Cálculo 1 - capitulo 12 Funções Trigonométricas e suas Derivadas - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 12
Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
12.1 Motivac¸a˜o
Um agrimensor quer medir a distaˆncia entre dois pontos opostos
de um lago, como na figura ao lado. Ele na˜o pode medir AB
diretamente, mas pode medir CB e o aˆngulo θ. Como e´ poss´ıvel
determinar, a partir desses dados, a medida de AB?
Este problema e´ equivalente ao de determinar os catetos de um
triaˆngulo retaˆngulo, conhecidos um dos seus aˆngulos agudos e a
hipotenusa.
θ
B
C
A
O problema da “resoluc¸a˜o de triaˆngulos”, que consiste em determinar os seis elementos de um triaˆngulo (3 lados
e 3 aˆngulos) quando se conhece 3 deles, motivou, ha´ mais de dois mil anos, o desenvolvimento da Trigonometria (do
grego tr´ıgono = triaˆngulo + me´tron = medida).
12.2 Uma pequena revisa˜o de trigonometria
12.2.1 Razo˜es trigonome´tricas
A ide´ia central da Trigonometria, como ja´ vimos, e´ associar a cada aˆngulo θ de um triaˆngulo retaˆngulo, certos nu´meros,
ditos cosseno de θ (cos θ) e seno de θ (sen θ), cuja definic¸a˜o e´ baseada na semelhanc¸a de triaˆngulos.
θ
C1B1A1
C
B
A
O
Os triaˆngulos OAA1, OBB1, OCC 1 sa˜o semelhantes (por queˆ?), portanto, valem as relac¸o˜es:
(1)
AA1
OA
=
BB1
OB
=
C C1
OC
(2)
OA1
OA
=
OB1
OB
=
OC 1
OC
Agora, se definirmos
(3) cos θ =
OA1
OA
(4) sen θ =
AA1
OA
as relac¸o˜es (1) e (2) garantem que as definic¸o˜es acima na˜o dependem do triaˆngulo retaˆngulo particular usado para
defini-las.
Pelo Teorema de Pita´goras conclui-se imediatamente, que
(5) cos2 θ + sen2 θ = 1 ,
que e´ a relac¸a˜o trigonome´trica fundamental.
• Como e´ poss´ıvel dessa maneira definir o seno e o cosseno de um aˆngulo obtuso?
167
168 Cap. 12. Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
12.2.2 O c´ırculo trigonome´trico e a func¸a˜o de Euler
Em Ca´lculo, a unidade utilizada para medir aˆngulos e´ o radiano. Veremos mais adiante a vantagem de se considerar
esta unidade de medida.
Um radiano e´ o aˆngulo que, colocado no centro de uma circunfereˆncia de raio r, subtende um arco cujo comprimento
e´ igual a r. Um aˆngulo central de θ radianos, subtende um arco, cujo comprimento e´ θ vezes o raio r, isto e´, S = r θ.
r
S = r
rd=1θ
θ
r
S = r
rdθ
Como o comprimento de uma circunfereˆncia de raio r e´ igual a 2pi r, enta˜o, 360 graus correspondem a 2pi radianos.
Assim, 1 radiano e´ equivalente a 180pi = 57, 296 graus e 1 grau a
pi
180 = 0, 0175 radianos.
Com o surgimento e o desenvolvimento do Ca´lculo Diferencial e Integral foi necessa´rio considerar, em aplicac¸o˜es
f´ısicas importantes, as func¸o˜es seno, cosseno e as outras func¸o˜es trigonome´tricas correlatas, definidas para todo nu´mero
real t.
A transic¸a˜o da definic¸a˜o de seno e cosseno de um aˆngulo para a definic¸a˜o de seno e cosseno de um nu´mero real e´
feita por meio do c´ırculo trigonome´trico e de uma func¸a˜o E, dita func¸a˜o de Euler, que definiremos a seguir.
Definic¸a˜o: Cı´rculo trigonome´trico
O c´ırculo trigonome´trico S1 e´ definido como sendo uma circunfereˆncia de centro na origem e raio igual a uma unidade
de comprimento, orientada no sentido anti-hora´rio.
Um aˆngulo θ > 0 e´ marcado no c´ırculo trigonome´trico medindo-
se sobre a circunfereˆncia, a partir do ponto (1, 0), um arco de
comprimento θ, percorrendo-se a circunfereˆncia no sentido posi-
tivo (anti-hora´rio), e um aˆngulo θ < 0 e´ marcado medindo-se na
circunfereˆncia, a partir do ponto (1, 0), um arco de comprimento
| θ |, percorrendo-se a circunfereˆncia no sentido negativo (hora´rio.
Repare, ainda, que neste caso a medida do aˆngulo θ, dada em
radianos, coincide com a medida do arco por ele subtendido.
1
rdθ-
rdθ
E´ poss´ıvel associar a todo nu´mero real θ um ponto Pθ sobre S1 da seguinte maneira:
1. Seja um nu´mero θ > 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentido
anti-hora´rio, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a θ.
2. Seja um nu´mero θ < 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentido
hora´rio, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a | θ|.
Estas regras definem uma func¸a˜o E : R → S1, que a cada nu´mero real θ associa um ponto Pθ = E(θ) sobre S1.
Esta func¸a˜o e´ chamada func¸a˜o de Euler.
Note que Pθ+2pi = Pθ para todo nu´mero real θ, porque adicionar 2pi a qualquer nu´mero θ significa, simplesmente,
que a partir do ponto Pθ damos uma volta completa no c´ırculo trigonome´trico, terminando no mesmo ponto que
comec¸amos. Analogamente, Pθ−2pi = Pθ e Pθ+2 k pi = Pθ, qualquer que seja o nu´mero inteiro k.
Esta observac¸a˜o mostra que a func¸a˜o de Euler e´ perio´dica de per´ıodo 2pi, isto e´, E(θ) = E(θ + 2 k pi).
12.2.3 As func¸o˜es trigonome´tricas
Usando a func¸a˜o de Euler, podemos estender o domı´nio das func¸o˜es trigonome´tricas a toda reta real. Para isso,
considere um nu´mero real t. Como ja´ vimos, no c´ırculo unita´rio existe um ponto Pt de coordenadas (x, y), no c´ırculo
unita´rio, que e´ a imagem de t pela func¸a˜o de Euler. As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o definidas a partir das coordenadas
de Pt como
sen t = y; cos t = x; tg t = yx , para x 6= 0
cotg t = xy , para y 6= 0; sec t = 1x , para x 6= 0 e cossec t = 1y , para y 6= 0.
W.Bianchini, A.R.Santos 169
Observac¸a˜o: Repare que para 0 ≤ t ≤ pi2 ,
a definic¸a˜o das func¸o˜es trigonome´tricas coincide
com as mesmas definic¸o˜es obtidas para um aˆngulo
θ = Pt ÔP0 a partir do triaˆngulo retaˆngulo, como
mostra a figura ao lado.
O
Pt=(x,y)
θcos
θsen
P0
θ
Em particular, como na circunfereˆncia unita´ria a medida do aˆngulo em radianos, foi definida como o comprimento
do arco subtendido por este aˆngulo, quando escrevemos, por exemplo, sen(t), e´ indiferente considerarmos, t como um
nu´mero real qualquer ou como o aˆngulo θ = Pt ÔP0, cuja medida em radianos e´ igual a t.
12.2.4 Algumas propriedades das func¸o˜es trigonome´tricas
Evidentemente, as func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o perio´dicas. Ale´m disso, usando as definic¸o˜es dadas acima, podemos
deduzir, facilmente, a maioria das fo´rmulas que usualmente aparecem em trigonometria. Por exemplo, como (x, y)
e´ um ponto sobre o c´ırculo unita´rio, deduzimos, imediatamente, que x2 + y2 = 1 e, portanto, provamos o teorema a
seguir.
Teorema 1: Relac¸a˜o trigonome´trica fundamental
Para todo nu´mero real t, vale a relac¸a˜o
sen2 t+ cos2 t = 1
Observando que P0 = (1, 0), Ppi2 = (0, 1), Ppi = (−1, 0), P 3pi2 = (0,−1) e P2pi = (1, 0), segue, imediatamente, que
sen(0) = 0, cos(0) = 1, sen(pi2 ) = 1, cos(
pi
2 ) = 0, sen(pi) = sen(2pi) = 0, cos(pi) = −1, cos(2pi) = 1,
sen( 3pi2 ) = −1 e cos( 3pi2 ) = 0
Podemos concluir, tambe´m, que a func¸a˜o sen(x ) e´ crescente nos intervalos (0, pi2 ) e (
3pi
2 , 2pi) e e´ decrescente
em (pi2 ,
3pi
2 ), enquanto que o cosseno e´ decrescente em (0, pi) e crescente em (pi, 2pi). E´ fa´cil concluir tambe´m que−1 ≤ sen(x) ≤ 1 e −1 ≤ cos(x) ≤ 1, qualquer que seja o nu´mero real x (por queˆ?).
A partir destas informac¸o˜es podemos ter uma ide´ia dos gra´ficos destas func¸o˜es no intervalo [0, 2pi]:
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6
x
Seno
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6
x
Cosseno
Ale´m disso, como estas func¸o˜es sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2pi, estes ciclos se repetem por toda a reta. Os gra´ficos
das demais func¸o˜es trigonome´tricas podem ser vistos a seguir.
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
Tangente
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
Cossecante
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
 Secante
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
Cotangente
170 Cap. 12. Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
Outras propriedades das func¸o˜es trigonome´tricassa˜o enunciadas nos teoremas a seguir e podem ser facilmente
demonstradas.
Teorema 2
Para todo nu´mero real t, temos
sen(−t) = −sen(t), cos(−t) = cos(t), tg(−t) = −tg(t),
cotg(−t) = −cotg(t), sec(−t) = sec(t), cossec(−t) = −cossec(t).
Demonstrac¸a˜o Como os pontos Pt e P−t sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo x, se Pt = (x, y) temos P−t = (x, −y).
Aplicando-se as definic¸o˜es das func¸o˜es trigonome´tricas ao ponto (x,−y), seguem as relac¸o˜es acima.
Teorema 3
Seja P = (x, y) um ponto qualquer da circunfereˆncia de centro na origem e raio r e seja Pt o ponto sobre a
circunfereˆncia unita´ria determinado pela sua intersec¸a˜o com o segmento OP. Enta˜o,
x = r cos(t) e y = r sin(t).
Ale´m disso
sen(t) = yr , cos(t) =
x
r e tg(t) =
y
x para x 6= 0,
cotg(t) = xy para y 6= 0, sec(t) = rx para x 6= 0 e cossec(t) = ry para y 6= 0
Demonstrac¸a˜o Use as definic¸o˜es de seno e cosseno e a semelhanc¸a de triaˆngulos, conforme sugere a figura:
(x,y)
1 r
θ
Teorema 4: Lei dos Cossenos
Na figura ao lado, se o aˆngulo ACB e´ igual a θ, enta˜o
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
b
a
c
AC
B
Demonstrac¸a˜o: Pelo teorema anterior, B = (a cos(θ), a sen(θ)). Como A = (b, 0), a fo´rmula de distaˆncia entre
dois pontos implica que
c2 = (a cos(θ)− b)2 + (a sen(θ)− 0)2 = a2 cos(θ)− 2 a b cos(θ) + b2 + a2 sen2 θ
= a2 (cos2 θ + sen2 θ) + b2 − 2 a b cos(θ) = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
o que prova o teorema.
Teorema 5: Cosseno da diferenc¸a
Para todo θ e φ, temos que
cos(θ − φ) = cos(θ) cos(φ) + sen(θ) sen(φ)
W.Bianchini, A.R.Santos 171
Demonstrac¸a˜o Sem perda de generalidade, podemos su-
por 0 ≤ φ ≤ θ < 2pi. Assim, se na figura ao lado consider-
armos a circunfereˆncia unita´ria, o aˆngulo P1 ÔP0 igual a φ
e o aˆngulo P2 ÔP0 igual a θ, e´ claro que o aˆngulo P2 ÔP1
e´ igual a θ − φ, como mostra a figura ao lado.
θ φ
θ−φ
c
P1
P2
P0O
A lei dos cossenos implica que
(1) c2 = 12 + 12 − 2 cos(θ − φ) = 2− 2 cos(θ − φ).
Como, P2 = (cos(θ), sen(θ)) e P1 = (cos(φ), sen(φ)), a fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos implica que
(2) c2 = (cos(θ)− cos(φ))2 + (sen(θ)− sen(φ))2
= cos2 θ − 2 cos θ cosφ+ cos2 θ + sen2 θ − 2 sen(θ) sen(φ) + sen2 θ
= (cos2 θ + sen2 θ) + (cos2 φ+ sen2 φ)− 2 (cos(θ) cos(φ) + sen(θ) sen(φ)) .
Igualando (1) e (2) obtemos o resultado desejado.
Corola´rio 1
Para todo θ valem as igualdades
cos(pi2 − θ) = sen(θ) e sen(pi2 − θ) = cos(θ).
Demonstrac¸a˜o Decorreˆncia imediata do Teorema 5.
Observac¸a˜o O nome cosseno e´ uma alusa˜o a este corola´rio. A palavra cosseno vem do latim “complementi sinus”
e significa seno do complemento.
Teorema 6: Cosseno da soma
Para todo θ e φ vale a igualdade
cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ)− sen(θ) sen(φ).
Demonstrac¸a˜o Decorre imediatamente do teorema anterior, substituindo-se φ por −φ.
Teorema 7: Seno da soma
Para todo θ e φ, temos que
sen(θ + φ) = sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ).
Demonstrac¸a˜o Pelo Corola´rio 1 sabemos que
sen(θ + φ) = cos(
pi
2
− (θ + φ)) = cos([pi
2
− θ]− φ) = cos(pi
2
− θ) cos(φ) + sen(pi
2
− θ) sen(φ)
= sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ)
o que demonstra o teorema.
Teorema 8: Continuidade das func¸o˜es seno e cosseno
As func¸o˜es f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) sa˜o cont´ınuas em toda a reta.
Demonstrac¸a˜o Faremos a demonstrac¸a˜o para a func¸a˜o seno; a demonstrac¸a˜o para o cosseno e´ ana´loga e e´ deixada
como exerc´ıcio (veja Problemas Propostos 2 ).
172 Cap. 12. Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
Em primeiro lugar, vamos provar que as func¸o˜es sen(x)
e cos(x) sa˜o cont´ınuas no zero. Para isto, basta obser-
var a figura a o lado e lembrar como estas func¸o˜es foram
definidas. Veja que quando θ → 0, quer pela direita, quer
pela esquerda, o ponto (x, y) se aproxima do ponto (1, 0).
Como x = cos(θ) e y = sen(θ), temos que lim
θ→0
sen(θ) = 0 =
sen(0) e lim
θ→0
cos(θ) = 1 = cos(0), o que prova que estas
func¸o˜es sa˜o cont´ınuas no zero.
(x,y)
θcos
θsen
1
rdθ
Devemos mostrar, agora, que lim
x→x0
sen(x) = sen(x0), qualquer que seja o nu´mero real x0. Tomando-se x = x0 + h
de modo que h = x− x0, temos que h→ 0 quando x→ x0. Assim, lim
x→x0
sen(x) = lim
h→0
sen(x0 + h), e precisamos
mostrar somente que este u´ltimo limite e´ igual a sen(x0).
Aplicando a fo´rmula do seno de uma soma, temos que
lim
h→0
sen(x0 + h) = lim
h→0
(sen(x0) cos(x0) + cos(x0) sen(h)) = = sen(x0) ( lim
h→0
cos(h)) + cos(x0) ( lim
h→0
sen(h)).
Como as func¸o˜es seno e cosseno sa˜o cont´ınuas no zero (primeira parte da demonstrac¸a˜o), temos que lim
h→0
cos(h) = 1
e lim
h→0
sen(h) = 0 e, portanto,
lim
h→0
sen(x0 + h) = sen(x0) ,
o que prova a continuidade da func¸a˜o sen(x ) em toda a reta.
12.3 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
12.3.1 A derivada da func¸a˜o seno
Aplicando a definic¸a˜o de derivada a` func¸a˜o sen(x), obtemos
sen′(x) = lim
∆ x→0
sen(x+∆x)− sen(x)
∆x
e da´ı, como sen(x+∆x) = sen(x) cos(∆x) + sen(∆x) cos(x), temos que
sen′(x) = lim
∆ x→0
sen(x) cos(∆x) + sen(∆x) cos(x)− sen(x)
∆x
= sen(x) ( lim
∆ x→0
cos(∆x)− 1
∆x
) + cos(x) ( lim
∆ x→0
sen(∆x)
∆x
) .
Na pro´xima sec¸a˜o, vamos mostrar que
(1) lim
∆ x→0
cos(∆x)− 1
∆x
= 0
e que
(2) lim
∆ x→0
sen(∆x)
∆x
= 1.
Uma vez demonstrados estes fatos, segue, imediatamente, que
sen′(x) = cos(x).
Observac¸a˜o Examinando cuidadosamente os limites que aparecem em (1) e (2), veremos que ambos teˆm uma
curiosa forma. Como cos(0) = 1, o limite dado em (1) pode ser escrito como
lim
∆ x→0
cos(0 + ∆x)− cos(0)
∆x
,
e este limite, por definic¸a˜o, e´ igual a cos′(0).
Da mesma forma, como sen(0) = 0 , o segundo limite pode ser escrito como
lim
∆ x→0
sen(0 + ∆x)− sen(0)
∆x
e, usando a definic¸a˜o de derivada uma vez mais, conclu´ımos que este limite e´ igual a sen′(0).
Assim, se provarmos que cos′(0) = 0 e sen′(0) = 1, teremos mostrado que sen′(x) = cos(x), o que e´ feito na pro´xima
sec¸a˜o.
W.Bianchini, A.R.Santos 173
12.3.2 O limite trigonome´trico fundamental
O limite
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
que aparece durante os ca´lculos feitos no processo de derivac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas tem considera´vel importaˆncia
no Ca´lculo Diferencial.
Na demonstrac¸a˜o consideraremos apenas valores positivos para x, pois, se substituirmos x por −x na expressa˜o
sen(x)
x , o valor da raza˜o permanece inalterado. Isto implica que, se lim
x→0+
sen(x)
x
= L, enta˜o lim
x→0−
sen(x)
x
= L. A
demonstrac¸a˜o e´ baseada na seguinte figura:
x
R
S
P0 Q
Dessa figura podemos concluir que, para 0 < x < pi2 ,
a a´rea do ∆OPS ≤ a` a´rea do setor circular OQS ≤ a a´rea do ∆OQR,
ou seja
cos(x) sen(x)
2
≤ x
2
≤ tg(x)
2
.
Da primeira desigualdade, conclu´ımos que
sen(x)
x
≤ 1
cos(x)
Da segunda,
cos(x) ≤ sen(x)
x
Assim, como lim
x→0
cos(x) = 1 e lim
x→0
1
cos(x)
= 1 (por queˆ?), o teorema do sandu´ıche garante que, quando x→ 0, a
raza˜o sen(x)x → 1.
Uma vez estabelecido que lim
x→0
sen(x)
x
= 1, e´ fa´cil provar que
lim
x→0
cos(x)− 1
x
= 0.
Assim,
lim
x→0
cos(x)− 1
x
= lim
x→0
(
cos(x)− 1
x
) (
cos(x) + 1
cos(x) + 1
)
= lim
x→0
cos2 (x)− 1
x (cos(x) + 1)
= lim
x→0
(
−sen
2 x
x
) (
1
cos(x) + 1
)
= lim
x→0
−sen(x) lim
x→0
sen(x)
x
lim
x→0
1
cos(x) + 1
= 0 .1 .
1
2
= 0
12.3.3 A derivada da func¸a˜o cosseno
Da mesma forma que foi feito para a func¸a˜o seno, aplicando-se a definic¸a˜o de derivada a` func¸a˜o cosseno obtemos:
cos′(x) = lim
∆ x→0
cos(x+∆x)− cos(x)
∆x
= lim
∆ x→0
cos(x) cos(∆x)− sen(x) sen(∆x)− cos(x)
∆x
= cos(x) lim
∆ x→0
cos(∆x)− 1
∆x
− sen(x) lim
∆ x→0
sen(∆x)
∆x
= −sen(x) .
174Cap. 12. Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
12.3.4 As derivadas das demais func¸o˜es trigonome´tricas
A partir das fo´rmulas sen′(x) = cos(x) e cos′(x) = −sen(x) e aplicando-se as regras de derivac¸a˜o, podemos facilmente
obter as derivadas das demais func¸o˜es trigonome´tricas, como e´ proposto no exerc´ıcio:
Exerc´ıcio
Prove que
1. tg′(x) = sec2 x
2. cotg′(x) = −cossec2 x
3. sec′(x) = sec(x) tg(x)
4. cossec′(x) = −cossec(x) cotg(x)
Observac¸a˜o No Maple, os comandos usados para as func¸o˜es trigonome´tricas seno, cosseno, tangente, cotangente,
secante e cossecante sa˜o, respectivamente:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
12.4 Porque se usa radianos em Ca´lculo
Ja´ vimos na revisa˜o de trigonometria que a um aˆngulo de α graus corresponde um aˆngulo de x = αpi180 radianos. Assim,
sen(α) = sen(αpi180 ) .
Use a relac¸a˜o acima para calcular o valor de lim
α→0
sen(α)
α
e lim
α→0
cos(α)− 1
α
e use estes limites para provar que a
derivada de sen(α), com α dado em graus, e´
sen′(α) = sen′
(αpi
180
)
=
pi
180
cos(
αpi
180
) =
pi
180
cos(α)
Veja que aparece o fator pi180 = 0,01745329252 multiplicando a derivada do seno, o que causa um certo transtorno
nas operac¸o˜es. Isto na˜o acontece quando trabalhamos com radianos, o que simplifica muitos ca´lculos. Ale´m disso, nas
aplicac¸o˜es e´ mais conveniente entendermos as func¸o˜es trigonome´tricas com domı´nio em toda a reta e na˜o como uma
medida de aˆngulos.
12.5 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labtrig.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
12.6 Exerc´ıcios
1. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
sen(3x)
x
(b) lim
x→0
sen2 x
x
(c) lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
(d) lim
x→0
sen(2x)
x+ x cos(x)
(e) lim
x→0
sen(12x)
sen(3x)
(f) lim
x→0
x− sen(x)
x+ sen(x)
(g) lim
x→0
sen(x) sen(2x)
x sen(3x)
(h) lim
x→0
tg(x)
sen(2x)
(i) lim
x→0
x
cos(x)
(j) lim
x→0
1− 2 cos(x) + cos(2x)
x
(k) lim
x→0
6x− sen(2x)
2x+ 3 sen(4x)
(l) lim
x→0
2 sen2 x− 6x3
x2
(m) lim
x→pi2 −
cos(pi2 x)
sen(x)− 1
2. Calcule os limites laterais, caso existam, de f(x) =
{
sen(x) x > pi4
cos(x) x < pi4
, quando x→ pi4 . Existe o limx→(pi4 )
f(x)?
3. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = sen(x) cos(x)
(b) g(x) = 1sen(x) cos(x)
(c) y = sec(x) + tg(x) sen(x)− cossec(x)
(d) h(x) = cos2 x− sen2 x (e) f(x) =
4 x−x4
sen(x3+2)
W.Bianchini, A.R.Santos 175
4. (a) Raciocinando geometricamente, fac¸a uma previsa˜o plaus´ıvel para Dx sen(a x). Voceˆ e´ capaz de provar que
a sua resposta esta´ correta. (Veja: Atividades de Laborato´rio 7 )
(b) Usando o resultado do item anterior, determine o aˆngulo com que a curva y = sen(3 x)3 corta o eixo x.
12.7 Problemas propostos
1. Usando o processo abaixo, mostre que a a´rea do c´ırculo de raio r e´ pi r2.
(a) Mostre que a a´rea do pol´ıgono de n lados inscrito no c´ırculo e´ 12 [n r
2 sen( 2pin )].
(b) Calcule a a´rea do c´ırculo fazendo n→∞ na expressa˜o encontrada no item anterior. Por que este limite e´
igual a` a´rea do c´ırculo?
2. Mostre que a func¸a˜o g(x) = cos(x) e´ cont´ınua em todo o conjunto dos nu´meros reais.
3. Determine o domı´nio ma´ximo de continuidade da func¸a˜o f(x) = sen(
√
x3 − 9x)
4. Decida se f(x) =
{
sen(x)
x , se x 6= 0
0 , se x = 0
e´ cont´ınua em x = 0. Caso esta func¸a˜o seja descont´ınua, classifique a
descontinuidade em remov´ıvel ou essencial.
5. (a) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
{
x sen( 1x ) , se x 6= 0
0 , se x = 0
na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
Sugesta˜o: Mostre que existem valores arbitrariamente pequenos de h tais que f(h)−f(0)h = 1 e
f(h)−f(0)
h = −1.
(b) Seja f(x) =
{
x2 sen( 1x ) , se x 6= 0
0 , se x = 0
. Aplique a definic¸a˜o de derivada para mostrar que f e´ deriva´vel em
x = 0 e que f ′(0) = 0.
6. Seja f(x) =
∣∣ sen(x)− 12 ∣∣. Calcule o valor ma´ximo atingido por f .
7. Seja f(x) = x+ sen(x).
(a) Encontre os pontos onde f ′ = 0
(b) Mostre que em todos os outros pontos f ′ > 0
(c) Esboce o gra´fico de f .
8. Uma part´ıcula se move sobre o eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t e´ dada
por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a part´ıcula esta´ na origem.
(a) Para 0 ≤ t ≤ pi, ache todos os valores de t para os quais a part´ıcula se move para a direita.
(b) Voceˆ e´ capaz de achar a func¸a˜o que fornece a posic¸a˜o da part´ıcula em qualquer instante de tempo t?
(c) Se voceˆ resolveu o item (b), ache a velocidade me´dia da part´ıcula no intervalo 0 ≤ t ≤ pi2 .
(d) Ache a acelerac¸a˜o da part´ıcula em t = pi2 .
9. Um semi-c´ırculo com diaˆmetro PQ e´ colocado sobre
a base de um triaˆngulo iso´sceles, formando a figura
mostrada ao lado. Se A(θ) e´ a a´rea do semi-c´ırculo
e B(θ) e´ a a´rea do triaˆngulo, ache lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
. R
QP
θ
10. Um objeto com peso W e´ puxado sobre um plano horizontal por uma forc¸a que age ao longo de uma corda
amarrada ao objeto. Se a corda faz um aˆngulo θ com o plano, enta˜o a magnitude da forc¸a e´ dada por F =
µW
µsen(θ)+cos(θ) , onde µ e´ uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Ache a taxa de variac¸a˜o de F em relac¸a˜o a θ.
(b) Quando esta taxa de variac¸a˜o e´ nula?
(c) Se W = 50 e µ = 0, 6, com a ajuda do Maple trace o gra´fico de F como uma func¸a˜o de θ e use este gra´fico
para localizar os valores de θ para os quais dFdθ = 0. Este valor esta´ de acordo com a resposta que voceˆ
encontrou no item anterior?
176 Cap. 12. Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas
12.8 Um pouco de histo´ria: O problema da navegac¸a˜o e as primeiras
noc¸o˜es de trigonometria
12.8.1 O Problema da navegac¸a˜o
Na Antiguidade, o transporte e a comunicac¸a˜o por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso
entre as localidades eram penosamente constru´ıdas, em geral usando ma˜o de obra escrava. Para percorrer grandes
distaˆncias, era bem mais fa´cil, portanto, estabelecer rotas mar´ıtimas que costeassem ilhas e continentes. A partir da
necessidade de se navegar em alto-mar, surgiu o problema ba´sico da navegac¸a˜o: o de se determinar a posic¸a˜o de um
navio em alto mar.
Os navegantes gregos, que por volta do se´culo V A.C. ja´ tinham absorvido boa parte dos conhecimentos as-
tronoˆmicos dos babiloˆnios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.
Para os navegantes no hemisfe´rio norte, a latitude de um lugar e´ o aˆngulo formado pela Estrela Polar e o horizonte
naquele ponto. A latitude de uma pessoa no po´lo norte e´ de 900, pois nesse ponto a Estrela Polar esta´ diretamente sobre
a sua cabec¸a (na realidade existe um pequeno desvio angular pois a Estrela Polar na˜o se encontra exatamente sobre
o po´lo norte). Navegando para o norte, a cada noite um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto
no ce´u. Navegando para o sul, aconteceria o contra´rio. Medindo a elevac¸a˜o angular da Estrela Polar, um marinheiro
poderia obter uma medida acurada da distaˆncia para o sul ou para o norte. No hemisfe´rio sul, a determinac¸a˜o da
latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevac¸a˜o angular da estrela chamada Sigma
Oitante, que representa o Distrito Federal na Bandeira Brasileira.
No entanto, para determinarmos a posic¸a˜o de um ponto no globo terrestre e´ necessa´rio ale´m da latitude, que
determina a posic¸a˜o Norte-Sul desse ponto, a determinac¸a˜o da sua longitude, que indica a direc¸a˜o Leste-Oeste.
Os alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude transportando um relo´gio preciso a bordo de
seu navio. O relo´gio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante
toda a sua viagem. Como a Terra descreve umarotac¸a˜o completa (3600) em 24h, a cada hora gira 150. Assim, o
navegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do
relo´gio quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabec¸a. Sua longitude em relac¸a˜o a Alexandria seria o produto
de 150 pelo diferenc¸a em horas entre o meio-dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relo´gio.
Infelizmente, na˜o havia relo´gios porta´teis, a` disposic¸a˜o dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos para
manter um registro cont´ınuo das horas durante uma longa viagem. As dificuldades pra´ticas para a determinac¸a˜o da
longitute eram ta˜o grandes que este dado deixou de ser levado em considerac¸a˜o na pra´tica da navegac¸a˜o durante um
grande per´ıodo.
12.8.2 As primeiras noc¸o˜es de trigonometria
Tentando resolver o problema da navegac¸a˜o, os gregos se interessaram, tambe´m, em determinar o raio da Terra e a
distaˆncia da Terra a` Lua. Este u´ltimo problema implicou no surgimento das primeiras noc¸o˜es de Trigonometria.
O primeiro ca´lculo da circunfereˆncia da Terra foi realizado por Erato´stenes (250 A.C.), o biblioteca´rio de Alexandria.
Seus ca´lculos dependiam do aˆngulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro
ao sul. Erato´stenes sabia que Alexandria, ponto A na figura seguinte, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de
Assua˜, ponto B; portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele tambe´m sabia que em Assua˜ no dia 21 de
junho, solist´ıcio de vera˜o no hemisfe´rio Norte, ao meio dia, o sol incidia diretamente sobre as suas cabec¸as, junto a
primeira catarata do Nilo. Portanto, neste momento, seus raios formavam um aˆngulo de zero grau com a vertical,
na˜o produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um aˆngulo de 7 12 graus com a vertical em
Alexandria.
Devido a` grande distaˆncia, ao atingirem a Terra, os raios do
sol podem ser considerados paralelos, portanto, os aˆngulos
AOˆB e DAˆS sa˜o iguais, conforme mostra a figura ao lado. S’
S
BO
D
A
Sol
Como o aˆngulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assua˜ e de Alexandria era igual a 7 12 graus,
calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporc¸a˜o
7 12
360 =
800
x , uma vez que 360
0 correspondem a
circunfereˆncia inteira da Terra.
W.Bianchini, A.R.Santos 177
O ca´lculo feito por Erato´stenes para a circunfereˆncia da Terra (38400 km) foi um resultado fanta´stico se consider-
armos que, na e´poca de Colombo, os mais reputados geo´grafos acreditavam que o valor correto para a circunfereˆncia
da Terra era cerca de 27200 km. De fato, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talvez
nunca tivesse se arriscado a viajar para a I´ndia!
O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunfereˆncia por 2pi (aproximadamente
igual a 6,28).
Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8800 km (o raio terrestre e´ cerca de 6378 km). De posse desse
valor, ele tentou achar a distaˆncia da Terra a` Lua da maneira descrita a seguir.
Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos situados no
equador, quando ela estiver diretamente sobre um desses pontos,
conforme mostra a figura ao lado.
No mesmo instante, um observador em C veˆ a Lua nascer no
horizonte. Conhecendo a localizac¸a˜o dos pontos C e E, Hiparco
estimou a medida do aˆngulo Aˆ. Como a distaˆncia AC era igual ao
raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos
um dos lados (8 800 km) de um triaˆngulo retaˆngulo e um de seus
aˆngulos (Aˆ), determinar a hipotenusa AB.
C
A E LuaB
Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triaˆngulos retaˆngulos semelhantes as razo˜es, constantes, en-
tre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus aˆngulos. Estas razo˜es sa˜o chamadas razo˜es trigonome´tricas.
Hiparco organizou diversas tabelas relacionando as razo˜es trigonome´tricas com aˆngulos.
As relac¸o˜es trigonome´tricas num triaˆngulo retaˆngulo constitu´ıram um avanc¸o no estudo das relac¸o˜es me´tricas
nos triaˆngulos porque estabelecem fo´rmulas que relacionam entre si medidas de segmentos, enquanto que as razo˜es
trigonome´tricas relacionam medidas de aˆngulos com medidas de segmentos (lados dos triaˆngulos).
12.9 Para voceˆ meditar: Outra forma de definir as func¸o˜es seno e cosseno
Se f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), enta˜o temos que as seguintes condic¸o˜es se verificam
(a) f ′ = g, (b) g′ = −f , (c) f(0) = 0, (d) g(0) = 1.
• E´ poss´ıvel que haja um outro par de func¸o˜es satisfazendo estas mesmas condic¸o˜es?
Sugesta˜o Suponha que F (x) e G(x) sa˜o um par qualquer de func¸o˜es com as mesmas propriedades. Mostre que a
derivada da func¸a˜o H definida por
H(x) = (F (x)− f(x))2 + (G(x)− g(x))2 e´ igual a zero e da´ı deduza que tipo de func¸a˜o e´ H.
A resposta a esse problema tem um significado nota´vel: tudo que e´ conhecido sobre as func¸o˜es seno e cosseno ou
mesmo tudo que venha a ser conhecido sobre elas esta´ implicitamente contido nas condic¸o˜es (a)-(d). Isto e´, o seno e
o cosseno sa˜o completamente caracterizados pelas condic¸o˜es
sen′ = cos, cos′ = −sen, sen(0) = 0, cos(0) = 1.
1. Use as propriedades acima, para mostrar que sen2 x+ cos2 x = 1. (Na realidade voceˆ ja´ demonstrou esta igual-
dade no item anterior!)
2. Prove que as func¸o˜es seno e cosseno satisfazem a seguinte equac¸a˜o funcional y′′ + y = 0.
3. Seja h(x) = a sen(x) + b cos(x), onde a e b sa˜o constantes quaisquer. Prove que a func¸a˜o h tambe´m satisfaz a
equac¸a˜o dada no item anterior.
4. Voceˆ e´ capaz de provar alguma outra propriedade das func¸o˜es seno e cosseno utilizando somente as propriedades
de (a)-(d)? Voltaremos a este problema mais tarde.