Cálculo 1 - capitulo 08 Continuidade - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 8
Continuidade
8.1 Discussa˜o informal e intuitiva sobre continuidade
Considere os seguintes exemplos:
f(x) =
1
2
x3 +
1
2
x2 + 5
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
–2 –1 0 1 2 3x
g(x) =
{
4− 1
2
x2, para x ≤ 2
x+ 2, para x > 2
0
1
2
3
4
5
6
y
–2 –1 1 2 3 4
x
A principal caracter´ıstica geome´trica que distingue o primeiro gra´fico do segundo e´ que o primeiro tem um trac¸ado
cont´ınuo (com isso queremos dizer, intuitivamente, que podemos trac¸ar este gra´fico “sem tirar o la´pis do papel”),
enquanto que no segundo ha´ um salto, ou seja, ha´ uma “descontinuidade” ou “ quebra” no trac¸ado do gra´fico para
x = 2.
O objetivo desta sec¸a˜o e´ definir, matematicamente, o que entendemos por continuidade.
Voltando aos exemplos acima, no primeiro gra´fico observamos que, para qualquer ponto x0 escolhido, quando x se
aproxima de x0, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes da func¸a˜o f(x), se aproximam de
f(x0).
Como ja´ vimos, esta afirmac¸a˜o se traduz matematica-
mente pela expressa˜o lim
x→x0
f(x) = f(x0). Esta propriedade
na˜o vale qualquer que seja a func¸a˜o f . No segundo exemplo,
quando x se aproxima de 2 pela esquerda, g(x) se aproxima
de 2, que e´ igual ao valor da func¸a˜o g calculada no ponto
x = 2. No entanto, quando x se aproxima de 2 por val-
ores maiores que 2 (pela direita), g(x) se aproxima de 4,
que e´ diferente de g(2). Observe nos diagramas ao lado a
ilustrac¸a˜o destas afirmac¸o˜es.
–2
0
2
4
6
8
–2 –1 1 2
0
1
2
3
4
5
6
–2 –1 1 2 3 4
Execute as animac¸o˜es correspondentes na versa˜o eletroˆnica para outros pontos x0 e observe que a condic¸a˜o
lim
x→x0
f(x) = f(x0) continua valendo, qualquer que seja x0 no primeiro caso, e que esta condic¸a˜o falha somente
no ponto x0 = 2, no segundo.
Assim, a caracter´ıstica geome´trica de na˜o haver “quebras” ou “interrupc¸o˜es” em um determinado ponto (x0, f(x0))
no trac¸ado da curva que representa o gra´fico de uma func¸a˜o f , isto e´, o fato de o gra´fico de f ser representado por
uma curva cont´ınua em um certo intervalo (a,b), pode ser descrito afirmando-se que “quanto mais pro´ximo x estiver
de x0, mais pro´ximo f(x) estara´ de f(x0)”, o que, como ja´ vimos, significa dizer em linguagem matema´tica que
lim
x→x0
f(x) = f(x0), qualquer que seja o ponto x0 no intervalo (a, b).
Estas observac¸o˜es conduzem, naturalmente a` definic¸a˜o a seguir.
8.2 Definic¸a˜o de continuidade
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto x0 se:
(i) Existe f(x0)
111
112 Cap. 8. Continuidade
(ii) Existe o lim
x→x0
f(x)
(iii) lim
x→x0
f(x) = f(x0)
A condic¸a˜o (i) nos diz que o ponto x0 e´ um ponto do domı´nio de f. Portanto, podemos resumir a definic¸a˜o de
continuidade dizendo que f e´ cont´ınua em um ponto de seu domı´nio se lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Esta definic¸a˜o se refere a` continuidade de uma func¸a˜o em um ponto, mas o conceito de continuidade comec¸a a ficar
realmente interessante quando estudamos as func¸o˜es que sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de algum intervalo. Assim,
se f e´ cont´ınua em x0, qualquer que seja o ponto x0 em um certo intervalo (a, b), dizemos que f e´ cont´ınua em (a, b).
Do mesmo modo podemos definir as func¸o˜es que sa˜o cont´ınuas em toda a reta.
No caso de um intervalo fechado [a, b], dizemos que f e´ cont´ınua em [a, b] se
(i) f e´ cont´ınua em (a,b)
(ii) lim
x→a+
f(x) = f(a)
(iii) lim
x→b−
f(x) = f(b).
Da mesma maneira, a func¸a˜o f sera´ cont´ınua na unia˜o de intervalos se as treˆs condic¸o˜es acima forem va´lidas para
cada um dos intervalos considerados.
Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos sa˜o usualmente consideradas como especialmente “bem comportadas”. Na real-
idade, continuidade e´ a primeira condic¸a˜o a ser exigida para que uma func¸a˜o seja considerada “razoavelmente bem
comportada”. Neste sentido, func¸o˜es cont´ınuas sa˜o definidas, intuitivamente, como aquelas cujos gra´ficos podem ser
trac¸ados sem “tirarmos o la´pis do papel”.
Examinando a func¸a˜o y = x sen( 1x ) ao lado, vemos
que a descric¸a˜o intuitiva de continuidade e´ um pouco
otimista (por queˆ?) e que por isso devemos, ale´m
de usar a nossa intuic¸a˜o, por melhor que ela seja,
sempre apoiar as nossas concluso˜es em definic¸o˜es
matema´ticas precisas ou em resultados ja´ demonstra-
dos a partir dessas definic¸o˜es.
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
–2 –1 1 2
x
Existem muitos resultados importantes envolvendo func¸o˜es que sa˜o cont´ınuas em intervalos. Estes teoremas, em
geral, sa˜o muito mais dif´ıceis de demonstrar rigorosamente (veja sec¸a˜o: Propriedades Especiais das Func¸o˜es Cont´ınuas)
do que os resultados enunciados a seguir, que lidam com continuidade em um u´nico ponto.
A maioria destes u´ltimos resultados decorre, imediatamente, das regras operato´rias envolvendo limites. No entanto,
existe um teorema simples que faz a ligac¸a˜o entre continuidade em um ponto e o comportamento da func¸a˜o num certo
intervalo. (Veja Propriedade da Manutenc¸a˜o do Sinal para Func¸o˜es Cont´ınuas).
Exerc´ıcio 1
1. Usando a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua e as propriedades operato´rias de limite vistas no Cap. 6, prove que a
soma e o produto de func¸o˜es cont´ınuas sa˜o func¸o˜es cont´ınuas.
2. Se g(x0) 6= 0, prove que fg e´ cont´ınua em x = x0 (veja pro´xima sec¸a˜o).
3. Decida se a func¸a˜o g definida como sendo 1 para os valores de x maiores ou iguais a zero e −1 para os valores
de x menores que zero e´ cont´ınua em x = 0.
Exemplo 1: Polinoˆmios Pelo Exerc´ıcio 1, as func¸o˜es polinomiais sa˜o cont´ınuas em toda reta real, isto e´, estas
func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em qualquer ponto x ∈ R.
W.Bianchini, A.R.Santos 113
8.3 Func¸o˜es racionais e tipos de descontinuidade
Se p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios, enta˜o as regras para limite e a continuidade dos polinoˆmios implicam que
lim
x→x0
p(x)
q(x)
=
lim
x→x0
p(x)
lim
x→x0
q(x)
=
p(x0)
q(x0)
,
desde que q(x0) 6= 0.
Assim, toda func¸a˜o racional f(x) =
p(x)
q(x)
e´ cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio, isto e´, estas func¸o˜es
sa˜o cont´ınuas em todos os pontos da reta, exceto em seus po´los. Nestes casos, dizemos que a func¸a˜o racional na˜o e´
cont´ınua ou e´ descont´ınua naquele ponto.
Existem diversos tipos de descontinuidades. Os exemplos a seguir abordam este problema.
Exemplo 1: Descontinuidade remov´ıvel
Considere a func¸a˜o g(x) = x
2−4
x−2 . Abaixo, com a ajuda do Maple, trac¸amos o gra´fico desta func¸a˜o.
> g:=x->(x^2-4)/(x-2);
g := x→ x
2 − 4
x− 2
> plot(g(x),x=-2..4);
0
1
2
3
4
5
6
–2 –1 1 2 3 4
x
Embora o ponto x = 2 seja um po´lo da func¸a˜o g, isto e´, embora g na˜o esteja definida em x = 2, o gra´fico sugere
que o lim
x→2
g(x) = 4. Repare que o Maple ignora o fato de a func¸a˜o g na˜o estar definida em x = 2 e trac¸a o seu gra´fico
como uma linha cont´ınua.
O diagrama ao lado ressalta o fato de que, embora
g na˜o esteja definida em x = 2, o limite nesse ponto
existe e e´ igual a 4. 6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
6.
5.
4.
3.
2.
1.
4.3.2.1.0
Entender o que leva o Maple a ignorar que g na˜o esta´ definida em x = 2 e trac¸ar o gra´fico dessa func¸a˜o como
uma linha cont´ınua, nos fornece uma pista bastante boa sobre o comportamento caracter´ıstico desta func¸a˜o nas
proximidades deste ponto.
Observe que na frac¸a˜o x
2−4
x−2 , x− 2 e´ um fator tanto do denominador quanto do numerador, pois x2 − 4 = (x −
2) (x+ 2). Antes de trac¸ar o gra´fico dessa func¸a˜o o Maple simplifica a expressa˜o que a define e obte´m
x2 − 4
x− 2 = x+ 2 .
Repare que a simplificac¸a˜oacima e´ va´lida desde que x 6= 2. As func¸o˜es x2−4x−2 e x+ 2 coincidem em todos os pontos
da reta real, exceto em x = 2, onde a primeira func¸a˜o na˜o esta´ definida.
O gra´fico de g(x) = x
2−4
x−2 , obtido com a ajuda do Maple, e as observac¸o˜es anteriores sugerem que existe uma func¸a˜o
cont´ınua h, definida em toda a reta real, tal que h(x) = g(x) em todos os pontos do domı´nio de g, isto e´, h coincide
com g em toda a reta, exceto no ponto x = 2. A func¸a˜o h pode ser definida da seguinte maneira
h(x) =
{
g(x) = x+ 2 , se x 6= 2
4 = lim
x→2
g(x) , se x = 2
Observe que o Maple trac¸ou o gra´fico desta func¸a˜o h, e na˜o da func¸a˜o g original.
114 Cap. 8. Continuidade
Dizemos, nesse caso, que a func¸a˜o g tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 2. Este tipo de descontinuidade
ocorre quando existe o limite da func¸a˜o no ponto em questa˜o, mas, ou a func¸a˜o na˜o esta´ definida, ou o seu valor e´
diferente do limite neste ponto. Podemos, enta˜o, “remover” essa descontinuidade definindo, a partir de g, uma nova
func¸a˜o cujo valor no ponto em questa˜o seja igual ao limite da func¸a˜o nesse mesmo ponto, como fizemos.
Exemplo 2: Descontinuidade infinita
Considere agora a func¸a˜o p(x) = x
2+1
x−1 . Esta func¸a˜o se comporta, nas proximidades do po´lo, de uma maneira
completamente diferente da func¸a˜o g estudada no exemplo anterior. Observe o gra´fico de p, trac¸ado com a ajuda do
Maple.
> p:=x->(x^2+1)/(x-1);
p := x→ x
2 + 1
x− 1
> plot(p(x),x=-5..5,y=-5..10);
–4
–2
2
4
6
8
10
y
–4 –2 2 4x
Repare que neste exemplo o numerador e o denominador na˜o teˆm fatores comuns, mas, como o grau do numerador
e´ maior que o grau do denominador, podemos efetuar a divisa˜o e escrever p(x) na forma
p(x) = (x+ 1) +
2
x− 1 .
Assim, podemos ver claramente que quando x → 1+, p(x) → +∞, e quando x → 1−, p(x) → −∞. Neste caso
dizemos que p apresenta uma descontinuidade infinita em x = 1. Observe estas afirmac¸o˜es ilustradas nos diagramas a
seguir.
–20
–10
0
10
20
–4 –2 2 4x
–20
–10
0
10
20
–4 –2 2 4x
Concluso˜es
Considere uma func¸a˜o racional geral f(x) = p(x)q(x) e um ponto x = x0 tal que q(x0) = 0.
Os exemplos anteriores nos ajudam a concluir que existem duas possibilidades a serem consideradas:
(i) Se p(x0) 6= 0, enta˜o f tem uma descontinuidade infinita em x = x0.
(ii) Se p(x0) = 0, f pode ter uma descontinuidade remov´ıvel em x = x0.
Ale´m destes tipos de descontinuidade, existe ainda um outro tipo, que e´ ilustrado no seguinte exemplo:
Exemplo 3: Descontinuidade essencial de salto
W.Bianchini, A.R.Santos 115
Considere a func¸a˜o
f(x) =
{
4− x2 se x ≤ 2
x− 1 se x > 2 . Nesse caso, nota-
mos que, embora a func¸a˜o seja definida no ponto 2, na˜o
existe lim
x→2
f(x), pois lim
x→2−
f(x) = 0 e lim
x→2+
f(x) = 1.
Veja os gra´ficos ao lado, que evidenciam este fato. Ob-
serve que, nesse caso, como os limites laterais exis-
tem, sa˜o finitos mas diferentes, na˜o importa qual seja o
valor de f(2), a func¸a˜o sempre apresentara´ uma descon-
tinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a
func¸a˜o f apresenta, nesse ponto, uma descontinuidade
essencial de salto. (Esta terminologia enfatiza o fato
de o gra´fico da func¸a˜o apresentar neste um ponto um
“salto” ou “pulo” finito.)
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2 3 4
x
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2 3 4
Exemplo 4: Usando o Maple para estudar a continuidade de uma func¸a˜o
Neste exemplo, mostramos como usar o Maple para estudar a continuidade de uma func¸a˜o em um ponto.
Vamos verificar se a func¸a˜o f(x) =
2x7 − 4x5 + 2
x3 − x2 + x− 1 e´ cont´ınua no ponto x = 1. Caso a func¸a˜o seja descont´ınua
nesse ponto, vamos classificar o tipo de descontinuidade e, se poss´ıvel, definir uma func¸a˜o g , cont´ınua em x = 1, que
coincida com f em todos os pontos exceto em x = 1. Comec¸amos por definir e trac¸ar o gra´fico desta func¸a˜o com a
ajuda do Maple.
> f:=x->(2*x^7-4*x^5+2)/(x^3-x^2+x-1);
f := x→ 2x
7 − 4x5 + 2
x3 − x2 + x− 1
> plot(f(x),x=-2..2,y=-5..5);
–4
–2
0
2
4
y
–2 –1 1 2
x
Chamando de p e q, respectivamente, o numerador e o denominador desta func¸a˜o e fatorando numerador e denom-
inador, temos que
> p:=numer(f(x)):
> q:=denom(f(x)):
> factor(p);
2 (x− 1) (x3 + x2 + 1) (x3 − x− 1)
> factor(q);
(x− 1) (x2 + 1)
Assim o numerador p(x) = 2x7−4x5+2 = 2 (x−1) (x3−x−1) (x3+x2+1) e o denominador q(x) = x3−x2+x−1 =
(x− 1) (x2+1) apresentam (x− 1) como fator comum e, portanto, f(x) teˆm uma descontinuidade remov´ıvel em x = 1
(como sugeria o gra´fico, trac¸ado com a ajuda do Maple!).
Definamos, enta˜o, a func¸a˜o g cancelando este fator comum e a seguir, calculamos lim
x→1
g(x) e g(1).
> g:=normal(p/q);
g := 2
x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1
x2 + 1
> g:=unapply(g,x);
g := x→ 2 x
6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1
x2 + 1
116 Cap. 8. Continuidade
> g(1);
−3
> limit(g(x),x=1);
−3
Como lim
x→1
g(x) = g(1), temos que g e´ cont´ınua em x = 1 e, ale´m disso, g(x) = f(x), para todo x 6= 1.
8.4 Composic¸a˜o de func¸o˜es e continuidade
Frequ¨entemente nos deparamos com func¸o˜es cujas expresso˜es nos parecem “complicadas”, mas que na verdade sa˜o o
que chamamos de composic¸a˜o de func¸o˜es. O problema abaixo ilustra, por meio de um exemplo simples, a composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Problema
Considere um quadrado cujo lado tem x cm de comprimento. Sua a´rea A, enta˜o, e´ uma func¸a˜o de x cuja expressa˜o
anal´ıtica e´ dada por A = A(x) = x2. Suponha, agora, que o comprimento do lado varie com o tempo t, dado em
segundos, e seja, portanto, uma func¸a˜o de t. Por exemplo, x = x(t) = 5 t+ 1. Assim, a a´rea A do quadrado tambe´m
varia com o tempo, ou seja, A = A(x ) = A(x (t)) = (5 t+ 1)2.
A func¸a˜o A(x(t)) = (5 t+1)2 e´ o que chamamos de func¸a˜o composta formada pela composic¸a˜o da func¸a˜o quadra´tica
A(x) = x2 com a func¸a˜o linear x(t) = 5 t+ 1.
Definic¸a˜o
De um modo geral, dadas as func¸o˜es y = f(x) e y = g(x), a func¸a˜o composta h = g ◦ f e´ definida por
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Repare que esta definic¸a˜o so´ faz sentido se a imagem de f estiver contida no domı´nio de g.
Repare tambe´m que, em geral, g ◦ f 6= f ◦ g, como acontece no exemplo abaixo.
Exemplo 1
Considere as func¸o˜es g(x) = 3x2 + 2 e f(x) =
√
x. Enta˜o:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = 3(√x)2 + 2 = 3x+ 2,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x2 + 2) =
√
3x2 + 2.
Claramente, g ◦ f 6= f ◦ g, neste caso.
Usando o Maple, podemos compor func¸o˜es utilizando o s´ımbolo @ . Assim, podemos fazer as composic¸o˜es do
exemplo anterior da seguinte maneira:
> f:=x->x^(1/2);
f := x→ √x
> g:=x->3*x^2+2;
g := x→ 3x2 + 2
> (g@f)(x);
3x+ 2
> (f@g)(x);
√
3x2 + 2
Exerc´ıcio 3 Determine o maior domı´nio onde as func¸o˜es desse exemplo esta˜o definidas.
8.4.1 Continuidade da func¸a˜o composta
A composta de duas func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Mais precisamente, se f e´ cont´ınua em x0 e g e´ cont´ınua
em f(x0), enta˜o, g ◦ f e´ cont´ınua em x0. Assim, podemos escrever
lim
x→x0
g(f(x)) = g(f(x0)) = g( lim
x→x0
f(x)).
W.Bianchini, A.R.Santos 117
A demonstrac¸a˜o deste fato decorre do uso apropriado da definic¸a˜o de limite e e´ deixada como exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 4 Prove que se lim
x→a g(x) = L e L > 0, enta˜o limx→a
√
g(x) =
√
L.
Exerc´ıcio 5 Se n e´ um inteiro positivo e se a > 0 para valores pares de n, enta˜o lim
x→a x
( 1n ) = a(
1
n ). Se n e´ ı´mpar
o resultado vale qualquer que seja o nu´mero a ∈ R.
Exemplo 2 Considere as func¸o˜es f(x) = x+| x |2 e g(x) =
{
x x < 0
x2 x ≥ 0 . Vamos mostrar, usando o Maple, que a
func¸a˜o f o g e´ cont´ınua em toda a reta real.
Primeiro definimos f e g e calculamos a composta f o g:
> f:=x->(x+abs(x))/2;
f := x→ 1
2
x+1
2
|x|
> g:=x->piecewise(x<0,x,x>=0,x^2);
g := x→ piecewise(x < 0, x, 0 ≤ x, x2)
> (f@g)(x);
1
2
(
{
x, x < 0
x2, 0 ≤ x ) +
1
2
(
{−x, x ≤ 0
x2, 0 < x
)
> simplify(%); {
0, x ≤ 0
x2, 0 < x
A seguir, trac¸amos o seu gra´fico:
> plot((f@g)(x),x=-2..2,axes=boxed);
0
1
2
3
4
–1 0 1 2
x
Na realidade, se tive´ssemos observado que tanto f como g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em toda a reta real, usando o
resultado que enunciamos acima sobre continuidade da func¸a˜o composta poder´ıamos ter conclu´ıdo de imediato, sem
precisar calcular explicitamente f o g, que esta u´ltima func¸a˜o e´ cont´ınua em toda a reta real. Para comprovarmos
facilmente que as func¸o˜es f e g sa˜o cont´ınuas em toda a reta, basta observarmos seus gra´ficos a seguir (o de f a`
esquerda e o de g a` direita) e observar que estas func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em x = 0, sendo, portanto, cont´ınuas em toda
a reta. (Por queˆ?)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
–1 0 1 2
x
–2
–1
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2
x
Exerc´ıcio 4 Em cada um dos ı´tens abaixo, determine para quais valores de x as func¸o˜es compostas g ◦ f e f ◦ g
sa˜o cont´ınuas:
118 Cap. 8. Continuidade
(a) f(x) =
x+ |x |
2
e g(x) =
{
x x < 0
x2 x ≥ 0
(b) f(x) =
{
1 |x | ≤ 1
0 |x | > 1 e g(x) =
{
2− x2 |x | ≤ 2
2 |x | > 2
8.5 Propriedades especiais das func¸o˜es cont´ınuas
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades especiais de func¸o˜es cont´ınuas que sa˜o usadas frequ¨entemente em ca´lculo.
Embora essas propriedades parec¸am o´bvias quando interpretadas geometricamente, suas demonstrac¸o˜es rigorosas sa˜o
muito mais dif´ıceis do que sua interpretac¸a˜o geome´trica leva a crer.
Bernard Bolzano (1781-1848), matema´tico alema˜o, foi um dos primeiros a reconhecer que essas propriedades sobre
func¸o˜es cont´ınuas, que parecem “o´bvias”, necessitavam de uma demonstrac¸a˜o matema´tica rigorosa. Suas observac¸o˜es
sobre continuidade foram publicadas em 1850 em um importante livro para a e´poca, chamado Paradoxien des Unan-
dlichen.
As demonstrac¸o˜es das propriedades que enunciamos e exemplificamos a seguir se encontram no anexo desse texto.
8.5.1 Teorema de Bolzano
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua sobre um intervalo fechado [a, b] e f(a) e f(b) teˆm sinais contra´rios, enta˜o, existe pelo
menos um ponto c ∈ (a, b), tal que, f(c) = 0.
Essa propriedade foi demonstrada como um teorema e publicada por Bolzano em 1817 e e´ conhecida, agora, como
Teorema de Bolzano. Veja este teorema ilustrado no seguinte gra´fico:
f(a)
f(b)
bca
Essa propriedade e´ muito usada para garantir a existeˆncia de ra´ızes de uma equac¸a˜o da forma f(x) = 0 em um
dado intervalo. (Veja projeto Encontrando as ra´ızes de uma equac¸a˜o: Me´todo da Bissec¸a˜o)
8.5.2 Propriedade da manutenc¸a˜o do sinal para func¸o˜es cont´ınuas
A demonstrac¸a˜o do teorema de Bolzano e´ baseada em outra propriedade evidente, do ponto de vista geome´trico, das
func¸o˜es cont´ınuas:
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em um ponto c e suponha que f(c) 6= 0. Enta˜o, existe uma vizinhanc¸a de c, isto e´, um
intervalo aberto I da forma (c− δ, c+ δ), com δ > 0, tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(c), para todo ponto x ∈ I.
Veja a interpretac¸a˜o geome´trica dessa propriedade ilustrada a seguir:
δδ c+c-
f(c)
c
Esse teorema, ao contra´rio dos outros, e´ facilmente demonstrado usando-se a definic¸a˜o formal de limites:
Demonstrac¸a˜o Vamos supor, primeiramente, que f(c) > 0.
Sabemos que, por hipo´tese, f e´ cont´ınua em c. Queremos demonstrar que existe um intervalo I, do tipo (c−δ, c+δ),
com δ > 0 tal que f(x) > 0 qualquer que seja x pertencente a este intervalo. Esta u´ltima afirmac¸a˜o e´ equivalente a
dizer que existe um nu´mero δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x que satisfac¸a a desigualdade |x− c | < δ.
W.Bianchini, A.R.Santos 119
Como f e´ cont´ınua em c, sabemos que lim
x→c f(x) = f(c), ou seja, dado ε > 0, existe um δ > 0 tal que | f(x)− f(c) | <
ε para todo x que satisfac¸a |x− c | < δ.
Seja ε = f(c) > 0. Enta˜o, pela definic¸a˜o de limite, sabemos que existe um δ > 0 tal que | f(x)− f(c) | < f(c) para
todo x no intervalo (c− δ, c+ δ).
Mas | f(x)− f(c) | < f(c) ⇒ 0 < f(x) < 2 f(c), isto e´, existe um nu´mero positivo δ tal que f(x) > 0 para todo x
no intervalo (c− δ, c+ δ), como quer´ıamos demonstrar.
No caso em que f(c) < 0, basta, na demonstrac¸a˜o acima, escolher ε = −f(c) > 0.
8.5.3 Teorema do valor intermedia´rio
Uma consequ¨eˆncia imediata do teorema de Bolzano e´ o teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
enunciado a seguir:
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua definida em [a, b]. Escolha pontos arbitra´rios m e n em [a, b], tal que f(m) < f(n).
Enta˜o, f assume todos os valores entre f(m) e f(n), isto e´, se k e´ um nu´mero tal que f(m) < k < f(n), enta˜o, existe
pelo menos um nu´mero c ∈ (m,n), tal que, f(c) = k.
Vamos ilustrar algebricamente este teorema. Considere a func¸a˜o f(x) = x2 − 5 definida no intervalo [3, 4]. Como
esta func¸a˜o e´ cont´ınua neste intervalo e ale´m disso f(3) = 4 e f(4) = 11, o teorema acima garante que, qualquer que
seja o nu´mero k, escolhido entre 4 e 11, existe um nu´mero x, entre 3 e 4, tal que f(x) = k , isto e´, a equac¸a˜o x2 − 5 = k
tem soluc¸a˜o, qualquer que seja o nu´mero k entre 4 e 11.
Geometricamente, o Teorema do Valor Intermedia´rio afirma que se f e´ cont´ınua em algum intervalo fechado
contendo os pontos m e n e que se escolhemos um nu´mero k, no eixo y, entre f(m) e f(n), a reta horizontal que passa
por k deve cortar o gra´fico de f em algum ponto (c, f(c)) cuja coordenada c e´ um ponto entre m e n. Veja o gra´fico
a seguir e na versa˜o eletroˆnica, com a ajuda do Maple, veja a animac¸a˜o que ilustra o significado geome´trico desse
teorema.
c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm c
K
f(n)
f(m)
nm
Esta e´ uma outra maneira de dizer que o gra´fico de f na˜o tem “saltos” nem “buracos” e sugere, uma vez mais, a
noc¸a˜o intuitiva de que o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua pode ser trac¸ado sem “tirar o la´pis do papel”.
Agora, considere a func¸a˜o h definida como
h(x) =
{
x2 − x+ 2 se 1 < x ≤ 4
−1 se x = 1 .
Observe, ao lado, o gra´fico desta func¸a˜o:
h(a)= –1
ba
–2
0
2
4
6
8
–1 1 2 3 4
x
Observe que h na˜o e´ cont´ınua em a = 1 e que, qualquer que seja k ∈ (−1, 2), na˜o existe nenhum c ∈ (1, 4), tal
que h(c) = k. A continuidade nos extremos do intervalo e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que valha o teorema do valor
intermedia´rio. O exemplo acima mostra que esta condic¸a˜o e´ essencial, tambe´m, para que o teorema de Bolzano seja
va´lido.
Exerc´ıcio 5 Considere a func¸a˜o f(x) = x2. Use o teorema acima para provar que existe um nu´mero c entre 1 e
2 tal que f(c) = 2, isto e´, prove que existe um nu´mero real c, entre 1 e 2, cujo quadrado e´ dois e, portanto, existe a
raiz quadrada de 2.
120 Cap. 8. Continuidade
8.6 Problemas propostos
1. Tomando como base o gra´fico da func¸a˜o f , dado a seguir,
(a) Determine os pontos de descontinuidade de f .
(b) Para cada um dos pontos determinados no item anterior, classifique o tipo de descontinuidade apresentada.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
2. Uma pec¸a de metal cil´ındrica deve ter uma sec¸a˜o reta com 30 cm de diaˆmetro e, o erro permitido na a´rea desta
sec¸a˜o na˜o deve ultrapassar 5 cm2. Qua˜o cuidadosamente se deve medir o diaˆmetro para que a pec¸a fabricada
esteja dentro das especificac¸o˜es te´cnicas requeridas.
3. Em cada um dos itens abaixo, determineo maior domı´nio de continuidade da func¸a˜o f , isto e´, determine o maior
conjunto poss´ıvel onde a func¸a˜o seja cont´ınua. Para cada ponto x0 onde a func¸a˜o f na˜o seja cont´ınua, decida se
e´ poss´ıvel atribuir um valor a f(x0) que torne a func¸a˜o cont´ınua em x0.
(a) f(x) = 1−x1−x2
(b) f(x) = 1−x(2−x)2
(c) f(x) = x
2+x−2
x2+2x−3
(d) f(x) =
|x2−1|
x2−1
(e) f(x) = x√
4−x2
(f) f(x) =
{−x , x < 0
x2 , x > 0
(g) f(x) =
{
x+ 1 , x < 1
3− x , x > 1
4. (a) A func¸a˜o f(x) = [[ 1x ]], onde o [[x]] denota o maior inteiro menor ou igual a x, e´ cont´ınua no ponto zero?
(b) Seja f(x) = 0 se x e´ um nu´mero racional e f(x) = 1 se x e´ um nu´mero irracional. Prove que f e´ descont´ınua
para todo nu´mero real.
(c) Seja f(x) = 0 se x e´ um nu´mero racional e f(x) = x2 se x e´ um nu´mero irracional. Prove que f e´ cont´ınua
somente no ponto zero.
(d) Para cada nu´mero real a, defina uma func¸a˜o que seja cont´ınua em a e descont´ınua em todos os outros
pontos da reta.
(e) Mostre que se f e´ cont´ınua em [a, b], e´ poss´ıvel definir uma func¸a˜o g, cont´ınua em toda a reta, tal que
g(x) = f(x), para todo x no intervalo [a, b].
(f) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f cont´ınua em (a, b) que na˜o pode ser estendida continuamente a toda reta,
isto e´, deˆ um exemplo que mostre que nem sempre e´ poss´ıvel definir uma func¸a˜o g, cont´ınua em toda a reta,
que coincida com f no intervalo (a, b).
5. (a) Mostre que se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo (a, b), enta˜o a func¸a˜o g = | f(x) | tambe´m e´ cont´ınua
neste intervalo.
(b) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o f descont´ınua em (a, b), mas tal que | f | seja cont´ınua em todos os pontos deste
intervalo.
6. (a) Seja f(x) = 1 + x2. Determine g tal que f(g(x)) = 1 + x2 − 2x3 + x4.
(b) Seja g(x) = 1 +
√
x . Determine f tal que f(g(x)) = 3 + 2
√
x+ x
7. (a) Se f(x) = x−3x+1 , calcule g(x) = f(f(x)). Encontre o domı´nio de f e o domı´nio de g.
(b) Seja h(x) = 1−x1+x . Calcule h(h(x)) e especifique seu domı´nio.
8. Considere a func¸a˜o f que a cada nu´mero real x associa um par ordenado da forma (x, −x) e a func¸a˜o g que a
cada par ordenado da forma (x, −x) associa a sua coordenada que e´ positiva. Seja h(x) = g(f(x)).
(a) Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o h.
(b) Determine uma expressa˜o anal´ıtica para a func¸a˜o h e esboce o seu gra´fico.
W.Bianchini, A.R.Santos 121
9. Uma fa´brica produz pec¸as especiais de metal. O processo de fabricac¸a˜o e´ composto de duas etapas. Na primeira
delas um cronoˆmetro controla a quantidade de metal derretido que e´ vertido no molde. Depois que o metal
esfria, a pec¸a bruta e´ polida para se obter o acabamento final. Esse processo pode ser descrito por duas func¸o˜es:
f(t) = 2, 41 t e g(m) = m
(
1− 1
2m
)
. A func¸a˜o f(t) fornece a massa da pec¸a bruta como uma func¸a˜o do tempo
em que o metal derretido e´ vertido no molde. A func¸a˜o g(m) fornece a massa da pec¸a acabada em func¸a˜o da
massa da pec¸a bruta. O tempo e´ medido em minutos e a massa em quilogramas. Decida por quanto tempo o
metal derretido deve ser vertido no molde, para que a pec¸a acabada tenha uma massa de 1 kg, com erro ma´ximo
de 2 g.
10. Aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 1 = 0 tem treˆs ra´ızes reais
distintas e localize os intervalos onde elas ocorrem.
11. (a) Aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que todo nu´mero positivo a tem uma raiz quadrada.
(b) Aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que se n e´ um inteiro positivo e se a e´ um nu´mero
real positivo, enta˜o existe exatamente um nu´mero positivo b tal que bn = a. O nu´mero b e´ a raiz de ordem
n do nu´mero positivo a.
(c) Use a teoria de limites e o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que todo polinoˆmio de grau ı´mpar
tem pelo menos uma raiz real.
12. Um ponto fixo de uma func¸a˜o f e´ um nu´mero c do seu domı´nio tal que f(c) = c. (A func¸a˜o f na˜o muda o valor
do ponto c, que permanece fixo, da´ı o nome ponto fixo).
(a) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f cujo domı´nio e imagem seja o intervalo [0, 1]. Localize o seu
ponto fixo.
(b) Tente esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f cujo domı´nio e a imagem seja o intervalo [0, 1], que na˜o
tenha nenhum ponto fixo. Qual e´ o obsta´culo?
(c) Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para demonstrar que qualquer func¸a˜o cont´ınua cujo domı´nio e a
imagem seja o intervalo [0, 1] tem necessariamente um ponto fixo.
8.7 Exerc´ıcios adicionais
1. Decida se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas ou descont´ınuas em x = a. No caso de serem descont´ınuas, classifique
as descontinuidades.
(a) f(x) =
{
5
x−4 , x 6= 4
1 , x = 4
, a = 4
(b) g(x) = x
2+x+6
x+3 , x 6= −3 , a = −3
(c) f(x) =
{−1 , x < 0
0 , x = 0
x , 0 < x
, a = 0
(d) h(x) = x−3|x−3| , x 6= 3, a = 3
(e) f(y) =
{ √
y+5−√y
y , y > 0
1 , y = 0
, a = 0
(f) f(x) = x+ 1− |x+ 1|, a = −1
(g) f(x) =
{ 2x+ 3 , x ≤ 1
8− 3x , 1 < x < 2
x+ 3 , 2 ≤ x
2. Determine α e β para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em x = 1 e x = 4.
f(x) =
{x , x ≤ 1
αx+ β , 1 < x < 4
−2x , 4 ≤ x
.
3. Determine se as func¸o˜es a seguir sa˜o cont´ınuas ou descont´ınuas em cada um dos intervalos indicados :
(a) f(x) =
{
x+ 3 , x 6= 2 e x 6= −2
2 , x = 2 e x = −2 , (0, 4]; (−2, 2); (−∞, −2]; (2,+ ∞ ); (−4, 4).
(b) f(x) =
{
1√
3+2 x−x2 , x 6= 3
0 , x = 3
, (−1, 3); [−1, 3]; [−1, 3); (−1, 3].
(c) f(x) = 2x+5 , (3,7); [−6, 4]; ( −∞, 0); (−5,+∞).
(d) g(x) =
√
9−x2
4−x , ( −∞, −3); (−3, 3); [−3, 3]; [−3, 3); [3,4); (3,4]; [4,+ ∞ ); (4,+ ∞).
122 Cap. 8. Continuidade
4. Determine o maior domı´nio de continuidade das func¸o˜es abaixo:
(a) g(x) = 1x−1 +
1
x+2 +
√
3x− 2.
(b) f(u) = 1√
4u−1 −
√
1− u2.
(c) h(z) =
√
z −√z2 − z − 2.
5. Suponha que g(x) seja uma func¸a˜o cont´ınua em [−2, 3], e que, ale´m disso, g(−2) = 12 , g(−1) = −1, g(0) = 2,
g(1) = 2, g(2) = −2 e g(3) = 4. Qual e´ o nu´mero mı´nimo de zeros que da func¸a˜o g(x ) no intervalo considerado?
8.8 Para voceˆ meditar: O problema do andarilho
Uma trilha vai da base de uma montanha ate´ o topo. Um andarilho comec¸a a subir a trilha a`s 6 horas da manha˜ e
chega ao topo a`s 6 horas da tarde do mesmo dia. Durante o percurso ele pode parar, voltar atra´s, correr, fazer o que
quiser, desde que chegue ao topo a`s 6 horas da tarde do mesmo dia.
Na manha˜ seguinte ele comec¸a a descer a trilha a`s 6 horas da manha˜ do modo como ele quer e chega a` base
exatamente a`s 6 horas da tarde do mesmo dia.
Prove que existe pelo menos um lugar na trilha pelo qual ele passa na mesma hora de cada dia.
8.9 Projetos
8.9.1 Encontrando as ra´ızes de uma equac¸a˜o
O problema de calcular as ra´ızes de uma equac¸a˜o sempre foi objeto de estudo da matema´tica ao longo dos se´culos. Ja´
era conhecida, na antiga Babiloˆnia, a fo´rmula para o ca´lculo das ra´ızes exatas de uma equac¸a˜o geral do segundo grau.
No se´culo XVI, matema´ticos italianos descobriram fo´rmulas para o ca´lculo de soluc¸o˜es exatas de equac¸o˜es polinomiais
do terceiro e do quarto grau. Essas fo´rmulas sa˜o muito complicadas e por isso sa˜o raramente usadas nos dias de hoje.
No se´culo XVII, um matema´tico noruegueˆs, Niels Abel (1802-1829), que, apesar de sua curta vida, contribuiu com
va´rios resultados nota´veis e importantes para o desenvolvimento da matema´tica, provou que na˜o existe uma fo´rmula
geral para o ca´lculo das ra´ızes exatas de uma equac¸a˜o polinomial de grau maior ou igual a 5. Nesses casos, e mesmo
em casos mais simples, muitas vezes e´ necessa´rio recorrer a me´todos nume´ricos para calcular aproximac¸o˜es para as
ra´ızes reais de uma dada equac¸a˜o.
Existem va´rios me´todos recursivos ou iterativos (do latim iterare = repetir, fazer de novo) para calcular aprox-
imac¸o˜es nume´ricaspara as ra´ızes reais de uma equac¸a˜o.
Esses me´todos consistem em, partindo de uma estimativa inicial, repetir o mesmo procedimento va´rias vezes,
usando-se a cada vez como estimativa o resultado obtido na vez anterior, isto e´, na u´ltima iterac¸a˜o feita, ate´ se
alcanc¸ar a precisa˜o desejada. Abaixo descrevemos um desses me´todos. Outros me´todos deste tipo sera˜o descritos no
decorrer desse texto.
Me´todo da Bissec¸a˜o
Este me´todo consiste em encontrar por inspec¸a˜o dois pontos x0 e x1 tais que f(x0) e f(x1) tenham sinais contra´rios.
Se f(x0) = 0 ou f(x1) = 0 voceˆ encontrou a raiz procurada. Caso contra´rio, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0,
entre x0 e x1.
1. Para que tipo de func¸o˜es esta u´ltima afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
2. Que teorema garante este resultado?
Seja x2 =
x0+x1
2 . Somente treˆs casos podem acontecer: se f(x2) = 0, a raiz procurada e´ igual a x2; caso contra´rio,
ou f(x2) e f(x1) teˆm sinais contra´rios e a raiz esta´ entre x2 e x1 ou f(x2) e f(x0) teˆm sinais contra´rios e a raiz esta´
entre x2 e x0. Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento e´ a metade do comprimento
do intervalo anterior.
Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximac¸a˜o para a raiz da equac¸a˜o com a precisa˜o desejada.
1. Por que este me´todo e´ chamado me´todo da bissec¸a˜o?
2. Para que func¸o˜es esse me´todo funciona e que teorema garante a sua validade?
3. Como voceˆ pode estimar o erro cometido na ene´sima aproximac¸a˜o da raiz?
4. Quando devemos parar o procedimento acima?
W.Bianchini, A.R.Santos 123
5. Prove que a equac¸a˜o x5 − 5x2 + 3 = 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, −2] e use o me´todo acima
para calcular essa raiz com erro menor que 0,01.
6. Use o me´todo acima para determinar aproximac¸o˜es para as ra´ızes reais da equac¸a˜o x3 − 2x2 + 4x+ 12 = 0 com
erro menor que 0,001.
7. Uma a´rvore de 20 metros de altura esta´ a 4 metros de um muro de 2 metros de altura. Apo´s uma ventania, a
a´rvore se quebra a uma altura de x metros. A a´rvore cai de tal maneira que, quando a sua extremidade toca
o solo, do outro lado do muro, seu tronco apenas toca a parte superior do muro, sem derruba´-lo. Determine o
valor de x.
Sugesta˜o: Com o aux´ılio de triaˆngulos semelhantes e do Teorema de Pita´goras, mostre que x e´ a raiz de uma
equac¸a˜o do terceiro grau. Use o me´todo acima para encontrar aproximac¸o˜es para as ra´ızes da equac¸a˜o que voceˆ
encontrou e decida qual dessas ra´ızes e´ a soluc¸a˜o do problema.
8.9.2 Generalizando o me´todo dos babiloˆnios para estimar a raiz quadrada de um
nu´mero positivo
Como consequ¨eˆncia do Teorema do Valor Intermedia´rio, podemos demonstrar que, qualquer que seja o nu´mero real
positivo a e n inteiro positivo, existe um nu´mero real b tal que bn = a , isto e´, existe um nu´mero b que e´ a raiz ene´sima
de a. (Veja Problema 7, na sec¸a˜o Problemas Propostos).
Os antigos babiloˆnios desenvolveram um processo eficaz para gerar uma sequ¨eˆncia de aproximac¸o˜es cada vez
melhores para a raiz quadrada de qualquer nu´mero positivo a que descrevemos a seguir.
Suponha que se conhec¸a uma aproximac¸a˜o inicial x0 para
√
a . Por exemplo, x = 3 e x = 4 sa˜o, respectivamente,
aproximac¸o˜es por falta e por excesso para
√
13.
Se x0 > 0 e´ uma aproximac¸a˜o por falta para
√
a, enta˜o e´ claro que x0 <
√
a⇒ 1√
a
< 1x0 e da´ı
√
a < ax0 . Portanto,
podemos concluir que ax0 e´ uma aproximac¸a˜o por excesso para
√
a. Consequ¨entemente, vale a desigualdade x0 <
√
a
< ax0 ou, equivalentemente,
√
a ∈ (x0, ax0 ).
Da mesma maneira, se x0 e´ uma aproximac¸a˜o por excesso para
√
a, temos
√
a < x0 ⇒ 1x0 < 1√a , e da´ı, ax0 <
√
a.
Enta˜o, ax0 <
√
a < x0 ou, equivalentemente,
√
a ∈ ( ax0 , x0). Logo, em qualquer dos dois casos
√
a estara´ sempre entre
x0 e
a
x0
.
Assim, usando a mesma ide´ia do Me´todo da Bissec¸a˜o, o ponto me´dio x1 =
x+ ax
2 do intervalo considerado deve
ser uma nova e melhor aproximac¸a˜o para
√
a. Repare que se x1 <
√
a, temos, como anteriormente, que
√
a ∈ (x1, ax1 ),e
se x1 >
√
a, vale que
√
a ∈ ( ax1 , x1). Podemos, portanto, repetir esse procedimento tantas vezes quanto desejarmos
de modo a melhorar, a cada passo, a precisa˜o do resultado obtido.
1. A partir de uma estimativa inicial x0 e usando a fo´rmula iterativa
xn =
xn−1 + axn−1
2
,
deduzida pelos babiloˆnios, calcule a raiz quadrada aproximada para
√
13 com 11 casas decimais exatas.
2. O que acontece se iniciarmos o processo com uma estimativa inicial x0 negativa?
3. Use a fo´rmula iterativa xn =
xn−1+ a
(xn−1)2
2 para obter uma aproximac¸a˜o de 12
( 13 )com 8 casas decimais exatas.
4. Estude a eficieˆncia do algoritmo xn =
xn−1+ a
(xn−1)(k−1)
2 para obter aproximac¸o˜es para a raiz k-e´sima (k > 3) de
um nu´mero positivo a. (Para justificar por que o algoritmo acima funciona para obter aproximac¸o˜es cada vez
melhores para as ra´ızes quadra´ticas e cu´bicas de um nu´mero positivo a e na˜o funciona para k > 3 veja o projeto
Tangentes, O´rbitas e Caos do Cap. 20 .