Cálculo 1 - capitulo 27 Regras de L’Hôpital - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 27
Regras de L’Hoˆpital
27.1 Formas indeterminadas
Suponha que desejamos trac¸ar o gra´fico da func¸a˜o F (x) =
2x − 1
x
. Embora F na˜o esteja definida em x = 0, para
trac¸ar o seu gra´fico precisamos conhecer o comportamento da func¸a˜o nas proximidades deste ponto, isto e´, precisamos
calcular os limites
lim
x→0+
2x − 1
x
e lim
x→0−
2x − 1
x
(*)
Como, nestes dois casos, o limite do denominador e´ zero, a regra do quociente para limites na˜o se aplica. Embora os
limites acima existam, o seu valor na˜o e´ o´bvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da frac¸a˜o se aproximam
de zero, quando x→ 0.
Quando lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = 0, diz-se que o quociente
f(x)
g(x)
tem a forma indeterminada
0
0
, em x = a.
Formas indetermindas deste tipo apareceram no comec¸o de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a raza˜o
incremental que aparece na definic¸a˜o de derivada
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
tem a forma indeterminada
0
0
, em x = a.
Quando f e´ uma func¸a˜o racional, a te´cnica para resolver limites deste tipo e´ cancelar o fator comum, quando
poss´ıvel. Assim, por exemplo,
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1 (x+ 1) = 2.
Outro exemplo de um limite do tipo
0
0
apareceu no estudo das func¸o˜es trigonome´tricas, quando precisamos calcular
lim
x→0
sen(x)
x
. Na ocasia˜o, tivemos que utilizar um argumento geome´trico para concluir que este limite e´ igual a 1.
Para os limites que apareceram em (*) nenhuma destas te´cnicas funciona.
Uma outra situac¸a˜o na qual o valor do limite na˜o e´ o´bvio ocorre quando tentamos avaliar lim
x→∞
ln(x)
x
. Este
limite aparece quando precisamos encontrar as ass´ıntotas horizontais ao gra´fico da func¸a˜o y = ln(x)x . Neste caso,
tanto o numerador quanto o denominador tendem a ∞, quando x → ∞. Se o numerador cresce mais ra´pido que o
denominador, o limite e´ infinito. Se, ao contra´rio, e´ o denominador que cresce mais ra´pido, o limite e´ zero. Se ambos
crescem a` mesma taxa, o limite pode ser qualquer nu´mero positivo.
Assim, se lim
x→a f(x) = limx→a g(x) =∞, diz-se que limx→a
f(x)
g(x)
e´ uma forma indeterminada do tipo ∞∞ . Podemos ter
tambe´m, formas indeterminadas do tipo ∞−∞ ,
−∞
∞ e
−∞
−∞ , dependendo dos sinais dos limites de f e de g.
Outra forma indeterminada aparece quando estudamos func¸o˜es da forma h(x) = f(x) − g(x). Neste caso, se
lim
x→a f(x) = limx→a g(x) =∞, diz-se que limx→a h(x) tem a forma indeterminada ∞−∞.
Ale´m destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no ca´lculo de limites do tipo lim
x→a f(x)
g(x). Neste caso,
dependendo dos limites de f e de g, quando x→ a podemos ter indeterminac¸o˜es do tipo 1∞, 00 e ∞0.
Resumindo, sa˜o 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber
0
0
∞
∞ ∞−∞ 1
∞ 00 ∞0 e 0∞
381
382 Cap. 27. Regras de L’Hoˆpital
Nesta sec¸a˜o introduziremos um me´todo sistema´tico e fa´cil para calcular certos limites envolvendo formas indeter-
minadas. Este me´todo, chamado Regra de L’Hoˆpital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem ao
nobre franceˆs, Marqueˆs de L’Hoˆpital (1661-1704), a quem foi atribu´ıda a sua descoberta, mas na verdade, dizem as
ma´s linguas, o trabalho e´ do matema´tico su´ıc¸o John Bernoulli (1667-1748), que o Marqueˆs havia contratado como seu
professor de matema´tica.
A seguir, veremos as va´rias formas e as aplicac¸o˜es do que se convencionou chamar de Regras de L’Hoˆpital.
27.2 Primeira regra de L’Hoˆpital
Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para
todo x 6= a em I, g′(x) 6= 0. Se
lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = 0
e
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L , enta˜o lim
x→a
f(x)
g(x)
= L .
As figuras a seguir ajudam a visualizar o porqueˆ de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os gra´ficos
de duas func¸o˜es deriva´veis f e g que se aproximam de zero quando x→ a. Na figura da direita, temos um zoom nas
proximidades do ponto (a, 0) dos gra´ficos destas func¸o˜es. Como as func¸o˜es sa˜o localmente lineares, pois sa˜o deriva´veis
(veja Cap. 20 ), nas proximidades deste ponto seus gra´ficos sa˜o quase retas. Se os gra´ficos destas func¸o˜es fossem
realmente retas, enta˜o a raza˜o entre as func¸o˜es seria dada por
m1 (x− a)
m2 (x− a) =
m1
m2
,
que e´ a raza˜o entre suas derivadas. Esta interpretac¸a˜o geome´trica sugere que
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
a
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a
Demonstrac¸a˜o Na demonstrac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital utilizaremos o teorema do valor me´dio de Cauchy. Como
as hipo´teses na˜o garantem que f e g sejam definidas em x = a, consideraremos duas novas func¸o˜es F e G que estendem
as func¸o˜es f e g e sa˜o cont´ınuas em x = a, a saber
F(x) =
{
f(x) x 6= a
0 x = a
G(x) =
{
g(x) x 6= a
0 x = a
Vamos demonstrar a regra quando x→ 0+. Para isso, considere x > a em I. Assim, as func¸o˜es F e G sa˜o cont´ınuas
no intervalo fechado [a, x] e deriva´veis em (a, x]. Logo, aplicando o teorema do valor me´dio de Cauchy no intervalo
[a, x], tem-se
F (x)− F (a)
G(x)−G(a) =
F ′(c)
G′(c)
,
onde c e´ algum nu´mero tal que a < c < x. Pelas definic¸o˜es dadas acima para F e G, temos
f(x)
g(x)
=
f ′(c)
g′(c)
.
W.Bianchini, A.R.Santos 383
Como a < c < x, enta˜o, quando x→ a, tambe´m c→ a. Como por hipo´tese lim
c→a
f ′(c)
g′(c)
= L, enta˜o
lim
x→a+
f(x)
g(x)
= lim
x→a+
f ′(c)
g′(c)
= lim
c→a+
f ′(c)
g′(c)
= L.
A demonstrac¸a˜o para o caso em que x→ a− e´ ana´loga e e´ deixada como exerc´ıcio.
Observac¸a˜o A regra tambe´m e´ va´lida se a ou L forem substitu´ıdos por +∞ ou por −∞. Deixamos como exerc´ıcio
sua demonstrac¸a˜o.
Exemplo 1 Calcule lim
x→0
sen(x2)
x
.
Soluc¸a˜o Neste caso, aparece a forma indeterminada 00 . Como
lim
x→0
(sen(x2))′
x′
= lim
x→0
cos(x2) 2x = 0,
a primeira regra de L’Hoˆpital garante que lim
x→0
sen(x2)
x
= 0 .
Exemplo 2 Calcule lim
x→0
ex − e−x
sen(x)
.
Soluc¸a˜o Novamente, aparece a forma indeterminada 00 e, como
lim
x→0
(ex − e−x)′
(sen(x))′
= lim
x→0
ex + e−x
cos(x)
= 2,
a primeira regra de L’Hoˆpital garante que lim
x→0
ex − e−x
sen(x)
= 2.
27.3 Segunda regra de L’Hoˆpital
Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para
todo x 6= a em I, g′(x) 6= 0. Se lim
x→a f(x) = ±∞, limx→a g(x) = ±∞ e
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L , enta˜o lim
x→a
f(x)
g(x)
= L .
Observac¸a˜o Os nu´meros a e L podem ser ∞ ou −∞.
A demonstrac¸a˜o desta regra na˜o sera´ apresentada neste texto, mas pode ser encontrada em livros de Ca´lculo
avanc¸ado.
Exemplo 1 Calcule lim
x→0+
x ln(x).
Soluc¸a˜o Neste exemplo aparece uma indeterminac¸a˜o do tipo 0× (−∞). Para podermos aplicar uma das regras
de L’Hoˆpital, devemos transforma´-la em uma das indeterminac¸o˜es
(
0
0
)
ou
(∞
∞
)
.
Para isso, observe que
lim
x→0+
x ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x
=
−∞
∞ .
Podemos agora aplicar a segunda regra de L’Hoˆpital e obter
lim
x→0+
ln(x)
1
x
= lim
x→0+
1
x (− 1x2 )
= lim
x→0+
(−x) = 0
Exemplo 2 Calcule
(a) lim
x→∞
ex
x
(b) lim
x→∞
x
ex
384 Cap. 27. Regras de L’Hoˆpital
Soluc¸a˜o (a) lim
x→∞
ex
x
=
(∞
∞
)
. Assim, pela segunda regra de L’Hoˆpital,
lim
x→∞
(ex)′
(x)′
= lim
x→∞ e
x =∞ ⇒ lim
x→∞
ex
x
=∞ .
(b) lim
x→∞
x
ex
=
(∞
∞
)
. Logo, pela segunda regra de L’Hoˆpital,
lim
x→∞
(x)′
(ex)′
= lim
x→∞
1
ex
= 0⇒ lim
x→∞
x
ex
= 0 .
Exemplo 3 Calcule lim
x→0+
xx.
Soluc¸a˜o lim
x→0+
xx = [00].No caso de formas indeterminadas envolvendo poteˆncias, utilizamos a definic¸a˜o destas
func¸o˜es para obter a igualdade xx = e(x ln(x)). Observando, agora, que a exponencial e´ uma func¸a˜o cont´ınua, podemos
escrever
lim
x→0+
xx = e
(
lim
x→0+
x ln(x)
)
= e0 = 1 .
Exemplo 4 Calcule lim
x→0
(
1
x2
− 1
x2 cos(x)
)
Soluc¸a˜o: lim
x→0
1
x2
− 1
x2 cos(x)
= (∞−∞). Para aplicar uma das regras de L’Hoˆpital precisamos transformar a
indeterminac¸a˜o (∞−∞) em uma das duas formas 00 ou ∞∞ . Em geral, isto e´ feito efetuando-se a operac¸a˜o alge´brica
indicada. Assim,
1
x2
− 1
x2 cos(x)
=
cos(x)− 1
x2 cos(x)
.
Como o limite do lado direito da u´ltima expressa˜o recai numa indeterminac¸a˜o do tipo 00 , podemos aplicar a primeira
regra de L’Hoˆpital e obter
lim
x→0
(cos(x)− 1)′
(x2 cos(x))′
= lim
x→0
−sen(x)
2x cos(x)− x2 sen(x) =
(
0
0
)
.
Neste caso, podemos aplicar novamente a primeira regra de L’Hoˆpital. Assim,
lim
x→0
−sen(x)
2x cos(x)− x2 sen(x) = limx→0
(−sen(x))′
(2x cos(x) + x2 sen(x))′
= lim
x→0
−cos(x)
2 cos(x) + 2x sen(x) + x2 cos(x)
= −1
2
.
Portanto,
lim
x→0
(
1
x2
− 1
x2 cos(x)
)
= −1
2
.
27.4 Exerc´ıcios
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→a
x− a
x3 − a3
(b) lim
x→n
ln( xn )
n− x
(c) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
x2 − 5x+ 6
(d) lim
x→0
arcsen(x)
x
(e) lim
x→0
2x − 3x
x
(f) lim
x→∞
arctg( 2x )
1
x
(g) lim
x→0
ln(x)
cotg(x)
(h) lim
x→∞
x3
ex
(i) lim
x→0
1
sen(x)
− 1
x
(j) lim
x→(pi2 )
tg(x)cotg(x)
(k) lim
x→0
(x+ 1)cotg(x)
(l) lim
x→0
arcsen(x) cossec(x)
(m) lim
x→0
1
x
− 1
ln(1 + x)
(n) lim
x→∞ x
( 1x )
(o) lim
x→0
sen(x)(
1
ln(x)
)
W.Bianchini, A.R.Santos 385
2. Calcule lim
x→∞
√
x2 − 1
x
. Voceˆ pode verificar que, neste caso, as regras de L’Hoˆpital de pouco adianta.
3. Seja f(x) =
{
sen(x)
x , se x 6= 0
1 , se x = 0
. Calcule f ′(0) e f ′′(0).
4. Sejam f(x) = x2 sen(
1
x
) e g(x) = x. Verifique que
(a) lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0. (b) lim
x→0
f(x)
g(x)
= 0.
(c) lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
na˜o existe. (Releia novamente a primeira regra de L’Hoˆpital e mostre o que este exerc´ıcio
esclarece naquela regra!)
5. Suponha que a temperatura de uma longa e fina barra de metal, colocada ao longo do eixo x, seja dada ini-
cialmente, por
{
C
2 a , se |x | ≤ a
0 , se |x | > a . Pode-se mostrar que se a difusividade te´rmica da barra e´ k, enta˜o a
temperatura da barra num ponto x dela mesma, em qualquer instante de tempo t posterior, e´ dada por
T (x, t) =
C
a
√
4pi kt
∫ a
0
e−
(x−u)2
4 kt du
Para encontrar a distribuic¸a˜o de temperatura na barra resultante de uma fonte de calor inicial concentrada na
origem, e´ preciso calcular lim
a→0
T (x, t). Use L’Hoˆpital para calcular este limite.