˜o finita cujas fronteiras sa˜o estas curvas. Veja
ao lado.
–4
–2
2
4
–2 –1 1 2 3 4 5 6
x
2.3 Retas
Na sec¸a˜o anterior conjecturamos que a equac¸a˜o y = 2x− 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora
provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto e´, mostrando que a equac¸a˜o de uma determinada reta e´ da
forma Ax+B y + C = 0. Esta equac¸a˜o deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro
ponto. Para achar esta equac¸a˜o vamos usar o fato de que toda reta e´ determinada por dois pontos e que a ela esta´
associado um nu´mero que mede a sua inclinac¸a˜o. Este nu´mero e´ chamado declividade ou coeficiente angular da reta.
Definic¸a˜o
A declividade de uma reta na˜o vertical que passa pelos pontos P0(x0, y0) e P1(x1, y1) e´
m =
y1 − y0
x1 − x0 .
A declividade de uma reta vertical na˜o esta´ definida.
Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do aˆngulo que a
mesma faz com a direc¸a˜o horizontal.
ω
xx1xo
y
y1
y0
Usando semelhanc¸a de triaˆngulos, e´ fa´cil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto
e´, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relac¸a˜o
m =
y − y1
x− x1 =
y − y0
x− x0 =
y1 − y0
x1 − x0
e´ constante.
A declividade pode tambe´m ser interpretada como a taxa de variac¸a˜o da varia´vel dependente y em relac¸a˜o a` varia´vel
independente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m, a cada unidade de variac¸a˜o de x, corresponde m
unidades de variac¸a˜o de y. Pela observac¸a˜o acima conclu´ımos que, em uma reta, a taxa de variac¸a˜o y1−yox1−xo =
∆ y
∆ x e´
constante e, ale´m disso, qualquer curva cuja taxa de variac¸a˜o seja constante e´ uma reta.
A figura ao lado mostra va´rias retas com declividades difer-
entes. Note queas retas com declividades positivas ascen-
dem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a reta de-
scende para a direita. Se m = 0, a reta e´ paralela ao eixo
x. Note tambe´m que as retas mais inclinadas sa˜o aquelas
para as quais o valor absoluto da declividade e´ maior.
m=–0.5
m=–2 m=3 m=2
m=1
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Estamos prontos, agora, para achar a equac¸a˜o da reta, na˜o vertical, que passa por um determinado ponto P1(x1, y1)
e tem declividade m. Um ponto P(x, y) com x 6= x1 (pois a reta e´ na˜o vertical) pertence a esta reta se e somente se a
W.Bianchini, A.R.Santos 21
raza˜o y−y1x−x1 e´ igual a m, isto e´, m =
y−y1
x−x1 . Temos, portanto, a equac¸a˜o
y − y1 = m (x− x1).
Como esta equac¸a˜o e´ satisfeita tambe´m pelo ponto (x1, y1), esta e´ a equac¸a˜o da reta que procuramos, isto e´, da
reta que passa pelo ponto P1 e tem declividade m.
Exemplo 1 Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1,−7) e tem declividade − 12 .
Soluc¸a˜o Neste exemplo, m = − 12 , x1 = 1 e y1 = −7 e, portanto, a equac¸a˜o e´ dada por y + 7 = −x−12 ou, equiva-
lentemente, 2 y + 14 = −x+ 1 ou, ainda, x+ 2 y + 13 = 0 .
Suponha que uma reta na˜o vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a fo´rmula
acima conclu´ımos que a equac¸a˜o desta reta e´
y − b = m (x− 0)
ou, equivalentemente,
y = mx+ b.
Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da reta. Aqui o nu´mero b e´ chamado coeficiente linear da reta e e´ a
ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta e´ horizontal, sua declividade e´ zero e sua
equac¸a˜o e´ dada por y = b.
• Qual a caracter´ıstica geome´trica da famı´lia
de retas obtida considerando-se va´rios valores
para b na equac¸a˜o y = mx+ b? Para respon-
der a esta pergunta, observe ao lado o gra´fico
de uma famı´lia de equac¸o˜es deste tipo e exe-
cute, tambe´m, a animac¸a˜o correspondente na
versa˜o eletroˆnica.
–20
–10
0
10
20
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Na˜o se define declividade para retas verticais, sua equac¸a˜o e´ da forma x = a, onde a e´ a abscissa do ponto onde a
reta corta o eixo x. Para ver que esta equac¸a˜o e´ va´lida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de uma
reta vertical e´ a.
Exemplo 2 Ache a equac¸a˜o da reta que passa por dois pontos dados.
Soluc¸a˜o Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) os dois pontos dados da reta e P(x, y) outro ponto qualquer desta mesma
reta. Da definic¸a˜o de declividade, sabemos que
y − y1
x− x1 =
y1 − y2
x1 − x2
que e´ a equac¸a˜o procurada.
Em todos os casos tratados acima, a equac¸a˜o da reta pode ser colocada na forma Ax+B y + C = 0. De um modo
geral, esta equac¸a˜o, onde as constantes ou paraˆmetros A e B na˜o sa˜o ambos nulos, representa a equac¸a˜o de uma reta.
Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o geral da reta.
Reciprocamente, toda equac¸a˜o da forma acima, onde A, B e C sa˜o constantes e A e B na˜o sa˜o ambas nulas, e´ a
equac¸a˜o de uma reta. Assim, se B = 0, enta˜o A 6= 0 e a equac¸a˜o pode ser escrita como x = −CA , que e´ a equac¸a˜o de
uma reta vertical. Por outro lado, se B 6= 0, enta˜o y = −AxB − CB , e esta e´ a equac¸a˜o de uma reta com declividade
m = −AB que passa pelo ponto ( (0, −CB ).
Exemplo 3 Esboce o gra´fico da equac¸a˜o 3x+ 5 y = 15.
Soluc¸a˜o Como a equac¸a˜o dada e´ a equac¸a˜o de uma reta, para trac¸ar
o seu gra´fico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais fa´ceis de
achar sa˜o aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim,
substituindo y = 0 na equac¸a˜o, obtemos 3x = 15, e da´ı x = 5. Logo, o
ponto (5, 0) pertence a` reta em questa˜o. Da mesma forma, substituindo
x = 0 na equac¸a˜o temos que y = 3 e o ponto (0, 3) tambe´m pertence a`
reta. Veja o gra´fico desta reta esboc¸ado ao lado.
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
22 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares
• Duas retas sa˜o paralelas se e somente se seus coeficientes angulares sa˜o iguais.
• Duas retas com declividades m1 e m2 sa˜o perpendiculares se e somente se m1m2 = −1.
A primeira afirmac¸a˜o e´ o´bvia. A segunda na˜o e´ ta˜o evidente, mas pode
ser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhanc¸a de triaˆngulos.
Suponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura
ao lado. Desenhamos um segmento de comprimento unita´rio a` direita
do ponto de intersecc¸a˜o e trac¸amos, a partir de sua extremidade direita,
um segmento vertical que intercepta as duas retas. Os dois triaˆngulos
retaˆngulos formados dessa maneira sa˜o semelhantes e teˆm lados com
os comprimentos indicados. A semelhanc¸a implica que m11 = − 1m2 , o
que prova a relac¸a˜o que queremos. Este racioc´ınio pode ser facilmente
invertido; portanto, se m1m2 = −1, enta˜o as retas sa˜o perpendiculares.
1 m1
-m2
–3
–2
–1
0
1
2
3
1 2 3 4
Exemplo 4 Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (5, 2) e e´ paralela a` reta 4x+ 6 y + 5 = 0.
Soluc¸a˜o A equac¸a˜o da reta dada pode ser escrita como y = −2 x3 − 56 . Logo, m = −23 . Como retas paralelas teˆm
a mesma declividade, a equac¸a˜o da reta procurada e´ y − 2 = −2 (x−5)3 ou 2x+ 3 y = 16.
Exemplo 5 Mostre que as retas 2x+ 3 y = 1 e 6x− 4 y − 1 = 0 sa˜o perpendiculares.
Soluc¸a˜o As equac¸o˜es dadas podem ser escritas como y = − 2 x3 + 13 e y = 3 x2 − 14 . Assim, seus coeficientes angu-
lares sa˜o m1 = −23 e m2 = 32 , respectivamente. Como m1m2 = −1, as retas sa˜o perpendiculares.
2.4 Circunfereˆncias e elipses
2.4.1 Circunfereˆncias
A fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos e´ muitas vezes usada para achar a equac¸a˜o de uma curva cuja definic¸a˜o
geome´trica depende de uma ou mais distaˆncias. Uma das curvas mais simples desta espe´cie e´ a circunfereˆncia que
pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que equ¨idistam de um ponto fixo C. O ponto fixo e´ chamado
centro da circunfereˆncia e a distaˆncia de qualquer dos seus pontos ao centro e´ o raio dessa circunfereˆncia. Se o centro
e´ o ponto (c1, c2) e o raio e´ o nu´mero positivo r e se (x, y) e´ um ponto qualquer da circunfereˆncia, enta˜o a definic¸a˜o
acima se traduz pela equac¸a˜o √
(x− c1)2 + (y − c2)2 = r
ou, equivalentemente,
(x− c1)2 + (y − c2)2 = r2.
Em particular, a equac¸a˜o
x2 + y2 = r2
e´ a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de centro em (0, 0) e raio r.
Usamos abaixo o comando implicitplot do pacote plots e o comando distance do pacote student do Maple
para trac¸ar o gra´fico da circunfereˆncia de centro em (0, 0) e raio 1 e calcular a sua equac¸a˜o.
> with(plots):
> with(student):
> implicitplot((distance([0,0],[x,y])=1),x=-2..2,y=-2..2);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
> distance([0,0],[x,y])=1;
W.Bianchini, A.R.Santos 23
√
x2 + y2 = 1
> lhs(%)^2=rhs(%);
x2 + y2 = 1
Exemplo Mostre que a equac¸a˜o x2 + y2 + 2x− 6 y + 7 = 0 representa uma circunfereˆncia no plano e esboce o seu
gra´fico.
Soluc¸a˜o Para achar o centro e o raio desta circunfereˆncia, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguir
completamos os quadrados como segue:
x2 + 2x+ 1 + y2 − 6 y + 9 = −7 + 1 + 9
(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 3
Logo, esta equac¸a˜o representa uma circunfereˆncia de centro em (−1, 3) e raio √3 cujo gra´fico esboc¸amos abaixo.
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y
–2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5
x
2.4.2 Elipses
A curva com equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
onde a e b sa˜o nu´meros positivos, e´ chamada de elipse.
Observe que se o ponto (x, y) pertence ao gra´fico da elipse, o ponto (x,−y) tambe´m pertence, o mesmo acontecendo
com os pontos (−x,−y) e (−x, y). Assim, a elipse e´ sime´trica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esboc¸ar
o seu gra´ficovamos encontrar as intersecc¸o˜es da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o gra´fico de uma
curva corta o eixo x, basta fazer y = 0 na sua equac¸a˜o e para encontrar o ponto onde o gra´fico de uma curva corta o
eixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira conclu´ımos que os pontos (−a, 0) e (a, 0) sa˜o os pontos onde a elipse corta
o eixo x. Se a > b, a distaˆncia entre estes pontos e´ chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0, −b)
e (0, b) sa˜o os pontos de intersecc¸a˜o da elipse com o eixo y. A distaˆncia entre estes pontos e´ chamada eixo menor da
elipse. Veja a seguir o gra´fico da elipse x
2
16 +
y2
9 = 1.
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–4 –2 2 4
x
2.5 Gra´ficos de desigualdades
Vimos nos exemplos das sec¸o˜es anteriores que todos os pontos do gra´fico de uma curva satisfazem a igualdade
F(x, y) = 0 e que esta condic¸a˜o e´ satisfeita somente pelos pontos do seu gra´fico.
Nesta sec¸a˜o estamos interessados em obter o gra´fico de regio˜es descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades.
Da mesma forma que anteriormente, estas regio˜es sa˜o subconjuntos do plano onde a condic¸a˜o dada e´ satisfeita por
todos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta ide´ia.
24 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
Exemplo 1 Descreva e esboce as regio˜es definidas pelos seguintes conjuntos:
(a) {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0}
(b) {(x, y) ∈ R2; y = 1}
(c) {(x, y) ∈ R2; | y | < 1}
(d) {(x, y) ∈ R2; |x | ≤ 2 e | y | ≤ 1}
Soluc¸a˜o
(a) Os pontos do plano para os quais a abscissa e´ positiva ou nula esta˜o
todos sobre o eixo y ou a` sua direita. (Para esboc¸ar esta regia˜o usamos
o comando inequal do pacote plots do Maple.)
A parte cinza do gra´fico ao lado representa a regia˜o do plano xy que
satisfaz a condic¸a˜o x ≥ 0.
E´ claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma
regia˜o infinita, essa regia˜o aparece “desenhada” dentro de um quadrado,
no caso [−3, 3] × [−3, 3], que para no´s passara´ a representar o plano
inteiro. Se assim na˜o fosse, toda a tinta fabricada na Terra na˜o seria
suficiente para pintar essa regia˜o!
–3
–2
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
(b)] O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada e´ 1 e´ uma
reta horizontal uma unidade acima do eixo x.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
–3 –2 –1 1 2 3x
(c) Se | y | < 1, enta˜o −1 < y < 1. Esta regia˜o consiste em todos os
pontos do plano cuja ordenada esta´ entre −1 e 1, isto e´, todos os pontos
que esta˜o entre as retas horizontais y = 1 e y = −1. Na figura, estas retas
sa˜o indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos na˜o
pertencem ao conjunto em questa˜o.
–3
–2
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
(d) As desigualdades sa˜o equivalentes a −2 ≤ x ≤ 2 e −1 ≤ y ≤ 1.
Logo o gra´fico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos e da
fronteira) da regia˜o retangular mostrada na figura ao lado.
–3
–2
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
Exemplo 2 Esboce o gra´fico da desigualdade x+ 2 y > 5.
Soluc¸a˜o Estamos interessados no gra´fico do conjunto
{(x, y) ∈ R2; x+ 2 y > 5}
Resolvendo a inequac¸a˜o para y, obtemos:
x+ 2 y > 5⇒ 2 y > 5− x⇒ y > 5
2
− x
2
.
Compare esta desigualdade com a equac¸a˜o y = 52 − x2 , que representa
uma reta com declividade −12 e intersec¸a˜o com o eixo y no ponto (0, 52 ). O
gra´fico da desigualdade e´ o conjunto de todos os pontos cuja coordenada
y e´ maior que a dos pontos que esta˜o sobre a reta y = −x2 + 52 . Assim,
o gra´fico procurado e´ a regia˜o que esta´ acima da reta, como mostra a
figura ao lado.
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
–20 –10 10 20
W.Bianchini, A.R.Santos 25
2.6 Exerc´ıcios
1. (a) Mostre que o triaˆngulo com ve´rtices A(0, 2), B(−3, −1) e C(−4, 3) e´ iso´sceles.
(b) Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) sa˜o ve´rtices de um quadrado.
(c) Prove que os pontos A(−1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) sa˜o colineares mostrando que AB + BC = AC .
2. (a) Sabe-se que y = 2x− b e´ positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale b?
(b) Se um conjunto de retas e´ descrito pelas equac¸o˜es y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc... O que se
pode dizer a respeito dessas retas?
(c) Se duas retas sa˜o descritas pelas equac¸o˜es y = x+ 3 e y =
√
3x+ 2, qual o aˆngulo que cada uma delas faz
com o eixo x?
3. Determine os valores da constante k para os quais a reta
(k − 3)x− (4− k2) y + k2 − 7 k + 6 = 0
(a) e´ paralela ao eixo x.
(b) e´ paralela ao eixo y.
(c) passa pela origem.
4. Ache a equac¸a˜o da reta que:
(a) passa por (−2, 3) e tem declividade −4.
(b) passa por (−4, 2) e (3,−1).
(c) tem declividade 23 e coeficiente linear −4.
(d) passa por (2,−4) e e´ paralela ao eixo x.
(e) passa por (1, 6) e e´ paralela ao eixo y.
(f) passa por (4,−2) e e´ paralela a x+ 3 y = 7
(g) passa por (5, 3) e e´ perpendicular a y + 7 = 2x.
(h) passa por (−4, 3) e paralela a` reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).
5. (a) Mostre que as retas 2x− y = 4 e 6x− 2 y = 10 na˜o sa˜o paralelas e ache o seu ponto de intersecc¸a˜o.
(b) Se A, B, C e C ′ sa˜o constantes e A e B na˜o sa˜o ambas nulas, mostre que as retas:
i. Ax+B y + C = 0 e Ax+B y + C ′ = 0 coincidem ou sa˜o paralelas.
ii. Ax+B y + C = 0 e B x−Ay + C ′ = 0 sa˜o perpendiculares.
6. (a) Mostre que o ponto me´dio do segmento de reta de extremidades P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e´ (
x1+x2
2 ,
y1+y2
2 ).
(b) Ache o ponto me´dio do segmento de reta que une os pontos
i. (1,3) e (7,15)
ii. (−1, 6) e (8,−12).
7. (a) Mostre que as equac¸o˜es abaixo representam uma circunfereˆncia. Ache o seu centro e o seu raio.
i. x2 + y2 − 4x+ 10 y + 13 = 0
ii. x2 + y2 + 6 y + 2 = 0
iii. x2 + y2 + x = 0
iv. 2x2 + 2 y2 − x+ y = 1
(b) Sob que condic¸o˜es sobre os coeficientes a, b e c a equac¸a˜o
x2 + y2 + a x+ b y + c = 0
representa uma circunfereˆncia? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio.
26 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
8. Nos ı´tens abaixo, voceˆ deve determinar a condic¸a˜o representada por cada um dos gra´ficos. Voceˆ pode testar a
sua resposta usando a versa˜o eletroˆnica deste texto!
(a) Qual a condic¸a˜o representada pela parte escura do gra´fico (1)?
(b) Qual a condic¸a˜o representada pela reta do gra´fico (2)?
(c) Qual a condic¸a˜o representada pela parte escura do gra´fico (3)?
–3
–2
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
(1)
–2
–1
0
1
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
(2)
–4
–2
2
4
–4 –2 2 4
(3)
2.7 Problemas
1. Esboce o gra´fico dos conjuntos:
(a) W={(x, y) ∈ R2;x = 4}
(b) W = {(x, y) ∈ R2; y = −3}
(c) W = {(x, y) ∈ R2;x y = 0}
(d) W= {(x, y) ∈ R2; |x | < 2, | y | > 1}
(e) W= {(x, y) ∈ R2;x y < 0}
(f) W= {(x, y) ∈ R2; |x | > 1 e | y | ≤ 2}
(g) O conjunto dos pontos equ¨idistastes de (0, 1) e (1, 0).
(h) Escreva a condic¸a˜o do item (g) na forma mais simples poss´ıvel.
2. Esboce o gra´fico das condic¸o˜es dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a regia˜o definida pela condic¸a˜o:
(a) x2 + y2 = 1
(b) y = 2x2 − 1
(c) 3 y + x2 = 0
(d) y = 3x+ 1
(e) x = 2 e 0 ≤ y ≤ 2
(f) x = −3
(g) y = 2
(h) x2 + y2 < 1
(i) x2 + y2 > 1
(j) x2 + y2 ≤ 1
3. Esboce a regia˜o limitada pelas curvas
(a) y = 3x e y = x2 (b) y = 4− x2 e x− 2 y = 2.
4. (a) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o y = |x|.
(b) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o |x |+ | y | = 1.
5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x+ y = 1, acima do eixo x, e e´ refletido ao tocar esse eixo. Sabendo
que o aˆngulo de incideˆncia e´ igual ao aˆngulo de reflexa˜o, escreva a equac¸a˜o da nova trajeto´ria.
6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma
x
a
+
y
b
= 1.
Esta e´ a chamada forma segmenta´ria da equac¸a˜o da reta. Escreva nesta forma a equac¸a˜o 4x+ 2 y= 6.
7. (a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` circunfereˆncia x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4).
(b) Voceˆ e´ capaz de determinar, por me´todos geome´tricos, a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 no
ponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laborato´rio: Retas Tangentes - Atividade 2.)
8. Um carro parte do Rio de Janeiro a`s 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio-Sa˜o Paulo. Ele passa
por Itatiaia (a 150 km do Rio) a`s 15:50hs.
(a) Expresse a distaˆncia percorrida em termos do tempo transcorrido.
W.Bianchini, A.R.Santos 27
(b) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o obtida em (a).
(c) Qual a declividade desta curva?
(d) O que representa esta declividade?
9. (a) Um sistema linear do tipo {
a1 x+ b1 y = c1
a2 x+ b2 y = c2
pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de soluc¸o˜es. Interprete geometricamente, cada um desses casos
e deduza a condic¸a˜o alge´brica que garante a existeˆncia de uma, nenhuma ou de infinitas soluc¸o˜es para esse
sistema.
(b) Uma equac¸a˜o da forma Ax+B y+C z+D = 0, onde A, B e C na˜o sa˜o simultaneamente nulos, representa
um plano no espac¸o tridimensional. Interprete geometricamente todas as poss´ıveis soluc¸o˜es para sistemas
lineares com duas equac¸o˜es e treˆs varia´veis, em termos das posic¸o˜es relativas entre dois planos. (Veja as
Atividades de Laborato´rio - Atividade 3.)
10. A para´bola pode ser definida como o lugar geome´trico dos pontos cujas distaˆncias a uma reta fixa r e a um
ponto fixo F sa˜o iguais. O ponto F chama-se foco da para´bola e a reta r a sua diretriz.
(a) Deduza a equac¸a˜o da para´bola no caso particular em que o foco e´ o ponto (0, 1) e a diretriz e´ a reta y = −1
e trace o seu gra´fico.
(b) Deduza a equac¸a˜o da para´bola com foco em F = (α, 0), com o eixo x perpendicular a` diretriz e o eixo y
coincidindo com a mediatriz do segmento FF ′, onde F ′ e´ a projec¸a˜o ortogonal de F sobre a diretriz. Trace
o seu gra´fico e responda a`s seguintes perguntas:
i. Em que semi-plano esta´ contida esta para´bola?
ii. Qual o seu eixo de simetria?
iii. Qual o seu ve´rtice?
iv. Qual a equac¸a˜o da reta diretriz?
(Em todos os ı´tens, estude os casos α > 0 e α < 0.
(c) Suponha agora que o foco da para´bola seja o ponto F (0, α). Deduza a equac¸a˜o da para´bola no caso em
que o eixo y e´ perpendicular a` diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento FF ′. Trace o seu
gra´fico e responda a`s mesmas perguntas do item anterior.
2.8 Atividades de laborato´rio
Fac¸a as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da versa˜o eletroˆnica.
2.9 Para voceˆ meditar: O gra´fico da equac¸a˜o y=mx e´ sempre uma linha
reta?
Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de
nu´meros da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenada
x ou abscissa de um ponto P e´ a distaˆncia desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P e´ a distaˆncia
desse ponto ao eixo x. Isto e´, se P tem coordenadas x e y esses nu´meros representam as distaˆncias de P em relac¸a˜o
aos eixos y e x, respectivamente.
Sabemos, tambe´m, que o gra´fico de uma equac¸a˜o y = f(x) e´ o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta
relac¸a˜o, isto e´, os pontos que pertencem ao gra´fico dessa equac¸a˜o sa˜o os pontos do plano da forma (x, f(x)).
Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gra´fico da equac¸a˜o y = x e´ uma reta que pode ser definida
como o lugar geome´trico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gra´fico da equac¸a˜o y = 2x e´ a reta
definida como o lugar geome´trico dos pontos cuja distaˆncia y ao eixo x e´ duas vezes a sua distaˆncia ao eixo y. Repare
que, nesse sistema, as distaˆncias sa˜o medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados.
28 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2)
Veja a figura ao lado onde trac¸amos, em conjunto, os
gra´ficos das func¸o˜es y = x, y = 2x e a malha retangular us-
ada nesse sistema de coordenadas para medir as distaˆncias.
–4
–2
2
4
–2 –1 1 2
x
Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas retas perpendiculares vamos considerar um ponto
e uma reta fixa. O ponto fixo sera´ chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas sera´ chamado
foco-diretriz.
• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual sera´ o gra´fico
da equac¸a˜o y = x, isto e´, qual o lugar geome´trico dos pon-
tos cuja distaˆncia ao foco e´ igual a sua distaˆncia a` dire-
triz? (Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas
cartesianas as distaˆncias eram medidas por retas parale-
las aos eixos coordenados, nesse sistema as distaˆncias sera˜o
medidas por retas paralelas a` diretriz e a`s circunfereˆncias
conceˆntricas ao foco.) –4
–2
2
4
–4 –2 2 4x
• Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geome´trico dos pontos cuja distaˆncia ao foco e´ igual a k
vezes a sua distaˆncia a` diretriz. Estude os casos para k = 1, k < 1 e k > 1.
Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (po´lo) sobre
essa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o aˆngulo que o raio que une o ponto ao po´lo faz com o
eixo, e a coordenada y a distaˆncia do ponto ao po´lo. Esse sistema coordenado e´ dito Sistema de Coordenadas Polares.
• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema?
• Qual o gra´fico da equac¸a˜o y = x nesse sistema, isto e´, qual o lugar geome´trico dos pontos cujo aˆngulo que a
direc¸a˜o ponto-po´lo faz com o eixo e´ igual a` distaˆncia do ponto ao po´lo?
• Como voceˆ definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Como
voceˆ poderia interpretar geometricamente a relac¸a˜o y = x? Qual seria o gra´fico desse lugar geome´trico?
2.10 Projetos
2.10.1 Melhor qualidade de gravac¸a˜o
Os aparelhos comuns de video cassete teˆm treˆs velocidades de gravac¸a˜o: SP (standard play), LP (long play) e EP
(extra long play). Usando uma fita comum de v´ıdeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2h de
durac¸a˜o. Esse tempo aumenta para 4h e 6h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante
a melhor qualidade de gravac¸a˜o. Quando os outros modos sa˜o usados, as informac¸o˜es sa˜o gravadas de modo mais
condensado na fita, com a consequ¨ente perda de qualidade.
Suponha que se deseja gravar, em uma u´nica fita, um filme de 3h de durac¸a˜o, com a melhor qualidade poss´ıvel.
Isto quer dizer que, em algum momento, e´ necessa´rio mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP
(maior tempo de gravac¸a˜o). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchida
quando o filme terminar.
• A partir do in´ıcio da gravac¸a˜o, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?
• Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP e´ desprez´ıvel a olho nu, resolva o mesmo problema
se mudarmos do modo SP para o modo EP.
2.10.2 Custo mı´nimo x aproveitamento ma´ximo
Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantac¸a˜o e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro conte´m
3g de fo´sforo, 1g de nitrogeˆnio e 8g de pota´ssio e custa R$ 10,00 por quilo. O segundo tipo conte´m 2g de fo´sforo, 3g
de nitrogeˆnio e 2g de pota´ssio e custa R$ 8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo e´ suficiente para 10 m2 de terra e
W.Bianchini, A.R.Santos 29
que o solo onde esta˜o suas plantac¸o˜es necessita de pelo menos 3g de fo´sforo, 1,5g de nitrogeˆnio e 4g de pota´ssio para
cada 10 m2.
• Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 de terreno, de modo a obter um custo
mı´nimo?
• Ha´ muitas situac¸o˜es em que essa mesma espe´cie de ana´lise e´ necessa´ria. Se voceˆ ainda na˜o o fez, formule um
modelo matema´tico formal que descreva situac¸o˜es desse tipo e deˆ exemplos de outrosproblemas onde esta ana´lise
seja necessa´ria.

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