Cálculo 1 - capitulo 15 Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 15
Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos
Fechados
15.1 Motivac¸a˜o
Na Sec¸a˜o 4.1.1, estudamos o problema da caixa, onde quer´ıamos montar uma caixa recortando retaˆngulos nos quatro
cantos de uma laˆmina de pla´stico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho do
corte a ser feito nos cantos da folha de pla´stico, a fim de obter a caixa de volume ma´ximo. O volume da caixa e´ uma
func¸a˜o do tamanho do corte, que representamos por x, e e´ dado por V = x (20− 2x)2, onde 0 ≤ x ≤ 10.
O problema da caixa e´ um exemplo t´ıpico de problemas de determinac¸a˜o de ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es
definidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definic¸o˜es e do
estabelecimento de crite´rios que permitam determinar facilmente estes pontos.
15.2 Ma´ximos e mı´nimos absolutos
Definic¸a˜o 1
Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] e´ chamado ponto
de ma´ximo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de ma´ximo se f(x) ≤ f(c) para todo x em [a, b]. O valor f(c)
e´ chamado de valor ma´ximo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor ma´ximo de f .
Um ponto d de [a, b] e´ chamado ponto de mı´nimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de mı´nimo de f
se f(d) ≤ f(x) para todo x em [a, b]. O valor f(d) e´ chamado valor mı´nimo absoluto de f neste intervalo ou,
simplesmente, valor mı´nimo de f .
Assim, se f(c) e´ o ma´ximo e f(d) e´ o mı´nimo de f em [a, b], teremos
f(d) ≤ f(x) ≤ f(c),
para todo x em [a, b]. Os valores ma´ximo e mı´nimo de f sa˜o chamados valores extremos de f .
valor minimo
valor maximo
–30
–20
–10
10
20
30
40
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
O teorema abaixo garante que toda func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado tem sempre um ma´ximo e um mı´nimo
absolutos.
Teorema dos valores extremos
Seja f uma funca˜o cont´ınua definida em um intervalo fechado [a, b]. Enta˜o existem nu´meros c e d no intervalo [a,
b], tais que, f(c) e´ o valor ma´ximo e f(d) e´ o valor mı´nimo de f em [a, b].
A demonstrac¸a˜o deste teorema podera´ ser encontrada no apeˆndice deste volume.
Os exemplos abaixo mostram que se f na˜o e´ cont´ınua ou se o intervalo na˜o e´ fechado, f pode na˜o atingir valores
ma´ximo e mı´nimo.
195
196 Cap. 15. Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados
Exemplo 1
Seja f(x) = x2 definida no intervalo [0, 1), isto e´, seu domı´nio e´ um intervalo semi-aberto a` direita. Observando o
gra´fico de f vemos, claramente, que esta func¸a˜o atinge o mı´nimo em x = 0, pore´m na˜o atinge um valor ma´ximo. O
candidato a ponto de ma´ximo seria x = 1, pore´m este ponto na˜o pertente ao domı´nio de f . Como f e´ crecente neste
intervalo, qualquer que seja o valor de f(x1) com x1 < 1, existira´ sempre um x2, tal que x1 < x2 < 1 e f(x1) < f(x2).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
Exemplo 2
A func¸a˜o f definida no intervalo [0, 2] por
f(x) =
{
1
x−1 x 6= 1
1 x = 1
na˜o e´ cont´ınua no ponto x = 1. Seu limite lateral a` esquerda lim
x→1−
1
x− 1 = −∞ e seu limite lateral a` direita
lim
x→1+
1
x− 1 = +∞. Portanto, esta func¸a˜o na˜o atinge valor ma´ximo nem mı´nimo em [0, 2].
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
Exerc´ıcio
Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o definida em [0, 1] que seja descont´ınua e tenha um ma´ximo e um mı´nimo absolutos.
15.2.1 Ma´ximos e mı´nimos locais
Vimos que o teorema dos valores extremos garante a existeˆncia de ma´ximos e mı´nimos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado [a, b]. A questa˜o natural que se coloca agora e´ saber onde, exatamente, se localizam estes ma´ximos
e mı´nimos?
Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos examinar alguns exemplos.
Exemplo 3
Considere a func¸a˜o f(x) = x3, que e´ cont´ınua e crescente no intervalo [−1, 1]. Neste intervalo, o valor mı´nimo desta
func¸a˜o e´ −1 e o valor ma´ximo e´ 1. Estes valores ocorrem nos pontos x = −1 e x = 1, respectivamente, que sa˜o os
extremos do intervalo considerado.
Exemplo 4
Considere a func¸a˜o f(x) = −x2 no intervalo [−2, 2]. Esta func¸a˜o e´ cont´ınua neste intervalo e, portanto, o teorema
dos valores extremos garante a existeˆncia de um ma´ximo e de um mı´nimo globais.
Neste caso, o ma´ximo global da func¸a˜o f(x) = −x2 e´ zero e ocorre em x = 0. O valor mı´nimo e´ −1 e ocorre em
x = −1 e x = 1.
Exemplo 5
Vamos examinar agora a func¸a˜o f(x) = x3 − 4x2 − x+ 10 definida em [−2, 5]. Veja o seu gra´fico trac¸ado a seguir,
a` esquerda.
Os valores ma´ximos e mı´nimos desta func¸a˜o ocorrem em 5 e −2, respectivamente, que sa˜o os extremos do intervalo.
No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo, onde a func¸a˜o atinge umma´ximo para valores de x, por exemplo,
entre −1 e 1. Da mesma forma, existe um ponto onde f atinge um mı´nimo se considerarmos valores de x entre, por
exemplo 0 e 4. O gra´fico seguinte, a` direita, da mesma func¸a˜o trac¸ado no intervalo [−1, 3.5], ilustra esta afirmac¸a˜o.
W.Bianchini, A.R.Santos 197
–10
0
10
20
30
–2 –1 1 2 3 4 5x
–2
0
2
4
6
8
10
–1 1 2 3x
Estes pontos sa˜o ditos ma´ximos e mı´nimos locais, ou, genericamente, extremos locais de f e sa˜o caracterizados
na definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 2
Dizemos que um ponto c e´ um ponto de ma´ximo local ou relativo de f se f(x) ≤ f(c) para todo x suficientemente
pro´ximo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo x que esteja no domı´nio de f, em algum
intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d e´ um ponto de mı´nimo local ou relativo de f se f(d) ≤ f(x),
para todo x suficientemente pro´ximo de d.
A questa˜o que se coloca agora e´ descobrir algum crite´rio que nos permita identificar com precisa˜o os extremos
relativos de uma func¸a˜o. A reta tangente nos da´ uma pista para localiza´-los. Observe o diagrama abaixo e conclua o
que e´ poss´ıvel afirmar a respeito destes pontos.
A` primeira vista, parece ser poss´ıvel afirmar que, nestes pontos, a reta tangente e´ horizontal e, portanto, a derivada
da func¸a˜o e´ zero. No entanto, os exemplos a seguir mostram que extremos relativos podem ocorrer em pontos onde
a func¸a˜o sequer e´ deriva´vel e que existem pontos, onde a derivada e´ zero, que na˜o sa˜o nem ma´ximo e nem mı´nimo
locais.
Exemplo 6
Examine a func¸a˜o f(x) = 3− |x− 2 | definida em [1, 4].
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 3.23.43.63.8 4
x
O ponto x = 2 e´ um ponto de ma´ximo relativo desta func¸a˜o (na realidade este ponto e´ um ma´ximo global para
esta func¸a˜o no intervalo considerado) e f na˜o e´ deriva´vel neste ponto.
Exemplo 7
Em x = 0, a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 e´ horizontal e, portanto, a derivada desta func¸a˜o e´ zero
neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto x = 0 na˜o e´ nem ponto de ma´ximo e nem ponto de
mı´nimo local para esta func¸a˜o.
O teorema a seguir esclarece estes fatos.
198 Cap. 15. Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados
Teorema: Caracterizac¸a˜o dos ma´ximos e mı´nimos locais
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (a, b) e deriva´vel em um ponto c de (a, b). Se f ′(c) 6= 0 enta˜o
f(c) na˜o e´ ma´ximo nem mı´nimo local de f.
Demonstrac¸a˜o:
Se f ′(c) 6= 0, enta˜o f ′(c) > 0 ou f ′(c) < 0. Vamos supor, primeiro, que f ′(c) > 0. Enta˜o, para x suficientemente
pro´ximo de c, temos
f(x)− f(c)
x− c > 0.
Logo, se x < c , tem-se x − c < 0, o que implica f(x) < f(c). Agora, se x > c, tem-se x − c > 0, o que implica
f(x) > f(c). Assim, c na˜o e´ extremo relativo de f .
Supondo, agora, f ′(c) < 0, tem-se (−f)′(c) > 0. Logo, pelo caso anterior, c na˜o e´ extremo relativo de (−f) e
assim,obviamente, c na˜o e´ ponto de ma´ximo nem mı´nimo relativo de f . (Por queˆ?)
Observe que o teorema e´ equivalente a dizer que se f e´ deriva´vel em (a,b) e c e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo local
de f , enta˜o, f ′(c) = 0.
Atenc¸a˜o!!! Cuidado!!! Esta condic¸a˜o e´ necessa´ria mas na˜o suficiente. Como o Exemplo 7 mostrou, nem sempre e´
verdade que se f ′(c) = 0, enta˜o f(c) e´ um extremo local.
15.3 Determinac¸a˜o dos pontos de ma´ximo e mı´nimo de uma func¸a˜o
Dos exemplos, definic¸o˜es e teoremas estudados na sec¸a˜o anterior podemos concluir que:
Toda func¸a˜o cont´ınua definida em um intervalo fechado [a,b] possui um ma´ximo e um mı´nimo global.
O ma´ximo e o mı´nimo para estas func¸o˜es so´ podem ocorrer
nas extremidades a e b do intervalo
nos pontos onde a derivada f ′ se anula ou
nos pontos onde a derivada f ′ na˜o existe
Definic¸a˜o 3: Ponto cr´ıtico
Um ponto c no domı´nio de f e´ dito um ponto cr´ıtico de f se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) na˜o existe.
Assim, para localizar os pontos extremos de uma func¸a˜o cont´ınua f definida em [a, b], proceda da seguinte maneira:
1. Determine os pontos cr´ıticos de f .
2. Calcule os valores de f em cada um dos seus pontos cr´ıticos.
3. Calcule f(a) e f(b).
4. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor.
5. Conclua: o maior dentre estes valores sera´ o ma´ximo absoluto de f e o menor sera´ o mı´nimo absoluto de
f .
15.4 Exemplos
Os exemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar os
ca´lculos necessa´rios.
Exemplo 1
Determine os valores ma´ximos e mı´nimos de f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 3, nos intervalos
(a) [-4, 6] (b) [-4, 2] (c) [-2, 4]
W.Bianchini, A.R.Santos 199
Soluc¸a˜o Primeiro definimos a func¸a˜o f e calculamos a sua derivada:
> f:=x->x^3-3*x^2-9*x+3;
f := x→ x3 − 3x2 − 9x+ 3
> Diff(f(x),x):%=diff(f(x),x);
∂
∂x (x
3 − 3x2 − 9x+ 3) = 3x2 − 6x− 9
Observe que a func¸a˜o f e´ cont´ınua e deriva´vel em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a extremos desta
func¸a˜o sa˜o os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes u´ltimos pontos, basta
resolver a equac¸a˜o f ′(x) = 0:
> solve(diff(f(x),x)=0,x);
−1, 3
Nestes pontos cr´ıticos os valores de f sa˜o, respectivamente
> f(-1);f(3);
8
−24
Para responder ao item (a) e´ preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de f nas extremidades −4
e 6 do intervalo considerado. Temos
> f(-4);f(6);
−73
57
Comparando os valores obtidos, conclu´ımos que o maior e´ 57 e o menor e´ −73, isto e´, os pontos de ma´ximo e de
mı´nimo desta func¸a˜o ocorrem nos extremos do intervalo considerado. Assim, o valor ma´ximo de f e´ 57 e ocorre em
x = 6, que e´ o ponto de ma´ximo absoluto da func¸a˜o neste intervalo; o valor mı´nimo de f e´ −73 e ocorre em x = −4,
que e´ o ponto de mı´nimo absoluto de f em [−4, 6].
Como o ponto cr´ıtico 3 na˜o pertence ao intervalo [−4, 2], para responder ao item (b) basta comparar os valores de
f no ponto cr´ıtico −1 e nos extremos −4 e 2 do intervalo.
> f(2);
−19
Logo, o valor mı´nino desta func¸a˜o, em [−4, 2], e´ −73. Este valor ocorre em x = −4, que e´ o seu ponto de mı´nimo.
Da mesma forma, o valor ma´ximo de f , neste intervalo, e´ 8. Este valor ocorre em x = −1, que e´ o seu ponto de
ma´ximo.
Para responder ao item (c) vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo [−2, 4] e compara´-los com
os valores de f(−1) e f(3) obtidos acima. Temos
> f(-2);f(4);
1
−17
Assim, conclu´ımos que −1 e´ o ponto de ma´ximo e 3 e´ o ponto de mı´nimo de f , em [−2, 4].
• Quais os valores ma´ximo e mı´nimo de f neste intervalo?
Observe o gra´fico de f :
> plot(x^3-3*x^2-9*x+3,x=-4..6);
–60
–40
–20
0
20
40
x
Exemplo 2
Determine os pontos de ma´ximo e de mı´nimo de g(x) =
√|x | no intervalo [−2, 1].
Soluc¸a˜o: Como no exemplo anterior, vamos definir a func¸a˜o e achar a sua derivada com o aux´ılio do Maple.
200 Cap. 15. Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados
> g:=x->sqrt(abs(x));
g := x→√|x|
> diff(g(x),x);
1
2
abs(1, x)√|x|
Na derivada acima, a expressa˜o abs(1,x) e´ a notac¸a˜o usada pelo Maple para a derivada de |x |, isto e´, para a
func¸a˜o que vale 1 para x > 0 e −1 para x < 0. Claramente, vemos que a derivada de g na˜o existe no zero e que esta
derivada na˜o se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu u´nico ponto cr´ıtico e´ o zero. Comparando os valores de g
em −2, 1 (extremos do intervalo) e 0 (ponto cr´ıtico), conclu´ımos que −2 e´ o ponto de ma´ximo de g e 0 e´ o ponto de
mı´nimo. A lista de valores de g e o gra´fico da func¸a˜o comprovam estas concluso˜es.
> g(-2);g(1);g(0);
√
2
1
0
> plot(g(x),x=-2..1,y=0..sqrt(2),axesfont=[TIMES,ROMAN,8]);
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
–2 –1.8 –1.4 –1 –0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Exemplo 3
Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo de
h(x) =
{
x2 + 2 x ≤ 1
4− x2 x > 1 no intervalo [−1, 2].
Soluc¸a˜o Observando o gra´fico desta func¸a˜o, trac¸ado abaixo, conclu´ımos que o ponto x = 1 e´ um ponto cr´ıtico
para a func¸a˜o h, pois neste ponto a derivada na˜o existe.
> plot(piecewise(x<=1,x^2+2,x>1,4-x^2),x=-1..2);
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
–1 –0.6 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2
x
De fato, as derivadas laterais em x = 1 sa˜o diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmac¸a˜o! Assim, para
determinar os extremos desta func¸a˜o, precisamos comparar os valores de h em x = 1 com os valores que ela assume
nas extremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple:
> h:=x->piecewise(x<=1,x^2+2,x>1,4-x^2):
> h(-1);h(1);h(2);
3
3
0
Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de ma´ximo e um de mı´nimo que sa˜o, respectivamente, −1, 1 e
2.
15.5 Problemas envolvendo ma´ximos e mı´nimos em intervalos fechados
Problema 1
Um fio com 4 metros de comprimento e´ cortado em dois pedac¸os. Com um deles formaremos um c´ırculo e com o
outro um quadrado.
(a) Como devemos cortar o fio para que a soma das a´reas limitadas pelo c´ırculo e pelo quadrado seja ma´xima?
W.Bianchini, A.R.Santos 201
(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das a´reas seja mı´nima?
(Os dois casos extremos sa˜o admitidos, ou seja, e´ permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um
c´ırculo.)
Soluc¸a˜o: Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja x o comprimento de um dos pedac¸os. Obviamente, o
comprimento do outro pedac¸o sera´ 4 − x. Ale´m disso, pela geometria do problema, os valores poss´ıveis para x esta˜o
compreendidos no intervalo [0, 4].
Formando um c´ırculo com o pedac¸o de comprimento x, temos que 2pi r = x, ou seja, r = x2pi . Assim, a a´rea do
c´ırculo sera´ dada por
C(x) = pi r2 =
pi x2
4pi2
=
x2
4pi
e a a´rea do quadrado, por Q(x) = ( 4−x4 )
2. A a´rea total sera´, portanto, dada por
A(x) = C(x) +Q(x) =
x2
4pi
+
(4− x)2
16
.
Esta func¸a˜o e´ uma para´bola, sendo, consequ¨entemente, deriva´vel em qualquer ponto x do intervalo [0, 4]. Assim, os
pontos extremos de A(x ) estara˜o entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas extremidades do intervalo. Abaixo
derivamos a func¸a˜o A(x), calculamos as ra´ızes s da equac¸a˜o A′(x) = 0 e comparamos os valores de A(s), A(0) e A(4).
> A:=x->x^2/(4*Pi)+(4-x)^2/16:
> diff(A(x),x);
1
2
x
pi
− 1
2
+
1
8
x
> s:=solve(%);
s := 4
pi
4 + pi
> A(s);A(0);A(4);
4
pi
(4 + pi)2
+
1
16
(4− 4 pi
4 + pi
)2
1
4
pi
> simplify(A(s));
4
4 + pi
Observando estes valores, podemos concluir que o ma´ximo ocorre no ponto x = 4 e o mı´nimo no ponto x = 4pi4+pi .
Assim, para que a a´rea A(x) seja ma´xima na˜o cortamos o fio e formamos apenas um c´ırculo. Para que a a´rea A(x)
seja mı´nima devemos cortar o fio no ponto x = 4pi4+pi . O c´ırculotera´ um raio r igual a
2
4+pi e o quadrado tera´ um lado
de comprimento 44+pi .
Problema 2
Considere as para´bolas y = x2 − 4 e y = −x2 + 4. Determine as dimenso˜es de um retaˆngulo cujos ve´rtices inferiores
esta˜o sobre a para´bola y = x2 − 4 e os superiores sobre a para´bola y = −x2 + 4, de tal forma que a a´rea desse retaˆngulo
seja ma´xima.
Soluc¸a˜o Observe no diagrama, que o valor da a´rea depende da posic¸a˜o dos ve´rtices do retaˆngulo.
202 Cap. 15. Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados
Devemos determinar as dimenso˜es que fornecera´ a a´rea ma´xima.
Pela simetria da figura ao lado, temos que a a´rea A(x) e´ dada
por A(x) = 4x y = −4x3+16x, para x variando no intervalo [0,
2]. Como A(x) e´ cont´ınua nesse intervalo, o teorema dos valores
extremos garante que esta func¸a˜o tem um ma´ximo absoluto em
[0, 2]. Ale´m disso, este ma´ximo ocorre em um dos extremos do
intervalo ou num ponto cr´ıtico da func¸a˜o. Como a derivada da
func¸a˜o A(x) e´ um polinoˆmio do segundo grau, os u´nicos pontos
cr´ıticos de A sa˜o os pontos onde a sua derivada se anula. De-
terminar estes pontos cr´ıticos, portanto, e´ equivalente a resolver
a equac¸a˜o A′(x) = 0. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para
fazer as contas:
y
x
–4
–2
0
2
4
–2 –1 1 2
x
> A:=x->-4*x^3+16*x:
> crt:={solve(diff(A(x),x)=0,x)};
crt := {2
3
√
3, −2
3
√
3}
O ponto cr´ıtico que nos interessa e´ o ponto x = 2
√
3
3 , pois o outro na˜o pertence ao intervalo [0, 2]. Comparando os
valores da func¸a˜o A neste ponto e nos pontos 0 e 2 (extremidades do intervalo), obtemos:
> A(0);A(2);A(2/3*sqrt(3));
0
0
64
9
√
3
Portanto, o ponto de ma´ximo para esta func¸a˜o ocorre em x = 2
√
3
3 , consequ¨entemente, o retaˆngulo de a´rea ma´xima
tera´ base de comprimento igual a 4
√
3
3 e altura
16
3 .
Problema 3
Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto
com raio 7/2 cm e altura 6 cm.
Soluc¸a˜o Veja a figura a seguir, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema
proposto.
1
7/2
r
6-h
O volume do cilindro e´ dado por V = pi r2 h. Para expressar o volume em termos de uma u´nica varia´vel, precisamos
de outra equac¸a˜o envolvendo r e h.
Usando a figura anterior e semelhanc¸a de triaˆngulos, temos 67
2
= 6−hr , ou seja, h = 6− 12 r7 . Logo,
V (r) = pi r2 (6− 12 r
7
) = 6pi r2 − 12pi r
3
7
.
Esta func¸a˜o e´ cont´ınua em [0, 7/2], logo tem um valor ma´ximo absoluto neste intervalo. Vamos, enta˜o, derivar a
func¸a˜o V para encontrar os seus pontos cr´ıticos:
V := r → 6pi r2 − 12pi r
3
7
> diff(V(r),r);
12pi r − 36
7
pi r2
W.Bianchini, A.R.Santos 203
Como esta derivada esta´ definida em toda a reta, os u´nicos pontos cr´ıticos de V sa˜o os pontos onde a derivada se
anula. Resolvendo a equac¸a˜o V ′(x) = 0, obtemos
> pontos_criticos:={solve(diff(V(r),r)=0)};
pontos criticos := {0, 7
3
}
Comparando os valores de V nos pontos cr´ıticos e nos extremos do intervalo, temos
> V(0);V(7/2);V(7/3);
0
0
98
9
pi
Logo, o valor ma´ximo de V sera´ V ( 73 ) =
98pi
9 , que e´ atingido em r =
7
3 . Como h = 6− 12 r7 , o cilindro de volume
ma´ximo tera´ raio r = 73 e altura h = 2 cm.
15.6 Exerc´ıcios
1. Em cada um dos itens abaixo, decida se a func¸a˜o dada atinge um valor ma´ximo ou um valor mı´nimo ou ambos,
no intervalo indicado. Se necessa´rio esboce um gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = 1− x em [-1,1)
(b) f(x) = |x | em (-1, 1)
(c) f(x) = 1√
x
em (0,1]
(d) f(x) = x3 + 1 em [-1,1]
(e) f(x) = 1x2+1 em (−∞,∞)
(f) f(x) = 1x (1−x) em [2, 3]
(g) f(x) = 1x (1−x) em (0, 1).
2. Em cada um dos itens abaixo, determine os valores ma´ximo e mı´nimo atingidos pela func¸a˜o dada, no intervalo
fechado indicado.
(a) f(x) = 3x− 2 em [−2, 3]
(b) f(x) = 4− x2 em [1, 3]
(c) g(x) = (x− 1)2 em [−1, 4]
(d) h(x) = x3 − 3x em [−3, 5]
(e) f(x) = x+ 1x em [2, 6]
(f) g(x) = | 2x− 3 | em [1, 2]
(g) f(x) = xx+1 em [0, 3]
(h) f(x) = x
√
1− x2 em [−1, 1]
3. (a) Seja f(x) = Ax+B. Explique por que os valores ma´ximo e mı´nimo de f , em um intervalo [a, b] qualquer,
devem ocorrer necessariamente nos pontos extremos do intervalo.
(b) Prove que toda func¸a˜o quadra´tica f(x) = a x2 + b x+ c, onde a 6= 0, tem exatamente um ponto cr´ıtico em
toda a reta.
(c) Explique por que a func¸a˜o polinomial cu´bica pode ter dois, um ou nenhum ponto cr´ıtico em toda a reta.
Deˆ exemplos que ilustrem cada um dos casos.
(d) Se f tem um valor mı´nimo em x = c, mostre que a func¸a˜o g(x) = −f(x) tem um valor ma´ximo neste
mesmo ponto.
15.7 Problemas propostos
1. Prove que o retaˆngulo de a´rea ma´xima e per´ımetro dado e´ o quadrado.
2. Um retaˆngulo de lados paralelos aos eixos coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um ve´rtice na
origem, um ve´rtice sobre o eixo x, um ve´rtice sobre o eixo y e o quarto ve´rtice sobre a reta 2x+ y = 100. Qual
a a´rea ma´xima de tal retaˆngulo?
3. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que
passa pela metade custa R$ 10,00 por metro e a outra R$ 25,00 por metro, encontre as dimenso˜es do campo de
maior a´rea poss´ıvel que pode ser fechado com um custo de R$ 4800,00.
4. Os pontos A e B sa˜o opostos um ao outro nas margens de um rio que mede 3 km de largura. O ponto C esta´
na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefoˆnica deseja estender um cabo de
A ate´ C. Se o custo por km do cabo e´ 25% mais caro sob a a´gua do que em terra, qual o trac¸ado do cabo mais
barato para a companhia?
204 Cap. 15. Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados
5. Uma companhia de aviac¸a˜o freta um avia˜o de 50 lugares de acordo com as seguintes condic¸o˜es especificadas no
contrato de afretamento:
(a) Cada passageiro pagara´ 600 reais se todos os 50 lugares forem vendidos.
(b) Cada passageiro pagara´ um adicional de 30 reais por lugar na˜o vendido.
Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda ma´xima?
6. Seja f(x) = x2, para x pertencente ao intervalo [0, 1]. Determine a reta r tangente ao gra´fico de f(x), tal que o
triaˆngulo determinado por r, a reta x = 1 e a reta y = 0 tenha a maior a´rea poss´ıvel.
7. Num certo pa´ıs, endividado ate´ o pescoc¸o, descobriu-se que a soluc¸a˜o de todos os problemas estava na criac¸a˜o
de um combust´ıvel para substituir as importac¸o˜es de petro´leo. Apo´s muitas pesquisas foi criado o Tomato´leo,
uma mistura de extrato de tomate e gasolina. O litro de extrato de tomate (ET) custa R$ 0,30 e o de gasolina
(GS) custa R$ 0,50. Pore´m, um litro de Tomato´leo, com x litros de ET, da´ para um carro me´dio percorrer 101+x
quiloˆmetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quiloˆmetro.
8. Dada a func¸a˜o f(x) = 1 +
√
18− 2x2, para x ∈ [−3, 3] e o ponto P = (2, 1). Determine a maior e a menor
distaˆncias de P aos pontos do gra´fico de f .
9. Com a finalidade de evitar a construc¸a˜o de pre´dios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do
Sonho Dourado a seguinte lei: “E´ obrigato´ria a existeˆncia de uma a´rea livre em torno da a´rea constru´ıda, com
largura mı´nima de 50cm por metro de altura da construc¸a˜o, medidos a partir dos limites do terreno”. Assim,
em Sonho Dourado, um pre´dio de 20 m de altura devera´ ser constru´ıdo em centro de terreno a uma distaˆncia
de, pelo menos, 0, 5x20 = 10 m dos limites do terreno. Supondo que voceˆ:
(a) More em Sonho Dourado.
(b) Tenha um terreno de 30 m por 30 m.
(c) Deseja construir um pre´dio em forma de paralelep´ıpedo que tenha volume ma´ximo.
(d) Seja um cidada˜o respeitador das leis.
Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimenso˜es do pre´dio a ser constru´ıdo?
10. Determine as dimenso˜es do cilindro de a´rea ma´xima inscritoem um cone circular reto dado.
11. Determine o retaˆngulo de maior a´rea inscrito na regia˜o acima da para´bola y = x2 e abaixo da para´bola y = −2x2 + 3,
cujos lados sa˜o paralelos aos eixos coordenados.
12. Em um terreno com a forma de um semic´ırculo de 25 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma
de um triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa igual ao diaˆmetro do c´ırculo e um ve´rtice no semi-c´ırculo. Calcule as
dimenso˜es da piscina de a´rea ma´xima.
13. Uma janela normanda tem a forma de um retaˆngulo encimado por um semic´ırculo. Se o per´ımetro da janela e´
2 m, encontre as dimenso˜es da janela para que penetre o ma´ximo de luz poss´ıvel.
14. Sabendo que a resisteˆncia de uma viga retangular e´ proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura
de sua sec¸a˜o transversal, quais sera˜o as dimenso˜es da viga a ser cortada de um toro cil´ındrico de raio r para
assegurar a maior resisteˆncia poss´ıvel?
15. Um segmento de reta, de comprimento fixo L, une o ve´rtice de um retaˆngulo ao ponto me´dio do lado oposto.
Qual a maior a´rea poss´ıvel de tal retaˆngulo?
16. Uma tipografia dispo˜e de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 3600 co´pias por hora. Custa R$ 5,00
para preparar cada impressora para a operac¸a˜o e 10 + 6n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma
hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 50000 co´pias de um cartaz de forma a obter um
lucro ma´ximo?
17. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 900 alqueires de gra˜os. Cada trabalhador pode colher
5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$ 1,00 por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz
a R$ 10,00 por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8,00 com refeic¸o˜es
por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? Quanto sera´ enta˜o
o custo do alqueire colhido?
W.Bianchini, A.R.Santos 205
18. Uma companhia tem fa´bricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos
A(0, 1), B(0,−1) e C(3, 0). A companhia planeja construir uma central de distribuic¸a˜o ele´trica no ponto P (x, 0).
Qual o valor de x que minimiza o custo de distribuic¸a˜o da energia ele´trica produzida?
19. Um gramado circular de 20 m de raio e´ circundado por um passeio, e uma laˆmpada e´ colocada no cimo de
um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a laˆmpada para que o passeio receba
iluminac¸a˜o ma´xima?
Observac¸a˜o: a intensidade de iluminac¸a˜o de uma superf´ıcie e´ dada por I = k sen(θ)D2 onde D e´ a distaˆncia da fonte
de luz a` superf´ıcie, θ e´ o aˆngulo segundo o qual a luz atinge a superf´ıcie e k e´ uma constante positiva.
20. Cinco placas de metal retangulares medem 210 cm por 336 cm cada. Cortam-se pedac¸os quadrados iguais de
cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco
caixas sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados sa˜o reunidos em grupos de quatro e soldados para
formar cinco quadrados maiores, que por sua vez sa˜o soldados de modo a formar uma caixa cu´bica sem tampa,
de modo que nenhum material e´ desperdic¸ado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caixas
assim formadas seja o maior poss´ıvel?
21. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retil´ıneos, paralelos e de igual comprimento,
unidos por dois semi-c´ırculos nas extremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5
km. Quais sa˜o as dimenso˜es da pista que maximizara˜o a a´rea retangular interna?
22. Um objeto e´ arrastado num plano horizontal por uma forc¸a que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a
corda faz um aˆngulo θ com o plano, enta˜o a magnitude da forc¸a e´ dada por
F =
µW
µ sen θ + cos θ
,
onde µ e´ uma constante positiva chamada coeficiente de fricc¸a˜o e 0 ≤ θ ≤ pi2 . Mostre que F e´ minimizada
quando tg θ = µ
15.8 Para voceˆ meditar: O feirante de Caruaru
Um vendedor foi a` feira de Caruaru com sua balanc¸a de dois pratos defeituosa, pois tinha um brac¸o mais curto do
que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses, passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a
mercadoria. Por exemplo, se algue´m desejava dois quilos de ac¸u´car, o vendedor lhe dava um quilo com excesso (pesado
usando-se um dos pratos da balanc¸a) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado).
• Quem ganha com este processo?
Sugesta˜o: Use a Lei das alavancas para obter uma relac¸a˜o entre o peso da mercadoria e o tamanho dos brac¸os da
balanc¸a.