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Universidade Federal de São João Del-Rei
Departamento de Matemática e Estatística
Lista 2 - Cálculo Vetorial
Prof.- wilman@ufsj.edu.br
1) Mostrar que a curva definida por
~f(t) =
(1
2
sen t,
1
2
cos t,
√
3
2
)
está sobre a esfera unitária com centro na origem. Determinar o vetor
tangente a essa curva no ponto P (0, 1
2
,
√
3
2
).
2) Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
t. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
a)r(t) = (2 cos t, 5sent, 3); t = pi/4 b)r(t) = (et, e−2t); t = ln 2.
3) Uma partícula se move ao longo da curva C1 definida por
α(t) = (t2, t3), t ∈ R e uma partícula P2 se move ao longo da curva C2
definida por β(t) = (cos(2t),
√
2 cos2 t− 1), t ∈ [0, pi/4].
a) Determine as equações cartesianas das curvas acima.
b) Determine as equações paramétricas da reta tangente á curva α, no
ponto (4, 8).
4) Dada a função f(x, y) =
√
5− 25x2 + 5y2
a) Determine uma parametrização para a curva C obtida pela interseção
de S (gráfico de f) com o plano y = 3.
b) Determine as equações paramétricas da reta tangente C no ponto
(1, 3, 5).
5) No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por
r(t) = (t2, 2
√
t, 4
√
t3).
a) Determinar um vetor tangente á trajetória da partícula no ponto
P (1, 2, 4).
b) Determinar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para
t = 4.
6) Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)~r(t) = (et cos t, et sen t, et), 0 ≤ t ≤ 1. b)~r(t) = (t, 3t3, 6t3), 0 ≤ t ≤ 2.
c)~r(t) = (a coswt, a sen wt, bwt), t ∈ [t0, t1]. d)~r(t) = (2t, t2, ln t) entre (2, 1, 0) e (4, 4, ln 2).
e)y = x3/2, z = 0 de P0(0, 0, 0) a P1(4, 8, 0). f)x = t3, y = t2 1 ≤ t ≤ 3.
1
7) Escrever a função comprimento de arco de:
a)r(t) = (sen t
2
, cos t
2
, 2t) b)r(t) = (cos 2t, sen2t, 4)
c)r(t) = (cos3 t, sen3t, 3
4
cos 2t) d)r(t) = (a cos3 t, asen3t) t ∈ [0, pi/2].
8) Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a)r(t) = (
√
2 cos t,
√
2sent), t ∈ [0, 2pi] b)r(t) = (3t− 1, t− 2)
c)r(t) = (cos 2t, sen2t, 2t), d)r(t) = (et cos t, etsent, et)
9) Verificar que as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento
de arco:
a)r(s) = ( s√
7
,
√
6
7
s), s ≥ 0. b)q(s) = (a cos( s
c
), a sen ( s
c
), b s
c
)
onde c2 = a2 + b2. c)h(s) = (2 cos s, 2 sen s) s ∈ [0, 2pi].
10) Considere a curva C parametrizada por σ(t) = (3 cos(2t), 2t, 3 sen (2t))
onde 0 ≤ t ≤ 4pi.
a) Calcule o comprimento de arco da curva C.
b) Dê uma parametrização para a reta tangente a curva C no ponto
P0 = (3, 2pi, 0).
c) Suponha que σ(t) é o vetor posição de uma partícula no instante t.
Mostre que en qualquer instante t o vetor aceleração A(t) é perpendicular ao
vetor velocidade V (t).
Gabarito:
1)(1
2
, 0, 0) 2)a)v(t) = (−2sent, 5 cos t); a(t) = (−2 cos t,−5sent)
|v(pi/4)| =
√
29
2
; |a(pi/4)| =
√
29
2
b)v(t) = (et,−2e−2t); a(t) = (et, 4e−2t)
|v(ln 2)| =
√
17
2
; |a(ln 2)| = √5.
3)a) A equação cartesiana para C1 é: x3 = y2. Para C2 é: y =
√
x.
b) As equações paramétricas da reta tangente é: x(λ) = 4 + 4λ
y(λ) = 8 + 12λ, λ ∈ R.
4)a)r(t) = (
√
2 cos t, 3, 5
√
2sent), 0 ≤ t ≤ 2pi.
b)Lt : X(λ) = (1, 3, 5) + λ(−1, 0, 5), λ ∈ R.
5)a)r′(4) = (2, 1, 6). b)r(4) = (16, 4, 32); v(4) = (8, 1/2, 12); a(4) = (2,−1/16, 3/2).
6)a)l =
√
3(e− 1) b)l = 50 c)l = w(t1 − t0)
√
a2 + b2 d)l = 3 + ln 2.
e)l = 8
27
(103/2 − 1) f)l = 1
27
(853/2 − 133/2)
7)a)s(t) =
√
17
2
t b)s(t) = 2t c)s(t) = 3
√
2
2
sen2t d)s(t) = 3a
2
sen2t.
8)a)r(s) =
(√
2 cos s√
2
,
√
2 sen s√
2
)
b)r(s) = ( 3s√
10
− 1, s√
10
+ 2)
c)r(s) =
(
cos s√
2
, sen s√
2
, s√
2
)
e)r(s) = ( s+
√
3√
3
cos(ln s+
√
3√
3
), s+
√
3√
3
sen (ln s+
√
3√
3
), s+
√
3√
3
)
9)a)Sim b)Sim c)Não.
10)a)l = 8pi
√
10 b)x(λ) = 3, y(λ) = 2pi + 2λ, z(λ) = 6λ, λ ∈ R.
c)Basta mostrar que: A(t).V (t) = 0.
2