2018317 184535 Formulário+de+Cálculo+Aplicado

Prévia do material em texto

Formulário de Cálculo Aplicado 
 
Professor: Ana Flávia Guedes Greco 
 
 
1 – DERIVADAS PARCIAIS 
1.1 – MÉTODO DO ARVOREZINHA 
Passo 1: Monte a árvore com todas as relações de dependência das funções envolvidas; 
Passo 2: “Pinte” o caminho desejado (o caminho indica a derivada que se quer calcular); 
Passo 3: Nomeie e calcule todas as derivadas que tiverem neste caminho; 
Passo 4: Monte a resposta somando todos os caminhos possíveis. 
 
2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
2.1 – EQUAÇÃO DIFERENCIAL LIENAR DE 1ª ORDEM: 
   
dy
f x y r x
dx
 
 
Passo 1: Coloque a equação diferencial na forma linear (caso seja necessário). 
Passo 2: identifique f(x) e r(x) e calcule 
( ) ( )h x f x dx 
 
Passo 3: Determine a solução geral através da seguinte fórmula: 
( ) ( ). ( )h x h xy e e r x dx C   
 
 
 
2.2 – EQUAÇÃO DIFERENCIAL LIENAR DE 2ª ORDEM: 
2
2
0
d y dy
a b cy
dxdx
  
 
Passo 1: Obtenha a equação a característica associada à mesma, dada por: 
02  cba 
. 
Passo 2: Como a equação característica é uma equação do segundo grau, resolva-a através da fórmula de Bháskara. 
Passo 3: Monte a solução geral, baseado nas seguintes condições: 
 Se 
 21 
então a solução da equação diferencial será do tipo: 
  1 21 2
x xy x c e c e  
 
 Se 
 21 
 então a solução da equação diferencial será do tipo: 
  1 2( )
xy x c c x e 
 
 Se 
C 21 
, sendo 
qip1 
 e 
qip2 
, então a solução da equação diferencial será do tipo: 
     1 2. cos
pxy x e C q x C sen q x   
 
 
3 – SÉRIE DE FOURIER 
 
3.1 – DEFINIÇÃO 
0
1
( ) cos ,
2
n n
n
a n x n x
f x a b sen
T T
 

    
       
    
 onde 
 (i) 
0
1
( )
x f
xi
a f x dx
T
 
; (ii) 
1
( )cos
x f
n
xi
n x
a f x dx
T T
 
   
 
; (iii) 
1
( )
x f
n
xi
n x
b f x sen dx
T T
 
   
 
; (iv) 
T metade do período
 
 
3.2 – DEFINIÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER PARA FUNÇÕES ESPECIAIS 
FUNÇÃO PAR: 
0
1
( ) cos
2
n
n
a n x
f x a
T


  
     
  
com 
0nb 
 
FUNÇÃO ÍMPAR: 
1
( ) n
n
n x
f x b sen
T


  
    
  
 com 
0 0 0na e a 
 
 
3.3 – PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
 
(P1) 
p p pf f f 
 
 
(P4) 
   
 
 
.
p
p p p p
p
f
f f f e f
f
 
 (P7) 
0
02 2
a a
p p pa aI f f f     
 
(P2) 
i i if f f 
 (P5) 
   
 
 
.
i
i i p p
i
f
f f f e f
f
 
 (P8) 
0a iaI f 
 
(P3) 
p if f função sem paridade 
 (P6) 
   
 
 
.
p
p i i i
i
f
f f f e f
f
 
 
Lembrem-se: 
f iPeríodo x x 
 
 
Funções Pares 
 f x C
 
 f x x
 
  nf x x
, 
onde n é par. 
  cos( )f x x
 
Funções Ímpares 
  nf x x
, 
onde n é ímpar. 
  ( )f x sen x
 
3.4 – SIMPLIFICAÇÕES USUAIS 
 
 
( ) ( ) 0sen kn sen kn   
 
 
1,
cos( ) cos( )
1,
se n for ímpar
kn kn
se n for par
    

 
 
 
4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
4.1 – TABELA 
 
f(t) F(s) = L {f(t)} f(t) F(s) = L {f(t)} 
a 
a
s
 
. cos( )ate bt
 
 
2 2
s a
s a b

 
 
nt
com n≥1 
1
!
n
n
s 
 
. ( )ate senh bt
 
 
2 2
b
s a b 
 
ate
 
 
1
s a
 
. cosh( )ate bt
 
 
2 2
s a
s a b

 
 
( )sen at
 
 2 2
a
s a
 
( ) . cos( )sen at at at
 
 
2
2
2 2
2as
s a
 
cos( )at
 
 2 2
s
s a
 
( ) . cos( )sen at at at
 
 
3
2
2 2
2a
s a
 
( )senh at
 
 2 2
a
s a
 
at bte e
a b


 
  
1
s a s b 
 
cosh( )at
 
 2 2
s
s a
 
at btae be
a b


 
  
s
s a s b 
 
. ( )t sen at
 
 
2
2 2
2as
s a
 
'( )f t
 
( ) (0)sF s f
 
. cos( )t at
 
 
2 2
2
2 2
s a
s a


 
''( )f t
 
2 ( ) (0) '(0)s F s sf f 
 
.n att e
 com n≥1 
 
1
!
n
n
s a


 
'"( )f t
 
3 2( ) (0) '(0) ''(0)s F s s f sf f  
 
. ( )ate sen bt
 
 
2 2
b
s a b 
 
 
 
 
 
4.2 – MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO USADO NA TRANSFORMADA INVERSA 
 
 
2 2 2( ) ,ax bx c a s k h    
onde 
2
b
k
a

e 2
24
b
h c
a
 
 
NOTA: Na tabela (a, b e n) representam as constantes reais e (t e s) representam as variáveis.