Cálculo 1 - capitulo 09 A Derivada de uma Função - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 9
A Derivada de uma Func¸a˜o
9.1 Definic¸a˜o
No Cap. 5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
f , em um ponto (x0, f(x0)), e´ obtido tomando-se o limite das declividades de uma sequ¨eˆncia de retas secantes que
convergem para a tangente, mais precisamente, o coeficiente angular m da tangente e´ dado por
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
conforme mostra o diagrama a seguir:
Esta definic¸a˜o do coeficiente angular da tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f , no ponto (x0, f(x0)), nos leva a`
definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o em um ponto.
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f em um ponto x0 do seu domı´nio, denotada por f
′(x0) (leˆ-se f linha de x zero) e´
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
se esse limite existir.
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel ou diferencia´vel nesse ponto. Se f for deriva´vel em todos os pontos
do seu domı´nio, dizemos, simplesmente, que f e´ deriva´vel ou diferencia´vel.
A raza˜o
f(x)− f(x0)
x− x0 e´ chamada de raza˜o incremental ou quociente de diferenc¸as.
E´ importante notar que f ′(x0) e´ a declividade da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)). Assim, a
func¸a˜o f e´ deriva´vel em x0 se e somente se existe a reta tangente (na˜o vertical) a` curva y = f(x), no ponto (x0, f(x0)).
9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f(x) = 1x , x 6= 0. Para determinar a derivada dessa func¸a˜o, em um ponto x0 qualquer, precisamos
calcular lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 , isto e´, estudar o comportamento da raza˜o incremental
f(x)−f(x0)
x−x0 , quando x se aproxima
de x0. Neste exemplo particular
f(x)− f(x0)
x− x0 =
1
x − 1x0
x− x0 .
125
126 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
Com a experieˆncia adquirida no estudo de limites, sabemos que o comportamento desta raza˜o, quando x se aproxima
de x0, se torna claro apo´s algumas manipulac¸o˜es alge´bricas. Assim, simplificando a frac¸a˜o, obtemos:
1
x − 1x0
x− x0 =
x0−x
xx0
x− x0 = −
x− x0
(x− x0)xx0 = −
1
xx0
A partir desta igualdade vemos imediatamente que
f ′(x0) = lim
x→x0
1
x − 1x0
x− x0 = limx→x0 −
1
xx0
= − 1
x20
.
Examinando o gra´fico da func¸a˜o f (veja a seguir) podemos verificar que o resultado obtido e´ consistente com o
significado geome´trico da derivada de uma func¸a˜o. Como x20 e´ sempre positivo, a derivada f
′(x0) = − 1x20 e´ sempre
negativa. Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao gra´fico da func¸a˜o f descem em direc¸a˜o a` direita. (Por
queˆ?) Ale´m disso, quando x0 esta´ pro´ximo de zero − 1x20 e´ um nu´mero negativo de valor absoluto muito grande e,
portanto, a reta tangente e´ quase vertical; quando x0 cresce em valor absoluto, − 1x02 e´ quase zero e a reta tangente e´
quase horizontal.
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
–3 –2 –1 1 2 3x
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
–3 –2 –1 1 2 3x
Na realidade, mais tarde, em vez de usarmos o gra´fico da func¸a˜o para verificar se a derivada foi calculada correta-
mente, como foi feito neste exemplo, usaremos a derivada para nos ajudar a trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es.
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f(x) = x3. Como das vezes anteriores, para calcular a derivada desta func¸a˜o no ponto x0 e´
preciso calcular o lim
x→x0
x3 − x30
x− x0 . Este limite pode ser calculado facilmente simplificando-se a raza˜o incremental, como
se segue:
x3 − x30
x− x0 =
(x− x0) (x2 + xx0 + x20)
x− x0 = x
2 + xx0 + x
2
0
Da´ı, conclu´ımos imediatamente que
lim
x→x0
x3 − x30
x− x0 = limx→x0 (x
2 + xx0 + x0
2) = 3x0
2.
Exemplo 3
De um modo geral, o racioc´ınio empregado no exemplo anterior para calcular a derivada da func¸a˜o f(x) = x3 pode
ser empregado no ca´lculo das derivadas das func¸o˜es f(x) = xn, onde n e´ um inteiro positivo em um ponto x0 qualquer.
Para isso e´ necessa´rio calcular o
lim
x→x0
xn − xn0
x− x0 .
Como (x − x0) e´ um fator do polinoˆmio xn − xn0 , para calcular o limite acima, basta, como no exemplo anterior,
simplificar o quociente
xn−xn0
x−x0 . Nesse caso geral, teremos:
xn − xn0
x− x0 = x
(n−1) + x0 x(n−2) + x02 x(n−3) + . . .+ x
(n−2)
0 x+ x
(n−1)
0 .
Desta u´ltima expressa˜o, sem dificuldade, obtemos
lim
x→x0
xn − xn0
x− x0 = nx
(n−1)
0 ,
qualquer que seja o ponto x0. Assim, se n e´ um inteiro positivo, f
′(x) = nx(n−1).
W.Bianchini, A.R.Santos 127
Exemplo 4
Vamos, agora, calcular a derivada da func¸a˜o f(x) =
√
x, em um ponto x0 > 0 qualquer. Para isso temos que
calcular
lim
x→x0
√
x−√x0
x− x0 .
Como (
√
x−√x0) (
√
x+
√
x0) = x− x0 , temos que
√
x−√x0
x− x0 =
(
√
x−√x0)
(
√
x−√x0) (
√
x+
√
x0)
=
1√
x+
√
x0
.
Logo, lim
x→x0
√
x−√x0
x− x0 = limx→x0
1√
x+
√
x0
=
1
2
√
x0
.
Observe que este limite na˜o existe quando x0 = 0. Deste modo, o domı´nio de f
′ e´ o intervalo (0,+∞), que e´ menor
que o domı´nio da func¸a˜o f .
9.2.1 Exerc´ıcios
1. Seja f(x) = x2.
(a) Calcule a derivada de f nos pontos x = 1, x = 23 , x = −2.
(b) O que representa, geometricamente, o valor encontrado, em cada um dos pontos dados, no item anterior?
2. (a) Levando em conta a definic¸a˜o geome´trica da derivada de uma func¸a˜o, o que se pode concluir a respeito da
derivada de uma func¸a˜o constante?
(b) Prove a sua conclusa˜o, isto e´, usando a definic¸a˜o, mostre que se f(x) = c, c um nu´mero real qualquer, enta˜o
f ′(x) = 0 para todo x.
(c) Qual o maior domı´nio da derivada calculada no item anterior?
(d) Os itens anteriores mostram que a reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o constante coincide com o gra´fico
desta func¸a˜o. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o na˜o constante, cujo gra´fico coincida com a sua reta tangente em
todos os pontos de seu domı´nio. Neste caso, o que se pode afirmar a respeito da derivada desta func¸a˜o?
(Veja o pro´ximo exerc´ıcio)
3. (a) Se o gra´fico de y = f(x) e´ uma reta, qual a derivada de f?
(b) Qual a derivada da func¸a˜o f(x) = a x+ b? (Observac¸a˜o: Voceˆ na˜o precisa fazer nenhuma conta para
responder as perguntas anteriores!)
(c) Se f(x) e´ a func¸a˜o definida no item anterior, prove, analiticamente, que f ′(x) = a.
(d) Qual o maior domı´nio da derivada calculada no item anterior?
4. (a) Qual a declividade da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 no ponto (2, 8).
(b) Seja g a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, a3). Ache uma equac¸a˜o desta reta.
(c) Se a 6= 0, mostre que f e g se interceptam em dois pontos.
5. Use a fo´rmula obtida no Exemplo 3 para calcular a derivada de:
(a) f(x) = x5 (b) f(x) = x100
6. Suponha que f(x) = x3. Calcule:
(a) f ′(9), f ′(25), f ′(36) (b) f ′(32), f ′(52), f ′(62) (c) f ′(a), f ′(a2), f ′(x2)
7. Se f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e c um nu´mero real qualquer, use o significado geome´trico da derivada de
uma func¸a˜o para obter uma fo´rmula para g′(x) em cada um dos itens abaixo: (Veja Atividades de Laborato´rio.)
(a) g(x) = f(x) + c
(b) g(x) = f(x+ c)
(c) g(x) = c f(x)
(d) g(x) = f(c x)
(e) g(x) = c f(c x)
(f) Use a definic¸a˜o de derivada para comprovar a sua intuic¸a˜o geome´trica.
(g) Use os resultados obtidos acima para calcular f ′(x), nos seguintes casos:
i. f(x) = (x+ 3)5
ii. f(x) = x5 + 100
iii. f(x) = 2 (x4 − 3)
iv. f(x+ 3) = x5
v. f(x+ 3) = (x+ 5)7
128 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
9.3 Outras notac¸o˜es para a derivada de uma func¸a˜o
Na definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o f em um ponto x0,
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
fazendo x− x0 = ∆x, ou seja, x = x0 +∆x, o limite acima se transforma em
f ′(x0) = lim
∆ x→0
[
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
]
.
Quando na˜o estamos interessados em caracterizar um determinado ponto x0, escrevemossimplesmente para um
ponto x qualquer:
f ′(x) = lim
∆ x→0
[
f(x+∆x)− f(x)
∆x
]
.
Esta notac¸a˜o nos mostra claramente que a cada x associamos o valor f ′(x), obtendo assim uma nova func¸a˜o f ′, a
derivada da func¸a˜o original f . O domı´nio de f ′ e´ o conjunto de todos os pontos x do domı´nio de f tais que este limite
existe.
Outros s´ımbolos podem ser empregados para denotar a derivada de uma func¸a˜o.
A`s vezes pode ser conveniente denotar f ′(x) por Dx(f(x)). O ı´ndice x, em D, tem por objetivo designar a varia´vel
independente em relac¸a˜o a` qual estamos calculando a derivada da func¸a˜o f . Por exemplo, se a func¸a˜o f e´ uma
func¸a˜o da varia´vel independente t, escreve-se f ′(t) = Dt(f(t)). Quando na˜o houver possibilidade de du´vida em relac¸a˜o
a esta varia´vel, isto e´, quando a varia´vel independente for claramente explicitada, podemos escrever D(f(x)) ou,
simplesmente, D(f) para designar a derivada da func¸a˜o f em relac¸a˜o a sua varia´vel independente. Os s´ımbolos Dx,
Dt, D sa˜o chamados operadores diferenciais, porque quando aplicados a uma func¸a˜o teˆm o efeito de uma operac¸a˜o,
cujo resultado e´ a derivada (ou diferencial) da func¸a˜o dada. Os s´ımbolos, acima, isoladamente, na˜o teˆm significado
algum, no entanto quando aplicados a uma expressa˜o obte´m-se a sua derivada.
Veja os exemplos abaixo:
(a) Dx(3x
2 − 5x+ 4) = D (3x2 − 5x+ 4) = 6x− 5
(b) D f(x) = f ′(x)
(c) Dx(a x+ b) = a
O Maple usa o s´ımbolo D para calcular a func¸a˜o derivada de uma dada func¸a˜o f . Veja como isto pode ser feito nos
exemplos abaixo:
> f:=x->3*x^2-5*x+4;
f := x→ 3x2 − 5x+ 4
> derivada:=D(f);
derivada := x→ 6x− 5
> D(f)(x);
6x− 5
> D(f)(2);
7
> g:=y->a*y+b;
g := y → a y + b
> D(g);
y → a
9.3.1 A notac¸a˜o de Leibniz
Leibniz, ao desenvolver sua versa˜o do ca´lculo (por volta de 1675), denotou as derivadas pelo s´ımbolo dfdx , em vez de
f ′(x). Sua notac¸a˜o prove´m da definic¸a˜o de derivada e nos ajuda a ter em mente seu significado geome´trico.
Para explicar a notac¸a˜o de Leibniz, vamos comec¸ar com uma func¸a˜o y = f(x) e escrever o quociente f(x)−f(x0)x−x0 . Este
quociente, que representa, geometricamente, a declividade da reta secante a` curva y = f(x), que passa pelos pontos
(x0, f(x0)) e (x, f(x)), pode ser escrito na forma
∆ y
∆ x , onde ∆x = x− x0 e ∆ y = f(x)− f(x0). O denominador,
portanto, e´ a diferenc¸a de dois valores de x e o numerador, a diferenc¸a correspondente nos valores de f . Por este
motivo e´ chamado de quociente de diferenc¸as. Este fato e´ ilustrado no desenho:
W.Bianchini, A.R.Santos 129
x∆
y∆
f(x )o
x o
f(x)
x
E´ importante ressaltar que, neste contexto, ∆ y na˜o e´ uma diferenc¸a entre quaisquer dois valores da func¸a˜o f ,
mas o incremento ocorrido nos valores da func¸a˜o f quando a varia´vel independente muda de x0 para x0 +∆x, isto e´,
quando ha´ um incremento de valor ∆x na varia´vel independente. Por este motivo este quociente e´ tambe´m chamado
de raza˜o incremental e pode ser interpretado como a raza˜o da variac¸a˜o de y pela variac¸a˜o de x ao longo da curva
y = f(x). (Veja o cap´ıtulo Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o).
O limite deste quociente de diferenc¸as quando ∆x tende a zero e´, como ja´ vimos, a derivada da func¸a˜o f , isto e´,
se y = f(x),
f ′(x) = lim
∆ x→0
∆ y
∆x
.
Leibniz usou a notac¸a˜o dydx (leia-se: a derivada de y em relac¸a˜o a x ou, simplesmente, dy,dx) para denotar este
limite. Assim, usando a notac¸a˜o de Leibniz, temos que
dy
dx
= lim
∆ x→0
∆ y
∆x
,
isto e´,
dy
dx
= f ′(x).
Note que dydx , apesar da forma como e´ escrito, e´ um u´nico s´ımbolo individual, na˜o o quociente de duas quantidades,
dy e dx, que, ate´ agora, na˜o foram definidas. (Para entender como e´ poss´ıvel definir dy e dx de tal modo que o s´ımbolo
dy
dx , usado para denotar a derivada de uma func¸a˜o y = f(x), seja realmente a raza˜o entre duas quantidades veja o Cap.
19 ).
A notac¸a˜o de Leibniz apresenta a vantagem de nos fazer lembrar, rapidamente, de todo o processo de se formar o
quociente de diferenc¸as ∆ y∆ x e calcular o seu limite quando ∆x→ 0 (a passagem ao limite e´ simbolicamente expressa
pela substituic¸a˜o da letra grega ∆ pela letra d).
Ha´ muitas variac¸o˜es sobre esta notac¸a˜o, escolhidas de acordo com as convenieˆncias do contexto onde sa˜o empre-
gadas. Por exemplo, se
y = 2x2 + x ⇒ dy
dx
= 4x+ 1 ,
ou, ainda, se
f(x) = 2x2 + x ⇒ df
dx
= 4x+ 1 , ou, ainda,
d (2x2 + x)
dx
= 4x+ 1 .
Todas estas sa˜o maneiras aceita´veis de se dizer que a derivada da func¸a˜o definida por f(x) = 2x2 + x e´ uma outra
func¸a˜o dada por f ′(x) = 4x+ 1.
De maneira ana´loga, d (5 t
2−4 t)
dt = 10 t− 4, e se z = 12x2 − 4, enta˜o dzdx = 24x.
A notac¸a˜o dydx
∣∣∣
x=x0
expressa a derivada da func¸a˜o y = f(x) calculada no ponto x = x0, isto e´, se
y = f(x)⇒ dy
dx
∣∣∣∣
x=x0
= f ′(x0) .
A notac¸a˜o de Leibniz e´ particularmente apropriada nas aplicac¸o˜es. Ale´m disso, certas regras fundamentais e
propriedades operato´rias sa˜o mais fa´ceis de lembrar e usar quando as derivadas sa˜o escritas na notac¸a˜o de Leibniz.
(Veja o cap´ıtulo Teoremas e Propriedades Operato´rias.)
O Maple usa o comando diff(f,x) para calcular a derivada de uma func¸a˜o ou expressa˜o alge´brica em relac¸a˜o
a` varia´vel x. O programa usa tambe´m uma simbologia um pouco diferente para designar derivadas com a notac¸a˜o
de Leibniz arredondando a letra d. Voceˆ vera´ posteriormente em Ca´lculo II a utilizac¸a˜o deste s´ımbolo para designar
derivadas parciais para func¸o˜es de va´rias varia´veis. Assim, para o Maple,
df
dx
=
∂
∂x
f . Veja os exemplos abaixo:
130 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
> diff(x^2,x);
2x
> f:=x->x^2;
f := x→ x2
> diff(f(x),x);
2x
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
∂
∂x x
2 = 2x
9.3.2 Exerc´ıcios
1. As afirmac¸o˜es abaixo foram escritas usando-se a notac¸a˜o de Leibniz para derivadas. Interprete cada uma delas.
(a) d x
n
dx = nx
(n−1)
(b) Se z = 1y , enta˜o
dz
dy = − 1y2
(c) d [f(x)+c]dx =
d f(x)
dx
2. Seja y = f(x) e z = y + c. Calcule dzdx .
9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade
Pela nossa experieˆncia no estudo de retas tangentes e´ fa´cil concluir que existem func¸o˜es que, em alguns pontos, na˜o
teˆm reta tangente; portanto, em tais pontos, f ′ na˜o esta´ definida. Consequ¨entemente, em alguns casos o domı´nio de
f ′ e´ um conjunto menor que o domı´nio de f .
Vamos ilustrar esta afirmac¸a˜o com alguns exemplos.
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f(x) = |x |. Ja´ vimos, geometrica-
mente, que na˜o existe reta tangente ao gra´fico dessa func¸a˜o
no ponto (0, 0). Geometricamente tambe´m e´ fa´cil ver que,
para cada x > 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente a esse gra´fico
e´ 1 (por queˆ?); e que, para cada x < 0, a inclinac¸a˜o da tan-
gente e´ −1 (por queˆ?).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
–2 –1 1 2
x
Na primeira sec¸a˜o deste cap´ıtulo, definimos a derivada de uma func¸a˜o em um ponto x0 como a declividade da reta
tangente ao seu gra´fico neste ponto. Vamos usar esta definic¸a˜o para mostrar, rigorosamente, que a func¸a˜o f(x) = |x |,
na˜o tem derivada no ponto (0, 0), portanto, na˜o existe reta tangente ao gra´fico desta func¸a˜o neste ponto. Para isso
vamos calcular o lim
x→0
f(x)− f(x0)
x− x0 , para x0 = 0. Neste caso particular,
lim
x→0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→0
|x |
x
.
Como, | x |x = 1, para x > 0, enta˜o lim
x→0+
|x |
x
= 1, e como | x |x = −1, para x < 1, temos que lim
x→0−
|x |
x
= −1.
Como os limites laterais sa˜o diferentes, podemos concluir que na˜o existe o limite procurado.
Os dois limites laterais calculados no exemplo anterior sa˜o chamados derivada lateral a` direita e derivada
lateral a` esquerda, respectivamente, da func¸a˜o f no pontozero.
A derivada desta func¸a˜o existe em qualquer outro ponto x0 6= 0. De fato,
f ′(x) =
{
1, x > 0
−1, x < 0
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
W.Bianchini, A.R.Santos 131
Repare que f ′(x) na˜o esta´ definida para x = 0 e, portanto, f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto.
Exemplo 2
Uma dificuldade semelhante a`quela apresentada no exemplo anterior ocorre com a func¸a˜o
f(x) =
{
x2 , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
No ponto x0 = 0, temos que
f(x)−f(0)
x =
{
x2
x x > 0−x
x x < 0
, ou seja,
f(x)− f(0)
x
=
{
x, x > 0
−1, x < 0 .
Consequ¨entemente, lim
x→0+
f(x)− f(0)
x
= 0 e lim
x→0−
f(x)− f(0)
x
= −1.
Como as derivadas laterais sa˜o diferentes, podemos concluir que na˜o existe f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
, isto e´, f na˜o
e´ diferencia´vel em zero. Novamente, podemos facilmente concluir que f ′(x) existe para qualquer outro ponto x0 6= 0.
Exerc´ıcio Demonstre que f ′(x) =
{
2x, x > 0
−1, x < 0 .
Os gra´ficos de f e de f ′, respectivamente, sa˜o mostrados a seguir.
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
Exemplo 3
Vamos examinar agora a func¸a˜o f(x) = x(
1
3 ) cujo gra´fico trac¸amos abaixo. Conve´m observar aqui que o Maple
define esta func¸a˜o apenas para valores positivos de x. Se quisermos considerar esta func¸a˜o definida em toda a reta
real usando o Maple, precisamos utilizar uma sub-rotina, chamada surd, que faz esta conversa˜o automaticamente da
seguinte maneira:
Se x ≥ 0, enta˜o surd(x, n) = x( 1n ). Se x < 0, enta˜o surd(x, n) = −(−x( 1n )).
Abaixo, utilizamos este comando para trac¸ar o gra´fico desta func¸a˜o no intervalo [−2, 2].
> f:=x->surd(x,3):
> plot(f(x),x=-2..2,y=-2..2);
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
Neste caso, para x0 = 0,
f(x)− f(0)
x
=
x(
1
3 )
x
=
1
x(
2
3 )
.
A expressa˜o acima se torna arbitrariamente grande quando x→ 0; portanto, a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel no
zero, pois na˜o existe o lim
x→0
f(x)− f(0)
x
.
132 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
Observe os diagramas a seguir e examine o comportamento das retas secantes a` curva passando pela origem e por
um ponto (x, f(x)) qualquer da curva a` medida que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, respectivamente.
Geometricamente, este comportamento significa que, embora f na˜o seja diferencia´vel em (0, 0), o gra´fico de f
apresenta uma reta tangente vertical neste ponto.
Exemplo 4
A situac¸a˜o se torna um pouco pior quando examinamos a func¸a˜o y =
√|x|, cujo gra´fico e´ seguinte:
5
10
15
20
25
30
–1000 –600 –200 0 200 400 600 800 1000x
Calculando o quociente de diferenc¸as para x0 = 0, obtemos:
f(x)− f(0)
x
=
{ √
x
x , x > 0√−x
x , x < 0
=
{
1√
x
, x > 0
− 1√−x , x < 0
.
Neste caso, mais uma vez, como os limites laterais na˜o existem, f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
tambe´m na˜o existe e,
consequ¨entemente, f na˜o e´ diferencia´vel em x0 = 0. Ale´m disso,
lim
x→0+
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0+
1√
x
= +∞,
pois os valores de 1√
x
se tornam arbitrariamente grandes quando x se aproxima de zero pela direita e,
lim
x→0−
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0−
− 1√−x = −∞
pois, quando x se aproxima de zero pela esquerda, os valores de − 1√−x se tornam arbitrariamente grandes em valor
absoluto, mas sa˜o sempre negativos.
O diagrama a seguir ilustra estas afirmac¸o˜es.
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
–2 –1 1 2
x
W.Bianchini, A.R.Santos 133
Estes dois u´ltimos exemplos motivam a definic¸a˜o dada a seguir.
Definic¸a˜o: Reta tangente vertical
A curva y = f(x) admite uma reta tangente vertical no ponto (x0, f(x0)) se f e´ cont´ınua em x0 e f
′(x) tende a
+∞ ou −∞ quando x → x+0 e/ou quando x → x−0 . Se f ′(x) tender a +∞ por um lado e a −∞ por outro, dizemos
que a func¸a˜o tem uma cu´spide em x0.
(A exigeˆncia de que f seja cont´ınua em x = x0 implica que f(x0) deve ser definida neste ponto, pois na˜o teria
sentido exigir uma reta (vertical ou na˜o) tangente a uma curva y = f(x) em um ponto x0 onde a func¸a˜o na˜o estivesse
definida.)
Dos exemplos acima, podemos concluir que, graficamente, o domı´nio de f ′ e´ o conjunto de todos os pontos para
os quais a func¸a˜o original f tem uma tangente na˜o vertical. Portanto, a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel nos pontos onde
o seu gra´fico forma “bicos” ou muda abruptamente de direc¸a˜o ou nos pontos onde a reta tangente e´ vertical ou nos
pontos onde ela na˜o e´ cont´ınua. Nos exemplos dados, o domı´nio de f ′ esta´ contido (estritamente) no domı´nio de f .
Ate´ agora estudamos a diferenciabilidade de func¸o˜es em determinados pontos. Como foi feito no estudo de con-
tinuidade (Cap. 8 ), podemos estender este conceito a todo um intervalo. As definic¸o˜es a seguir teˆm este objetivo.
Definic¸a˜o: Diferenciabilidade em intervalos abertos
Dizemos que uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em um intervalo aberto (a, b) se o e´ para todo ponto x0 em (a, b).
Esta definic¸a˜o e´ estendida, naturalmente, a`s func¸o˜es definidas em intervalos do tipo (a,∞), (−∞, a) ou a toda reta.
Definic¸a˜o: Diferenciabilidade em intervalos fechados
Uma func¸a˜o f e´ diferencia´vel em um intervalo fechado [a, b] se e´ diferencia´vel em (a, b) e se existem as derivadas
laterais a` direita no ponto a e a` esquerda no ponto b, isto e´, se existem os limites
lim
h→0+
f(a+ h)− f(a)
h
e lim
h→0−
f(b+ h)− f(b)
h
.
Se f esta´ definida em um intervalo [a,b], as derivadas laterais acima nos permitem, tambe´m, definir a declividade da
reta tangente a` curva y = f(x) nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Assim, o coeficiente angular da reta tangente a` curva no
ponto (a,f(a)) e´ dado por
lim
h→0+
f(a+ h)− f(a)
h
e o coeficiente angular da reta tangente no ponto (b,f(b)) por
lim
h→0−
f(b+ h)− f(b)
h
.
Veja os gra´ficos a seguir, onde a func¸a˜o y = −x2 + 4 esta´ definida no intervalo fechado [a, b] = [−2, 2]. O primeiro
mostra a derivada lateral a` direita em a = −2; o segundo, a derivada lateral a` esquerda em b = 2.
2
4
6
8
10
y
–2 –1 1 2
x
2
4
6
8
10
y
–2 –1 1 2
x
Utilizando-se as derivadas laterais em um dos extremos, define-se de maneira ana´loga a diferenciabilidade em
intervalos da forma [a,b), [ a, ∞ ), (a,b] e ( −∞, b].
Da mesma maneira, dizemos que uma curva y = f(x) tem uma reta tangente vertical no extremo de um intervalo
fechado onde estiver definida se f for cont´ınua neste ponto e se as derivadas laterais (a` esquerda ou a` direita, conforme
o caso) crescerem sem limite, em valor absoluto. Veja o gra´fico a seguir que exemplifica esta situac¸a˜o para a func¸a˜o
y =
√
x cujo domı´nio e´ o intervalo [0,∞).
134 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
9.4.1 Exerc´ıcios
1. (a) Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = [[x]], onde o s´ımbolo [[ . ]] denota o maior inteiro menor ou igual a x.
(b) Calcule lim
x→0+
f(x)− f(0)
x
e lim
x→0−
f(x)− f(0)
x
. O que significam estes limites?
(c) Qual o domı´nio de f ′.
2. Mostre que a func¸a˜o f(x) = −x( 13 ) apresenta uma reta tangente vertical em (0, 0).
9.5 Diferenciabilidade e continuidade
Na sec¸a˜o Derivadas Laterais e Diferenciabilidade, estudamos alguns exemplos de func¸o˜es que sa˜o cont´ınuas mas na˜o
sa˜o diferencia´veis. Quando estudamos func¸o˜es cont´ınuas, afirmamos que ser cont´ınua seria a primeira propriedade que
uma func¸a˜o “razoavelmente bem comportada” deveria satisfazer. De uma certa maneira, as func¸o˜es diferencia´veis teˆm
um “comportamento melhor” do que aquelas que simplesmente sa˜o cont´ınuas. Neste sentido, ser diferencia´vel e´ uma
condic¸a˜o mais forte que ser cont´ınua. O teorema abaixo tornaclara esta u´ltima afirmac¸a˜o.
Teorema
Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em um ponto x0, enta˜o f e´ cont´ınua em x0.
Demonstrac¸a˜o
Para mostrar que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, precisamos provar que lim
x→x0
f(x) = f(x0). Isto e´ equivalente a mostrar
que lim
x→x0
(f(x)− f(x0)) = 0. Como x 6= x0 (por queˆ?), temos que
lim
x→x0
(f(x)− f(x0)) = lim
x→x0
(f(x)− f(x0)) (x− x0)
(x− x0) .
Como, por hipo´tese, f e´ diferencia´vel em x0, existe o lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 , e este limite e´ igual a f
′(x0). Estes fatos
nos permitem afirmar que
lim
x→x0
(
(f(x)− f(x0)) (x− x0)
(x− x0)
)
= lim
x→x0
(
f(x)− f(x0)
x− x0
)
. lim
x→x0
(x− x0) = f ′(x0).0 = 0
, o que demonstra o teorema.
E´ muito importante lembrar que a rec´ıproca do teorema acima na˜o vale. Uma func¸a˜o diferencia´vel e´ cont´ınua, mas
uma func¸a˜o cont´ınua na˜o precisa ser, necessariamente, diferencia´vel (se voceˆ se lembrar da func¸a˜o f(x) = |x |, jamais
esquecera´ qual dessas duas afirmac¸o˜es e´ a verdadeira e qual e´ a falsa).
W.Bianchini, A.R.Santos 135
As func¸o˜es cont´ınuas, examinadas na sec¸a˜o Derivadas Laterais e
Diferenciabilidade, sa˜o diferencia´veis, exceto em um ponto. E´ fa´cil
dar exemplos de func¸o˜es cont´ınuas que na˜o sa˜o diferencia´veis em
va´rios pontos, ate´ mesmo em um nu´mero infinito de pontos (veja
figura ao lado).
Existem exemplos muito piores do que esse. Existem func¸o˜es
que sa˜o cont´ınuas em todos os pontos da reta mas na˜o sa˜o difer-
encia´veis em nenhum! –1.5
–1
–0.5
0.5
1
1.5
–20 –10 10 20
x
Em 1872, o matema´tico alema˜o Weierstrass chocou a comunidade matema´tica com um exemplo deste tipo, apre-
sentando a seguinte func¸a˜o:
f(x) =
∞∑
n=0
(
1
2
)n cos(13n pi x)
Evidentemente, num curso de Ca´lculo I na˜o e´ poss´ıvel demonstrar a afirmac¸a˜o acima, mas voceˆ pode ter uma ideia
geome´trica desta func¸a˜o observando o gra´fico abaixo para n = 15 e deduzindo como seria uma func¸a˜o deste tipo.
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
9.5.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
1. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o f : R→ R cont´ınua em toda a reta e que na˜o tenha derivada em x = 2.
2. A figura a seguir mostra o gra´fico da derivada de uma func¸a˜o f . Sabendo que f e´ cont´ınua em x = 1, trace um
esboc¸o do seu gra´fico.
–6
–4
–2
2
x
9.6 Derivadas de ordem superior
Vimos nas sec¸o˜es anteriores que, por meio do processo de derivac¸a˜o, e´ poss´ıvel obter, a partir de uma dada func¸a˜o f ,
uma outra func¸a˜o f ′, a derivada de f , cujo domı´nio pode ser consideravelmente menor do que o domı´nio da func¸a˜o f
original. E´ claro que a noc¸a˜o de derivabilidade e o processo de derivac¸a˜o podem ser aplicados a esta nova func¸a˜o f ′,
definindo-se, assim, uma outra func¸a˜o (f ′)′, cujo domı´nio consiste de todos os pontos x0 tais que f ′ e´ deriva´vel em x0.
A func¸a˜o (f ′)′ e´ denotada, simplesmente por f ′′ (leˆ-se: f duas linhas) e chamada a derivada segunda de f . Se f ′′(x0)
existe, enta˜o dizemos que f e´ duas vezes deriva´vel (diferencia´vel) em x0, e o nu´mero f
′′(x0) e´ a derivada segunda de
f calculada no ponto x = x0.
Da mesma maneira podemos definir a derivada terceira de f como f ′′′ = (f ′′)′, e assim por diante. De uma
maneira geral, se k e´ um inteiro positivo, enta˜o f (k) denota a derivada de ordem k de f , que e´ obtida derivando-se f ,
136 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
sucessivamente, k vezes. As va´rias func¸o˜es para k ≥ 2 sa˜o, usualmente, chamadas derivadas de ordem superior de f .
A`s vezes, e´ conveniente pensar na func¸a˜o original como a derivada de ordem zero e escrever f = f (0).
Muitas notac¸o˜es podem ser empregadas para as derivadas de ordem superior de uma func¸a˜o. Usando a notac¸a˜o de
operadores escrevemos
f ′′(x) = Dx(f ′(x)) = Dx(Dx(f(x))) = Dx2 (f(x))
e, de maneira geral,
f (k)(x) = Dx
k f(x).
Quando na˜o houver possibilidade de du´vidas a respeito da varia´vel independente podemos escrever, simplesmente,
f ′′ = D2 f e f (k) = Dk f .
Usando a notac¸a˜o de Leibniz escreve-se f ′′(x) =
d 2 f(x)
dx 2
e, de maneira geral,
f (k)(x) =
dk f(x)
dxk
De maneira ana´loga, o Maple denota estas derivadas usando a seguinte notac¸a˜o:
f ′′(x) =
∂2
∂x2
f(x) , f ′′′(x) =
∂3
∂x3
f(x) . . .
Os exemplos a seguir mostram como as derivadas de ordem superior esta˜o relacionadas com a func¸a˜o original.
9.6.1 Exemplos
Exemplo 1
Seja f(x) = x2. Enta˜o, e´ fa´cil verificar que f ′(x) = 2x, f ′′(x) = 2 e f (k)(x) = 0, para k ≥ 3.
Observando os gra´ficos destas func¸o˜es, trac¸ados a seguir, tente relacionar as principais caracter´ısticas da func¸a˜o
original com o comportamento das suas duas primeiras derivadas.
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2
x
f
–4
–2
2
4
–2 –1 1 2
x
Derivada de f
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
–2 –1 0 1 2
x
Derivada Segunda de f
Exemplo 2
Um exemplo mais ilustrativo e´ dado pela func¸a˜o f(x) =
{
x2 , x > 0
−x2 , x ≤ 0 . E´ fa´cil ver que f
′(x) =
{
2x , x > 0
−2x , x < 0 .
Ale´m disso, f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0
f(x)
x
.
Como
lim
x→0+
f(x)
x
= lim
x→0+
x2
x
= 0 e lim
x→0−
f(x)
x
= lim
x→0−
−x
2
x
= 0,
enta˜o f ′(0) = 0. Resumindo, f ′(x) = 2 |x |. Veja os gra´ficos de f e f ′, a seguir.
–4
–2
2
4
–2 –1 1 2
x
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2
x
Neste caso, f ′′(x) =
{
2 , x > 0
−2 , x < 0 e, como ja´ vimos, na˜o existe f
′′(0). Veja, abaixo, o gra´fico de f ′′.
–2
–1
1
2
–2 –1 1 2
x
W.Bianchini, A.R.Santos 137
Repare que mesmo func¸o˜es aparentemente “suaves”, como a analisada neste exemplo, revelam um certo tipo de
irregularidade quando se examina a sua segunda derivada. Portanto, exigir que uma func¸a˜o seja duas vezes deriva´vel
(diferencia´vel) e´ mais restritivo do que exigir, simplesmente, que ela seja deriva´vel. De um modo geral, quando dizemos
que uma func¸a˜o e´ “bem comportada” estamos afirmando que tal func¸a˜o e´ pelo menos duas vezes deriva´vel em todos
os pontos do seu domı´nio.
Exemplo 3: Derivando func¸o˜es com o aux´ılio do Maple
Veja como e´ poss´ıvel usar o Maple para calcular as treˆs primeiras derivadas da func¸a˜o f(x) = x4. Primeiro,
definimos a func¸a˜o f
> f:=x->x^4;
f := x→ x4
e a seguir calculamos as suas derivadas:
> Diff(f,x)=diff(f(x),x);
∂
∂x f = 4x
3
> Diff(f,x,x)=diff(f(x),x,x);
∂2
∂x2 f = 12x
2
> Diff(f,x,x,x)=diff(f(x),x,x,x);
∂3
∂x3 f = 24x
ou, equivalentemente:
> Diff(f,x$3)=diff(f(x),x$3);
∂3
∂x3 f = 24x
Observe agora como podemos definir as treˆs primeiras func¸o˜es derivadas de f usando o Maple:
> D(f);
x→ 4x3
> D(D(f));
x→ 12x2
> (D@@2)(f);
x→ 12x2
> (D@@2)(f)(x);
12x2
9.6.2 Exerc´ıcios
1. Ache f ′′(x) se:
(a) f(x) = x3
(b) f(x) = x5
(c) f ′(x) = x4
(d) f(x+ 3) = x5
2. Seja f(x) =
{
x3 , x ≥ 0
−x3 , x < 0 . Calcule f
′(x) e f ′′(x). Existe f ′′′(x), para todo x?
9.7 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labder.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
138 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
9.8 Exerc´ıcios adicionais
1. Considere o gra´fico da func¸a˜o y = f(x):
x5x4x3x2x1
(a) Se f ′(x1) = a, quanto vale f ′(x2)?
(b) Existe f ′(x3)? Justifique geometricamente sua resposta.
(c) Qual o sinal de f ′(x4) e de f ′(x5)? Justifique geometricamente sua resposta.
2. Nos exerc´ıcios abaixo, supondo-se conhecido o valor de f ′(x0), calcule f ′(−x0) se:
(a) f e´ uma func¸a˜o ı´mpar, isto e´, f(x) = −f(−x) em todos os pontos do seu domı´nio.
(b) f e´ uma func¸a˜o par, isto e´, f(x) = f(−x) em todos os pontos do seu domı´nio.
(c) Prove que, se f e´ uma func¸a˜oı´mpar, enta˜o f ′(x) e´ par.
(d) Prove que, se f e´ uma func¸a˜o par, enta˜o f ′(x) e´ ı´mpar.
(e) Se f e´ par, o que se pode afirmar a respeito de f ′′ ? E se f e´ ı´mpar?
(f) Ilustre estes fatos usando func¸o˜es polinomiais.
3. Em cada um dos itens a seguir, encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto (x1, y1).
Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o nesse ponto. Ache os pontos onde o gra´fico tem uma
tangente horizontal.
(a) y = 9− x2 (b) y = x24 (c) y =
√
x+ 1
4. (a) Mostre que os gra´ficos das equac¸o˜es y = 3x2 e y = 2x3 + 1 teˆm a mesma tangente no ponto (1, 3).
(b) Encontre as equac¸o˜es das retas que passam pelo ponto (3,−2) e sa˜o tangentes a` curva y = x2 − 7.
(c) Ache duas retas que passam pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes a` curva y = x3 .
5. Em cada um dos itens abaixo, encontre os valores de α e β para que exista f ′(1).
(a) f(x) =
{
x2 , x < 1
αx+ β , x ≥ 1 (b) f(x) =
{
αx2 + β , x ≤ 1
1
| x | , x > 1
6. Em cada um dos itens abaixo:
(a) Determine se f e´ cont´ınua em x1.
(b) Encontre as derivadas laterais de f no ponto x1, se existirem.
(c) Decida se f e´ diferencia´vel em x1.
i. f(x) =
{√
1− x , x < 1
(1− x)2 , x ≥ 1 , x1 = 1
ii. f(x) = 1 + |x+ 2 |, x1 = 2
iii. f(x) =
{
1
(x+1)2 , x 6= −1
1 , x = −1 , x1 = −1
iv. f(x) =
{
x2−1
| 1−x | , x 6= 1
2 , x = 1
, x1 = 1
v. f(x) =

√
x , x ≤ 25
x2
500 +
75
20 , x ≥ 25
10x+ 75 , x > 50
, x1 = 25 e x1 = 50
7. Seja f(x) =
{
xn , x ≥ 0
0 , x ≤ 0 . Prove que f
(n) existe para todo n e para todo x 6= 0 (ache uma fo´rmula para estas
derivadas).
W.Bianchini, A.R.Santos 139
9.9 Problemas propostos
1. Com os conhecimentos obtidos nesse cap´ıtulo, voceˆ e´ capaz de resolver completamente o problema da caixa,
proposto na sec¸a˜o Motivac¸a˜o do Cap. 4? Isto e´, qual o tamanho do corte que se deve fazer nos cantos de uma
folha de pla´stico quadrada de 20 cm de lado, de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maior
volume de a´gua poss´ıvel quando completamente cheia?
Sugesta˜o: Nessa mesma sec¸a˜o do Cap. 4 vimos que, para resolver esse problema, era necessa´rio encontrar o
valor do corte x, entre 0 e 10, para o qual a func¸a˜o V = x (20− 2x)2 atinge o seu valor ma´ximo. Caracterize
geometricamente esses pontos. Use a definic¸a˜o de derivada e a caracterizac¸a˜o geome´trica desses pontos para
resolver esse problema.
2. Suponha que a reta L e´ tangente a` curva y = f(x) no ponto (1, 1) como indicado na figura.
y=f(x)
L 
Sabendo que a reta L corta o eixo x no ponto (3, 0), ache f(1) e f ′(1).
3. A curva a seguir representa a derivada de uma func¸a˜o y = f(x).
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6 7
x
(a) Esboce a curva y = f(x) a partir do ponto x = pi, onde a func¸a˜o vale zero.
(b) Qual o aˆngulo de intersec¸a˜o da curva y = f(x) com o eixo y?
(c) Qual o aˆngulo de intersec¸a˜o da curva com o eixo x, em x = pi?
4. (a) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x4 − 2x2 − x no ponto (1,−2).
(b) Verifique que a reta obtida no item anterior tangencia a curva em outro ponto e ache este ponto.
5. (a) Determine o valor de k, sabendo que a reta 3x− 4 y = 0 e´ tangente a` curva y = x3 + k, definida para x >
0.
(b) Ache uma equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 5) e e´ tangente a` curva y = x3.
(c) Ache duas retas passando pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes a` curva y = x3.
(d) Determine as constantes a, b, c, e d para que a curva
y = a x3 + b x2 + c x+ d tenha tangentes horizontais nos pontos (0, 1) e (1, 0).
(e) Prove que a curva y = x5 + 2x na˜o tem tangentes horizontais. Qual e´ o menor coeficiente angular que uma
reta tangente a esta curva pode ter?
(f) Ache a declividade ma´xima do gra´fico de
y = −x3 + 3x2 + 9x− 27.
(g) Seja f(x) = x3 − x2 − 4x+ 4. O ponto (a,b) pertence ao gra´fico de f e a reta tangente ao gra´fico de f em
(a,b) passa pelo ponto (0,−8) que na˜o esta´ no gra´fico de f . Ache o valor de a e b.
6. (a) Considere func¸a˜o g(x) =
{
x sen( 1x ) , x 6= 0
0 , x = 0
.
Observe que | g(x) | ≤ x, para todo x. Esta func¸a˜o e´ difer-
encia´vel no zero?
–0.4
–0.2
0.2
0.4
–0.4 –0.2 0.2 0.4x
140 Cap. 9. A Derivada de uma Func¸a˜o
(b) A seguir trac¸amos o gra´fico de uma func¸a˜o g(x) =
{
x2 sin( 1x ) , x 6= 0
0 , x = 0
. Observe que | g(x) | ≤ x2, para
todo x.
–0.2
–0.1
0.1
0.2
–0.4 –0.2 0.2 0.4x
i. Prove que g′(0) = 0 e que o mesmo acontece para toda func¸a˜o com a propriedade acima.
ii. Verifique que g′(x) na˜o tem limite quando x tende a zero.
(Os dois exerc´ıcios acima mostram que quando calculamos a derivada g′(x) de uma func¸a˜o g em um
ponto qualquer x, o ca´lculo de g′(x0) so´ e´ poss´ıvel se a derivada g′ for cont´ınua em x0).
iii. As func¸o˜es f(x) = x |x|, g(x) = x2 |x|, h(x) = x3 |x| possuem derivada no ponto zero? Em caso afir-
mativo, quanto vale a derivada neste ponto?
7. Utilize o gra´fico de dydx = f
′(x) = (x− 1) (x− 2)2 (x− 3)3 a seguir para esboc¸ar o gra´fico de y = f(x).
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
1 2 3 4 5x
8. (a) Seja P um ponto da curva y = x3 e suponha que a reta tangente a` curva em P intercepte-a novamente em
Q. Mostre que a inclinac¸a˜o da reta tangente em Q e´ quatro vezes a inclinac¸a˜o da reta tangente em P .
(b) Encontre os pontos P e Q na para´bola y = 1− x2, tais que o triaˆngulo ABC formado pelo eixo x e pelas
retas tangentes ao gra´fico em P e Q seja equila´tero.
(c) Considere a para´bola y = x2 e um ponto x0 6= 0 no eixo das abscissas. Por x0, trac¸a-se uma paralela ao
eixo das ordenadas, que ao interceptar a para´bola, determina Q0. Por Q0 trac¸a-se a reta normal a` para´bola
cuja intersec¸a˜o com o eixo das ordenadas determina P0. Este procedimento define uma func¸a˜o f que a cada
x0 6= 0 associa P0 = f(x0). Determine, se existir, a posic¸a˜o limite de P0 quando x0 → 0 tende a zero.
9.10 Para voceˆ meditar: Um sofisma
Sabemos (sec¸a˜o Diferenciabilidade e Continuidade) que se uma func¸a˜o y = f(x) e´ diferencia´vel em um ponto x0,
enta˜o e´ necessariamente cont´ınua neste ponto. No entanto, a interpretac¸a˜o geome´trica de derivada parece nos levar
ao paradoxo descrito a seguir. O gra´fico a seguir mostra uma func¸a˜o cont´ınua com a sua reta tangente no ponto de
abscissa x0.
x o
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8
Na˜o existe nenhuma du´vida quanto ao fato de a curva ser diferencia´vel em x0. Considere, agora, uma nova func¸a˜o
f(x) obtida a partir da func¸a˜o anterior “cortando-se” a curva dada no ponto x0 e transladando-se para cima “a parte
da direita do seu gra´fico”.
0
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6 7 8
x
W.Bianchini, A.R.Santos 141
“Por construc¸a˜o, vemos que, no ponto de abscissa x0, a declividade da tangente ao arco de curva a` esquerda
(derivada lateral a` esquerda) e´ igual a declividade da tangente ao arco de curva a` direita (derivada lateral a` direita).
Portanto, o caso acima e´ um exemplo de uma func¸a˜o deriva´vel em x0 e, evidentemente, descont´ınua neste ponto, o
que contradiz o teorema citado!”
- Mostre onde esta´ o erro no racioc´ınio acima, reafirmando, assim, a veracidade do teorema.
9.11 Um pouco de histo´ria: Curvas sem tangentes e Movimento Brow-
niano
Vimos, na sec¸a˜o Diferenciabilidade e Continuidade, que existem curvas cont´ınuas sem derivada em nenhum ponto, ou
seja, func¸o˜es cont´ınuas cujos gra´ficos na˜o teˆm tangente em nenhum ponto. Va´rios matema´ticos, dentre eles Bolzano
(1781-1849) e Weierstrass (1815-1897), constru´ıram func¸o˜es deste tipo. O exemplo que atraiu mais atenc¸a˜o foi o que
Weierstrass apresentou a` Academia de Berlim em 1872. Embora a ide´ia geome´trica da construc¸a˜o de tais func¸o˜es
possa parecer simples (trata-se de obter, por um processo de limite,uma func¸a˜o cujo gra´fico seja composto somente
por pontos angulosos!), a construc¸a˜o anal´ıtica de uma func¸a˜o com esta propriedade e´ um processo muito delicado, que
na˜o cabe fazer num curso de Ca´lculo.
A ide´ia de curva cont´ınua sem tangente na˜o condiz com a nossa intuic¸a˜o geome´trica. Seria de esperar que tais
curvas na˜o passassem de exemplos matema´ticos, sem aplicac¸o˜es no mundo f´ısico. No entanto, acontece o contra´rio!
Existe na natureza um tipo importante de movimento, chamado movimento Browniano, cuja trajeto´ria e´ uma curva
cont´ınua sem tangente.
Em 1827, um botaˆnico escoceˆs chamado Robert Brown (1773-1858), investigando o processo de polinizac¸a˜o numa
certa espe´cie de flor, observou no microsco´pio um ra´pido movimento desordenado de part´ıculas em suspensa˜o num
meio fluido.
Os f´ısicos so´ comec¸aram a estudar este movimento muito mais tarde, sem resultados significativos, ate´ que, em
1905, Albert Einstein, num estudo memora´vel sobre o efeito fotoele´trico, lanc¸ou a ide´ia deste movimento ser devido a`
agitac¸a˜o te´rmica das part´ıculas.
Nesta e´poca, as ide´ias de a´tomos e mole´culas eram mais usadas pelos f´ısicos como um meio de explicar determinados
fenoˆmenos e muito pouco como part´ıculas com existeˆncia real. Einstein procurou deduzir consequ¨eˆncias que pudessem
ser verificadas experimentalmente, o que confirmaria a existeˆncia dessas part´ıculas atoˆmicas.
Procedendo deste modo e considerando que part´ıculas em suspensa˜o num fluido sofrem o impacto de inu´meras
mole´culas a` sua volta, Einstein foi levado a prever um movimento desordenado das part´ıculas, o chamado movimento
Browniano. E´ curioso notar que Einstein descobriu esse fenoˆmeno num estudo puramente teo´rico, so´ vindo a conhecer
os estudos anteriores sobre este movimento depois de ter terminado suas investigac¸o˜es.
Na de´cada de 1920, o matema´tico americano Nobert Wiener (1894-1964) iniciou uma teoria matema´tica sobre o
movimento Browniano, dando uma interpretac¸a˜o precisa de “movimento ao acaso” de uma part´ıcula. Neste trabalho,
ele demonstrou que a trajeto´ria de uma part´ıcula em suspensa˜o num fluido e´ uma curva cont´ınua sem tangente em
nenhum ponto. Isto acontece porque a part´ıcula, a cada instante, esta´ recebendo o impacto desordenado das mole´culas
do fluido, de maneira que, em seu movimento, muda continuamente de direc¸a˜o, na˜o possuindo velocidade instaˆntanea
definida em nenhum ponto.