Slides Física Aula 2

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Movimento em Duas ou Três Dimensões 
Até o momento consideramos o estudo do movimento de objetos, partículas, movendo-se em 
uma única dimensão. Como o movimento ocorre ao longo de uma linha reta, chamamos de movimento 
retilíneo e consideramos apenas um eixo cartesiano como referência, porém existem muitos 
movimentos que ocorrem em duas ou três dimensões. 
 
 
Por exemplo: um atleta de atletismo na prova de 
lançamentos de dardos, ao efetuar o lançamento, o dardo 
viaja em movimento parabólico realizando em sua 
trajetória uma espécie de arco. Se o movimento do dardo 
ocorrer em um único plano, partindo do ponto de 
lançamento, o dardo irá subir afastando do solo e depois 
descer, aproximando-se do solo, mas ao mesmo tempo 
irá afastar-se em linha reta do ponto de lançamento. 
 
 Neste caso o movimento ocorreu em duas dimensões, uma na vertical e outra na horizontal. O 
mesmo tipo de movimento ocorre quando uma bola é lançada em tiro de meta pelo goleiro, ou na 
trajetória de uma bola de vôlei após o saque em direção ao campo adversário. O movimento em duas 
dimensões também pode ser observado no movimento de rotação de um disco ou outro objeto 
qualquer girando. 
Para todos esses exemplos, que envolvem mais de uma dimensão, é necessário estender a 
descrição do movimento visto na aula 1 e considerar todos outros eixos cartesianos, eixo x, eixo y e ou 
eixo z. Continuaremos expressar grandezas vetoriais de deslocamento, velocidade e aceleração, que 
até o momento possuíam apenas uma direção, um eixo cartesiano, e o sentido era determinado pelos 
sinais positivo ou negativo, porém essas grandezas agora possuíram mais de um componente vetorial, 
uma para cada eixo cartesiano considerado. 
 
 
Nesta aula, iremos continuar estudando o movimento sem a preocupação de identificar suas 
causas. Para um melhor aproveitamento desta aula, você irá precisar conhecer a linguagem da 
matemática vetorial e a linguagem cinemática vistas na aula 1, o que irá lhe proporcionar o 
entendimento de uma ferramenta essencial para estudo das relações entre força e movimento em 
aulas futuras. 
Assista ao vídeo a seguir, em que um atleta faz um arremesso com o movimento do móvel em 
mais dimensões. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=zT__XesemEA 
 
Vetor Posição 
Durante o estudo de uma partícula em movimento retilíneo, a posição da partícula em relação ao 
sistema de referência era determinada por uma coordenada no eixo considerado para representar o 
movimento. Quando o movimento ocorrer em duas dimensões, uma maneira de localizar a posição da 
partícula é utilizando um vetor posição. 
 
 
Entenda o exemplo para definição do 
vetor posição. Considere uma partícula 
que esteja localizada em um ponto P em 
dado instante de tempo, veja figura. 
 
Figura 1 – O vetor posição localiza o ponto P, partindo 
da origem do sistema cartesiano até o ponto P. 
 
 
 
 
 
 
O vetor posição , chamado de vetor 
posição, localiza o ponto P no espaço em 
referência a um sistema cartesiano. O módulo 
desse vetor informa a que distância o ponto P 
encontra-se da origem do sistema de referência. 
O vetor posição pode ser escrito na forma de 
vetor unitário através das suas componentes 
cartesianas x, y e z. 
 
 
Vetor Deslocamento 
Quando uma partícula desloca-se de um ponto para outro, ela mudou sua posição. Vamos supor 
que durante um deslocamento uma partícula mova-se do ponto P1, para o ponto P2 e leve um intervalo 
de tempo para completar esse deslocamento. 
 
 
Utilizando o vetor posição para 
localizar os pontos P1 e P2, teremos a 
seguinte situação, veja a figura 2. 
 
Figura 2 – Vetor deslocamento 
 
 
 
O ponto P1 é localizado pelo vetor posição , e o ponto P2 pelo vetor posição . Quando a 
partícula saiu do ponto P1 em direção ao ponto P2, ela realizou um deslocamento . 
Por definição, o deslocamento é dado pela variação da posição, ou seja: 
 
Escrevendo os vetores e na forma de vetor unitário, temos: e 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor Velocidade 
Da mesma maneira que fizemos na aula 1, quando o movimento ocorria em um único eixo, agora 
iremos definir a velocidade média por meio do vetor velocidade média , obtido pela razão (divisão) 
entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo para realizar tal deslocamento. 
 
 
 
 
Vetor Velocidade Instantânea 
O vetor velocidade instantânea é obtido como o limite da velocidade média quando o intervalo de 
tempo tende a zero, sendo igual a taxa de variação do vetor posição com o tempo. Matematicamente, 
podemos escrever a velocidade instantânea como: 
(vetor velocidade instantânea) 
 
 
 
O módulo do vetor velocidade instantânea em determinado instante é igual à velocidade escalar 
da partícula no referido instante. É importante lembrar que esse vetor é tangente a trajetória em cada 
um dos seus pontos. Cada componente do vetor velocidade instantânea pode ser determinado pela 
derivada das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. 
 
 
(componentes da velocidade instantânea) 
O módulo do vetor velocidade instantânea é dado em termos dos componentes da velocidade, 
pelo teorema de Pitágoras: 
 
Quando a partícula se move no plano xy, a coordenada z e a componente são nulos e o 
módulo da velocidade instantânea será obtido por: 
 
 
A direção da velocidade instantânea será dado pelo ângulo  que pode ser calculado por: 
 
 
Tome cuidado, pois a partir de agora sempre que mencionarmos a palavra velocidade vamos nos 
referir ao vetor velocidade instantânea . Cabe a você lembrar de que a velocidade é uma grandeza 
vetorial e, portanto, possui módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
Vetor Aceleração 
 
 
 
Figura 3 – Variação da velocidade entre os 
instantes t1 e t2 
Vimos que a grandeza aceleração representa como a 
velocidade da partícula está variando no decorrer do 
tempo do movimento, mas, como até o momento o 
movimento ocorria em uma única dimensão, a variação da 
velocidade ocorria apenas em módulo. Lembre-se que 
agora estamos tratando a velocidade com todas as 
características de um vetor, deve ficar claro, portanto, que 
a velocidade pode variar em módulo e também na direção 
e sentido durante o movimento. Por exemplo, um avião 
de acrobacias aéreas durante um voo realiza a manobra 
destacada na imagem. 
Os vetores velocidades instantâneas nos instantes t1 e t2 quando o avião passa pelas posições P1 
e P2 estão indicadas respectivamente por e . No intervalo de tempo , a variação 
vetorial da velocidade será: 
 
 
Define-se o vetor aceleração média entre os instantes t1 e t2 como a divisão da variação do 
vetor velocidade pelo intervalo de tempo . 
 
O vetor aceleração média é uma grandeza vetorial. Ela possui a mesma direção e o mesmo 
sentido do vetor . 
 
 
Como: 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 Vetor Aceleração Instantânea 
 O vetor aceleração instantânea é definido como o limite da aceleração média quando o vetor 
, simultaneamente com o intervalo de tempo , tendem a zero. 
 
Como: 
Então: 
 
 
As componentes retangulares da aceleração instantâneas são: 
 
 
 
 
 
 
Clique no ícone a seguir e confira um vídeo que mostra as consequências da força G. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=KxVic7FwIkU 
 
 
Movimento de um Projétil 
Iremos considerar um projétil, qualquer objeto que quando lançado com certa velocidadeinicial 
descreve uma trajetória curva influenciado apenas pela aceleração da gravidade e pela resistência do 
ar. 
Com a intenção de simplificarmos o movimento iremos propor um modelo idealizado no qual o 
objeto lançado pode ser considerado como uma partícula que move-se sob a ação da aceleração da 
gravidade, constante em módulo, direção e sentido, e também com a resistência do ar desprezada, 
nula. 
Como a aceleração da gravidade tem direção sempre vertical com módulo na superfície do 
planeta Terra, g = 9,8 m/s2, e sentido para baixo ela não irá proporcionar ao projétil movimento lateral 
algum, portanto o movimento irá ocorrer apenas em duas dimensões, ou seja, com essas 
características o movimento de um projeto sempre será descrito em um plano vertical. Iremos 
considerar dois eixos cartesianos, plano xy. O eixo y estará posicionado na vertical de baixo para cima 
e o eixo x localizado na horizontal na direção do vetor velocidade inicial de lançamento. 
Clique nos ícones a seguir para ver alguns movimentos que podem ser tratados com a teoria 
envolvida no lançamento de projéteis. 
 
 
 
 
 
 
O movimento de um projétil ocorre em um plano vertical contendo o vetor velocidade inicial . A 
trajetória depende somente da velocidade inicial e da aceleração descendente em função da gravidade. 
O grande segredo para o estudo desse tipo de movimento é tratar cada um dos eixos, 
coordenadas x e y, separados. Como a aceleração da gravidade atua apenas na vertical, não haverá 
aceleração no eixo horizontal x, aceleração igual a zero; já no eixo vertical y, a aceleração é constante 
e igual a - g. Com essas características o movimento de um projétil será a combinação de um 
movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante. 
Nesse contexto, podemos expressar todas as relações vetoriais para posição, velocidade e 
aceleração usando equações separadas para os componentes horizontais e verticais. O movimento 
efetivo do projétil é a superposição desses movimentos separados. 
 
 
Utilizando as equações do movimento 
estudadas na aula 1, e considerando o eixo x 
onde e , podemos escrever: 
 
Já para o eixo y, onde a aceleração 
, escrevemos: 
 
 
Para simplificar, iremos considerar as 
posições iniciais na origem dos eixos 
cartesianos, quando o tempo 
inicial do movimento to = 0. 
 
Figura 4 – Composição do movimento de um projétil, 
movimento horizontal com velocidade constante e 
movimento vertical com aceleração constante. 
 
 O movimento de lançamento de projéteis pode ser separado em dois movimentos distintos, 
movimento horizontal e vertical. No movimento horizontal, o projétil segue com velocidade constante, 
pois a aceleração horizontal é zero, , como a velocidade é constante o projétil 
percorre no eixo x distâncias iguais em intervalo de tempo iguais. Já no movimento vertical, o 
movimento possui aceleração constante devido à atração gravitacional da Terra, consequentemente 
sua velocidade na vertical varia quantidades iguais em tempos iguais. 
 Na competição olímpica de lançamento de dardos, o atleta corre numa pista de lançamento 
com 34,9 metros de comprimento para tomar impulso e lançar o dardo. O lançador faz um giro rápido 
com o corpo e lança o dardo. O ganhador da competição é o atleta que atinge a maior distância desde 
o ponto de lançamento até o local de queda do dardo. É claro que para conseguir a melhor marca o 
atleta necessita impor condições ideais ao dardo no exato momento em que esse deixa sua mão, como 
a velocidade inicial de lançamento e o ângulo inicial de lançamento . 
 
 
 
Figura 5 – Etapas do lançamento de um dardo passo a passo, 
destaque para o momento em que o lançamento ocorre. 
 
A figura acima mostra os vários 
momentos do lançamento de um dardo, 
passo a passo, desde a corrida até o 
momento exato do lançamento (quando o 
dardo deixa a mão do atleta), o qual está 
destacado na figura. Conhecendo-se o 
ângulo de lançamento , a velocidade inicial 
 pode ser decomposta em suas 
componentes retangulares . 
Observe que se posicionarmos os vetores de forma diferente, obteremos o seguinte triângulo: 
 
Figura 6 – Triângulo retângulo formado pelo vetor (hipotenusa) e suas componentes retangulares e (catetos) 
 
 
 
O módulo da velocidade do projétil em qualquer instante pode ser calculado pela equação: 
 
Conhecendo essas relações de velocidade, e considerando , iremos substituir 
 nas equações do movimento, temos para o eixo horizontal: 
 
 
E para o eixo vertical: 
 
 
 
 
Com essas equações podemos determinar 
a posição no eixo x e y, e também as 
velocidades do projétil em qualquer instante de 
tempo t. 
Obtendo as coordenadas de posição x e y 
em determinado instante de tempo, podemos 
encontrar o módulo do vetor posição do 
projétil para esse instante por: 
 
O vetor velocidade em cada instante de 
tempo é tangente a linha da trajetória do 
projétil na posição em que se encontra naquele 
instante. Sua direção e sentido pode ser 
determinada em função do ângulo que o 
vetor velocidade forma com o eixo x positivo 
por: 
 
Outra equação que em alguns cálculos 
pode ser útil é a que descreve a forma da 
trajetória do movimento, a equação de uma 
parábola, sendo: 
 
 
Movimento Circular 
Em muitas situações do nosso dia a dia nos deparamos com objetos que descrevem trajetórias 
circulares, por exemplo, os ponteiros do relógio, as facas do liquidificador, as rodas dos carros em 
movimento, a hélice do ventilador, o disco rígido do seu computador, um satélite em órbita na Terra, 
entre tantos outros. 
Sempre que um objeto se move em uma trajetória curva o vetor velocidade instantânea do 
movimento varia a cada posição da trajetória, mesmo que o módulo dessa velocidade seja constante 
(velocidade escalar constante), pois, nesse caso, a variação do vetor velocidade ocorre em direção e 
sentido (lembre-se que a velocidade é uma grandeza vetorial). Quando temos esse tipo de movimento, 
dizemos ser um movimento circular uniforme e, sendo assim, não há aceleração tangente a trajetória, 
pois se essa aceleração não fosse nula, haveria mudança na aceleração escalar do movimento. 
 
 
A única aceleração envolvida no movimento é o vetor aceleração perpendicular à trajetória. Um 
vetor que aponta no centro da trajetória e que proporciona variação na direção e sentido do vetor 
velocidade.
 
 
Figura 7 – Vetor aceleração média 
A figura ao lado ilustra o movimento de uma partícula 
que se move no intervalo de tempo t do ponto P1 para o 
ponto P2 em movimento curvilíneo uniforme de raio R. 
Repare que, ao mover-se do ponto P1 para P2, a direção 
entre os vetores velocidade e varia em cada ponto. 
A variação da velocidade pode ser obtida pela operação 
vetorial , como as velocidades e são 
perpendiculares ao raio da trajetória (R), o triângulo 
formado por R e e o triângulo formado por 
são triângulos semelhantes. 
 
 
Quando dois triângulos são ditos semelhantes entre si, eles satisfazem duas condições 
simultaneamente. Seus lados correspondentes possuem medidas proporcionais e os ângulos internos 
correspondentes a cada lado são iguais (congruentes). 
Logo, para os triângulos supracitados, o lado do primeiro triângulo é proporcional ao módulo 
de do lado do segundo triângulo e lado do triângulo de raio R é proporcional ao módulo dos lados 
indicados por no segundo triângulo. Portanto, matematicamente, as razões entre os lados dos 
triângulos serão iguais. 
 ou 
Sabendo que o módulo da aceleração média duranteo intervalo de tempo t é dado por 
, podemos escrever: 
 
Para encontrarmos o módulo da aceleração no ponto P1, teremos a aceleração instantânea nesse 
ponto, dado por: 
 
Mas o limite de no ponto P1, quando t tende a zero é a velocidade escalar instantânea nesse 
ponto, ou seja . Como o ponto P1 pode estar em qualquer local da trajetória, ou seja, pode ser 
qualquer ponto nessa trajetória, podemos retirar o índice e escrever: 
 
O índice “rad” indica que a aceleração é radial, ou seja, ela está orientada apontando ao centro 
da trajetória, por essa característica, a aceleração também é chamado de aceleração centrípeta. Como 
a velocidade escalar é constante, o vetor aceleração é sempre perpendicular ao vetor velocidade 
instantânea. 
 
 
Outra maneira de se determinar a velocidade escalar é através do período de rotação (T). O 
período é o tempo necessário para a partícula realizar uma revolução completa na circunferência. A 
velocidade escalar da partícula será determinada pela razão entre o deslocamento percorrido em uma 
volta completa pelo período de rotação, sendo: 
 
Substituindo essa equação na equação da aceleração radial, temos uma equação alternativa para 
o cálculo dessa aceleração: