Cálculo 1 - capitulo 27 Regras de L’Hôpital - Waldecir Bianchini
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Cálculo 1 - capitulo 27 Regras de L’Hôpital - Waldecir Bianchini


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Cap´\u131tulo 27
Regras de L\u2019Ho\u2c6pital
27.1 Formas indeterminadas
Suponha que desejamos trac¸ar o gra´fico da func¸a\u2dco F (x) =
2x \u2212 1
x
. Embora F na\u2dco esteja definida em x = 0, para
trac¸ar o seu gra´fico precisamos conhecer o comportamento da func¸a\u2dco nas proximidades deste ponto, isto e´, precisamos
calcular os limites
lim
x\u21920+
2x \u2212 1
x
e lim
x\u21920\u2212
2x \u2212 1
x
(*)
Como, nestes dois casos, o limite do denominador e´ zero, a regra do quociente para limites na\u2dco se aplica. Embora os
limites acima existam, o seu valor na\u2dco e´ o´bvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da frac¸a\u2dco se aproximam
de zero, quando x\u2192 0.
Quando lim
x\u2192a f(x) = limx\u2192a g(x) = 0, diz-se que o quociente
f(x)
g(x)
tem a forma indeterminada
0
0
, em x = a.
Formas indetermindas deste tipo apareceram no comec¸o de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a raza\u2dco
incremental que aparece na definic¸a\u2dco de derivada
f \u2032(a) = lim
x\u2192a
f(x)\u2212 f(a)
x\u2212 a
tem a forma indeterminada
0
0
, em x = a.
Quando f e´ uma func¸a\u2dco racional, a te´cnica para resolver limites deste tipo e´ cancelar o fator comum, quando
poss´\u131vel. Assim, por exemplo,
lim
x\u21921
x2 \u2212 1
x\u2212 1 = limx\u21921 (x+ 1) = 2.
Outro exemplo de um limite do tipo
0
0
apareceu no estudo das func¸o\u2dces trigonome´tricas, quando precisamos calcular
lim
x\u21920
sen(x)
x
. Na ocasia\u2dco, tivemos que utilizar um argumento geome´trico para concluir que este limite e´ igual a 1.
Para os limites que apareceram em (*) nenhuma destas te´cnicas funciona.
Uma outra situac¸a\u2dco na qual o valor do limite na\u2dco e´ o´bvio ocorre quando tentamos avaliar lim
x\u2192\u221e
ln(x)
x
. Este
limite aparece quando precisamos encontrar as ass´\u131ntotas horizontais ao gra´fico da func¸a\u2dco y = ln(x)x . Neste caso,
tanto o numerador quanto o denominador tendem a \u221e, quando x \u2192 \u221e. Se o numerador cresce mais ra´pido que o
denominador, o limite e´ infinito. Se, ao contra´rio, e´ o denominador que cresce mais ra´pido, o limite e´ zero. Se ambos
crescem a` mesma taxa, o limite pode ser qualquer nu´mero positivo.
Assim, se lim
x\u2192a f(x) = limx\u2192a g(x) =\u221e, diz-se que limx\u2192a
f(x)
g(x)
e´ uma forma indeterminada do tipo \u221e\u221e . Podemos ter
tambe´m, formas indeterminadas do tipo \u221e\u2212\u221e ,
\u2212\u221e
\u221e e
\u2212\u221e
\u2212\u221e , dependendo dos sinais dos limites de f e de g.
Outra forma indeterminada aparece quando estudamos func¸o\u2dces da forma h(x) = f(x) \u2212 g(x). Neste caso, se
lim
x\u2192a f(x) = limx\u2192a g(x) =\u221e, diz-se que limx\u2192a h(x) tem a forma indeterminada \u221e\u2212\u221e.
Ale´m destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no ca´lculo de limites do tipo lim
x\u2192a f(x)
g(x). Neste caso,
dependendo dos limites de f e de g, quando x\u2192 a podemos ter indeterminac¸o\u2dces do tipo 1\u221e, 00 e \u221e0.
Resumindo, sa\u2dco 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber
0
0
\u221e
\u221e \u221e\u2212\u221e 1
\u221e 00 \u221e0 e 0\u221e
381
382 Cap. 27. Regras de L\u2019Ho\u2c6pital
Nesta sec¸a\u2dco introduziremos um me´todo sistema´tico e fa´cil para calcular certos limites envolvendo formas indeter-
minadas. Este me´todo, chamado Regra de L\u2019Ho\u2c6pital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem ao
nobre france\u2c6s, Marque\u2c6s de L\u2019Ho\u2c6pital (1661-1704), a quem foi atribu´\u131da a sua descoberta, mas na verdade, dizem as
ma´s linguas, o trabalho e´ do matema´tico su´\u131c¸o John Bernoulli (1667-1748), que o Marque\u2c6s havia contratado como seu
professor de matema´tica.
A seguir, veremos as va´rias formas e as aplicac¸o\u2dces do que se convencionou chamar de Regras de L\u2019Ho\u2c6pital.
27.2 Primeira regra de L\u2019Ho\u2c6pital
Sejam f e g func¸o\u2dces deriva´veis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para
todo x 6= a em I, g\u2032(x) 6= 0. Se
lim
x\u2192a f(x) = limx\u2192a g(x) = 0
e
lim
x\u2192a
f \u2032(x)
g\u2032(x)
= L , enta\u2dco lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
= L .
As figuras a seguir ajudam a visualizar o porque\u2c6 de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os gra´ficos
de duas func¸o\u2dces deriva´veis f e g que se aproximam de zero quando x\u2192 a. Na figura da direita, temos um zoom nas
proximidades do ponto (a, 0) dos gra´ficos destas func¸o\u2dces. Como as func¸o\u2dces sa\u2dco localmente lineares, pois sa\u2dco deriva´veis
(veja Cap. 20 ), nas proximidades deste ponto seus gra´ficos sa\u2dco quase retas. Se os gra´ficos destas func¸o\u2dces fossem
realmente retas, enta\u2dco a raza\u2dco entre as func¸o\u2dces seria dada por
m1 (x\u2212 a)
m2 (x\u2212 a) =
m1
m2
,
que e´ a raza\u2dco entre suas derivadas. Esta interpretac¸a\u2dco geome´trica sugere que
lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
= lim
x\u2192a
f \u2032(x)
g\u2032(x)
\u201314
\u201312
\u201310
\u20138
\u20136
\u20134
\u20132
0
2
4
6
a
\u20131
\u20130.8
\u20130.6
\u20130.4
\u20130.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a
Demonstrac¸a\u2dco Na demonstrac¸a\u2dco da regra de L\u2019Ho\u2c6pital utilizaremos o teorema do valor me´dio de Cauchy. Como
as hipo´teses na\u2dco garantem que f e g sejam definidas em x = a, consideraremos duas novas func¸o\u2dces F e G que estendem
as func¸o\u2dces f e g e sa\u2dco cont´\u131nuas em x = a, a saber
F(x) =
{
f(x) x 6= a
0 x = a
G(x) =
{
g(x) x 6= a
0 x = a
Vamos demonstrar a regra quando x\u2192 0+. Para isso, considere x > a em I. Assim, as func¸o\u2dces F e G sa\u2dco cont´\u131nuas
no intervalo fechado [a, x] e deriva´veis em (a, x]. Logo, aplicando o teorema do valor me´dio de Cauchy no intervalo
[a, x], tem-se
F (x)\u2212 F (a)
G(x)\u2212G(a) =
F \u2032(c)
G\u2032(c)
,
onde c e´ algum nu´mero tal que a < c < x. Pelas definic¸o\u2dces dadas acima para F e G, temos
f(x)
g(x)
=
f \u2032(c)
g\u2032(c)
.
W.Bianchini, A.R.Santos 383
Como a < c < x, enta\u2dco, quando x\u2192 a, tambe´m c\u2192 a. Como por hipo´tese lim
c\u2192a
f \u2032(c)
g\u2032(c)
= L, enta\u2dco
lim
x\u2192a+
f(x)
g(x)
= lim
x\u2192a+
f \u2032(c)
g\u2032(c)
= lim
c\u2192a+
f \u2032(c)
g\u2032(c)
= L.
A demonstrac¸a\u2dco para o caso em que x\u2192 a\u2212 e´ ana´loga e e´ deixada como exerc´\u131cio.
Observac¸a\u2dco A regra tambe´m e´ va´lida se a ou L forem substitu´\u131dos por +\u221e ou por \u2212\u221e. Deixamos como exerc´\u131cio
sua demonstrac¸a\u2dco.
Exemplo 1 Calcule lim
x\u21920
sen(x2)
x
.
Soluc¸a\u2dco Neste caso, aparece a forma indeterminada 00 . Como
lim
x\u21920
(sen(x2))\u2032
x\u2032
= lim
x\u21920
cos(x2) 2x = 0,
a primeira regra de L\u2019Ho\u2c6pital garante que lim
x\u21920
sen(x2)
x
= 0 .
Exemplo 2 Calcule lim
x\u21920
ex \u2212 e\u2212x
sen(x)
.
Soluc¸a\u2dco Novamente, aparece a forma indeterminada 00 e, como
lim
x\u21920
(ex \u2212 e\u2212x)\u2032
(sen(x))\u2032
= lim
x\u21920
ex + e\u2212x
cos(x)
= 2,
a primeira regra de L\u2019Ho\u2c6pital garante que lim
x\u21920
ex \u2212 e\u2212x
sen(x)
= 2.
27.3 Segunda regra de L\u2019Ho\u2c6pital
Sejam f e g func¸o\u2dces deriva´veis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para
todo x 6= a em I, g\u2032(x) 6= 0. Se lim
x\u2192a f(x) = ±\u221e, limx\u2192a g(x) = ±\u221e e
lim
x\u2192a
f \u2032(x)
g\u2032(x)
= L , enta\u2dco lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
= L .
Observac¸a\u2dco Os nu´meros a e L podem ser \u221e ou \u2212\u221e.
A demonstrac¸a\u2dco desta regra na\u2dco sera´ apresentada neste texto, mas pode ser encontrada em livros de Ca´lculo
avanc¸ado.
Exemplo 1 Calcule lim
x\u21920+
x ln(x).
Soluc¸a\u2dco Neste exemplo aparece uma indeterminac¸a\u2dco do tipo 0× (\u2212\u221e). Para podermos aplicar uma das regras
de L\u2019Ho\u2c6pital, devemos transforma´-la em uma das indeterminac¸o\u2dces
(
0
0
)
ou
(\u221e
\u221e
)
.
Para isso, observe que
lim
x\u21920+
x ln(x) = lim
x\u21920+
ln(x)
1
x
=
\u2212\u221e
\u221e .
Podemos agora aplicar a segunda regra de L\u2019Ho\u2c6pital e obter
lim
x\u21920+
ln(x)
1
x
= lim
x\u21920+
1
x (\u2212 1x2 )
= lim
x\u21920+
(\u2212x) = 0
Exemplo 2 Calcule
(a) lim
x\u2192\u221e
ex
x
(b) lim
x\u2192\u221e
x
ex
384 Cap. 27. Regras de L\u2019Ho\u2c6pital
Soluc¸a\u2dco (a) lim
x\u2192\u221e
ex
x
=
(\u221e
\u221e
)
. Assim, pela segunda regra de L\u2019Ho\u2c6pital,
lim
x\u2192\u221e
(ex)\u2032
(x)\u2032
= lim
x\u2192\u221e e
x =\u221e \u21d2 lim
x\u2192\u221e
ex
x
=\u221e .
(b) lim
x\u2192\u221e
x
ex
=
(\u221e
\u221e
)
. Logo, pela segunda regra de L\u2019Ho\u2c6pital,
lim
x\u2192\u221e
(x)\u2032
(ex)\u2032
= lim
x\u2192\u221e
1
ex
= 0\u21d2 lim
x\u2192\u221e
x
ex
= 0 .
Exemplo 3 Calcule lim
x\u21920+
xx.
Soluc¸a\u2dco lim
x\u21920+
xx = [00].