Cálculo 1 - capitulo 16 Traçado de Gráficos - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 16
Trac¸ado de Gra´ficos
16.1 Introduc¸a˜o
Em cap´ıtulos anteriores, tivemos a oportunidade de observar a utilidade da representac¸a˜o gra´fica de uma func¸a˜o: um
gra´fico, adequadamente trac¸ado, pode e deve mostrar caracter´ısticas importantes do comportamento da func¸a˜o, da´ı
a necessidade de sabermos esboc¸ar gra´ficos de func¸o˜es de uma maneira precisa. Ja´ vimos tambe´m que um programa
de computador, como o Maple, trac¸a gra´ficos de quaisquer func¸o˜es em questo˜es de segundos. Por que, enta˜o, nos
preocuparmos em aprender te´cnicas para trac¸ar gra´ficos?
Esta sec¸a˜o tem como objetivo mostrar que o computador e o Maple, quando corretamente utilizados, podem nos
fornecer todas as informac¸o˜es importantes a respeito de uma func¸a˜o, mas para isso e´ preciso entender e utilizar o
conceito de derivada para trac¸ar o gra´fico de func¸o˜es. Nos exemplos estudados a seguir, mostraremos como o potencial
e as facilidades computacionais do Maple podem ser usados para entender os conceitos matema´ticos utilizados na
construc¸a˜o do gra´fico de uma func¸a˜o e como e´ poss´ıvel utilizar estes conceitos matema´ticos, em conjunto com o Maple,
para obter uma representac¸a˜o gra´fica adequada da func¸a˜o em exame.
Nesta sec¸a˜o faremos uma discussa˜o puramente geome´trica dos va´rios conceitos matema´ticos envolvidos no trac¸ado
do gra´fico de uma func¸a˜o. As demonstrac¸o˜es das concluso˜es a que chegarmos neste cap´ıtulo sera˜o apresentadas nos
cap´ıtulos a seguir.
16.2 Discussa˜o geome´trica
Como o gra´fico de uma func¸a˜o e´ o conjunto de pontos do plano da forma (x, f(x)), a primeira ide´ia que surge ao
tentarmos trac¸ar um gra´fico e´ marcar alguns destes pontos no sistema de eixos coordenados e liga´-los por segmentos
de reta. Este me´todo, ale´m de primitivo, pode levar a uma se´rie de equ´ıvocos. Vejamos alguns exemplos do que pode
acontecer:
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f(x) = x4 − 5x2 + 4
Veja a seguir a figura obtida unindo, por seguimentos, os pontos (−2, 0), (−1, 0), (0, 4), (1, 0) e (2, 0), que fazem
parte do gra´fico desta func¸a˜o.
0
1
2
3
4
–2 –1 0 1 2
Sera´ esta uma representac¸a˜o adequada para o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x4 − 5x2 + 4?
A segunda ide´ia que temos, como dignos representantes de uma espe´cie racional, habitantes do planeta Terra, em
pleno se´culo XXI, e´ lanc¸ar ma˜o de um computador e usar um programa que nos salve. Mesmo usando um programa
como o Maple, podemos ser levados a erros. Veja o resultado que obtivemos usando este recurso computacional:
207
208 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
0
100
200
300
400
500
–4 –2 2 4x
O gra´fico parece indicar que a func¸a˜o assume somente valores positivos. No entanto, por simples inspec¸a˜o con-
statamos que, para alguns valores de x, a func¸a˜o deve assumir valores negativos. Usando o Maple para calcular os
valores desta func¸a˜o em alguns pontos obtemos:
> f1:= x ->x^4-5*x^2+4;
> valores_f:=[f1(-2),f1(-1.5),f1(-1),f1(-0.5),f1(0),f1(0.5),f1(1),f1(1.
> 5),f1(2)];
valores f := [0, −2.1875, 0, 2.8125, 4, 2.8125, 0, −2.1875, 0]
o que mostra que nossa conjectura era verdadeira. O comportamento desta func¸a˜o e´ melhor representado pelo gra´fico
a seguir, onde os intervalos de variac¸a˜o de x e de y foram escolhidos criteriosamente.
> plot(x^4-5*x^2+4,x=-5..5,y=-3..6);
–2
2
4
6
y
–4 –2 2 4x
Este exemplo nos leva a pensar que o problema de trac¸ar adequadamente gra´ficos de func¸o˜es estara´ resolvido se
desenvolvermos uma grande habilidade com os comandos do Maple na manipulac¸a˜o de gra´ficos, em particular na
escolha da melhor “janela” para o trac¸ado do gra´fico em questa˜o. O pro´ximo exemplo nos mostra que a questa˜o na˜o
e´ ta˜o simples quanto parece.
Exemplo 2
Vamos tentar achar a melhor “janela” para obter, com a ajuda do Maple, uma representac¸a˜o gra´fica adequada
para a func¸a˜o g(x) = 1x12 − 2 ( 1000x )6. Veja a seguir o resultado de nossas tentativas. Observe em cada caso a “janela”
escolhida para o trac¸ado do gra´fico, isto e´, os intervalos de variac¸a˜o de x e de y.
> g:=x->1/x^12-2*(1000/x)^6;
g := x→ 1
x12
− 2000000000000000000
x6
> plot(g(x),x=-10..10,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
–5e+32
–4e+32
–3e+32
–2e+32
–1e+32
x
> plot(g(x),x=-1..1,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
W.Bianchini, A.R.Santos 209
0
2e+40
4e+40
6e+40
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
> plot(g(x),x=-0.01..0.01,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
2e+64
4e+64
6e+64
8e+64
–0.01 –0.008 –0.006 –0.004 –0.002 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
x
> plot(g(x),x=-0.00001..0.00001,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
2e+100
4e+100
6e+100
8e+100
–1e–05 –8e–06 –6e–06 –4e–06 –2e–06 2e–06 4e–06 6e–06 8e–06 1e–05
x
> plot(g(x),x=-0.001..0.001,y=-4^100..4^100,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
–1.6e+60
–1.4e+60
–1.2e+60
–1e+60
–8e+59
–6e+59
–4e+59
–2e+59
0
2e+59
4e+59
6e+59
8e+59
1e+60
1.2e+60
1.4e+60
1.6e+60
y
–0.001 –0.0008 –0.0006 –0.0004 –0.0002 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001
x
Os gra´ficos obtidos na˜o nos fornecem nenhuma informac¸a˜o a respeito do comportamento desta func¸a˜o, por isso
na˜o sa˜o uma representac¸a˜o gra´fica adequada para a mesma. Usando a versa˜o eletroˆnica deste texto, tente obter uma
representac¸a˜o melhor para o gra´fico desta func¸a˜o! Este exemplo nos faz concluir que para trac¸ar o gra´fico de algumas
func¸o˜es teremos que ter muita habilidade (ou sorte) no uso do Maple para conseguirmos alguma coisa razoa´vel. Tanta
habilidade que talvez seja mais fa´cil (e u´til) aprender ca´lculo!
Os exemplos seguintes ilustram que, ale´m do problema da escolha da melhor “janela”, outras du´vidas podem surgir
ao tentarmos trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es.
Exemplo 3
> plot(x^3,x=-20..20,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
210 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
–8000
–6000
–4000
–2000
0
2000
4000
6000
8000
–20 –10 10 20
x
Sera´ que a concavidade deste gra´fico se mante´m para valores grandes de x? Vamos tentar responder a esta questa˜o
com a ajuda do Maple, trac¸ando este mesmo gra´fico no intervalo (−∞,+∞). Veja o resultado obtido!
> plot(x^3,x=-infinity..infinity);
-infinity
infinity
-infinity infinityx
Sera´ esta uma representac¸a˜o adequada para a func¸a˜o f(x) = x3?
Vamos repetir o mesmo procedimento para a func¸a˜o f(x) = x2. Veja o gra´fico obtido:
> plot(x^2,x=-infinity..infinity);
0
infinity
-infinity infinityx
Estranho, na˜o? Estivemos sempre errados ou e´ o Maple que na˜o serve para trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es?
16.3 Derivadas e trac¸ado de gra´ficos
No Cap. 5 vimos que a reta tangente e´ aquela que aproxima a curva pro´ximo ao ponto de tangeˆncia. Programas de
computador como o Maple utilizam esta propriedade para trac¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o (Veja no mesmo cap´ıtulo o
projeto Programando o Computador para Trac¸ar Gra´ficos de Func¸o˜es). Vimos tambe´m que a derivada de uma func¸a˜o
num dado ponto e´ definida, geometricamente, como a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva naquele ponto, portanto,
a derivada de uma func¸a˜o deve, de alguma maneira, fornecer informac¸o˜es a respeito do gra´fico da func¸a˜o. Vamos
agora tentar estabelecer a relac¸a˜o que existe entre o gra´fico de uma func¸a˜o f e sua derivada. Considere a func¸a˜o
f(x) = x2 + 3.
W.Bianchini, A.R.Santos 211
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
–4 –2 0 2 4x
Sabemos que o gra´fico desta func¸a˜o e´ uma para´bola, portanto, a figura obtida acima e´ uma representac¸a˜o adequada
para esta func¸a˜o. Ale´m disso, podemos observar que esta func¸a˜o e´ decrescente para valores de x < 0 e e´ crescente para
valores de x > 0. Na˜o custa lembrar que, em matema´tica, dizemos que uma func¸a˜o e´ crescente num certo intervalo
do eixo x se, quaisquer que sejam os pontos x1 e x2 desse intervalo, taisque x1 < x2, tivermos necessariamente
f(x1) < f(x2). Geometricamente, isto significa que o gra´fico da func¸a˜o e´ ascendente quando o percorremos da esquerda
para a direita. Analogamente, a func¸a˜o e´ dita decrescente em um certo intervalo (isto e´, o seu gra´fico e´ descendente
quando percorrido da esquerda para a direita) se, quaisquer que sejam x1 e x2 no intervalo considerado, tais que
x1 < x2, tivermos necessariamente f(x1) > f(x2).
Para esboc¸armos o gra´fico de uma func¸a˜o qualquer, e´ importante conhecermos os intervalos onde ela e´ crescente
e aqueles em que e´ decrescente. A derivada nos fornece uma importante informac¸a˜o a esse respeito. Observe no
diagrama a seguir, as inclinac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da func¸a˜o, em va´rios de seus pontos.
x
x
xx
x
xx
x
x
Se lembrarmos que o coeficiente angular de uma reta e´ positivo se ela aponta para cima, a` direita, e negativo, se ela
aponta para baixo, a` direita, e´ fa´cil concluir que existe uma relac¸a˜o entre os intervalos de crescimento e decrescimento
de uma func¸a˜o e o sinal de sua derivada. Veja no diagrama a seguir, o gra´fico da func¸a˜o e de sua derivada, trac¸ados
na mesma janela.
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
E´ geometricamente fa´cil perceber que nos intervalos onde a derivada e´ positiva a func¸a˜o e´ crescente, e onde a
derivada e´ negativa a func¸a˜o e´ decrescente. A demonstrac¸a˜o desta afirmac¸a˜o, no entanto, depende de um dos teoremas
mais importantes de Ca´lculo, chamado Teorema do Valor Me´dio. Este teorema e a demonstrac¸a˜o da afirmac¸a˜o acima
sera˜o vistos na pro´xima sec¸a˜o. Por ora, vamos nos deixar guiar por nossa intuic¸a˜o geome´trica e considerar verdadeira
a afirmac¸a˜o feita. Assim, o problema de determinar os intervalos onde uma func¸a˜o e´ crescente e os intervalos onde
ela e´ decrescente se reduz a determinar os valores de x para os quais a derivada da func¸a˜o e´ positiva, isto e´, resolver
uma inequac¸a˜o da forma f ′(x) > 0, e os intervalos onde ela e´ negativa, isto e´, determinar os valores de x para os quais
f ′(x) < 0.
Podemos usar o Maple para determinar tais intervalos usando o comando solve:
> df:=x->diff(x^2+3,x);
212 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
df := x→ diff(x2 + 3, x)
> df(x);
2x
> solve({df(x)>=0},{x});
{0 ≤ x}
Podemos, agora, usar o comando signum, que fornece o sinal de uma func¸a˜o qualquer, para obter o sinal da derivada
de f (que chamamos de df).
> plot(signum(df(x)),x=-5..5);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–4 –2 2 4x
O gra´fico indica que a derivada de f e´ positiva para x > 0 e negativa para x < 0. Portanto, a func¸a˜o e´ decrescente
para x < 0 e crescente para 0 < x.
16.4 Derivada primeira e extremos locais
Vamos aplicar as concluso˜es obtidas na sec¸a˜o anterior para estudar o comportamento da func¸a˜o f(x) = sen(x). Em
que intervalos esta func¸a˜o e´ crescente? Em que intervalos e´ decrescente?
Observe o diagrama a seguir. Neste diagrama, o gra´fico da func¸a˜o seno e´ trac¸ado em linha cheia e o da sua derivada,
a func¸a˜o cosseno, em linha pontilhada. Estes gra´ficos esta˜o de acordo com as concluso˜es a que chegamos acima?
Este diagrama nos ajuda a deduzir outras informac¸o˜es importantes a respeito da relac¸a˜o entre os gra´ficos da func¸a˜o
e da sua derivada.
E´ claro que uma curva suave so´ pode mudar de crescente para decrescente passando por um pico, onde o coeficiente
angular da reta tangente, isto e´, a sua derivada e´ zero. Analogamente, ela so´ pode mudar de decrescente para crescente
passando por uma depressa˜o, onde o coeficiente angular da reta tangente tambe´m e´ zero. Na versa˜o eletroˆnica, execute
a animac¸a˜o correspondente, desta vez quadro a quadro, para visualizar geometricamente esta afirmac¸a˜o.
Como foi visto no cap´ıtulo anterior, nos pontos de picos ou de depressa˜o ocorrem, respectivamente, um valor
ma´ximo ou um valor de mı´nimo (relativos) da func¸a˜o. Vimos tambe´m que estes valores devem ocorrer nos pontos
onde a derivada se anula ou nos pontos onde a derivada na˜o existe. Vimos ainda que existem pontos onde a derivada
e´ zero ou onde ela na˜o existe que na˜o sa˜o nem ma´ximo local, nem mı´nimo local para a func¸a˜o dada. Os exemplos a
seguir ilustram os problemas que podem ocorrer.
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Neste exemplo, em x = 0 o gra´fico na˜o tem pico nem depressa˜o, mas simplesmente se achata, momentaneamente,
entre dois intervalos, em cada um dos quais a derivada e´ positiva.
W.Bianchini, A.R.Santos 213
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Neste outro exemplo, em x = 0 ocorre um ma´ximo local (que e´ tambe´m um ma´ximo global) da func¸a˜o. Neste ponto
a derivada na˜o existe (por queˆ?), mas a func¸a˜o passa de crescente a decrescente, isto e´, a sua derivada e´ positiva a`
esquerda de zero e e´ negativa a` direita.
Estas observac¸o˜es nos permitem deduzir um crite´rio que leva em conta o sinal da derivada na vizinhanc¸a de um
ponto cr´ıtico para determinac¸a˜o dos pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais de uma func¸a˜o, crite´rio que e´ enunciado a
seguir.
16.4.1 Teste da derivada primeira para determinac¸a˜o de extremos locais
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f pertencente ao interior de um intervalo I onde f esta´ definida. Suponha que
f seja cont´ınua e deriva´vel em I, exceto eventualmente em c. Enta˜o:
1. Se f ′(x) < 0 a` esquerda de c e f ′(x) > 0 a` direita de c, enta˜o f(c) sera´ um mı´nimo local de f em I.
2. Se f ′(x) > 0 a` esquerda de c e f ′(x) < 0 a` direita de c, enta˜o f(c) sera´ um ma´ximo local de f em I.
3. Se f ′(x) < 0 tanto a` esquerda como a` direita de c ou se f ′(x) > 0 tanto a` direita como a` esquerda de c, enta˜o
f(c) na˜o sera´ ma´ximo nem mı´nimo local de f.
Demonstrac¸a˜o
Demonstraremos apenas o item (1). Os outros ı´tens sa˜o demonstrados de maneira ana´loga.
Para demonstrar que f(c) e´ um mı´nimo local de f , e´ preciso provar que f(c) ≤ f(x), qualquer que seja x numa
vizinhanc¸a de c, isto e´, para todo x num intervalo aberto (a, b) que conte´m c.
Suponhamos que as hipo´teses do teorema se verifiquem, isto e´, que f seja cont´ınua em I, que c seja um ponto cr´ıtico
de f e que f seja deriva´vel em I exceto, eventualmente, em x = c. Suponhamos tambe´m que f ′(x) < 0 a` esquerda de
c e que f ′(x) > 0 a` direita de c. Isto quer dizer que existem dois intervalos (a, c) e (c, b), ambos contidos em I, tais
que f ′(x) < 0 em (a, c), o que implica que f e´ decrescente em (a, c] e f ′(x) > 0 em (c, b) e, consequentemente, f sera´
crescente em (c, b] (note que ainda precisamos provar estas duas afirmac¸o˜es!).
Consideremos um ponto x pertencente ao intervalo (a, b). Enta˜o, ou x < c e, portanto, x estara´ em (a, c), ou
x = c, ou x > c e, enta˜o, estara´ em (c, b). Se x ∈ (a, c), como f e´ decrescente em (a, c], teremos que f(c) < f(x). Se
x ∈ (c, b), como f e´ crescente em (c, b], teremos que f(c) < f(x). No caso restante, f(c) = f(x). Assim, teremos que
f(c) ≤ f(x) para todo x em (a, b) e, portanto, f(c) e´ um mı´nimo local de f .
Em resumo
O teste acima afirma que, se c e´ um ponto cr´ıtico de f , f(c) sera´ um extremo local de f se a derivada primeira
mudar de sinal em uma vizinhanc¸a de c. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo, isto e´, se a func¸a˜o f crescer
a` esquerda de c e decrescer a sua direita, f(c) sera´ um ma´ximo local. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo
(a func¸a˜o decresce a` esquerda de c e cresce a sua direita), f(c) sera´ um mı´nimo local. O intervalo I, onde f esta´
definida, pode ser toda a reta.
Exemplo 4
Voltemos ao estudo da func¸a˜o f(x) = x4 − 5x2 + 4, apresentada no Exemplo 1, tentando, desta vez, pensar um
pouco antes de tentar trac¸ar cegamente o seu gra´fico.
Uma informac¸a˜oimportante a respeito de uma func¸a˜o e que, portanto, deve ser claramente mostrada no seu gra´fico,
sa˜o os seus zeros, isto e´, as ra´ızes da equac¸a˜o f(x) = 0. Geometricamente, os zeros de uma func¸a˜o correspondem aos
pontos onde o gra´fico intercepta o eixo x. O comando solve do Maple pode nos ajudar a determinar tais pontos:
> solve({x^4-5*x^2+4=0},{x});
{x = 1}, {x = 2}, {x = −2}, {x = −1}
214 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
A seguir, vamos calcular a derivada desta func¸a˜o, pois, como ja´ vimos, a derivada fornece informac¸o˜es a respeito
dos intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o dada.
> diff(x^4-5*x^2+4,x);
4x3 − 10x
> df1:=unapply(%,x);
df1 := x→ 4x3 − 10x
Esta func¸a˜o e´ cont´ınua e deriva´vel em toda a reta e, portanto, os seus u´nicos pontos cr´ıticos sa˜o aqueles onde
f ′(x) = 0. Usando o comando solve para calcula´-los, obtemos:
> solve({df1(x)=0});
{x = 0}, {x = 1
2
√
10}, {x = −1
2
√
10}
Calculando os valores da func¸a˜o f nestes pontos, obtemos os seguintes pontos que pertencem ao gra´fico de f
d1 := (−1
2
√
10,
−9
4
)
d2 := (0, 4)
d3 := (
1
2
√
10,
−9
4
)
Vamos agora, com a ajuda do Maple, determinar o sinal da derivada de f e usar o teste da derivada primeira para
classificar os seus pontos cr´ıticos.
> plot(signum(df1(x)),x=-2..2);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–2 –1 1 2
x
O gra´fico indica que f ′(x) < 0 em (−∞, −
√
10
2 ) e em (0,
√
10
2 ), portanto f e´ decrescente nestes intervalos e f
′(x) > 0
em (−
√
10
2 , 0) e em (
√
10
2 , ∞), sendo f crescente nestes intervalos.
• Voceˆ e´ capaz de determinar analiticamente o sinal de f ′(x)?
Pelo teste da derivada primeira podemos concluir que os pontos d1 e d3 sa˜o pontos de mı´nimo locais e que d2 e´
um ponto de ma´ximo local. Marcando estes pontos em um sistema coordenado e fazendo uso das informac¸o˜es acima,
obtemos o seguinte gra´fico para a func¸a˜o f :
> plot(x^4-5*x^2+4,x=-2..2);
–2
–1
1
2
3
4
–2 –1 1 2
x
No entanto, sem contrariar nenhuma das informac¸o˜es que ja´ conhecemos a respeito do comportamento desta func¸a˜o,
o seu gra´fico pode ser qualquer um dos dois trac¸ados a seguir:
W.Bianchini, A.R.Santos 215
–2
–1
0
1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
–2
2
4
6
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Para que possamos afirmar com seguranc¸a qual dos gra´ficos e´ o correto, necessitamos de informac¸o˜es adicionais a
respeito da concavidade da func¸a˜o, isto e´, precisamos saber o sentido em que o gra´fico se curva. Quando o gra´fico,
percorrido da esquerda para a direita, se curva para cima dizemos que a func¸a˜o e´ convexa (ou coˆncava para cima),
quando o gra´fico se curva para baixo dizemos que a func¸a˜o e´ coˆncava (ou coˆncava para baixo).
16.5 Derivada segunda e concavidade
No exemplo anterior, observamos que as duas alternativas apresentadas para o gra´fico da func¸a˜o em estudo diferiam
pela tipo de concavidade da func¸a˜o para x < −2 e para x > 2. O estudo da concavidade e´ feito por meio da derivada
segunda da func¸a˜o. Observe os diagramas a seguir. O primeiro deles mostra o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2, que
e´ coˆncava para cima, trac¸ado em conjunto com o de sua derivada. O segundo diagrama trac¸a o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = −x2, que e´ coˆncavo para baixo, juntamente com o gra´fico da sua derivada. O que e´ poss´ıvel concluir a partir
destes dois exemplos?
35.25.25.
25.25.25.
25.25.25.
10.10.10.
10.10.10.
10.10.10.
Eles nos permitem concluir que, nos intervalos onde a derivada primeira e´ crescente, a func¸a˜o e´ coˆncava para
cima, e nos intervalos onde a derivada primeira e´ decrescente, a func¸a˜o tem sua concavidade voltada pra baixo. Mas,
para saber em que intervalos a derivada primeira e´ crescente e onde e´ decrescente, precisamos estudar o sinal da sua
derivada, isto e´, precisamos estudar o sinal da derivada segunda de f .
Assim, se a derivada segunda e´ positiva, a derivada primeira e´ crescente e a func¸a˜o e´ coˆncava para cima. Isto
significa que, quando nos movemos ao longo da curva, a tangente ao gra´fico da func¸a˜o gira no sentido anti-hora´rio e
a curva esta´ acima da sua reta tangente, exceto no ponto de tangeˆncia.
Analogamente, se a derivada segunda e´ negativa, a derivada primeira e´ decrescente e a func¸a˜o e´ coˆncava para
baixo, e a tangente gira no sentido hora´rio quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita. Neste caso,
o gra´fico da func¸a˜o fica abaixo da sua reta tangente, exceto no ponto de tangeˆncia. Execute as animac¸o˜es da versa˜o
eletroˆnica deste texto para comprovar visualmente a veracidade destas afirmac¸o˜es.
Os gra´ficos seguintes mostram a func¸a˜o e suas derivadas primeira e segunda. Comprove a influeˆncia do sinal da
derivada segunda na concavidade do gra´fico da func¸a˜o.
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
Exemplo 5
Voltemos a examinar a func¸a˜o estudada no Exemplo 1. Seja f(x) = x4 − 5x2 + 4.
Calculemos sua derivada segunda e estudemos o seu sinal:
> diff(x^4-5*x^2+4,x,x);
216 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
12x2 − 10
> d2f1:=unapply( 12*x^2-10 ,x);
d2f1 := x→ 12x2 − 10
Repare que a derivada segunda da func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o do segundo grau cujas ra´ızes sa˜o:
> solve({diff(x^4-5*x^2+4,x,x)=0},x);
{x = 1
6
√
30}, {x = −1
6
√
30}
Portanto, esta func¸a˜o sera´ negativa para valores de x entre −
√
30
6 e
√
30
6 e sera´ positiva para x >
√
30
6 e x < −
√
30
6 .
Assim, a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima para x < −
√
30
6 e x >
√
30
6 e e´ coˆncava para baixo para x entre −
√
30
6 e
√
30
6 .
Como f(−
√
30
6 ) = f(
√
30
6 ) =
19
36 temos que nos pontos (−
√
30
6 ,
19
36 ) e (
√
30
6 ,
19
36 ) a concavidade troca de sentido. Veja o
gra´fico da func¸a˜o f , trac¸ado em conjunto com o gra´fico da sua derivada segunda.
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
y
x
Como a curva examinada neste exemplo, a maioria das func¸o˜es sa˜o coˆncavas para cima em alguns intervalos e coˆncavas
para baixo em outros. Um ponto no qual o sentido da concavidade muda chama-se um ponto de inflexa˜o. Assim,
temos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o: Ponto de Inflexa˜o
Um ponto x0 e´ chamado ponto de inflexa˜o de uma func¸a˜o f, se f e´ cont´ınua em x0 e se o gra´fico de f muda de
concavidade em P = (x0, f(x0)).
E´ usual chamarmos o ponto P = (x0, f(x0)) tambe´m de ponto de inflexa˜o.
No exemplo acima, os pontos x1 = (−
√
30
6 e x2 = (
√
30
6 sa˜o os pontos de inflexa˜o da func¸a˜o f .
Se f ′′(x) e´ cont´ınua e tem sinais opostos em cada lado de P = (x0, f(x0)), deve se anular em x0. Assim, a busca
de pontos de inflexa˜o se reduz, basicamente, a uma questa˜o de resolver a equac¸a˜o f ′′(x) = 0 e conferir o sentido da
concavidade em ambos os lados de cada raiz. Note que pontos de inflexa˜o podem ocorrer, tambe´m, nos pontos onde
a derivada segunda na˜o esteja definida, como mostra o gra´fico a seguir. Neste caso, na busca por pontos de inflexa˜o
devemos examinar tambe´m os pontos onde a derivada segunda na˜o existe.
0
1
2
3
4
1 2 3 4
x
16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinac¸a˜o de extremos locais
A derivada segunda nos fornece, tambe´m, um crite´rio para a determinac¸a˜o dos ma´ximos e mı´nimos locais de uma
func¸a˜o. Como vimos neste cap´ıtulo, os ma´ximos e mı´nimos locais de uma func¸a˜o deriva´vel f so´ podem ocorrer em
um ponto cr´ıtico c onde f ′(c) = 0, de modo que a tangente a` curva y = f(x) no ponto (c, f(c)) seja horizontal. No
entanto, como vimos, esta condic¸a˜o e´ necessa´ria mas na˜o suficiente: existem pontos onde a derivada e´ zero, que na˜o
sa˜o nem ma´ximos nem mı´nimos locais. Um exemplo deste tipode comportamento ocorre na func¸a˜o f(x) = x3. No
ponto x = 0 a derivada desta func¸a˜o e´ zero (a reta tangente ao gra´fico e´ horizontal), mas este ponto na˜o e´ um extremo
local.
W.Bianchini, A.R.Santos 217
Vimos que o teste da derivada primeira fornece um bom crite´rio para decidir se um ponto cr´ıtico e´ um ma´ximo
ou um mı´nimo local. Este teste se baseia na observac¸a˜o de que, em curvas suaves, um pico (ma´ximo local) ou uma
depressa˜o (mı´nimo local) so´ pode ocorrer se a func¸a˜o passar, naquele ponto, de crescente para decrescente ou de
decrescente para crescente, respectivamente.
Suponhamos agora que num ponto c, onde f ′(c) = 0, o gra´fico de y = f(x) se encurve para cima numa vizinhanc¸a
de c, isto e´, em algum intervalo aberto contendo o ponto cr´ıtico x = c. Neste caso, e´ claro que f(c) e´ um mı´nimo local.
Analogamente, f(c) deve ser um valor ma´ximo local de f se f ′(c) = 0 e se o gra´fico de f se encurvar para baixo numa
vizinhanc¸a de c, como mostram as figuras:
f(c)
c
f(c)
c
Como o sinal de f ′′(x) nos diz se o gra´fico esta´ se encurvando para cima ou para baixo, o crite´rio a seguir, baseado
neste sinal e conhecido como teste da derivada segunda, nos permite decidir quando um ponto cr´ıtico e´ um extremo
de f .
Teste da derivada segunda
Considere uma func¸a˜o f duas vezes deriva´vel em um intervalo aberto I contendo o ponto cr´ıtico c, i.e´., f ′(c) = 0.
1. Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, enta˜o f(c) e´ um ponto de mı´nimo de f em I.
2. Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, enta˜o f(c) e´ um ponto de ma´ximo de f em I.
Demonstrac¸a˜o Demonstraremos apenas a parte (1), a parte (2) e´ ana´loga.
Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, enta˜o f ′ e´ uma func¸a˜o crescente em I. Desde que f ′(c) = 0, se tomarmos
x < c⇒ f ′(x) < f ′(c) = 0
e se tomarmos
x > c⇒ f ′(x) > f ′(c) = 0
Pelo teste da derivada primeira, conclu´ımos que c e´ um ponto de mı´nimo de f em I.
O crite´rio a seguir mostra que, para decidir se um ponto cr´ıtico e´ de ma´ximo ou mı´nimo local, basta calcular o
valor da derivada segunda neste ponto.
Teste da derivada segunda para extremos locais
Suponhamos que a func¸a˜o f seja duas vezes deriva´vel em um intervalo aberto I contendo o ponto cr´ıtico c, i.e´.,
f ′(c) = 0.
1. Se f ′′(c) > 0, enta˜o f(c) e´ um mı´nimo local de f em I.
2. Se f ′′(c) < 0, enta˜o f(c) e´ um ma´ximo local de f em I.
Demonstrac¸a˜o
Demonstraremos apenas a parte (1). A parte (2) se demonstra analogamente.
Pela definic¸a˜o de derivada, temos que
f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x− c = limx→c
f ′(x)
x− c .
Se f ′′(c) > 0, pela definic¸a˜o de limite, existe um δ > 0, tal que
f ′(x)
x− c > 0, para todo x que satisfaz 0 < |x− c| < δ.
Logo, f ′(x) e x− c teˆm o mesmo sinal. Assim, f ′(x) < 0 para todo x ∈ (c− δ, c) e f ′(x) > 0 para todo x ∈ (c, c+ δ).
Logo, pelo teste da derivada primeira f(c) e´ um valor mı´nimo local de f .
218 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
Exemplo
Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 3. Temos que f ′(x) = 3x (x − 2) e f ′′(x) = 6(x − 1). Enta˜o, f tem dois
pontos cr´ıticos x = 0 e x = 2. Como f”(0) < 0, o teste da derivada segunda implica que f(0) = 3 e´ um ma´ximo local
de f e como f”(2) > 0, temos que f(2) = −1 e´ um mı´nimo local.
Observac¸a˜o O teste da derivada segunda nada nos diz sobre o que acontece quando f ′′(c) = 0. Na realidade, se
f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, qualquer coisa pode acontecer. Considere, por exemplo, as func¸o˜es y = x4, y = −x4 e y = x3.
Nos treˆs casos temos que f ′(0) = 0 e f ′′(0) = 0, e, como mostram os seus gra´ficos, o ponto (0, 0) e´, respectivamente,
mı´nimo local, ma´ximo local e ponto de inflexa˜o.
O teste da derivada segunda e´ muito u´til na resoluc¸a˜o de problemas de ma´ximos e mı´nimos, como veremos no Cap.
18.
16.6 Trac¸ado de gra´ficos - Resumo
A experieˆncia acumulada no estudo dos exemplos apresentados neste cap´ıtulo sugere algumas regras informais que
sera˜o u´teis no esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o f . Se poss´ıvel, devemos:
1. Determinar o domı´nio e as intersec¸o˜es do gra´fico da func¸a˜o com os eixos coordenados.
2. Procurar por simetrias e periodicidade.
(Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho. Por exemplo, se a func¸a˜o f for par, isto e´, se
f(x) = f(−x) o seu gra´fico e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y. Assim, se conhecermos o gra´fico da func¸a˜o para
x > 0, para obter o gra´fico completo basta refletir a parte conhecida em relac¸a˜o ao eixo y, o que reduz a` metade o
trabalho de trac¸ar o gra´fico desta func¸a˜o. Se a func¸a˜o for perio´dica de per´ıodo p e conhecermos o seu gra´fico em
um intervalo de comprimento p, podemos obter o gra´fico inteiro por meio de translac¸o˜es do pedac¸o conhecido.)
3. Determinar os pontos cr´ıticos e os valores cr´ıticos de f .
4. Determinar o sinal de f ′(x) entre os pontos cr´ıticos e, a partir da´ı, os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos
onde e´ decrescente.
5. Determinar os ma´ximos e os mı´nimos locais de f .
6. Determinar os pontos cr´ıticos de f ′ e os valores de f , nestes pontos.
7. Determinar o sinal de f ′′(x) entre os pontos cr´ıticos de f ′ e, a partir da´ı, os intervalos onde f e´ coˆncava para
cima e os intervalos onde e´ coˆncava para baixo.
8. Determinar os pontos de inflexa˜o de f .
9. Determinar as ass´ıntotas horizontais ao gra´fico de f . Para isso e´ preciso estudar o comportamento de f quando
x→ +∞ e quando x→ −∞.
10. Determinar as ass´ıntotas verticais ao gra´fico de f .
11. Esboc¸ar o gra´fico de f .
Exemplo
Vamos esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 1x2−1 . O domı´nio desta func¸a˜o e´ R \ {−1, 1} e esta func¸a˜o nunca se
anula. Sua derivada e´ dada por
> df:=normal(diff(1/(x^2-1),x));
df := −2 x
(x2 − 1)2
W.Bianchini, A.R.Santos 219
cujo domı´nio e´ o mesmo da func¸a˜o original. Seus pontos cr´ıticos, portanto, sera˜o as ra´ızes da equac¸a˜o f ′(x) = 0. Neste
caso, x = 0. Como o denominador da derivada e´ sempre positivo, esta derivada sera´ positiva quando x < 0 e negativa
quando x > 0. Assim, a func¸a˜o e´ crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, ∞). Logo, o ponto (0,−1) e´ um ponto
de ma´ximo local. A derivada segunda e´ dada por:
> df2:=normal(diff(1/(x^2-1),x,x));
df2 := 2
3x2 + 1
(x2 − 1)3
cujo domı´nio e´ o mesmo da func¸a˜o original. Pela expressa˜o acima para a derivada segunda, podemos concluir que
esta derivada nunca se anula e, portanto, na˜o existem pontos de inflexa˜o. Como o numerador e´ sempre positivo, o seu
sinal depende do sinal do denominador, que sera´ positivo nos pontos onde x2 − 1 > 0, isto e´, para x > 1 e x < −1,e
negativo quando x2 − 1 < 0, isto e´ para x ∈ (−1, 1).
Assim, temos que a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima em (−∞, −1) e (1, ∞) e e´ coˆncava para baixo em (−1, 1). Seu
comportamento no infinito e´ determinado por lim
x→∞
1
x2 − 1 = 0 e limx→−∞
1
x2 − 1 = 0. Estes limites mostram que a
reta y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico da func¸a˜o. Vamos agora estudar o comportamento desta func¸a˜o na
vizinhanc¸a dos pontos −1 e 1, onde ela na˜o esta´ definida. Temos que
lim
x→−1−
1
x2 − 1 = +∞ e limx→−1+
1
x2 − 1 = −∞
lim
x→1−
1
x2 − 1 = −∞ e limx→1+
1
x2 − 1 = +∞
Estes limites indicam que as retas x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas
verticais ao gra´fico da func¸a˜o. Reunindo todas as informac¸o˜es
obtidas acima, podemos trac¸ar com seguranc¸a o gra´fico da func¸a˜o.
Repare que o gra´fico esta´ de acordo com todas as concluso˜es obti-
das anteriormente. –4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
16.7 Atividades de laborato´rio
Utilizando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labgraf.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
16.8 Exerc´ıcios
1. A seguir trac¸amos o gra´fico da derivada primeira f ′ de uma func¸a˜o f definida no intervalo [−4, 6] . Determine
os valores de x para os quaisf e´ crescente, decrescente, coˆncava para cima e coˆncava para baixo.
–2
–1
0
1
2
–4 –2 2 4 6x
2. Determine os intervalos onde as func¸o˜es sa˜o crescentes e onde sa˜o decrescentes, bem como os intervalos onde a
concavidade e´ voltada para cima e onde e´ voltada para baixo. Determine e classifique os extremos da func¸a˜o e
os seus pontos de inflexa˜o.
(a) f(x) = x3 + 9x
(b) f(x) = x2 − 3x+ 2
(c) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2
(d) f(x) =
x
x2 − 1
(e) f(x) =
1
x2 + 1
220 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
3. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 3x5 − 25x3
(b) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
(c) f(x) =
x2 − 2x+ 1
x− 2
(d) f(x) = x+ sen(x)
(e) f(x) =
x
x2 − 4
(f) f(x) =
x2√
x2 − 4
(g) g(x) =
3x+ 4
x2 − 4
(h) f(x) =
x3 − 4x
x3 − x
(i) f(x) = x(
1
3 ) + 2x(
4
3 )
(j) f(x) =
√
8 + x−√8− x
(k) f(x) =

x2 − 4 x ≤ 3
x2 − 9x+ 20
x2 − 7x+ 12 3 < x < 4
2x− 14
x− 6 x ≥ 4
4. (a) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o h com as seguintes caracter´ısticas:
i. h(−2) = 8, h(0) = 4, h(2) = 0
ii. h′(x) > 0 para |x | > 2
iii. h′(2) = h′(−2) = 0
iv. h′(x) < 0 para |x | < 2 e x 6= 1
v. h′′(x) < 0 para x < 0 e h′′(x) > 0, para x > 0 e x 6= 1
vi. lim
x→∞ h(x) = +∞ e limx→(−∞) h(x) = −∞
vii. lim
x→1−
h(x) = 3 e lim
x→1+
h(x) = 4.
(b) Em quantos pontos a func¸a˜o h(x) se anula? Justifique sua resposta.
5. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a a todas as condic¸o˜es enumeradas:
(a) f ′(−1) = f ′(2) = 0, f(−1) = f(2) = −1 e f(−3) = 4
(b) f ′(x) = 0 se x < −3; f ′(x) < 0 em (−3,−1) e (0, 2); f ′(x) > 0 em (−1, 0) e (2,∞)
(c) f ′′(x) > 0 em (−3, 0) e (0, 5); f ′′(x) < 0 em (5,∞)
6. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o f que satisfac¸a a todas as condic¸o˜es enumeradas:
(a) f ′(2) = 0, f(2) = −1 e f(0) = 0
(b) f ′(x) < 0 se 0 < x < 2; f ′(x) > 0 se x > 2
(c) f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou x > 4; f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4
(d) lim
x→∞ f(x) = 1
(e) f(−x) = f(x) para todo x
7. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o f que satisfac¸a a todas as condic¸o˜es enumeradas:
(a) f ′(2) = 0, f ′(0) = 1
(b) f ′(x) > 0 se 0 < x < 2; f ′(x) < 0 se x > 2
(c) f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 4; f ′′(x) > 0 se x > 4
(d) lim
x→∞ f(x) = 0
(e) f(−x) = −f(x) para todo x
8. (a) Para que valores de a e b a func¸a˜o f(x) = x3+a x2+ b x+2 tem um ma´ximo local em x = −3 e um mı´nimo
local em x = −1
(b) Se f(x) = ax 3 + bx 2, determine a e b para que o gra´fico de f tenha um ponto de inflexa˜o em (1, 2).
(c) Se f(x) = ax 3 + bx 2 + cx , determine a, b e c de maneira que o gra´fico de f tenha um ponto de inflexa˜o em
(1, 2) e tal que a inclinac¸a˜o da tangente neste ponto seja igual a −2.
9. A seguir, trac¸amos na mesma janela o gra´fico da func¸a˜o f , da sua derivada f ′ e da sua derivada segunda derivada
f ′′. Identifique cada um dos gra´ficos, justificando a sua resposta.
W.Bianchini, A.R.Santos 221
10. Estabelec¸a a correspondeˆncia entre as func¸o˜es (de (a) a (d)) com o gra´fico da respectiva derivada (de (i) a (iv)).
Justifique suas escolhas.
(a) (b) (c) (d)
(i) (ii) (iii) (iv)
11. Estabelec¸a a correspondeˆncia entre as func¸o˜es (gra´ficos de (a) a (f)) e suas respectivas derivadas segundas
(gra´ficos de (i) a (vi)). Justifique suas escolhas.
(a) (b) (c) (d)
(i) (ii) (iii) (iv)
16.9 Problemas propostos
1. A func¸a˜o f(x) = x3 + x− 1, sendo um polinoˆmio de terceiro grau, corta o eixo x (por queˆ?) e portanto tem pelo
menos uma raiz real. Examinando f ′(x), mostre que esta func¸a˜o tem somente uma raiz. Mostre analogamente
que
f(x) = 2x5 + 5x3 + 3x− 17 tem uma e somente uma raiz real.
2. Considere a func¸a˜o y = xm (1− x)n, onde m e n sa˜o inteiros positivos, e mostre que:
(a) se m e´ par, y tem um mı´nimo em x = 0.
(b) se n e´ par, y tem um mı´nimo em x = 1.
(c) y tem um ma´ximo em x = mm+n independente da paridade de m e n.
3. Deˆ uma expressa˜o anal´ıtica para uma func¸a˜o f que apresente um ma´ximo local em x = −2 e um mı´nimo local
em x = 1.
222 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
4. (a) Prove que a desigualdade (1 + x)
n
> 1 + nx e´ verdadeira para x > 0 e n > 1.
Sugesta˜o: Mostre que a func¸a˜o f(x) = (1 + x)
n − (1 + nx) e´ crescente em [0,∞).
(b) Prove que, para x > 0, as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras:
i. senx > x− x36 ii. cosx > 1− x
2
2
(a) Mostre que o gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica y = a x2 + b x+ c na˜o tem ponto de inflexa˜o.
(b) Deˆ uma condic¸a˜o para que o gra´fico desta func¸a˜o seja
i. coˆncavo para cima ii. coˆncavo para baixo
(c) Mostre que um polinoˆmio cu´bico y = a x3 + b x2 + c x+ d tem um u´nico ponto de inflexa˜o e treˆs formas
poss´ıveis, conforme seja 3 a c < b2, b2 = 3 a c ou b2 < 3 a c. Esboce estas poss´ıveis formas.
(d) Prove que um polinoˆmio de quarto grau ou na˜o tem pontos de inflexa˜o ou tem exatamente dois pontos de
inflexa˜o.
(e) Mostre que a func¸a˜o y = x2 + ax tem um mı´nimo mas na˜o um ma´ximo, para qualquer valor da constante
a. Esboce o gra´fico desta famı´lia de func¸o˜es.
5. Suponha que todas as func¸o˜es a seguir sejam duas vezes diferencia´veis
(a) Se f e´ uma func¸a˜o positiva e coˆncava para cima em um intervalo I, mostre que a func¸a˜o g(x) = (f(x))2 e´
coˆncava para cima em I.
(b) Se f e g sa˜o func¸o˜es crescentes, positivas e coˆncavas para cima, mostre que a func¸a˜o produto f g e´ coˆncava
para cima.
(c) Suponha que as func¸o˜es f e g sejam coˆncavas para cima no intervalo (−∞,∞). Que condic¸o˜es sobre f
garantem que a func¸a˜o composta h = f(g(x)) e´ coˆncava para cima?
6. Prove que a func¸a˜o f(x) = x101 + x51 + x+ 1 na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo local.
7. Suponha que a pressa˜o p (em atmosferas), o volume V (em cent´ımetros cu´bicos) e a temperatura T (em kelvins)
de n moles de dio´xido de carbono (CO2) verifiquem a equac¸a˜o de Van Der Waals
(p+
n2 a
V 2
) (V − nb) = nRT ,
onde a, b e R sa˜o constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte experimento para determinar
os valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO2 a` temperatura constante de 304 K. Os dados pressa˜o-
volume (pV ) foram enta˜o anotados e verificou-se que o gra´fico da pressa˜o como func¸a˜o do volume apresentava
um ponto de inflexa˜o horizontal em V = 128, 1 e p = 72, 8. Com estes dados calcule a, b e R.
16.10 Para voceˆ meditar: Interpretando gra´ficos
1. Considere a func¸a˜o f(x) = 6 x
3−41 x2−24 x+41
(2 x+3) (7−x) . Com a ajuda do Maple, trac¸amos o gra´fico desta func¸a˜o no intervalo
[−1000, 1000].
> plot((6*x^3-41*x^2-24*x+41)/((2*x+3)*(7-x)),x=-1000..1000,
> y=-1000..1000);
–1000
–800
–600
–400
–200
0
200
400
600
800
1000
y
–1000 –600 –200 200 400 600 800 1000x
Evidentemente, esta na˜o e´ uma representac¸a˜o gra´fica adequada para a func¸a˜o considerada; no entanto, esta
imagem sugere uma caracter´ıstica especial e importante do gra´fico desta func¸a˜o. Que caracter´ıstica e´ esta?
W.Bianchini, A.R.Santos 223
2. Considere a func¸a˜o f(x) = x
3−6 x2−12 x+49
(x−2) (x−7) . Dividindo o numerador pelo denominador obtemos:
x+ 3− 9
5
1
x− 2 +
14
5
1
x− 7
Esta expressa˜o indica que, para valores grandes de x, a func¸a˜o dada deve se comportar como a reta y = x+ 3.
De fato, calculando os limites
lim
x→−∞ [
x3 − 6x2 − 12x+ 49
(x− 2) (x− 7) − (x+ 3)]
lim
x→∞ [
x3 − 6x2 − 12x+ 49
(x− 2) (x− 7) − (x+ 3)]
podemos provar que esta reta e´ uma ass´ıntota inclinada ao gra´fico da func¸a˜o dada. Calcule estes limites e
explique como eles provam que a reta y = x+ 3 e´ realmente uma ass´ıntota inclinada ao gra´fico da func¸a˜o.
3. A seguir trac¸amos o gra´fico desta func¸a˜o
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
y
–10 –8 –6 –4 2 4 6 8 10 12 14
x
A imagem parece indicar que o gra´fico da func¸a˜o intercepta a sua ass´ıntota em algum ponto entre −10 e −5. De
fato, resolvendoa equac¸a˜o f(x) = x+ 3, conclu´ımos que as duas curvas se interceptam em x = −7.
(a) Use o comando solve para resolver a equac¸a˜o acima e comprovar a afirmac¸a˜o feita.
(Contrariando a opinia˜o popular, voceˆ esta´ vendo que e´ poss´ıvel o gra´fico de uma func¸a˜o interceptar o
gra´fico da sua ass´ıntota.)
(b) Explique por que a intersec¸a˜o de f(x) com a sua ass´ıntota y = x+ 3 em x = −7 implica, necessariamente,
na existeˆncia de um ponto de inflexa˜o de f , para x < −7. Determine este ponto e esboce “a ma˜o” o gra´fico
de f .
16.11 Projetos
16.11.1 Determinando a janela adequada para o trac¸ado de gra´ficos em computador
Observe o gra´fico da func¸a˜o y = (x (x− 1) (2x− 1))2, trac¸ado com a ajuda do Maple.
> plot((x*(x-1)*(2*x-1))^2,x=-1..2,y=-1..6);
–1
1
2
3
4
5
6
y
–1 –0.6 –0.2 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2
x
1. Determine os extremos locais desta func¸a˜o e trace o seu gra´fico numa janela onde estes extremos sejam claramente
vis´ıveis.
2. Idem para f(x) = (x (9 x−5) (x−1)6 )
4.
3. Considere a func¸a˜o y = 10000x3 − a x2 + b x+ c, onde os coeficientes a, b e c sa˜o definidos por a = 30011 + 2n,
b = 30022 + 4n e c = 10010 + 2n e n e´ um nu´mero qualquer entre 0 e 9, gerado pela linha de comando abaixo:
> c1:=rand(1..9):n:=c1();
224 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
(a) Execute este comando e calcule os valores de a, b e c, executando as linhas de comando abaixo.
> a:=30011+2*n;
> b:=30022+4*n;
> c:= 10010+2*n;
(b) Ache os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais e o ponto de inflexa˜o de f .
(c) Fac¸a um gra´fico de f que exiba claramente estes pontos.
(Se na˜o for poss´ıvel obter este gra´fico no computador, trace-o manualmente.)
(d) Idem para a func¸a˜o
y = x7 + 5x6 − 11x5 − 21x4 + 31x3 − 57x2 − (101 + 2n)x+ (89− 3n)
4. Considere a func¸a˜o f(x) = (x (1− x) (2x− 1) (4− 9x))2. Afirmamos que f tem pelo menos quatro mı´nimos
locais, treˆs ma´ximos locais e seis pontos de inflexa˜o em [0, 1]. Fac¸a um gra´fico de f , em uma escala adequada,
onde aparec¸am claramente todos estes pontos.
5. Ache os extremos locais da func¸a˜o f(x) = 1x12 − 2
(
1000
x
)6
. Trace um gra´fico desta func¸a˜o, em uma “janela”
adequada, onde estes pontos aparec¸am claramente.
16.11.2 Aproximando os zeros de uma func¸a˜o - Me´todo de Newton
Vimos que, para func¸o˜es suaves, a reta tangente e´ aquela que se confunde com a curva perto do ponto de tangeˆncia.
Enta˜o, o seguinte racioc´ınio, devido a Isaac Newton, parece ser va´lido:
Suponha que voceˆ de alguma maneira (experimentos nume´ricos, deduc¸a˜o f´ısica, inspirac¸a˜o divina ou outro meio qual-
quer) saiba que o zero da func¸a˜o y = f(x) esta´ perto do ponto x = a. Como a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
y = f(x) nesse ponto e´ dada por y = D(f(a)) (x− a) + f(a), onde por D(f(a)) estamos denotando a derivada da
func¸a˜o f calculada em x = a, e´ um exerc´ıcio de a´lgebra elementar calcular o ponto b onde esta reta intercepta o eixo
x. Enta˜o, como a curva e´ suave, o seu gra´fico e o gra´fico da sua reta tangente no ponto (a, f(a)) esta˜o pro´ximos,
portanto, o ponto b deve estar bastante pro´ximo do zero procurado da func¸a˜o.
Embora esta explicac¸a˜o esteja repleta de expresso˜es que pecam por falta de precisa˜o e rigor matema´ticos, vamos
tentar esclarecer o me´todo com um exemplo nume´rico.
Considere o polinoˆmio y = x5 + 9x4 − 19x3 − 241x2 − 150x+ 200 . Tracemos o seu gra´fico com a ajuda do Maple:
> plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10);
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Para tentar localizar os seus zeros, que parecem estar todos localizados nesse intervalo, vamos trac¸ar um outro
gra´fico, restringindo agora a variac¸a˜o de y:
> plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10,y=-10..10);
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
W.Bianchini, A.R.Santos 225
Embora este gra´fico parec¸a nos dar menos informac¸o˜es que o anterior, ele nos permite afirmar que, aparentemente,
o ponto x = 1 esta´ pro´ximo de um dos zeros dessa func¸a˜o (os outros zeros devem estar pro´ximos de 5, −1, −5 e −8).
No entanto, calculando o valor da func¸a˜o nesse ponto, vemos que x = 1 na˜o e´ um zero para essa func¸a˜o:
> f:=x->x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200;
f := x→ x5 + 9x4 − 19x3 − 241x2 − 150x+ 200
> f(1);
−200
Vamos agora trac¸ar o gra´fico dessa func¸a˜o e da sua reta tangente no ponto (1,−200) na mesma janela:
> m:=D(f);
m := x→ 5x4 + 36x3 − 57x2 − 482x− 150
> x0:=1;
x0 := 1
> m(x0);
−648
> T0:=x->m(x0)*(x-x0)+f(x0);
T0 := x→ m(x0 ) (x− x0 ) + f(x0 )
> plot([f(x),T0(x)],x=-1..3,y=-300..50);
–300
–250
–200
–150
–100
–50
0
50
y
x
Por este gra´fico podemos ver claramente que a intersec¸a˜o da reta tangente com o eixo x e´ uma aproximac¸a˜o melhor
que x = 1 para este zero da func¸a˜o. De fato:
> x1:=solve(T0(x)=0,x);x1:=evalf(%);
x1 :=
56
81
x1 := .6913580247
Calculando o valor da func¸a˜o em x1 podemos constatar que, de fato, este valor e´ uma aproximac¸a˜o melhor para o
zero da func¸a˜o:
> y1:=f(x1);
y1 := −22.9604001
Para conseguir uma aproximac¸a˜o ainda melhor, podemos repetir todo o processo considerando, agora, o ponto
(x1, f(x1)) como o novo ponto de tangeˆncia. A equac¸a˜o da nova tangente sera´ dada por:
> T1:=x->m(x1)*(x-x1)+f(x1);
T1 := x→ m(x1 ) (x− x1 ) + f(x1 )
Vamos, novamente, trac¸ar o gra´fico da func¸a˜o e dessa nova reta tangente, para comprovar o aumento da precisa˜o.
> plot([f(x),T1],x=0.5..0.75,-25..2);
–24
–22
–20
–18
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2 x
226 Cap. 16. Trac¸ado de Gra´ficos
Nesse ponto, a reta tangente e o gra´fico da func¸a˜o esta˜o ta˜o pro´ximos que na˜o e´ mais poss´ıvel distingui-los. A nova
aproximac¸a˜o para o zero da func¸a˜o sera´ dada por:
> x2:=solve(T1(x)=0,x);
x2 := .6452009558
Calculando o valor da func¸a˜o nesse ponto obtemos:
> f(x2);
−.5363646
Repetindo o processo mais uma vez teremos:
> T2:=x->m(x2)*(x-x2)+f(x2);
T2 := x→ m(x2 ) (x− x2 ) + f(x2 )
> x3:=solve(T2(x)=0,x);
x3 := .6440698133
> f(x3);
−.0003232
Note que x3 ja´ deve ser uma razoa´vel aproximac¸a˜o para o zero da func¸a˜o.
1. Trace na mesma janela os gra´ficos de f e de T3 para ilustrar essa u´ltima afirmac¸a˜o.
2. Claramente podemos repetir este processo quantas vezes quisermos. O que aconteceria se tive´ssemos iniciado o
processo acima com um valor diferente de x = 1, para construir a primeira tangente?
3. Vamos automatizar o procedimento acima:
(a) Sejam x0, x1, . . . , xn as primeiras n aproximac¸o˜es para a raiz da equac¸a˜o f(x) = 0, dadas pelo Me´todo de
Newton. Supondo x0 conhecido, deduza uma fo´rmula para obter x1.
(b) Como e´ poss´ıvel obter x2 a partir de x1?
(c) Supondo xk a k-e´sima aproximac¸a˜o para a raiz da equac¸a˜o conhecida, deduza uma fo´rmula que permita
obter a pro´xima aproximac¸a˜o, isto e´, xk+1.
(d) Usando a estrutura for ... from ... to ... do ... od; do Maple, implemente um algoritmo no
computador para calcular as primeiras n aproximac¸o˜es da raiz da equac¸a˜o f(x) = 0 a partir de uma primeira
aproximac¸a˜o inicial x0 e do nu´mero n de iterac¸o˜es.
(e) Quando devemos parar o processo acima?
(Para responder a essa pergunta, note que a sequ¨encia formada por
x1, x2, x3, . . ., e´ uma sequ¨encia convergente e, portanto, deve satisfazer o crite´rio de convergeˆncia de Cauchy,
isto e´, podemos tornar a diferenc¸a (em valor absoluto) entre os termos da sequ¨encia ta˜o pequena quanto
quisermos, a partir de um certo n, desde que este n seja suficientemente grande. Se isto acontecer, a
diferenc¸a, em valor absoluto, entre os termos da sequ¨encia e o seu limite sera´ da mesma ordem de grandeza.)
(f) O que acontece se a inclinac¸a˜o da reta tangente for muito pequena, emvalor absoluto, isto e´, se a declividade
da tangente for por exemplo 0, 001, isso afetara´ os ca´lculos?
(g) Suponha que, por sorte, nossa primeira aproximac¸a˜o x0 venha a ser a raiz da equac¸a˜o f(x) = 0, que estamos
procurando. O que podemos dizer sobre x1, x2, . . .?
4. Use o seu algoritmo para achar aproximac¸o˜es para os outros zeros da func¸a˜o estudada no exemplo desse projeto
explicitando a precisa˜o do resultado obtido.
5. Aplicando o Me´todo de Newton a` equac¸a˜o x2 − a = 0, mostre que aproximac¸o˜es nume´ricas para a raiz quadrada
de um nu´mero positivo a qualquer podem ser encontradas por iterac¸o˜es sucessivas da expressa˜o xn+1 =
a+xn
2
2 xn
.
6. Mostre que esta fo´rmula e´ a mesma usada pelos babiloˆnios para estimar a raiz quadrada de um nu´mero positivo.
(Veja: projeto Generalizando o me´todo dos babiloˆnios para estimar a raiz quadrada de um nu´mero positivo.)
7. Usando o Me´todo de Newton, calcule
√
10 com duas decimais exatas.
8. Aplique o Me´todo de Newton para encontrar uma fo´rmula que fornec¸a aproximac¸o˜es sucessivas para a raiz
ene´sima de um nu´mero a. Use a sua fo´rmula para calcular a raiz cu´bica de treˆs com duas casas decimais exatas.
9. Mostre que x3 + 3x2 − 6 = 0 tem somente uma raiz real e calcule-a com duas casas decimais de precisa˜o.
W.Bianchini, A.R.Santos 227
10. A equac¸a˜o x2 + 1 = 0 na˜o tem soluc¸o˜es reais. Tente achar uma soluc¸a˜o pelo Me´todo de Newton e descreva o que
acontece. Use a estimativa inicial x0 = 2.
11. O Me´todo de Newton na˜o se restringe a` soluc¸a˜o de equac¸o˜es polinomiais. Ele pode ser aplicado tambe´m a
qualquer equac¸a˜o contendo func¸o˜es cujas derivadas possam ser calculadas. Por exemplo, ache uma aproximac¸a˜o
para o rec´ıproco de um nu´mero positivo C, definindo a func¸a˜o f(x) = 1x − C e aplicando o Me´todo de Newton
descrito acima.
Observac¸a˜o: O Me´todo de Newton aplicado a essa func¸a˜o nos permite calcular o inverso de um nu´mero sem
efetuar nenhuma divisa˜o! Este me´todo e´ u´til porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operac¸a˜o
de divisa˜o consome mais tempo do que va´rias multiplicac¸o˜es e adic¸o˜es juntas.
12. Use o Me´todo de Newton para achar aproximac¸o˜es para todas as ra´ızes reais da equac¸a˜o x2 = cosx.
13. Um grande problema de Arquimedes consistiu em utilizar um plano para cortar uma esfera em duas partes com
volumes em uma dada raza˜o prefixada. Arquimedes mostrou que o volume de uma parte altura h de uma esfera
de raio r e´ dado por V = pi h
2 (3 r−h)
3 .
(a) Se um plano a` distaˆncia x do centro de uma esfera de raio 1 corta a esfera em duas partes, uma com o
dobro do volume da outra, mostre que x e´ a raiz da equac¸a˜o 3x3 − 9x+ 2 = 0.
(b) Aplique o Me´todo de Newton para achar uma aproximac¸a˜o para x com quatro decimais exatas.
14. Em alguns casos, a sequ¨encia das aproximac¸o˜es produzida pelo Me´todo de Newton pode deixar de convergir
para a raiz procurada. Os exemplos a seguir ilustram os problemas que podem surgir:
(a) Mostre que o me´todo de Newton aplicado a` func¸a˜o y = x(
1
3 ) leva a x1 = 2x0 e e´, portanto, inu´til para
calcular x tal que f(x) = 0. Esboce um gra´fico para ilustrar essa situac¸a˜o.
(b) Considere a func¸a˜o y = f(x) definida por f(x) =
{√
x− a x ≥ a
−√a− x x ≤ a .
Mostre que, para todo nu´mero positivo r, se x1 = a+ r, enta˜o x2 = a− r, e se x1 = a− r, enta˜o x2 = a+ r.
Esboce um gra´fico que ilustre essa situac¸a˜o.