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Cap´ıtulo 2 Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) 2.1 Coordenadas no plano Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a nu´meros reais, ditos suas coordenadas, os pontos do plano podem ser associados a pares de nu´meros reais. Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada uma delas. Usualmente, uma delas e´ horizontal com a direc¸a˜o positiva para a direita. Esta reta sera´ chamada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direc¸a˜o positiva para cima, e´ chamada eixo y ou eixo das ordenadas. Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um u´nico par de nu´meros da seguinte maneira: a coordenada x ou abscissa de um ponto P e´ a coordenada no eixo x, do pe´ da perpendicular a este eixo passando por P e a coordenada y ou ordenada de P e´ a coordenada no eixo y, do pe´ da perpendicular a este eixo passando por P . Se P tem coordenadas x e y escrevemos P(x, y). Veja o gra´fico: 1 P P x y –2 –1 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 Observe que a ordem na qual as coordenadas sa˜o escritas e´ importante. O ponto de coordenadas (1, 3) e´ P1, e este ponto e´ diferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y) mostrados na figura acima. Neste sentido, as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de nu´meros reais. Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de nu´meros reais, reciprocamente, todo par ordenado de nu´meros reais (a, b) determina um u´nico ponto do plano. Temos, enta˜o, uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de nu´meros reais. Uma correspondeˆncia desse tipo e´ chamada sistema de coordenadas no plano. O sistema de coordenadas que definimos e´ chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas cartesianas em homenagem ao matema´tico e filo´sofo franceˆs Rene´ Descartes (1596-1650), que assinava seu nome em latim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo ramo da Matema´tica chamado, hoje, Geometria Anal´ıtica. Parte do me´rito da descoberta da Geometria Anal´ıtica deve ser creditado, tambe´m, a um outro franceˆs, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princ´ıpios, mais ou menos na mesma e´poca que Descartes. O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmente chamado plano coordenado ou plano cartesiano, e´ denotado pelo s´ımbolo R2. O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usual- mente colocados na posic¸a˜o indicada na figura ao lado, dividem o plano em quatro regio˜es, denominadas quadrantes, que esta˜o indi- cados pelos s´ımbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo com a figura, o primeiro quadrante e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, o conjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y > 0 e assim por diante. iv ii i iii Como a correspondeˆncia entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de nu´meros reais e´ biun´ıvoca, em geral nos referimos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x, y), quando, na realidade queremos nos referir ao 15 16 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) ponto P cujas coordenadas sa˜o (1, 2) ou (x, y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambigu¨idade, que estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas sa˜o dadas, de modo u´nico, pelo par ordenado (x, y) de nu´meros reais. Repare que a notac¸a˜o usada para intervalo aberto (a, b) e´ a mesma usada para o ponto cujas coordenadas sa˜o a e b. Dependendo do contexto onde estas notac¸o˜es forem usadas, voceˆ devera´ ser capaz de fazer a distinc¸a˜o! 2.1.1 Distaˆncia entre dois pontos do plano A distaˆncia entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano, representada por d(P1 P2), e´ definida pela fo´rmula d(P1 P2) = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 Esta fo´rmula e´ facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(P1 P2) e´ a medida da hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem |x2 − x1 | e | y2 − y1 |, como mostra a figura abaixo. x2x1 y1 y2 P1 P2 • Que teorema garante a validade dessa fo´rmula? • O que acontece quando x1 = x2 ou quando y1 = y2? Exemplo Determine a distaˆncia entre os pontos (1,−2) e (6, 2). Soluc¸a˜o d = √ (1− 6)2 + (−2− 2)2 = √25 + 16 = √41 O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distaˆncia automaticamente, como fazemos a seguir: > with(student): > distance([1,-2],[6,2]); √ 41 2.1.2 Exerc´ıcios 1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2 t+ 4, 3− 2 t) esteja: (a) No primeiro quadrante (b) No quarto quadrante (c) Sobre o eixo x (d) Sobre o eixo y 2. As duas retas trac¸adas abaixo representam a mesma func¸a˜o y = x4 . Por que as figuras trac¸adas “parecem” diferentes? O que se pode concluir? –0.4 –0.2 0.2 0.4 –2 –1 1 2 x –2 –1 0 1 2 y –2 –1 1 2 x 3. A rec´ıproca do Teorema de Pita´goras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um triaˆngulo e´ igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo. Use este teorema e a fo´rmula de distaˆncia entre dois pontos para mostrar que os pontos (−3, 4), (1, 0) e (5, 4) determinam um triaˆngulo retaˆngulo. W.Bianchini, A.R.Santos 17 4. Um sistema de coordenadas na˜o ortogonal Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um aˆngulo, na˜o nulo, α 6= 90o. (a) Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema? (b) Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2), qual a distaˆncia P1P2 nesse novo sistema? 5. Um sistema de coordenadas tridimensional Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na intersecc¸a˜o de ambos, poderemos definir um sistema de coordenadas no espac¸o. Nesse sistema, temos uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do espac¸o e triplas ordenadas de nu´meros reais. A projec¸a˜o ortogonal de um ponto em um eixo e´ a coordenada deste ponto naquele eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas treˆs coordenadas e escrevemos P (x, y, z). (a) Seja P um ponto do plano xy. Sua projec¸a˜o no eixo x e´ 2 e no eixo y e´ 3. Quais sa˜o as suas coordenadas? (b) Se P1 e´ um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de nu´meros reais. (c) Sobre que eixo esta´ cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(−2, 0, 0) e C(0, 0, 5). (d) Sobre que plano esta´ cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3,−2, 0) e T (0, 1, 5). (e) Se P ′ e´ a projec¸a˜o do ponto P (2, 3, 4) no plano xy, quais sa˜o as coordenadas de P ′? (f) Qual a distaˆncia do ponto (3, 2,−2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz? (g) Responda o item anterior para o ponto (x, y, z), onde x, y e z sa˜o nu´meros reais quaisquer. (h) Qual a distaˆncia do ponto P1(x1, y1, z1) ao ponto P2(x2, y2, z2)? (i) Quais as coordenadas do ponto me´dio do segmento que liga os pontos P1 e P2? 2.2 Gra´ficos de equac¸o˜es A ide´ia ba´sica da Geometria Anal´ıtica e´ explorar a correspondeˆncia entre pontos e suas coordenadas para estudar problemas geome´tricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da A´lgebra. Dessa maneira, podemos usar o ferramental computacional da A´lgebra em problemas geome´tricos, e este foi o grande avanc¸o na Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito. A equac¸a˜o y = 2x−1 descreve uma relac¸a˜o entre as varia´veis x e y. Uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ um par ordenado de nu´meros reais que, quando substitu´ıdo na equac¸a˜o dada, produz uma sentenc¸a verdadeira. Assim, os pares (0,−1), (1, 1) e ( 12 , 0) sa˜o todos soluc¸o˜es da equac¸a˜o em questa˜o. O gra´fico desta equac¸a˜o e´ o conjunto de todos os pontos no plano coordenado que sa˜o soluc¸o˜es da mesma. Mais geralmente, uma equac¸a˜oda forma F(x, y) = 0 determina uma curva no plano, cujo gra´fico e´ o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o dada. Reciprocamente, uma curva definida por alguma condic¸a˜o geome´trica pode, usualmente, ser descrita por uma equac¸a˜o da forma F(x, y) = 0. Exemplo 1 Vamos esboc¸ar o gra´fico de y = 2x− 1. Comec¸amos determinando pontos com coordenadas (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o dada. E´ conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano coordenado. x y −2 −5 −1 −3 0 −1 1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 Como existem infinitas soluc¸o˜es para a equac¸a˜o dada, na˜o e´ poss´ıvel completar a tabela e, consequ¨entemente, o gra´fico da equac¸a˜o listando todas as soluc¸o˜es. Em geral, os poucos pontos que calculamos na˜o seriam suficientes para identificar o gra´fico da equac¸a˜o, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que o gra´fico da equac¸a˜o y = 2x− 1 e´ a reta que trac¸amos abaixo. 18 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x Na pro´xima sec¸a˜o provaremos que o nosso palpite esta´ correto e que o gra´fico de uma equac¸a˜o do tipo Ax+B y+C = 0 define uma reta no plano. A te´cnica de esboc¸ar gra´ficos marcando um nu´mero suficiente de pontos ate´ que se obtenha um padra˜o e de trac¸ar o gra´fico de acordo com este padra˜o carece de rigor e e´ muito imprecisa, podendo levar a concluso˜es completamente erroˆneas. O pro´ximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir. Exemplo 2 Vamos esboc¸ar o gra´fico da equac¸a˜o q = 10p2+1 . Como a relac¸a˜o dada na˜o expressa y em termos de x, o que necessariamente na˜o precisa acontecer, devemos decidir se o primeiro nu´mero do par ordenado, a abscissa do ponto, representara´ q ou p. Qualquer escolha estara´ correta, no entanto, como a equac¸a˜o expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo a tabela ter´ıamos: p -3 -2 -1 0 1 2 3 q 1 2 5 10 5 2 1 Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave ter´ıamos va´rias possibilidades, como as mostradas abaixo: 2 4 6 8 10 –3 –2 –1 0 1 2 3 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 1 2 3 4p –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 1 2 3 4p 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4p Para decidir quais dos gra´ficos acima e´ o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (E´ dessa maneira que os computadores trac¸am gra´ficos. Veja o projeto Programando o Computador para Trac¸ar Gra´ficos de Func¸o˜es). Durante este curso aprenderemos te´cnicas que permitira˜o trac¸ar gra´ficos com precisa˜o sem necessidade de marcar muitos pontos. Por ora, nas pro´ximas sec¸o˜es, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gra´ficos. Exemplo 3 Abaixo trac¸amos o gra´fico de y = x2. Esta curva e´ uma para´bola. O ponto mais baixo (0, 0) e´ chamado ve´rtice da para´bola. Neste exemplo, dizemos que a para´bola tem a concavidade voltada para cima (veja abaixo a` esquerda). Se o gra´fico e´ invertido, como no caso da para´bola y = −x2 (veja abaixo a` direita), dizemos que a para´bola tem a concavidade voltada para baixo. W.Bianchini, A.R.Santos 19 0 2 4 6 8 10 12 14 16 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 x A figura seguinte mostra o gra´fico de algumas para´bolas da forma y = ax2, para va´rios valores do paraˆmetro a. Em todos os casos o ve´rtice e´ a origem. a=–3 a=–1 a=1/2 a=1 a=3 –100 –80 –60 –40 –20 0 20 40 60 80 100 y –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x Execute tambe´m, na versa˜o eletroˆnica, a animac¸a˜o que mostra o efeito da variac¸a˜o do valor de a no gra´fico da curva y = a x2. • O que acontece quando a e´ positivo e se aproxima de zero? • E quando a e´ negativo e se aproxima de zero? Para responder a estas perguntas execute, na versa˜o eletroˆnica, as animac¸o˜es correspondentes. Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a para´bola tem a concavidade voltada para cima, e se a < 0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x, y) pertence ao gra´fico da para´bola, o ponto (−x, y) tambe´m pertence. Neste caso, dizemos que o gra´fico da para´bola e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y ou que o eixo y e´ o eixo de simetria da para´bola. O gra´fico da equac¸a˜o x = a y2 (veja abaixo) tambe´m representa uma para´bola que pode ser obtida a partir da para´bola y = a x2 por meio de uma reflexa˜o em relac¸a˜o a` diagonal principal, isto e´, em relac¸a˜o a` reta y = x. (Trocar x por y numa equac¸a˜o qualquer resulta em refletir o seu gra´fico em relac¸a˜o a` reta y = x.) –2 –1 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x a>0 –2 –1 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x a<0 Nestes exemplos, os gra´ficos sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo x porque se (x, y) pertence ao gra´fico de x = a y2 enta˜o o ponto (x,−y) tambe´m pertence. Exemplo 4 Esboce a regia˜o limitada pela para´bola x = y2 e pela reta y = x− 2. Para esboc¸ar a regia˜o pedida, primeiro vamos achar os pontos de intersecc¸a˜o das curvas resolvendo o sistema{ x = y2 x = y + 2 Resolver este sistema e´ equivalente a resolver a equac¸a˜o y + 2 = y2 ou y2 − y − 2 = 0. Como y2 − y − 2 = 0 e´ equiva- lente a (y − 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = −1. Assim, os pontos de intersecc¸a˜o das curvas sa˜o (4, 2) e (1,−1). Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como e´ feito a seguir: > solve({x=y^2,x=y+2},{x,y}); {y = −1, x = 1}, {y = 2, x = 4} 20 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) Trac¸amos, enta˜o, a reta que passa pelos pontos de in- tersecc¸a˜o (lembre-se de que dois pontos determinam uma u´nica reta!) e esboc¸amos a para´bola com ve´rtice na origem, passando por estes mesmos pontos. A regia˜o limitada por x = y2 e y = x− 2 significa a regia˜o finita cujas fronteiras sa˜o estas curvas. Veja ao lado. –4 –2 2 4 –2 –1 1 2 3 4 5 6 x 2.3 Retas Na sec¸a˜o anterior conjecturamos que a equac¸a˜o y = 2x− 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto e´, mostrando que a equac¸a˜o de uma determinada reta e´ da forma Ax+B y + C = 0. Esta equac¸a˜o deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro ponto. Para achar esta equac¸a˜o vamos usar o fato de que toda reta e´ determinada por dois pontos e que a ela esta´ associado um nu´mero que mede a sua inclinac¸a˜o. Este nu´mero e´ chamado declividade ou coeficiente angular da reta. Definic¸a˜o A declividade de uma reta na˜o vertical que passa pelos pontos P0(x0, y0) e P1(x1, y1) e´ m = y1 − y0 x1 − x0 . A declividade de uma reta vertical na˜o esta´ definida. Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do aˆngulo que a mesma faz com a direc¸a˜o horizontal. ω xx1xo y y1 y0 Usando semelhanc¸a de triaˆngulos, e´ fa´cil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto e´, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relac¸a˜o m = y − y1 x− x1 = y − y0 x− x0 = y1 − y0 x1 − x0 e´ constante. A declividade pode tambe´m ser interpretada como a taxa de variac¸a˜o da varia´vel dependente y em relac¸a˜o a` varia´vel independente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m, a cada unidade de variac¸a˜o de x, corresponde m unidades de variac¸a˜o de y. Pela observac¸a˜o acima conclu´ımos que, em uma reta, a taxa de variac¸a˜o y1−yox1−xo = ∆ y ∆ x e´ constante e, ale´m disso, qualquer curva cuja taxa de variac¸a˜o seja constante e´ uma reta. A figura ao lado mostra va´rias retas com declividades difer- entes. Note queas retas com declividades positivas ascen- dem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a reta de- scende para a direita. Se m = 0, a reta e´ paralela ao eixo x. Note tambe´m que as retas mais inclinadas sa˜o aquelas para as quais o valor absoluto da declividade e´ maior. m=–0.5 m=–2 m=3 m=2 m=1 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x Estamos prontos, agora, para achar a equac¸a˜o da reta, na˜o vertical, que passa por um determinado ponto P1(x1, y1) e tem declividade m. Um ponto P(x, y) com x 6= x1 (pois a reta e´ na˜o vertical) pertence a esta reta se e somente se a W.Bianchini, A.R.Santos 21 raza˜o y−y1x−x1 e´ igual a m, isto e´, m = y−y1 x−x1 . Temos, portanto, a equac¸a˜o y − y1 = m (x− x1). Como esta equac¸a˜o e´ satisfeita tambe´m pelo ponto (x1, y1), esta e´ a equac¸a˜o da reta que procuramos, isto e´, da reta que passa pelo ponto P1 e tem declividade m. Exemplo 1 Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1,−7) e tem declividade − 12 . Soluc¸a˜o Neste exemplo, m = − 12 , x1 = 1 e y1 = −7 e, portanto, a equac¸a˜o e´ dada por y + 7 = −x−12 ou, equiva- lentemente, 2 y + 14 = −x+ 1 ou, ainda, x+ 2 y + 13 = 0 . Suponha que uma reta na˜o vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a fo´rmula acima conclu´ımos que a equac¸a˜o desta reta e´ y − b = m (x− 0) ou, equivalentemente, y = mx+ b. Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da reta. Aqui o nu´mero b e´ chamado coeficiente linear da reta e e´ a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta e´ horizontal, sua declividade e´ zero e sua equac¸a˜o e´ dada por y = b. • Qual a caracter´ıstica geome´trica da famı´lia de retas obtida considerando-se va´rios valores para b na equac¸a˜o y = mx+ b? Para respon- der a esta pergunta, observe ao lado o gra´fico de uma famı´lia de equac¸o˜es deste tipo e exe- cute, tambe´m, a animac¸a˜o correspondente na versa˜o eletroˆnica. –20 –10 0 10 20 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x Na˜o se define declividade para retas verticais, sua equac¸a˜o e´ da forma x = a, onde a e´ a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Para ver que esta equac¸a˜o e´ va´lida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de uma reta vertical e´ a. Exemplo 2 Ache a equac¸a˜o da reta que passa por dois pontos dados. Soluc¸a˜o Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) os dois pontos dados da reta e P(x, y) outro ponto qualquer desta mesma reta. Da definic¸a˜o de declividade, sabemos que y − y1 x− x1 = y1 − y2 x1 − x2 que e´ a equac¸a˜o procurada. Em todos os casos tratados acima, a equac¸a˜o da reta pode ser colocada na forma Ax+B y + C = 0. De um modo geral, esta equac¸a˜o, onde as constantes ou paraˆmetros A e B na˜o sa˜o ambos nulos, representa a equac¸a˜o de uma reta. Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o geral da reta. Reciprocamente, toda equac¸a˜o da forma acima, onde A, B e C sa˜o constantes e A e B na˜o sa˜o ambas nulas, e´ a equac¸a˜o de uma reta. Assim, se B = 0, enta˜o A 6= 0 e a equac¸a˜o pode ser escrita como x = −CA , que e´ a equac¸a˜o de uma reta vertical. Por outro lado, se B 6= 0, enta˜o y = −AxB − CB , e esta e´ a equac¸a˜o de uma reta com declividade m = −AB que passa pelo ponto ( (0, −CB ). Exemplo 3 Esboce o gra´fico da equac¸a˜o 3x+ 5 y = 15. Soluc¸a˜o Como a equac¸a˜o dada e´ a equac¸a˜o de uma reta, para trac¸ar o seu gra´fico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais fa´ceis de achar sa˜o aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim, substituindo y = 0 na equac¸a˜o, obtemos 3x = 15, e da´ı x = 5. Logo, o ponto (5, 0) pertence a` reta em questa˜o. Da mesma forma, substituindo x = 0 na equac¸a˜o temos que y = 3 e o ponto (0, 3) tambe´m pertence a` reta. Veja o gra´fico desta reta esboc¸ado ao lado. –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 y –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x 22 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) 2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares • Duas retas sa˜o paralelas se e somente se seus coeficientes angulares sa˜o iguais. • Duas retas com declividades m1 e m2 sa˜o perpendiculares se e somente se m1m2 = −1. A primeira afirmac¸a˜o e´ o´bvia. A segunda na˜o e´ ta˜o evidente, mas pode ser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhanc¸a de triaˆngulos. Suponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura ao lado. Desenhamos um segmento de comprimento unita´rio a` direita do ponto de intersecc¸a˜o e trac¸amos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas. Os dois triaˆngulos retaˆngulos formados dessa maneira sa˜o semelhantes e teˆm lados com os comprimentos indicados. A semelhanc¸a implica que m11 = − 1m2 , o que prova a relac¸a˜o que queremos. Este racioc´ınio pode ser facilmente invertido; portanto, se m1m2 = −1, enta˜o as retas sa˜o perpendiculares. 1 m1 -m2 –3 –2 –1 0 1 2 3 1 2 3 4 Exemplo 4 Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (5, 2) e e´ paralela a` reta 4x+ 6 y + 5 = 0. Soluc¸a˜o A equac¸a˜o da reta dada pode ser escrita como y = −2 x3 − 56 . Logo, m = −23 . Como retas paralelas teˆm a mesma declividade, a equac¸a˜o da reta procurada e´ y − 2 = −2 (x−5)3 ou 2x+ 3 y = 16. Exemplo 5 Mostre que as retas 2x+ 3 y = 1 e 6x− 4 y − 1 = 0 sa˜o perpendiculares. Soluc¸a˜o As equac¸o˜es dadas podem ser escritas como y = − 2 x3 + 13 e y = 3 x2 − 14 . Assim, seus coeficientes angu- lares sa˜o m1 = −23 e m2 = 32 , respectivamente. Como m1m2 = −1, as retas sa˜o perpendiculares. 2.4 Circunfereˆncias e elipses 2.4.1 Circunfereˆncias A fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos e´ muitas vezes usada para achar a equac¸a˜o de uma curva cuja definic¸a˜o geome´trica depende de uma ou mais distaˆncias. Uma das curvas mais simples desta espe´cie e´ a circunfereˆncia que pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que equ¨idistam de um ponto fixo C. O ponto fixo e´ chamado centro da circunfereˆncia e a distaˆncia de qualquer dos seus pontos ao centro e´ o raio dessa circunfereˆncia. Se o centro e´ o ponto (c1, c2) e o raio e´ o nu´mero positivo r e se (x, y) e´ um ponto qualquer da circunfereˆncia, enta˜o a definic¸a˜o acima se traduz pela equac¸a˜o √ (x− c1)2 + (y − c2)2 = r ou, equivalentemente, (x− c1)2 + (y − c2)2 = r2. Em particular, a equac¸a˜o x2 + y2 = r2 e´ a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de centro em (0, 0) e raio r. Usamos abaixo o comando implicitplot do pacote plots e o comando distance do pacote student do Maple para trac¸ar o gra´fico da circunfereˆncia de centro em (0, 0) e raio 1 e calcular a sua equac¸a˜o. > with(plots): > with(student): > implicitplot((distance([0,0],[x,y])=1),x=-2..2,y=-2..2); –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x > distance([0,0],[x,y])=1; W.Bianchini, A.R.Santos 23 √ x2 + y2 = 1 > lhs(%)^2=rhs(%); x2 + y2 = 1 Exemplo Mostre que a equac¸a˜o x2 + y2 + 2x− 6 y + 7 = 0 representa uma circunfereˆncia no plano e esboce o seu gra´fico. Soluc¸a˜o Para achar o centro e o raio desta circunfereˆncia, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguir completamos os quadrados como segue: x2 + 2x+ 1 + y2 − 6 y + 9 = −7 + 1 + 9 (x+ 1)2 + (y − 3)2 = 3 Logo, esta equac¸a˜o representa uma circunfereˆncia de centro em (−1, 3) e raio √3 cujo gra´fico esboc¸amos abaixo. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 x 2.4.2 Elipses A curva com equac¸a˜o x2 a2 + y2 b2 = 1, onde a e b sa˜o nu´meros positivos, e´ chamada de elipse. Observe que se o ponto (x, y) pertence ao gra´fico da elipse, o ponto (x,−y) tambe´m pertence, o mesmo acontecendo com os pontos (−x,−y) e (−x, y). Assim, a elipse e´ sime´trica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esboc¸ar o seu gra´ficovamos encontrar as intersecc¸o˜es da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o gra´fico de uma curva corta o eixo x, basta fazer y = 0 na sua equac¸a˜o e para encontrar o ponto onde o gra´fico de uma curva corta o eixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira conclu´ımos que os pontos (−a, 0) e (a, 0) sa˜o os pontos onde a elipse corta o eixo x. Se a > b, a distaˆncia entre estes pontos e´ chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0, −b) e (0, b) sa˜o os pontos de intersecc¸a˜o da elipse com o eixo y. A distaˆncia entre estes pontos e´ chamada eixo menor da elipse. Veja a seguir o gra´fico da elipse x 2 16 + y2 9 = 1. –3 –2 –1 0 1 2 3 y –4 –2 2 4 x 2.5 Gra´ficos de desigualdades Vimos nos exemplos das sec¸o˜es anteriores que todos os pontos do gra´fico de uma curva satisfazem a igualdade F(x, y) = 0 e que esta condic¸a˜o e´ satisfeita somente pelos pontos do seu gra´fico. Nesta sec¸a˜o estamos interessados em obter o gra´fico de regio˜es descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades. Da mesma forma que anteriormente, estas regio˜es sa˜o subconjuntos do plano onde a condic¸a˜o dada e´ satisfeita por todos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta ide´ia. 24 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) Exemplo 1 Descreva e esboce as regio˜es definidas pelos seguintes conjuntos: (a) {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0} (b) {(x, y) ∈ R2; y = 1} (c) {(x, y) ∈ R2; | y | < 1} (d) {(x, y) ∈ R2; |x | ≤ 2 e | y | ≤ 1} Soluc¸a˜o (a) Os pontos do plano para os quais a abscissa e´ positiva ou nula esta˜o todos sobre o eixo y ou a` sua direita. (Para esboc¸ar esta regia˜o usamos o comando inequal do pacote plots do Maple.) A parte cinza do gra´fico ao lado representa a regia˜o do plano xy que satisfaz a condic¸a˜o x ≥ 0. E´ claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma regia˜o infinita, essa regia˜o aparece “desenhada” dentro de um quadrado, no caso [−3, 3] × [−3, 3], que para no´s passara´ a representar o plano inteiro. Se assim na˜o fosse, toda a tinta fabricada na Terra na˜o seria suficiente para pintar essa regia˜o! –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 (b)] O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada e´ 1 e´ uma reta horizontal uma unidade acima do eixo x. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 –3 –2 –1 1 2 3x (c) Se | y | < 1, enta˜o −1 < y < 1. Esta regia˜o consiste em todos os pontos do plano cuja ordenada esta´ entre −1 e 1, isto e´, todos os pontos que esta˜o entre as retas horizontais y = 1 e y = −1. Na figura, estas retas sa˜o indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos na˜o pertencem ao conjunto em questa˜o. –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 (d) As desigualdades sa˜o equivalentes a −2 ≤ x ≤ 2 e −1 ≤ y ≤ 1. Logo o gra´fico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos e da fronteira) da regia˜o retangular mostrada na figura ao lado. –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 Exemplo 2 Esboce o gra´fico da desigualdade x+ 2 y > 5. Soluc¸a˜o Estamos interessados no gra´fico do conjunto {(x, y) ∈ R2; x+ 2 y > 5} Resolvendo a inequac¸a˜o para y, obtemos: x+ 2 y > 5⇒ 2 y > 5− x⇒ y > 5 2 − x 2 . Compare esta desigualdade com a equac¸a˜o y = 52 − x2 , que representa uma reta com declividade −12 e intersec¸a˜o com o eixo y no ponto (0, 52 ). O gra´fico da desigualdade e´ o conjunto de todos os pontos cuja coordenada y e´ maior que a dos pontos que esta˜o sobre a reta y = −x2 + 52 . Assim, o gra´fico procurado e´ a regia˜o que esta´ acima da reta, como mostra a figura ao lado. –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –20 –10 10 20 W.Bianchini, A.R.Santos 25 2.6 Exerc´ıcios 1. (a) Mostre que o triaˆngulo com ve´rtices A(0, 2), B(−3, −1) e C(−4, 3) e´ iso´sceles. (b) Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) sa˜o ve´rtices de um quadrado. (c) Prove que os pontos A(−1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) sa˜o colineares mostrando que AB + BC = AC . 2. (a) Sabe-se que y = 2x− b e´ positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale b? (b) Se um conjunto de retas e´ descrito pelas equac¸o˜es y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc... O que se pode dizer a respeito dessas retas? (c) Se duas retas sa˜o descritas pelas equac¸o˜es y = x+ 3 e y = √ 3x+ 2, qual o aˆngulo que cada uma delas faz com o eixo x? 3. Determine os valores da constante k para os quais a reta (k − 3)x− (4− k2) y + k2 − 7 k + 6 = 0 (a) e´ paralela ao eixo x. (b) e´ paralela ao eixo y. (c) passa pela origem. 4. Ache a equac¸a˜o da reta que: (a) passa por (−2, 3) e tem declividade −4. (b) passa por (−4, 2) e (3,−1). (c) tem declividade 23 e coeficiente linear −4. (d) passa por (2,−4) e e´ paralela ao eixo x. (e) passa por (1, 6) e e´ paralela ao eixo y. (f) passa por (4,−2) e e´ paralela a x+ 3 y = 7 (g) passa por (5, 3) e e´ perpendicular a y + 7 = 2x. (h) passa por (−4, 3) e paralela a` reta determinada por (−2, 2) e (1, 0). 5. (a) Mostre que as retas 2x− y = 4 e 6x− 2 y = 10 na˜o sa˜o paralelas e ache o seu ponto de intersecc¸a˜o. (b) Se A, B, C e C ′ sa˜o constantes e A e B na˜o sa˜o ambas nulas, mostre que as retas: i. Ax+B y + C = 0 e Ax+B y + C ′ = 0 coincidem ou sa˜o paralelas. ii. Ax+B y + C = 0 e B x−Ay + C ′ = 0 sa˜o perpendiculares. 6. (a) Mostre que o ponto me´dio do segmento de reta de extremidades P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e´ ( x1+x2 2 , y1+y2 2 ). (b) Ache o ponto me´dio do segmento de reta que une os pontos i. (1,3) e (7,15) ii. (−1, 6) e (8,−12). 7. (a) Mostre que as equac¸o˜es abaixo representam uma circunfereˆncia. Ache o seu centro e o seu raio. i. x2 + y2 − 4x+ 10 y + 13 = 0 ii. x2 + y2 + 6 y + 2 = 0 iii. x2 + y2 + x = 0 iv. 2x2 + 2 y2 − x+ y = 1 (b) Sob que condic¸o˜es sobre os coeficientes a, b e c a equac¸a˜o x2 + y2 + a x+ b y + c = 0 representa uma circunfereˆncia? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio. 26 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) 8. Nos ı´tens abaixo, voceˆ deve determinar a condic¸a˜o representada por cada um dos gra´ficos. Voceˆ pode testar a sua resposta usando a versa˜o eletroˆnica deste texto! (a) Qual a condic¸a˜o representada pela parte escura do gra´fico (1)? (b) Qual a condic¸a˜o representada pela reta do gra´fico (2)? (c) Qual a condic¸a˜o representada pela parte escura do gra´fico (3)? –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 (1) –2 –1 0 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (2) –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 (3) 2.7 Problemas 1. Esboce o gra´fico dos conjuntos: (a) W={(x, y) ∈ R2;x = 4} (b) W = {(x, y) ∈ R2; y = −3} (c) W = {(x, y) ∈ R2;x y = 0} (d) W= {(x, y) ∈ R2; |x | < 2, | y | > 1} (e) W= {(x, y) ∈ R2;x y < 0} (f) W= {(x, y) ∈ R2; |x | > 1 e | y | ≤ 2} (g) O conjunto dos pontos equ¨idistastes de (0, 1) e (1, 0). (h) Escreva a condic¸a˜o do item (g) na forma mais simples poss´ıvel. 2. Esboce o gra´fico das condic¸o˜es dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a regia˜o definida pela condic¸a˜o: (a) x2 + y2 = 1 (b) y = 2x2 − 1 (c) 3 y + x2 = 0 (d) y = 3x+ 1 (e) x = 2 e 0 ≤ y ≤ 2 (f) x = −3 (g) y = 2 (h) x2 + y2 < 1 (i) x2 + y2 > 1 (j) x2 + y2 ≤ 1 3. Esboce a regia˜o limitada pelas curvas (a) y = 3x e y = x2 (b) y = 4− x2 e x− 2 y = 2. 4. (a) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o y = |x|. (b) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o |x |+ | y | = 1. 5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x+ y = 1, acima do eixo x, e e´ refletido ao tocar esse eixo. Sabendo que o aˆngulo de incideˆncia e´ igual ao aˆngulo de reflexa˜o, escreva a equac¸a˜o da nova trajeto´ria. 6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma x a + y b = 1. Esta e´ a chamada forma segmenta´ria da equac¸a˜o da reta. Escreva nesta forma a equac¸a˜o 4x+ 2 y= 6. 7. (a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` circunfereˆncia x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4). (b) Voceˆ e´ capaz de determinar, por me´todos geome´tricos, a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laborato´rio: Retas Tangentes - Atividade 2.) 8. Um carro parte do Rio de Janeiro a`s 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio-Sa˜o Paulo. Ele passa por Itatiaia (a 150 km do Rio) a`s 15:50hs. (a) Expresse a distaˆncia percorrida em termos do tempo transcorrido. W.Bianchini, A.R.Santos 27 (b) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o obtida em (a). (c) Qual a declividade desta curva? (d) O que representa esta declividade? 9. (a) Um sistema linear do tipo { a1 x+ b1 y = c1 a2 x+ b2 y = c2 pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de soluc¸o˜es. Interprete geometricamente, cada um desses casos e deduza a condic¸a˜o alge´brica que garante a existeˆncia de uma, nenhuma ou de infinitas soluc¸o˜es para esse sistema. (b) Uma equac¸a˜o da forma Ax+B y+C z+D = 0, onde A, B e C na˜o sa˜o simultaneamente nulos, representa um plano no espac¸o tridimensional. Interprete geometricamente todas as poss´ıveis soluc¸o˜es para sistemas lineares com duas equac¸o˜es e treˆs varia´veis, em termos das posic¸o˜es relativas entre dois planos. (Veja as Atividades de Laborato´rio - Atividade 3.) 10. A para´bola pode ser definida como o lugar geome´trico dos pontos cujas distaˆncias a uma reta fixa r e a um ponto fixo F sa˜o iguais. O ponto F chama-se foco da para´bola e a reta r a sua diretriz. (a) Deduza a equac¸a˜o da para´bola no caso particular em que o foco e´ o ponto (0, 1) e a diretriz e´ a reta y = −1 e trace o seu gra´fico. (b) Deduza a equac¸a˜o da para´bola com foco em F = (α, 0), com o eixo x perpendicular a` diretriz e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento FF ′, onde F ′ e´ a projec¸a˜o ortogonal de F sobre a diretriz. Trace o seu gra´fico e responda a`s seguintes perguntas: i. Em que semi-plano esta´ contida esta para´bola? ii. Qual o seu eixo de simetria? iii. Qual o seu ve´rtice? iv. Qual a equac¸a˜o da reta diretriz? (Em todos os ı´tens, estude os casos α > 0 e α < 0. (c) Suponha agora que o foco da para´bola seja o ponto F (0, α). Deduza a equac¸a˜o da para´bola no caso em que o eixo y e´ perpendicular a` diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento FF ′. Trace o seu gra´fico e responda a`s mesmas perguntas do item anterior. 2.8 Atividades de laborato´rio Fac¸a as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da versa˜o eletroˆnica. 2.9 Para voceˆ meditar: O gra´fico da equac¸a˜o y=mx e´ sempre uma linha reta? Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de nu´meros da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenada x ou abscissa de um ponto P e´ a distaˆncia desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P e´ a distaˆncia desse ponto ao eixo x. Isto e´, se P tem coordenadas x e y esses nu´meros representam as distaˆncias de P em relac¸a˜o aos eixos y e x, respectivamente. Sabemos, tambe´m, que o gra´fico de uma equac¸a˜o y = f(x) e´ o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta relac¸a˜o, isto e´, os pontos que pertencem ao gra´fico dessa equac¸a˜o sa˜o os pontos do plano da forma (x, f(x)). Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gra´fico da equac¸a˜o y = x e´ uma reta que pode ser definida como o lugar geome´trico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gra´fico da equac¸a˜o y = 2x e´ a reta definida como o lugar geome´trico dos pontos cuja distaˆncia y ao eixo x e´ duas vezes a sua distaˆncia ao eixo y. Repare que, nesse sistema, as distaˆncias sa˜o medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados. 28 Cap. 2. Revisa˜o e Pre´-Requisitos (2) Veja a figura ao lado onde trac¸amos, em conjunto, os gra´ficos das func¸o˜es y = x, y = 2x e a malha retangular us- ada nesse sistema de coordenadas para medir as distaˆncias. –4 –2 2 4 –2 –1 1 2 x Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas retas perpendiculares vamos considerar um ponto e uma reta fixa. O ponto fixo sera´ chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas sera´ chamado foco-diretriz. • No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual sera´ o gra´fico da equac¸a˜o y = x, isto e´, qual o lugar geome´trico dos pon- tos cuja distaˆncia ao foco e´ igual a sua distaˆncia a` dire- triz? (Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas cartesianas as distaˆncias eram medidas por retas parale- las aos eixos coordenados, nesse sistema as distaˆncias sera˜o medidas por retas paralelas a` diretriz e a`s circunfereˆncias conceˆntricas ao foco.) –4 –2 2 4 –4 –2 2 4x • Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geome´trico dos pontos cuja distaˆncia ao foco e´ igual a k vezes a sua distaˆncia a` diretriz. Estude os casos para k = 1, k < 1 e k > 1. Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (po´lo) sobre essa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o aˆngulo que o raio que une o ponto ao po´lo faz com o eixo, e a coordenada y a distaˆncia do ponto ao po´lo. Esse sistema coordenado e´ dito Sistema de Coordenadas Polares. • Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema? • Qual o gra´fico da equac¸a˜o y = x nesse sistema, isto e´, qual o lugar geome´trico dos pontos cujo aˆngulo que a direc¸a˜o ponto-po´lo faz com o eixo e´ igual a` distaˆncia do ponto ao po´lo? • Como voceˆ definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Como voceˆ poderia interpretar geometricamente a relac¸a˜o y = x? Qual seria o gra´fico desse lugar geome´trico? 2.10 Projetos 2.10.1 Melhor qualidade de gravac¸a˜o Os aparelhos comuns de video cassete teˆm treˆs velocidades de gravac¸a˜o: SP (standard play), LP (long play) e EP (extra long play). Usando uma fita comum de v´ıdeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2h de durac¸a˜o. Esse tempo aumenta para 4h e 6h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante a melhor qualidade de gravac¸a˜o. Quando os outros modos sa˜o usados, as informac¸o˜es sa˜o gravadas de modo mais condensado na fita, com a consequ¨ente perda de qualidade. Suponha que se deseja gravar, em uma u´nica fita, um filme de 3h de durac¸a˜o, com a melhor qualidade poss´ıvel. Isto quer dizer que, em algum momento, e´ necessa´rio mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP (maior tempo de gravac¸a˜o). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchida quando o filme terminar. • A partir do in´ıcio da gravac¸a˜o, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP? • Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP e´ desprez´ıvel a olho nu, resolva o mesmo problema se mudarmos do modo SP para o modo EP. 2.10.2 Custo mı´nimo x aproveitamento ma´ximo Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantac¸a˜o e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro conte´m 3g de fo´sforo, 1g de nitrogeˆnio e 8g de pota´ssio e custa R$ 10,00 por quilo. O segundo tipo conte´m 2g de fo´sforo, 3g de nitrogeˆnio e 2g de pota´ssio e custa R$ 8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo e´ suficiente para 10 m2 de terra e W.Bianchini, A.R.Santos 29 que o solo onde esta˜o suas plantac¸o˜es necessita de pelo menos 3g de fo´sforo, 1,5g de nitrogeˆnio e 4g de pota´ssio para cada 10 m2. • Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 de terreno, de modo a obter um custo mı´nimo? • Ha´ muitas situac¸o˜es em que essa mesma espe´cie de ana´lise e´ necessa´ria. Se voceˆ ainda na˜o o fez, formule um modelo matema´tico formal que descreva situac¸o˜es desse tipo e deˆ exemplos de outrosproblemas onde esta ana´lise seja necessa´ria.
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