Cálculo 1 - capitulo 13 Regra da Cadeia - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 13
Regra da Cadeia
13.1 Motivac¸a˜o
A a´rea A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento e´ dada por A = x2. Podemos encontrar a taxa de
variac¸a˜o da a´rea em relac¸a˜o a` variac¸a˜o do lado:
dA
dx
= 2x cm2/cm
Suponha, agora, que o comprimento do lado aumente com o tempo, segundo a lei x = 5 t+ 2, onde t e´ dado em
segundos. Enta˜o, a a´rea do quadrado em um determinado instante t, e´ dada por:
A = (5 t+ 2)2 = 25 t2 + 20 t+ 4
A a´rea, portanto, e´ uma func¸a˜o do tempo t, e podemos calcular a taxa de variac¸a˜o da a´rea em relac¸a˜o a` variac¸a˜o
do tempo
dA
dt
= 50 t+ 20 cm2/s
Note a diferenc¸a entre as duas taxas de variac¸a˜o calculadas acima. Quando t = 10, x = 52 e
dA
dt
= 520 cm2/s
e
dA
dx
= 104 cm2/cm
Observe que neste exemplo a a´rea A e´ uma func¸a˜o de x, isto e´, A = A(x ) e x e´ uma func¸a˜o do tempo t, ou seja, x
= x (t). Temos, portanto, uma composic¸a˜o de duas func¸o˜es e a a´rea pode ser entendida como uma func¸a˜o do tempo:
A(x (t)).
Repare, ainda, que podemos reescrever dAdt , assim:
dA
dt
= 2(5 t+ 2) 5
Observe que 2(5t + 2) = 2x =
dA
dx
e que
dx
dt
= 5. Logo, temos:
dA
dt
=
dA
dx
dx
dt
.
Esta formulac¸a˜o para dAdt e´ conhecida como regra da cadeia para func¸o˜es compostas e nos fornece uma regra
pra´tica para resolver problemas do tipo descrito acima, isto e´, calcular a derivada de uma func¸a˜o obtida por composic¸a˜o
de outras func¸o˜es.
Usando a notac¸a˜o “linha” para derivadas, esta regra pode ser enunciada como:
(A o x)′(t) = [A(x(t))]′(t) = A′(x(t)) x′(t)
179
180 Cap. 13. Regra da Cadeia
13.2 Derivadas de func¸o˜es compostas: A Regra da Cadeia
Teorema: Regra da cadeia
Se uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em x0 e g e´ deriva´vel em f(x0)), enta˜o, a composta h = g o f e´ deriva´vel em x0 e
h′(x0) = (g ◦ f)′(xo) = g′(f(xo)) f ′(xo).
Note que, embora a derivada de h = g o f seja o produto das derivadas de g e f , estas derivadas sa˜o calculadas em
pontos diferentes. A derivada g′ e´ calculada no ponto f(x0) e a derivada f ′ e´ calculada em xo.
Exemplo 1
Seja y = g(u) = u3 +1, u = f(x) = 4x+5, e h func¸a˜o composta h(x) = g(f(x)) = (4x+5)3 +1. A derivada de h
calculada no ponto x = 1 sera´:
h′(1) = g′(f(1)) f ′(1) = g′(9) f ′(1) = (243) (4) = 972
Uma outra maneira de chegarmos a este resultado seria calcular h′(x) num ponto x qualquer, como abaixo
h′(x) = g′(f(x)) f ′(x) = 3 (4x+ 5)2 4
e, enta˜o calcular o valor desta nova func¸a˜o no ponto x = 1. Assim, obtemos, como anteriormente
h′(1) = 3. (92). 4 = 972
Demonstrac¸a˜o da regra da cadeia
Supondo f(x) 6= f(xo), temos que
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 =
(
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0)
) (
f(x)− f(x0)
x− x0
)
.
Como por hipo´tese f e g sa˜o deriva´veis, e portanto cont´ınuas, quando x→ x0, f(x)→ f(x0) e a igualdade acima
implica na existeˆncia de lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 . Portanto h e´ deriva´vel. Ale´m disso,
(g ◦ f)′(x0) = lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 = limx→x0
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(xo)
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(xo) limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= g′(f(x0)) f ′(x0)
Note que, na demonstrac¸a˜o dada acima, foi necessa´rio supor f(x) 6= f(x0) pelo menos para valores de x pro´ximos
de x0. Pore´m, pode acontecer que f(x) = f(x0), para algum x, ou mesmo para todos os valores de x pro´ximos de x0.
Por exemplo, ao calcularmos a derivada de f(g(x)) = sen(x2) no ponto x0 escrevemos
lim
x→x0
sen(x2)− sen(x02)
x− x0 = limx→xo
[(
sen(x2)− sen(x02)
x2 − x02
) (
x2 − x02
x− x0
)]
.
Neste caso, na˜o podemos garantir que x2 6= x02 quando x 6= x0, pois (−x0)2 = x02. No entanto, tomando x bem
pro´ximo de x0, que e´ o que nos interessa para o ca´lculo do limite, evitamos a possibilidade de termos x = x0. Este
mesmo racioc´ınio vale no caso geral, quando temos que
lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 = limx→x0
[
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(xo)
f(x)− f(x0)
x− x0
]
,
desde que possamos garantir que para valores de x bem pro´ximos de x0 se tenha f(x) 6= f(x0).
Resta observar o que acontece quando temos f(x) = f(x0), para valores de x arbitrariamente pro´ximos de x0.
Ora, neste caso, devemos ter, obrigatoriamente, f ′(x0) = 0. Isto acontece porque a raza˜o
f(x)− f(x0)
x− x0 sera´ zero para
valores de x arbitrariamente pro´ximos de x0, de forma que o u´nico valor poss´ıvel para o limite e´ zero.
Neste caso, repare que a regra acima permanece va´lida, pois, para calcular a derivada de g(f(x)) em x0, podemos
utilizar o fato de que g(f(x)) = g(f(x0)), quando f(x) = f(x0).
W.Bianchini, A.R.Santos 181
Assim, podemos escrever:
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 =

[
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0)
] [
f(x)− f(x0)
x− x0
]
f(x) 6= f(x0)
0 f(x) = f(x0)
Tomando o limite na expressa˜o acima, vemos que
lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 = 0
pois, se f(x) 6= f(x0) a expressa˜o
(
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0)
) (
f(x)− f(x0)
x− x0 )
)
tende a
g′(f(x0)) f ′(x0) = g′(f(x0) 0 = 0
e quando f(x) = f(x0), tem-se, obviamente, o valor zero.
Exemplo 2
Derive (a) sen(x2) e (b) sen2 x.
Soluc¸a˜o
(a) Se y = sen(x2), enta˜o y = g(u), onde g(u) = senu e u(x) = x2. Assim, a regra da cadeia nos diz que
y′(x) = g′(u)u′(x), ou, usando a notac¸a˜o de Leibniz, dydx =
dg
du
du
dx . Logo, como g
′(u) = cos(u) e u′(x) = 2x, temos que
y′(x) =
dy
dx
= 2x cos(x2).
(b) Se y = sen2 x, enta˜o y = g(u), onde g(u) = u2 e u = senx. Assim, pela regra da cadeia, temos que
y′(x) = g′(u)u′(x) ou dydx =
dg
du
du
dx . Como g
′(u) = 2u e u′(x) = cosx, obtemos
y′(x) =
dy
dx
= 2 senx cosx.
Podemos usar as identidades trigonome´tricas para escrever a resposta acima como sen 2x ou podemos, simples-
mente, deixa´-la na forma anterior.
No Exemplo 2, combinamos a regra da cadeia com as regras de derivac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas. Em geral,
se y = senu e u e´ uma func¸a˜o (deriva´vel) de x, enta˜o usando a regra da cadeia, podemos escrever
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= cosu
du
dx
= u′ cosu.
De maneira ana´loga, podemos combinar a regra da cadeia com as fo´rmulas de derivac¸a˜o das demais func¸o˜es trigonome´tricas.
Exemplo 3
Se f(x) = sen(cos(tg x)), enta˜o
f ′(x) = cos(cos(tg x))
d
dx
cos(tg x) = cos(cos(tg x)) [−sen(tg x)] d
dx
(tg x)
= −cos(cos(tg x)) sen(tg x) sec2 x .
Note que, neste exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes.
Corola´rio: Generalizac¸a˜o da regra da poteˆncia
Seja y = xr, onde r = pq , com p e q nu´meros inteiros na˜o-nulos, enta˜o y
′ = rx (r−1).
Demonstrac¸a˜o
Note que y = x(
p
q ) ⇔ yq = xp. Repare que, no lado esquerdo da igualdade, temos uma func¸a˜o g(y) = yq, onde y
= f (x ) = xr. Como p e q sa˜o nu´meros inteiros, podemos usar a regra da poteˆncia para derivar ambos os lados desta
igualdade e usar a regra da cadeia no seu lado esquerdo para obter
182 Cap. 13. Regra da Cadeia
qy(q−1)y′ = p x(p−1)
isto e´,
y′ =
p
q
x(p−1) y(1−q) =
p
q
x(p−1) (x(
p
q ))(1−q) =
p
q
x(
p
q−1)
Logo y′ = rx (r−1)
Observac¸a˜o Usando o corola´rio acima e a regra da cadeia podemos encontrar uma regra para derivar func¸o˜es do
tipo y = (f(x))r, onde r = pq , sendo p e q inteiros na˜o-nulos. Neste caso, temos a composic¸a˜o de y = u
r com u = f(x ).
Aplicando a regra da cadeia em conjunto com o item anterior, obtemos
y′ = r (f(x))(r−1) f ′(x).
Exemplo 4 Calcule a derivada de y = (3x2 +
√
5x3 − x2) 23 .
Soluc¸a˜o Chamando 3x2 +
√
5x3 − x2 = u, temos a composta de y = u 23 com u = 3x2 +√5x3 − x2. Aplicando
o corola´rio obtemos:
y′ =
2
3
(3x2 +
√
5x3 − x2)−
1
3
(
6x+
15x2 − 2x
2
√
5x3 − x2
)
.
13.3 Exerc´ıcios
1. Nos itens abaixo, determine f ◦ g e g ◦ f . Determine, tambe´m, emcada caso, o domı´nio das func¸o˜es compostas
e calcule (f ◦ g)′ e (g ◦ f)′.
(a) f(x) = 1− x2 e g(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = x3 − 4 e g(x) = (x+ 4)( 13 )
(c) f(x) = −17 e g(x) = |x |
(d) f(x) = x(
1
3 ) e g(x) =
√
cos(x) + 1
(e) f(x) = x
2+1
x2−1 e g(x) = sen(x)
2. Nos itens abaixo, determine uma func¸a˜o f(x) = xk e uma func¸a˜o g tais que f(g(x)) = h(x) e calcule h′(x).
(a) h(x) = (2 + 3x)2
(b) h(x) =
√
2x− x2
(c) h(x) = (5− x2)( 32 )
(d) h(x) = 1x+1
(e) h(x) = 1√
x+10
3. Encontre as func¸o˜es f e g , tais que, (f ◦ g)(x) = h(x) e calcule h′(x):
(a) h(x ) = cos (tan x )
(b) h(x ) = sen2 (3x)
(c) h(x ) = (
√
x)3 +
√
x+ 5
(d) h(x ) = cos2 x− 5 cosx+ 10
4. Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = sen(2x3 + 5x2 − 10)
(b) y = x2 cos(3x2 − 2x)
(c) y = tan(sen(3x+ 1))
(d) y =
√
sen2 x+ 5
(e) y = sen(x3 − 2x) sec(x− 1)
(f) y = sen(5 x)cos(2 x)
(g) y = x
2
sec(3 x)
(h) y = ( 3 x
2−2
2 x3−3 )
5
(i) y =
√
7
√
7− x
(j) y =
√
7 +
√
7− x
13.4 Problemas propostos
1. Se f(x) =
x− 3
x+ 1
, calcule g(x) = f(f(x)). Encontre o domı´nio de f e o domı´nio de g e calcule g′(x).
2. Se f e g sa˜o as func¸o˜es cujos gra´ficos sa˜o mostrados a seguir, sejam u(x) = f(g(x)), v(x) = g(f(x)) e w(x) =
g(g(x)). Ache o valor de cada uma das derivadas abaixo, caso existam:
(a) u′(1) (b) v′(1) (c) w′(1)
W.Bianchini, A.R.Santos 183
g
f
0
1
2
3
4
5
6
2 4 6
3. O raio de um bala˜o esfe´rico, que esta´ sendo inflado, e´ dado por r(t) = 3
√
t+ 8, onde t e´ dado em segundos e
esta´ variando no intervalo [0, 10]. Determine:
(a) O raio do bala˜o no in´ıcio do processo.
(b) O volume do bala˜o como uma func¸a˜o do tempo. Especifique o domı´nio dessa func¸a˜o.
Sugesta˜o: O volume de uma esfera de raio r e´ dado por 4pi r
3
3 .
(c) A taxa de variac¸a˜o do volume em relac¸a˜o ao tempo.
4. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta, onde sua posic¸a˜o em cada instante t (segundos) e´ dada por s(t) =
4 sen(3 t2) (metros). Pede-se:
(a) Qual a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 1 s?
(b) Qual a velocidade e a acelerac¸a˜o instantaˆnea quando t =
√
pi s?
5. A frequ¨eˆncia de vibrac¸a˜o da corda de um violino e´ dada por f = 12L
√
T
ρ , onde L e´ o comprimento da corda, T
a sua tensa˜o e ρ sua densidade linear. Ache a taxa de variac¸a˜o da frequ¨eˆncia em relac¸a˜o.
(a) ao comprimento L (considere T e ρ constantes).
(b) a` tensa˜o T (considere L e ρ constantes).
(c) a` densidade linear ρ (considere L e T constantes).
6. Uma massa atada a uma mola oscila verticalmente e tem a sua posic¸a˜o y determinada em qualquer instante de
tempo t pela func¸a˜o y(t) = A senwt, onde A e´ a amplitude de suas oscilac¸o˜es e w e´ uma constante. Este movi-
mento e´ chamado movimento harmoˆnico simples (veja Func¸o˜es Trigonome´tricas: Atividades de Laborato´rio).
(a) Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o da massa como func¸a˜o do tempo.
(b) Mostre que a acelerac¸a˜o e´ proporcional ao deslocamento y.
(c) Mostre que a velocidade e´ ma´xima quando a acelerac¸a˜o e´ zero.