Lista 3(Unidade II)

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Campos Vetoriais, Trabalho, Circulação e Fluxo 
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1. Encontre o campo gradiente de cada uma das funções a seguir: 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)
−𝟏/𝟐
 
b) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒍𝒏√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
c) g(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 
2. Encontre o trabalho realizado pela força F de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes 
caminhos: 
a) O segmento de reta C1: �⃗� (𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒕𝒋 + 𝒕�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏; 
b) O caminho curvo C2: �⃗� (𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒕𝟐𝒋 + 𝒕𝟒�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏; 
c) O caminho C3UC4 que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo 
segmento de (1,1,0) a (1,1,1). 
2.1 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑𝒚 𝒊 + 𝟐𝒙𝒋 + 𝟒𝒛�⃗⃗� 
2.2 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = √𝒛 𝒊 − 𝟐𝒙𝒋 + √𝒚�⃗⃗� 
2.3 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒚 + 𝒛) 𝒊 + (𝒛 + 𝒙)𝒋 + (𝒙 + 𝒚)�⃗⃗� 
2.4 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝒚) 𝒊 + (𝒚𝒛)𝒋 + (𝒙𝒛)�⃗⃗� 
3. Encontre o trabalho realizado por �⃗⃗� sobre a curva no sentido de t crescente. 
3.1 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 𝒊 + 𝒚𝒋 − 𝒚𝒛�⃗⃗� ; �⃗� (𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒕𝟐𝒋 + 𝒕�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 
3.2 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒚 𝒊 + 𝟑𝒙𝒋 + (𝒙 + 𝒚)�⃗⃗� ; �⃗� (𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + (𝒔𝒆𝒏𝒕)𝒋 + (𝒕/𝟔)�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
3.3 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒛 𝒊 + 𝒙𝒋 + 𝒚�⃗⃗� ; �⃗� (𝒕) = (𝒔𝒆𝒏𝒕)𝒊 + (𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒋 + (𝒕)�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
4. Encontre a circulação e o fluxo dos campos �⃗⃗� 𝟏 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 e �⃗⃗� 𝟐 = −𝒚𝒊 + 𝒙𝒋 ao redor e 
através das curvas a seguir: 
a) A circunferência �⃗� (𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + (𝒔𝒆𝒏𝒕)𝒋 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
b) A elipse �⃗� (𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + (𝟒𝒔𝒆𝒏𝒕)𝒋 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
5. Encontre o fluxo dos campos �⃗⃗� 𝟏 = 𝟐𝒙𝒊 − 𝟑𝒚𝒋 e �⃗⃗� 𝟐 = 𝟐𝒙𝒊 + (𝒙 − 𝒚)𝒋 através da 
circunferência �⃗� (𝒕) = (𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + (𝒂𝒔𝒆𝒏𝒕)𝒋 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
6. Encontre o escoamento do campo de velocidade �⃗⃗� = (𝒙 + 𝒚)𝒊 − (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒋 ao longo de 
cada um dos caminhos a seguir de (1,0) a (-1,0) no plano xy. 
a) A metade superior da circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
b) O segmento de reta de (1,0) a (-1,0) 
c) O segmento de reta de (1,0) a (0,-1) seguido pelo segmento de reta de (0,-1) a (-1, 0) 
7. Desenhe o campo radial �⃗⃗� = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 junto com suas componentes verticais e horizontais 
em um conjunto representativo de pontos da circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏. 
8. �⃗⃗� é um campo de velocidades de um fluido que escoa por uma região no espaço. Encontre 
o escoamento ao longo da curva dada no sentido de t crescente. 
8.1 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = −𝟒𝒙𝒚 𝒊 + 𝟖𝒚𝒋 + 𝟐�⃗⃗� ; �⃗� (𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒕𝟐𝒋 + �⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐 
8.2 �⃗⃗� (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 𝒊 + 𝒚𝒛𝒋 + 𝒚𝟐�⃗⃗� ; �⃗� (𝒕) = 𝟑𝒕𝒊 + 𝟒𝒕�⃗⃗� , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 
 
Gabarito 
1. a)𝛁𝒇 = −(𝒙𝒊 + 𝒚𝒊 + 𝒛𝒊 )(𝒙𝒊 + 𝒚𝒊 + 𝒛𝒊 )−
𝟑
𝟐 
2.1 a)9/2 b) 13/2 c) 9/2 
2.2 a) 1/3 b) -1/5 c) 0 
3.1 ½ 
3.3 –𝝅 
4. a) Circ1 = 0 circ2 = 𝟐𝝅; fluxo1 = 𝟐𝝅; fluxo2 = 0 b) Circ1 = 0 circ2 = 𝟖𝝅; fluxo1 = 𝟖𝝅; 
fluxo2 = 0 
6. a) −
𝝅
𝟐
 b) 0 c) 1 
Referência 
THOMAS, G. B – Cálculo, 10 ed. V.2