Estatística_Probabilidade_2014_2

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3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
As medidas de assimetria referem-se à forma da curva
de uma distribuição de frequências, mais especificamente do
polígono de frequência ou do histograma. Tem-se 3 casos de
assimetria:
1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Simétrica
Neste caso, a média, a moda e a mediana são iguais. Assim:
 𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜
3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica
Negativa
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor menor do
que a mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor menor
do que a moda. Assim:
 𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜
Ou seja:
 𝑥 < 𝑀𝑜
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3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
3º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica
Positiva
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor maior do
que a mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor maior
do que a moda. Assim:
𝑀𝑜 < 𝑀𝑒 < 𝑥
Ou seja:
 𝑥 > 𝑀𝑂
3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Como calcular o coeficiente de assimetria?
Existem diversos modos, todos obtidos empiricamente, de se
calcular o coeficiente de assimetria. Estudaremos dois tipos:
1º Coeficiente de Pearson
𝐴𝑆 =
 𝑥 − 𝑀𝑜
𝜎
Quando:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
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3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 7: Em uma distribuição de frequências foram
encontradas as seguintes medidas:
 𝑥 = 45,23 ; 𝑀𝑜 = 42,51 ; 𝑀𝑒 = 43,48 ; 𝜎 = 21,3
a) Classifique o tipo de assimetria;
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
3 – Medidas de assimetria
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2º Coeficiente de Pearson
𝐴𝑆 =
3. 𝑥 − 𝑀𝑒
𝜎
Quando:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
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3 – Medidas de Curtose
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Definição:
Denominamos por “CURTOSE” o grau de achatamento de uma
curva de distribuição de frequência. Esse comportamento é dado
pela concentração dos valores em relação a moda. São 3 casos:
1º caso: Curva Normal
Os dados estão razoavelmente em torno da moda.
3 – Medidas de Curtose
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2º caso: Curva Afilada
Os dados estão fortemente em torno da moda.
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3 – Medidas de Curtose
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
3º caso: Curva Achatada
Os dados estão fracamente em torno da moda.
3 – Medidas de Curtose
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Cálculo do Índice de Momento de Curtose ( c )
𝑐 =
 𝑥𝑖 − 𝑥
4. 𝑓𝑖
 𝑓𝑖
𝜎2
− 3
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostra:
Representação de sujeitos de uma determinada população com
característica relevantes para o estudo.
Os métodos para selecionar uma amostra são:
4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
 Métodos de amostragem casual (Probabilística)
 A probabilidade de um elemento ser escolhido é conhecida.
 São os métodos que permitem generalizar com confiança,
para a população, os resultados obtidos a partir da amostra.
 Permitem obter amostras representativas.
 Métodos de amostragem não-casual ( não probabilística)
 Não se conhece a probabilidade de um elemento da população
ser escolhido para participar a amostra.
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Tipos de método de amostragem casual (Probabilística):
Amostragem Aleatória Simples:
 Todos os elementos da população tem a mesma probabilidade
de pertencer à amostra.
 As duas técnicas mais utilizadas para escolher uma amostra
aleatória simples são:
Técnica da Lotaria: O investigador atribui um número a cada um
dos casos da população, escreve os números em papelotes,
dobra-se e coloca-se numa caixa; os papeis são misturados e
retira-se n papéis da caixa onde n é o tamanho da amostra
desejada.
4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Técnica de Números Aleatórios: Identifica e defini a população;
determina o tamanho desejável da amostra; atribui um número a
todos os indivíduos da população; seleciona-se através da tábua
de números aleatórios a amostra pretendida.
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem Aleatória Sistemática:
Os elementos da população apresentam-se ordenados e são
retirados periodicamente ( de cada K elementos um é
escolhido).
𝑘 =
𝑁
𝑛
K = Intervalo de Amostragem
N = População ( números total de indivíduos da população)
N = Amostra ( números total de indivíduos da amostra)
Exemplos: as casas e prédios de uma rua, os funcionários de uma
empresa, as linhas de produção, listas de alunos etc
4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem Aleatória Estratificada:
 Usado quando a população se pode dividir em sub populações
homogéneas e aleatórias.
 Os estratos identificados numa dada população (variáveis de
estudo) estão representados na amostra na mesma proporção
com que existem na população.
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem Aleatória Estratificada:
Exemplo:
4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem Aleatória Estratificada:
Estrato de 10% da população
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem aleatória por conglomerados:
 Usada quando a população pode ser dividida em grupos
homogêneos selecionados aleatoriamente.
 A amostragem é feita a partir dos grupos e não dos indivíduos
da população
4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem não-casual ( não probabilística):
 Não se conhece a probabilidade de um elemento da população
ser escolhido para participar na amostra.
 Dentro deste tipo de métodos os mais utilizados são:
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4 – Amostragem
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Amostragem não-casual ( não probabilística):
Amostragem por conveniência: É o método em que os casos
escolhidos são os que o investigador tem à sua disposição; este
método apresenta fortes limitações porque os resultados e as
conclusões só se aplicam à amostra assim construída, não
podendo ser generalizados com confiança para a população.
Amostragem por quotas: As características da população tais
com idade, sexo são amostras de forma não aleatória nas
mesmas proporções em que figuram na população.
5 – Probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Regras de probabilidade
A probabilidade P(A) é definida como a relação entre o número
de possíveis favoráveis do evento e todos os possíveis resultados
do experimento.
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
Sendo que:
A é o evento favorável;
n(A) é o número de elementos do evento favorável A;
n(S) é o número total de elementos do Universo (S).
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5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 8: Considere o lançamento de um dado. O espaço
amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qual a probabilidade de se obter
um número primo na face superior do dado?
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
3
6
= 0,5 = 50%
Exemplo 9: Considere o lançamento de duas moedas. Qual a
probabilidade de se obter duas caras na face superior das
moedas?
n(s)= CC, CK, KC, KK
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
1
4
= 0,25 = 25%
5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
IMPORTANTE: Como a menor probabilidade é zero e a
probabilidade máxima é 1 ou 100%, a probabilidade de um
evento favorável (A) qualquer é um número real, tal que:0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
___________________________________________________
Probabilidade da União
A probabilidade na união de dois eventos P(A) e P(B) ocorre
em:
 Eventos mutuamente exclusivos: 𝐴 ∩ 𝐵 = 0;
 Eventos não mutuamente exclusivos: 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 0
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5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Assim temos o seguinte modo para calcular:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Exemplo 10: No lançamento de um dado qual a probabilidade do
resultado ser um número par ou um número divisor de 6?
P(par) = {2, 4, 6} ; P(divisor de 6) = {1, 2, 3, 6} ; P(∩)= {2; 6}
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
3
6
+
4
6
−
2
6
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
5
6
5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade da Condicional
É a avaliação da probabilidade da ocorrência um evento (A)
condicionada à ocorrência de outro evento (B). Assim calcula-se
a probabilidade de ocorrer o evento (B) condicionada a
ocorrência do evento (A).
Notação: P(B/A) → “probabilidade de B condicionada a
ocorrência de A”
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
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5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 11: Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3,
..., 19, 20}, e, por meio de um sorteio aleatório, seja selecionado
um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a
probabilidade de o número sorteado ser o número 13?
Evento (A) = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
n(A) = 10
Evento (B) = {13}
n(B) = 1
Evento (A∩B) = {13}
n(A∩B) = 1
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
=
1
10
= 10%
5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade de eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a realização (ou não) de
um evento não interfere na ocorrência (ou não) do evento
seguinte.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵)
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5 – Regras de probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 12: São retiradas, com reposição, suas cartas de um
baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas cartas
sejam de ouros, ou seja, a primeira carta ser de ouros e a segunda
carta ser de ouros.
n(S) = 52
n(ouros) = 13
𝑃 𝐴 =
13
52
; 𝑃 𝐵 =
13
52
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
13
52
.
13
52
=
1
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5 – Revisão de Análise Combinatória
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Fatorial
𝑛! = 𝑛 . 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 .… . 4.3.2.1
Exemplo 13: 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
___________________________________________________
Arranjo
𝐴𝑛,𝑟 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Exemplo 14: 𝐴7,5 =
7!
7−5 !
=
7!
2!
=
7.6.5.4.3.2!
2!
= 2520
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5 – Revisão de Análise Combinatória
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Combinação
𝐶𝑛,𝑟 =
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑟!. 𝑛 − 𝑟 !
Exemplo 15: 𝐶4,2 =
4!
2!. 4−2 !
=
4!
2! .2!
=
4.3.2!
2! .2.1
= 6
___________________________________________________
Permutação
𝑃𝑛
𝑟,𝑠 =
𝑛!
𝑟! . 𝑠!
5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 16: Algumas situações envolvendo probabilidade
devem ser analisadas através da multiplicação entre eventos
independentes. Por exemplo, supondo que uma pessoa lance
uma moeda 8 vezes sucessivamente esperando obter 6 caras (C)
e 2 coroas (K). Sabendo que a probabilidade de sair C ou K são
iguais e equivalentes a ½, temos que:
P = P(C). P(C). P(C). P(C). P(C). P(C). P(K). P(K).
P = P(C)6 . P(K)2
𝑃 =
1
2
6
.
1
2
2
𝑃 =
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
256
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5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Porém, os resultados podem ser originados de várias maneiras e,
dessa forma, o número de sequência será dado por uma
permutação de 8 elementos, com 6 repetições de Cara (C) e 2 de
Coroa (K). Veja a quantidade de permutações:
𝑃8
6,2 =
8!
6! . 2!
=
8.7.6!
6! . 2.1
=
8.7
2
= 27
A probabilidade será dada pelo produto entre o número de
permutações e a probabilidade dos resultados. Veja:
27 .
1
256
=
27
256
≅ 0,105 ≅ 10,5%
5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
O cálculo do exemplo 16 pode ser resumido da seguinte forma:
𝑃 =
8
6
.
1
2
6
.
1
2
2
__________________________________________________
A distribuição binomial é um dos modelos de
distribuição discreta de probabilidade e baseia-se no processo de
amostragem de Bernoulli. Bernoulli estabeleceu um processo de
amostragem para a realização de um experimento em que o
resultado possa ser um “sucesso” ou um “fracasso”. “Sucesso”
quando acontece o evento de interesse e “fracasso” quando o
evento não se realiza.
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5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
A função f(x) que expressa a probabilidade P(x) de que um
evento realize-se x vezes em n tentativas é:
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 =
𝑛
𝑥
. 𝑝𝑥 . 𝑞𝑛−𝑥
Sendo:
p = a probabilidade de “sucesso”
q = a probabilidade de “fracasso” → q = 1 – p
n = número total de tentativas independentes
x = número de vezes que ocorreu o “sucesso”
5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exemplo 17: Uma moeda é lançada 6 vezes, calcule a
probabilidade de:
a) Ocorrer 4 coroas.
Tem-se que n = 6 ; p = ½ e q = ½ e x é o número de coroas
(sucesso), assim:
𝑃 𝑥 = 4 =
6
4
.
1
2
4
.
1
2
6−4=2
𝑃 𝑥 = 4 =
6!
4! . 2!
.
1
16
.
1
4
=
15
64
≅ 0,23 ≅ 23%
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5 – Distribuição binomial
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
b) Ocorrer no máximo 2 coroas.
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2
𝑃 𝑥 ≤ 2 =
6
0
.
1
2
0
.
1
2
6−0=6
+
6
1
.
1
2
1
.
1
2
6−1=5
+
6
2
.
1
2
2
.
1
2
6−2=4
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 1.1.
1
64
+ 6.
1
2
.
1
32
+ 15.
1
4
.
1
16
𝑃 𝑥 ≤ 2 =
1
64
+
3
32
+
15
64
=
22
64
≅ 0,344 ≅ 34,4%
5 – Probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exercícios de Fixação
1) São lançados dois dados não viciados, liste os espaço amostral (todos os
resultados possíveis) e calcule a probabilidade de:
a) Obter um par de pontos iguais.
b) Obter um par de pontos onde o primeiro é maior que o segundo.
c) A soma dos pontos ser 13.
d) Obter soma 10, sabendo que o par de pontos é igual.
2) Um lote de 30 passagens é formado por 20 passagens para Belém, 8 para
Manaus e 2 para Natal. Seleciona-se uma passagem ao acaso. Calcule a
probabilidade para que:
a) A passagem seja para Manaus.
b) A passagem não seja para Belém.
c) A passagem seja para Belém ou Natal.
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5 – Probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exercícios de Fixação
3) Num grupo de 300 empresários cadastrados por uma agência de viagens,
100 visitarão Fortaleza e 80 visitarão Manaus e o restante de empresários
visitarão outras cidades. Se 30 empresários visitarão as duas cidades, ou seja,
visitarão tanto Fortaleza como Manaus, calcule a probabilidade de uma
empresário aleatoriamente escolhido visitar:
a) Fortaleza.
b) Manaus;
c) Fortaleza ou Manaus.
4) Numa caixa existem 20 peças, sendo 14 boas e 6 com pequenos defeitos.
Calcule a probabilidade de se selevionarem aleatoriamente duas peças (sem
reposição) e estas serem:
a) Uma boa e a outra com pequenos defeitos.
b) As duas boas
c) As duas com pequenos defeitos.
5 – Probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Exercícios de Fixação
5) Numa empresa, de cada 100 peças vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro,
Na venda de 6 peças:
a) Qual a probabilidade de que 4 sejam para o Rio de Janeiro?
b) Qual a probabilidade de quenenhuma seja para o Rio de Janeiro?
c) Qual a probabilidade de que no máximo 3 sejam para o Rio de Janeiro?
d) Qual a probabilidade de que no 4 ou mais peças seja par ao Rio de
Janeiro?
6) O grêmio de uma empresa formou dois times: A e B. Os times jogaram oito
vezes entre si e não houve empate. Calcule a probabilidade de:
a) O time A ganhar seis vezes.
b) O time A não ganhar nenhuma das partidas.
c) O time A ganhar uma única vez,
d) O time A ganhar pelo menos 6 vezes.