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I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - Notas de Aula de Cálculo Derivadas Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Po�al 30 de junho de 2013 I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP N o : 033128/2012 - coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana Po�al com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira. 1 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - Sumário 1 Derivadas de Funções Reais de uma Variável 3 1.1 O Problema da Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 De�nição de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Taxa de variação média e instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Derivadas laterais em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Regras Básicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Derivada de Função Composta - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Derivada da potência de uma função . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.2 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.3 Derivadas de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - Capítulo 1 Derivadas de Funções Reais de uma Variável Neste capítulo, estuda-se o coneito de derivada de uma função real de uma variável. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Para melhor compreender a de�nição de derivada, abordam-se três problemas do Cálculo que envolvem variação e movimento: • O problema da reta tangente; • O problema da velocidade e da aceleração; • O problema de máximos e mínimos. Tais problemas são de�nidos a partir do conceito de limite que foi abordado ante- riormente. 1.1 O Problema da Reta Tangente O objetivo desta seção é entender o que signi�ca dizer que uma reta é tangente a uma curva em um determinado ponto P . Primeiro, considera-se que esta curva seja uma circunferência. Nestecaso, a reta tangente no ponto P é a reta perpendicular à radial que passa por P (observe Figura 1.1 a)). Para uma curva qualquer esta caracterização é mais difícil (observe Fi- gura 1.1 (b-d)). 3 I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE (a) (b) (c) (d) Figura 1.1: Retas tangentes à f(x) no ponto P . O problema em determinar a reta tangente em um ponto P consiste, basicamente, na determinação da inclinação (ou declividade) da reta procurada. Esta inclinação pode ser aproximada utilizando-se uma reta que passa pelo ponto de tangência e por outro ponto pertencente à curva. Tal reta é chamada de reta secante. Sejam P e Q dois pontos pertencentes ao grá�co da função f(x). Fazendo Q aproximar-se de P (Figura 1.2(a)), podem ocorrer duas situações: Situação 1) A reta PQ tende a duas posições limites, t1 e t2, obtidas respectiva- mente ao fazer o ponto Q se aproximar de P pela esquerda e pela direita. Neste caso, a reta tangente ao grá�co não existe. A Figura 1.2(c) ilustra esta situação onde P (x0, f(x0))é um ponto anguloso (bico) no grá�co da função. Situação 2) a reta PQ tenda a uma única posição limite t. Neste caso, a reta t é chamada de reta tangente ao grá�co da função f(x) no ponto P , desde que ela não seja vertical. É importante salientar que o ponto Q deve aproximar-se de P tanto 4 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE pela esquerda quanto pela direita, e em ambos casos a reta PQ deve tender à reta t. Nas Figuras 1.2(a) e 1.2(b), mostram-se instantâneos de Q escorregando ao longo do grá�co de f(x), em direção à P pela esquerda 1.2(a) e pela direita 1.2(b). (a) (b) (c) Figura 1.2: Retas secantes à f(x) no ponto P . Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos da curva y = f(x), então a decli- vidade da reta secante que passa por estes dois pontos é escrita como: msec = y2 − y1 x2 − x1 . Outras notações podem ser utilizadas para representar a declividade da reta secante, a saber: msec = f(x2)− f(x1) h onde h = x2 − x1. Ou, msec = f(x1 +∆x)− f(x1) ∆x . (1.1.1) Observação 1.1.1. Note que ∆y ∆x representa a inclinação da reta secante (que intercepta a curva nos pontos P e Q). Se ∆x é muito pequeno, isto é, ∆x → 0, 5 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE Figura 1.3: Cálculo da declividade. então o ponto Q tende para o ponto P e a inclinação da reta secante PQ, tende a inclinação mtg da reta tangente a função f no ponto P . De�nição 1.1.1. Se P (x1, y1) é um ponto da função f , então a reta tangente ao grá�co de f em P é de�nida como a reta que passa por P com declividade (coe�ciente angular) de�nida por mtg = lim h→0 f(x2)− f(x1) h , (1.1.2) desde que o limita exista. Pode-se escrever (1.1.2) como: mtg = lim h→0 f(x1 + h)− f(x1) h . Logo, se h = ∆x tem-se: mtg = lim ∆x→0 f(x1 +∆x)− f(x1) ∆x , (1.1.3) desde que o limita exista. Observe que as fórmulas (1.1.2) e (1.1.3) são maneiras de expressar a inclinação de uma reta tangente como um limite de inclinações de retas secantes. Importante: A equação de uma reta não vertical que passa pelo ponto P (x1, y1) com coe�ciente angular m pode ser escrita como: y − y1 = m(x− x1). (1.1.4) Cálculo da Inclinação da Reta Tangente Fazer Q se aproximar de P , corresponde a fazer ∆x tender a zero. Assim, a reta secante tende à reta tangente, e a inclinação da reta secante msec tende à 6 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I ME F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE inclinação da reta tangente mtg: mtg = lim ∆x→0 msec = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x . (1.1.5) Exemplo 1.1.1. Sendo f(x) = x2, calcule a inclinação da reta tangente ao grá�co da função f(x) no ponto de abscissa 5. Solução: A inclinação da reta tangente é dada pela equação (1.1.5). O ponto da curva f(x) = x2, cuja abscissa é 5, é o ponto P (5, f(5)) = (5, 25). Desse modo, se f(x) = x2, para determinar a inclinação da curva no ponto (5,25), escreve-se: f(x+∆x) = (x+∆x)2 = x2 + 2x∆x+ (∆x)2. (1.1.6) Substituindo a equação (1.1.6) na equação (1.1.5) tem-se: mtg = lim ∆x→0 x2 + 2x∆x+ (∆x)2 − x2 ∆x = lim ∆x→0 ∆x(2x+∆x) ∆x mtg = lim ∆x→0 ��∆x(2x+∆x) ��∆x . Como ∆x tende a zero, a inclinação da reta tangente pode ser represen- tada por: mtg = 2x. (1.1.7) Para x = 5, mtg = 2x = 2 · (5) = 10. Portanto, a inclinação da reta tangente ao grá�co de f(x) = x2 em x = 5 é mtg = 10. Cálculo da Inclinação da Reta Normal De�nição 1.1.2. Chama-se reta normal a uma curva num ponto P (x0, f(x0)), a reta perpendicular à reta tangente neste ponto. A equação da reta normal é escrita como: y − f(x0) = − 1 mtg (x− x0),mtg 6= 0. (1.1.8) 7 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE Exemplo 1.1.2. Sendo f(x) = x3 + 2x, escreva a equação da reta tangente e da reta normal ao grá�co de f(x) no ponto de abscissa 1. Solução: O ponto pertencente à curva f(x) = x3 + 2x, cuja a abscissa é 1, é o ponto P (1, f(1)) = (1, 3). A equação da reta tangente em um ponto (x0, y0) é representada pela equação (1.1.4). Se f(x) = x3 + 2x, então: f(x+∆x) = (x+∆x)3 + 2(x+∆x) = x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + 2x+ 2∆x. (1.1.9) Substituindo a equação (1.1.9) na equação (1.1.5) tem-se: mtg = lim ∆x→0 x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + 2x+ 2∆x− x3 − 2x ∆x = lim ∆x→0 ��x 3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 +��2x+ 2∆x�� �−x3���−2x ∆x = lim ∆x→0 ��∆x(3x2 +∆x+∆x2 + 2) ��∆x mtg = lim ∆x→0 (3x2 +∆x+∆x2 + 2). Como ∆x tende a zero, escreve-se a inclinação da reta tangente como mtg = 3x 2 + 2. (1.1.10) Logo, para x = 1, mtg = 3 · (1)2 + 2 = 5. Utilizando a equação (1.1.4) é possível escrever a equação da reta tan- gente à curva f(x) = x3 + 2x no ponto P (1, 3), como: y − y0 = mtg(x− x0) y − 3 = 5(x− 1) y − 3 = 5x− 5 5x− y − 2 = 0. Portanto, a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) é 5x−y−2 = 0. A equação da reta normal à curva f(x) = x3 + 2x no ponto P (1, 3) é 8 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA escrita como y − f(x0) = − 1 mtg (x− x0) y − 3 = −1 5 (x− 1) y − 3 = −1 5 x+ 1 5 1 5 x+ y − 3− 1 5 = 0 x+ 5y − 16 = 0. POrtanto, a reta normal à curva f(x) é x+ 5y − 16 = 0. 1.2 De�nição de Derivada De acordo com a seção anterior, para calcular a inclinação da reta tan- gente ao grá�co de f(x) no ponto P (x0, f(x0)) procede-se da seguinte forma: 1) Toma-se um ponto Q(x0+∆x, f(x0+∆x)) do grá�co da função f(x), distinto de P . 2) Calcula-se ∆f = f(x0 +∆x) − f(x0) e obtém-se a inclinação da reta secante ao grá�co da função f(x) que passa pelos pontos P e Q: mPQ = msec = f(x0 +∆x)− f(x0) ∆x . (1.2.1) (O lado direito de (1.2.1) é chamado de quociente de Newton). 3) Aproxima-se o ponto Q do ponto P , fazendo-se ∆x tender a zero. Então a reta secante tenderá à reta tangente ao grá�co de f(x) no ponto P (x0, f(x0)), de modo a obter-se: mtg = lim ∆x→0 mPQ = lim ∆x→0 f(x0 +∆x)− f(x0) ∆x . De�nição 1.2.1. A derivada de uma função f(x) no ponto de abscissa x = x0 é de�nida como o número f ′(x0) = lim ∆x→0 f(x0 +∆x)− f(x0) ∆x , (1.2.2) supondo que o limite exista. Quando o limite (1.2.2) existir,diz-se que a função é derivável em x = x0. 9 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA Pode-se pensar em f ′ como uma função cuja entrada é o número x0 e cuja saída é o valor f ′(x0) que representa a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abcissa x = x0. Portanto, ao substituir-se x0 por x em (1.2.2), tem-se f ′(x), ou seja, a derivada da função f em relação à variável x e é de�nida por, f ′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x . (1.2.3) O processo para calcular uma derivada é chamado derivação ou diferen- ciação. Notações para a derivada: Existem diversas maneiras de representar a derivada de uma função y = f(x), onde a variável independente é x e a dependente é y. Algumas das nota- ções mais usuais para a derivada são: Notação �linha� (Joseph Lagrange): f ′(x), y′, f ′(x) = y′ Notação de Leibniz: dy dx , df dx , d dx [f(x)] Notação de operador: Dx[y]. Para indicar o valor de uma derivada em um determinado ponto x = x0, utiliza-se a notação f ′(x0) = dy dx ∣∣∣ x=x0 = df dx ∣∣∣ x=x0 = d dx f(x) ∣∣∣ x=x0 . Exemplo 1.2.1. Mostre que a derivada de f(x) = x2 + 3x é f ′(x) = 2x+ 3. Solução: Sabendo que f(x) = x2 + 3x, deve-se mostrar que f ′(x) = 2x+ 3. Para isso aplica-se a de�nição de derivada, representada pela equação 10 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA (1.2.2). Primeiramente deve-se calcular f(x+∆x): f(x+∆x) = (x+∆x)2 + 3(x+∆x) f(x+∆x) = x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x. (1.2.4) Substituindo a equação (1.2.4) em (1.2.2), tem-se: f ′(x) = lim ∆x→0 x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x− [x2 + 3x] ∆x = lim ∆x→0 x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x− x2 − 3x ∆x = lim ∆x→0 ��x 2 + 2x∆x+ (∆x)2���+3x+ 3∆x�� �−x2���−3x ∆x = lim ∆x→0 2x∆x+ (∆x)2 + 3∆x ∆x = lim ∆x→0 ∆x(2x+∆x+ 3) ∆x = lim ∆x→0 ��∆x(+2x+∆x+ 3) ��∆x f ′(x) = lim ∆x→0 2x+∆x+ 3. Como ∆x tende a zero, a derivada de f(x) = x2 + 3x é f ′(x) = 2x+ 3. Exemplo 1.2.2. Aplicando a de�nição, determine a derivada das funções: a) f(x) = eax Solução: Sabendo que f(x) = eax e aplicando (1.2.2), tem-se: f ′(x) = lim ∆x→0 eax+a∆x − (eax) ∆x = lim ∆x→0 eax(ea∆x − 1) ∆x f ′(x) = lim ∆x→0 eax · lim ∆x→0 ( ea∆x − 1) a a∆x . Como lim ∆x→0 ea∆x − 1 a∆x é o limite fundamental exponencial, tem-se: f ′(x) = eax · ln e · a f ′(x) = eax · a. b) g(x) = sen(ax). Solução: 11 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA Seja g(x) = sen(ax), aplicando (1.2.2), tem-se: g′(x) = lim ∆x→0 sen(ax+ a∆x)− sen(ax) ∆x . (1.2.5) Utilizando a identidade trigonométrica: sen(ax+ a∆x) = sen(ax) cos(a∆x) + cos(ax)sen(a∆x), reescreve-se a equação (1.2.5) como: g′(x) = lim ∆x→0 sen(ax) cos(a∆x) + cos(ax)sen(a∆x)− sen(ax) ∆x Aplicando as propriedades para o cálculo de limites: g′(x) = lim ∆x→0 sen(ax)[cos(a∆x)− 1] ∆x + lim ∆x→0 cos(ax)sen(a∆x) ∆x = − lim ∆x→0 1− cos(a∆x) ∆x ( lim ∆x→0 sen(ax) ) + ( lim ∆x→0 cos(ax) ) lim ∆x→0 sen(a∆x) ∆x e os limites fundamentais, tem-se: g′(x) = 0 · sen(ax) + cos(ax) · a. Portanto a derivada da função g(x) é representada por: g′(x) = a cos(ax). Exemplo 1.2.3. Considere a função m(x) = √ x, determine: a) a derivada de m(x). b) a inclinação da reta tangente a m(x) em x = 9. c) os limites de m′(x) quando x→ 0+ e x→ +∞. d) a equação da reta normal no ponto de ordenada 1. Exercício 1.2.1. Determine a derivada de f(x) = cos(ax) pela de�nição. Resposta do exercício1.2.1. f ′(x) = −a · sen(ax) 12 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA Teorema 1.2.1. (Forma alternativa para a derivada): Seja f : R→ R uma função e x0 ∈ D(f). Então: f ′(x0) = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 , desde que o limite exista. Se o limite não existir ou for in�nito, diz-se que a função f não tem derivada em x0. Demonstração: A derivada de f(x) em x = x0 é dada por: f ′(x0) = lim ∆x→0 f(x0 +∆x)− f(x0) ∆x . Se x = x0 +∆x, então x→ x0 quando ∆x→ 0. Logo, substituindo x0 +∆x por x, obtém-se: f ′(x0) = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 . (1.2.6) 1.3 Taxa de variação média e instantânea O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função. Em nosso dia-a-dia, pode-se pensar muitas vezes na taxa de variação de certas grandezas, como por exemplo, a taxa de variação do crescimento de uma certa população, ou a taxa de variação da temperatura num dia especí�co, ou ainda, a velocidade de corpos ou objetos em movimento. A velocidade, por exemplo, pode ser entendida como uma taxa de variação: a taxa de variação da posição (s) em função do tempo (t). Considere um ponto móvel deslocando-se ao longo de uma reta, de modo que sua posição seja determinada por uma única coordenada s (observe a Figura 1.4). Figura 1.4: Posição do objeto O movimento é totalmente conhecido quando se sabe a localização do ponto móvel em cada momento, isto é, uma vez conhecida a posição s como uma 13 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA função do tempo t : s = f(t). O tempo é normalmente medido a partir de algum instante inicial, em geral este instante é t = 0. A ideia de velocidade está presente no cotidiano das pessoas, como um número que mede a taxa na qual uma distância está sendo percorrida. Frequente- mente também estudam-se velocidades médias. Se um carro percorre a distância de 480 km em 6 horas, então a velocidade média é de 80 km/h. A velocidade média vm é obtida calculando-se vm = ∆s ∆t , onde ∆s é a distância percorrida e ∆t é o intervalo de tempo gasto. Para determinar a velocidade do objeto num dado instante t, considera-se um intervalo de tempo ∆t = [t1, t2], onde t1 = t e t2 = t+∆t e o objeto deslocando- se da posição inicial s1 = f(t) até a posição �nal s2 = f(t+∆t). A velocidade média nesse intervalo é o quociente: vm = s2 − s1 t2 − t1 = ∆s ∆t . (1.3.1) Para valores pequenos de ∆t, o valor da velocidade média aproxima-se da velocidade exata v, no começo do intervalo, isto é, v ∼= ∆s ∆t , onde ∼= lê-se: �é aproximadamente igual a�. Além disso, quanto menor o valor de ∆t, melhor a aproximação para a velocidade v. Assim tem-se v = lim ∆t→0 ∆s ∆t v = lim ∆t→0 s2 − s1 ∆t v = lim ∆t→0 f(t+∆t)− f(t) ∆t . (1.3.2) A velocidade v é conhecida como velocidade instantânea. Nessa termi- nologia, a velocidade é simplesmente a taxa de variação da posição com relação ao tempo. Pode-se ainda de�nir a aceleração de um móvel como uma taxa de vari- ação de sua velocidade em relação ao tempo t, ou seja, a = lim ∆t→0 ∆v ∆t . (1.3.3) Exemplo 1.3.1. Determine a velocidade e a aceleração no instante t = 1 e t = 2 de um objeto em queda livre cuja função posição é dada por s(t) = −16t2 + 100, onde s está medido em metros e t em segundos. Calcule também a velocidade média no intervalo [1,2]. 14 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA Solução: A velocidade média do objeto no intervalo de tempo entre t = 1 e t = 2é dada por: vm = s(2)− s(1) 2− 1 . Como s(t) = −16t2 + 100, tem-se: vm = [−16(2)2 + 100]− [−16(1)2 + 100] 2− 1 vm = (−64 + 100)− (−16 + 100) 1 vm = 36− 84 1 vm = −48 m/s. Para determinar o valor da velocidade do objeto no instante t = 1s, primeiramente, calcula-se s(t+∆t). Para s(t) = −16t2 + 100, tem-se s(t+∆t) igual a s(t+∆t) = −16(t+∆t)2 + 100 = −16[t2 + 2t∆t+ (∆t)2] + 100 s(t+∆t) = −16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2 + 100. (1.3.4) Substituindo a equação (1.3.4) na equação (1.1.5), tem-se: v(t) = lim ∆t→0 −16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2 + 100− [−16t2 + 100] ∆t = lim ∆t→0 ����−16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2���+100����+16t2���−100 ∆t = lim ∆t→0 −32t∆t− 16(∆t)2 ∆t = lim ∆t→0 ∆t(−32t− 16∆t) ∆t = lim ∆t→0 ��∆t(−32t− 16∆t) ��∆t v(t) = lim ∆t→0 −32t− 16(∆t). Calculando-se o limite quando ∆t tende a zero, tem-se: v(t) = −32t. Portanto, no instante t = 1s, a velocidade instantânea é v(1) = −32(1) = −32 m/s. 15 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA E para o instante t = 2s, a velocidade instantânea é igual a v(2) = −32(2) = −64 m/s. A aceleração em um instante de tempo t é de�nida como a(t) = lim ∆t→0 v(t+∆t)− v(t) ∆t , para v(t) = −32t, tem-se v(t+∆t) = −32(t+∆t) v(t+∆t) = −32t− 32∆t. (1.3.5) Substituindo a equação (1.3.5) em (1.1.5), tem-se: a = lim ∆t→0 −32t− 32∆t− (−32t) ∆t = lim ∆t→0 ���−32t− 32∆t���+32t ∆t = lim ∆t→0 −32��∆t ��∆t a = −32. Desse modo, a(t) = −32m/s2, ou seja, a aceleração é constante durante o movimento. Portanto, nos instantes t = 1s e t = 2s, a aceleração é de −32m/s2. Exemplo 1.3.2. A área de um círculo está relacionada com seu diâmetro pela equação A = pi 4 D2. Calcule a taxa na qual a área varia em relação ao diâmetro, quando o diâmetro é igual a 10 m. Solução: Deseja-se determinar a que taxa a área muda em relação ao diâmetro, isto é, dA dD . Se A = pi 4 D2, então A(D +∆D) será: A(D +∆D) = pi 4 (D +∆D)2 = pi 4 [D2 + 2D∆D + (∆D)2] A(D +∆D) = pi 4 D2 + pi 2 D∆D + pi 4 (∆D)2. (1.3.6) 16 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA A variação da área em relação ao diâmetro pode ser calculada como: dA dD = lim ∆D→0 A(D +∆D)− A(D) ∆D . (1.3.7) Substituindo a equação (1.3.6) na equação (1.3.7), tem-se: dA dD = lim ∆D→0 pi 4 D2 + pi 2 D∆D + pi 4 (∆D)2 − pi 4 D2 ∆D = lim ∆D→0 � ��pi 4 D2 + pi 2 D∆D + pi 4 (∆D)2�� ��−pi 4 D2 ∆D = lim ∆D→0 pi 2 D∆D + pi 4 (∆D)2 ∆D = lim ∆D→0 ∆D(pi 2 D + pi 4 (∆D) ∆D = lim ∆D→0 �� �∆D(pi 2 D + pi 4 ∆D) �� �∆D dA dD = lim ∆D→0 pi 2 D + pi 4 ∆D. Como ∆D tende a zero, dA dD = pi 2 D. (1.3.8) logo para D = 10 m, tem-se: dA dD = pi 2 (10) dA dD = 5pi. Desse modo, a área varia em relação ao diâmetro a uma taxa de 5pi m. Exercício 1.3.1. Supõe-se que uma população de 25.000 indivíduos (no instante t = 0) cresce de acordo com a fórmula N(t) = 25.000 + 45t2, onde t é o tempo medido em dias. Determine: a) a taxa média de crescimento de t = 0 a t = 2; b) a taxa média de crescimento de t = 2 a t = 10; c) a taxa média de crescimento de t = 0 a 10; d) a taxa de crescimento em t = 2; e) a taxa de crescimento em t = 10. 17 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA Respostas do exercício a) 90 indivíduos/dia. b) 540 indivíduos/dia. c) 450 indivíduos/dia. d) 180indivíduos/dia. e) 900 indivíduos/dia. 1.3.1 Derivadas laterais em um ponto De�nição 1.3.1. Uma função y = f(x) tem derivada lateral à direita de um ponto de abscissa x = x0 se o limite lateral à direita de x = x0 f ′(x+0 ) = lim x→x+0 f(x)− f(x0) x− x0 , existir. Neste caso, diz que a função f é derivável à direita em x = x0. De�nição 1.3.2. Uma função y = f(x) tem derivada lateral à esquerda de um ponto de abscissa x = x0 se existir o limite lateral à esquerda de x0 da razão incremental: f ′(x−0 ) = lim x→x−0 f(x)− f(x0) x− x0 , existir. Neste caso, diz que a função f é derivável à esquerda em x = x0. Uma propriedade importante, que relaciona a derivada com as derivadas laterais de uma função f(x) em x = x0, a�rma que f é diferenciável em x0 se e somente se as derivadas laterais em x0 existem e são iguais. Neste caso, tem-se que f ′(x−0 ) = f ′(x+0 ) = f ′(x0). Exemplo 1.3.3. Mostre que a função f(x) = |x− 2| não possui derivada em x = 2. Exemplo 1.3.4. Veri�que se a função f(x) = sen(x) possui derivada em x = 0. Exercício 1.3.2. Mostre que a função m(x) = √ x não é derivável em x = 0. 18 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA Observação 1.3.1. Existência da derivada de uma função f(x) em um ponto P (x0, f(x0)). Uma função possui derivada em x = x0 se os coe�cientes angulares das retas secantes que passam por P (x0, f(x0)) e um ponto Q próximo no grá�co ten- derem a um limite à medida que Q se aproxima de P . Quando as retas secantes não atingem uma posição limite ou tornam-se verticais à medida que Q tende a P , a derivada não existe. Logo, a derivabilidade está ligada à suavidade do grá- �co da função. Uma função f(x) não tem derivada nos pontos em que seu grá�co apresentar: a) uma quina (as derivadas laterais são diferentes); b) um ponto cuspidal (o coe�ciente angular de PQ tende a +∞ de um lado, e a −∞, do outro); c) uma tangente vertical (o coe�ciente angular de PQ tende a +∞ ou a −∞, de ambos lados); d) uma descontinuidade. 19 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.4. DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 1.4 Diferenciabilidade e continuidade Teorema 1.4.1. Se a função f(x) é diferenciável em x = x0, então ela é contínua em x = x0. Demonstração: Pela hipótese, f(x) é diferenciável em x = x0, logo, lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 , existe e é igual a f ′(x0). Deve-se mostrar que f(x) é contínua em x = x0, isto é: lim x→x0 f(x) = f(x0). Para x 6= x0, tem-se f(x) − f(x0) = f(x)− f(x0) x− x0 · (x − x0), assim, calculando o limite para x tendendo a x0. lim x→x0 [f(x)− f(x0)] = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 · limx→x0(x− x0) lim x→x0 [f(x)− f(x0)] = f ′(x0) · 0 lim x→x0 [f(x)− f(x0)] = 0, (1.4.1) portanto: lim x→x0 f(x) = f(x0). Observação 1.4.1. Segue do Teorema 1.4.1 que se f(x) não for contínua em x = x0, então f(x) não poderá ser derivável em x = x0. Exemplo 1.4.1. Considere as funções f(x) = x2, x ≤ 12, x > 1 e g(x) = x2, x ≤ 11, x > 1 , responda: a) As funções f(x) e g(x) são contínuas em x = 1? b) As funções f(x) e g(x) são diferenciáveis em x = 1? Exemplo 1.4.2. Veri�que se a função f(x) = |x| é contínua e se possui derivada em x = 0. 20 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 1.5 Regras Básicas de Derivação Na seção anterior, de�niu-se a derivada de uma função f como um limite. Este limite pode ser utilizado para calcular derivadas de funções mais simples. Além disso, é um processo considerado cansativo mesmo para funções pouco complexas. Nesta seção,estudam-se algumas regras que permitem derivar uma grande variedade de funções de forma mais e�ciente e prática. Sejam c um número real, n um número racional, f(x) e g(x) funções diferenciáveis. 1. Derivada da função constante. Seja f(x) = c. A derivada da função constante é nula, isto é: df(x) dx = dc dx = 0. Geometricamente, pode-se a�rmar que a reta horizontal y = f(x) = c tem o coe�ciente angular igual a zero. Demonstração: Através da de�nição de derivada, tem-se: f ′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x f ′(x) = lim ∆x→0 c− c ∆x = 0. (1.5.1) Portanto, f ′(x) = 0 se f(x) = c. Exemplo 1.5.1. Calcule a derivada das seguintes funções em relação a x: a) f(x) = 9 b) g(x) = pi. Solução: a) Analisando a função f(x) = 9, percebe-se que 9 é uma constante. Portanto pela regra da derivada da função constante, a derivada da função f(x) é nula. b) Analisando a função g(x) = pi, percebe-se que pi é uma constante. Portanto pela regra da derivada da função constante, a derivada da função g(x) é nula. 21 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 2. Derivada da potência da função. Para qualquer constante racional n, a derivada da função f(x) = xn é dxn dx = nxn−1. Demonstração: Seja f(x) = xn. Utilizando a forma alternativa da de�nição de derivada dy dx = lim z→x f(z)− f(x) z − x , e a expansão zn − xn = (z − x)(zn−1 + zn−2x+ ...+ zxn−2 + xn−1), então: f ′(x) = lim z→x zn − xn z − x = lim z→x zn−1 + zn−2x+ zxn−2 + xn−1 f ′(x) = nxn−1. (1.5.2) Portanto, se f(x) = xn, então f ′(x) = nxn−1. Exemplo 1.5.2. Seja f(x) = x3. a) Determine a derivada de f(x). b) Escreva a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) no ponto de ordenada 8. Solução: a) Pela análise da função f(x) = x3, percebe-se que a potência de x é igual a 3 e pela regra da derivada da potência da função, com n = 3, tem-se: f ′(x) = 3 · x(3−1) = 3x2. b) O ponto de ordenada 8 tem abscissa 2. Logo, a inclinação da reta tangente é f ′(2) = 3.22 = 12 e a equação da reta tangente é escrita como y − 8 = 12(x− 2) y − 8 = 12x− 24 12x− y + 16 = 0. (1.5.3) 22 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 3. Derivada da multiplicação de uma função por uma constante. Seja c uma constante e u = f(x) uma função derivável em x, então: d dx [cf(x)] = cf ′(x). Demonstração: Pela hipótese, existe, f ′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x . Seja g uma função de�nida por g(x) = cf(x). Logo, tem-se que g′(x) = lim ∆x→0 g(x+∆x)− g(x) ∆x = lim ∆x→0 cf(x+∆x)− cf(x) ∆x = lim ∆x→0 c [ f(x+∆x)− f(x) ∆x ] = c lim ∆x→0 [ f(x+∆x)− f(x) ∆x ] g′(x) = cf ′(x). (1.5.4) Exemplo 1.5.3. Determine a derivada das seguintes funções em relação a x: a) f(x) = 4x 3 2 b) g(x) = 7x. Solução: a) Pela análise da função f(x) observa-se que c = 4 e u = f(x) = x 3 2 , logo u tem como potência 3 2 . Desse modo a derivada é igual a df(x) dx = 4 · ( 3 2 ) x 3 2 −1 = 6x 1 2 . b) Analisando a função g(x), observa-se que c = 7 e u = x, logo a derivada é igual a dg(x) dx = 7. 23 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 4. Derivada da função exponencial. Seja a função exponencial f(x) = ax, de�nida∀x ∈ R, a > 0, a 6= 1, então df(x) dx = d(ax) dx = ax · ln(a). Demonstração: Aplicando a de�nição de derivada, tem-se: f ′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x . Efetuam-se as devidas substituições: f ′(x) = lim ∆x→0 a(x+∆x) −ax ∆x f ′(x) = lim ∆x→0 ax(a∆x − 1) ∆x . (1.5.5) Sabe-se que lim ∆x→0 a∆x − 1 ∆x = ln(a),∀a > 0 e a 6= 1. Calculando o limite, pode-se reescrever (1.5.5) como: df(x) dx = f ′(x) = ax · ln(a) Logo, pode-se a�rmar que, se f(x) = ax então: f ′(x) = ax · ln(a). Caso particular: Derivada da função exponencial natural f(x) = ex. Se f(x) = ex, então df(x) dx = f ′(x) = ex · ln(e) = ex. Exemplo 1.5.4. Calcule a derivada de f(x) = 4ex. Solução: Aplicando-se as regras da derivada da multiplicação de uma função por uma constante seguida da derivada da função exponencial, tem-se: f ′(x) = 4 d(ex) dx = 4 · ex · ln e. (1.5.6) Portanto, a derivada da função f(x) = 4ex é f ′(x) = 4ex. 24 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 5. Derivada da soma algébrica. Sejam u = f(x) e v = g(x) duas funções de x, então: d(f ± g) dx = df dx ± dg dx . Demonstração: Através da de�nição de derivada, tem-se: d(f + g) dx = lim ∆x→0 [f(x+∆x) + g(x+∆x)]− [f(x) + g(x)] ∆x = lim ∆x→0 [f(x+∆x)− g(x)] + [g(x+∆x)− g(x)] ∆x = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x + lim ∆x→0 g(x+∆x)− g(x) ∆x d(f + g) dx = df dx + dg dx . (1.5.7) Exemplo 1.5.5. Calcule a derivada das funções: a) f(x) = 5x4 + 6x3 − 20 b) z(x) = 5x5 + √ x3 − x 35 c) g(x) = −1 3 x15 + 1√ x − 3 3 √ x . Solução: a) Analisando a função f(x) e considerando u = 5x4, v = 6x3 e p = −20. O cálculo de u′, v′ será feito aplicando a regra da derivada da função potência, logo tem-se: u′ = 20x3 v′ = 18x2 p′ = 0. Empregando-se (1.5.7) tem-se: f ′(x) = 20x3 + 18x2. b) Analisando z(x) e considerando u = 5x5, v = √ x3 e p = x 3 5 . O cálculo de u′, v′ e p′ será feito aplicando a regra da derivada da função potência, logo tem-se: u′ = 25x4 v′ = 3 √ x 2 25 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO p′ = 3 5 x− 2 5 . Por meio de (1.5.7) tem-se: z′(x) = 25x4 + 3 √ x 2 − 3 5 x− 2 5 . c) Analisando g(x) e considerando u = −1 3 x15, v = 1√ x e p = − 3 3 √ x . O cálculo de u′, v′ e p′ será feito por potências, logo tem-se: u′ = −5x14 v′ = −1 2 x− 3 2 p′ = −x− 43 . Por meio de (1.5.7) tem-se: g′(x) = −5x14 − 1 2 x− 3 2 − x− 43 . Exercício 1.5.1. Calcule a derivada das funções hiperbólicas: a) f(x) = senh(x) b) g(x) = cosh(x). Exercício 1.5.2. Em um experimento a massa M de glicose decresce de acordo com a fórmula M(t) = 4, 5− 0, 03t2, onde t é o tempo de reação em horas. Calcule: a) a taxa de reação em t = 0; b) a taxa de reação em t = 2; c) a taxa média de reação no intervalo de t = 0 a t = 2. Respostas 1.5.1. a) cosh(x) b) senh(x) 1.5.2. a) 0 b) −0, 12 c) −0, 06 6. Derivada do produto de funções. Sejam u = f(x) e v = g(x) funções de x, então: d(u · v) dx = u dv dx + v du dx . 26 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO Demonstração: Através da de�nição de derivada, em-se: d(f · g) dx = lim ∆x→0 f(x+∆x) · g(x+∆x)− f(x) · g(x) ∆x . Para transformar essa fração em uma equivalente que contenha ra- zões incrementais para as derivadas de f e g, efetua-se a subtração e adição de f(x+∆x)g(x) ao numerador. d(f · g) dx = = lim ∆x→0 f(x+∆x) · g(x+∆x)− f(x+∆x)g(x) + f(x+∆x)g(x)− f(x)g(x) ∆x = lim ∆x→0 [ f(x+∆x) g(x+∆x)− g(x) ∆x + g(x) f(x+∆x)− f(x) ∆x ] = lim ∆x→0 g(x+∆x) · lim ∆x→0 [ g(x+∆x)− f(x) ∆x + g(x) ] · lim ∆x→0 [ f(x+∆x)−f(x) ∆x ] À medida que ∆x tende a zero, f(x + ∆x) aproxima-se de f(x) logo: d(f · g) dx = f · dg dx + g · df dx . (1.5.8) Exemplo 1.5.6. Determine a derivada das seguintes funções: a) f(x) = x3ex b) g(x) = (x2 + 1) · 5x. Solução: a) Considerando u = x3 e v = ex, e aplicando a regra do produto de funções: d(u · v) dx = u dv dx + v du dx . Tem-se: d(u · v) dx = x3 · ex + ex · 3x2 = exx2(x+ 2) b) Considerando u = (x2 + 1) e v = 5x, e fazendo: d(u · v) dx = u dv dx + v du dx . Tem-se: d(u · v) dx = (x2 + 1) · 5x ln(5) + 2x · 5x 27 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO Exercício 1.5.3. Determine a derivada das funções abaixo de duas maneiras. a) f(x) = 35x101(x2 + 1) b) g(x) = 2x(x2 + 4) c) m(x) = (x2 + x) 2 ( 2 √ x− 3x). Resposta do exercício 1.5.3. a) f ′(x) = 35x100(103x2 + 101) b) g′(x) = 6x2 + 8 c) m′(x) = 1 2 ( 5x3/2 − 9x2 + 3x1/2 − 6x). 7. Derivada para o quociente de funções. Sejam u = f(x) e v = g(x) funções de x. Se u′ e v′ existem, então d dx (u v ) = v · u′ − u · v′ v2 , v 6= 0. (1.5.9) Exemplo 1.5.7. Obtenha as derivadas das funções: a) f(x) = x+ 1 2x+ 1 b) g(x) = x2 − 1 x2 + 1 c) h(x) = 8ex − 1 x2 + 1 d) v(x) = 10 √ 2 + log pi√ 3 + 1024 . Solução: a) Sejam u = x+ 1 e v = 2x+ 1, aplicando a regra da derivada para o quociente de funções: d dx (u v ) = (2x+ 1)(x+ 1)′ − (x+ 1)(2x+ 1)′ (2x+ 1)2 d dx (u v ) = (2x+ 1)− (2x+ 2) (2x+ 1)2 d dx (u v ) = (2x+ 1)− 2x− 2 (2x+ 1)2 d dx (u v ) = − 1 (2x+ 1)2 . 28 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA b) Para u = x2 − 1 e v = x2 + 1, aplicando a regra da derivada para o quociente de funções, tem-se d dx (u v ) = (x2 + 1)(x2 − 1)′ − (x2 − 1)(x2 + 1)′ (x2 + 1)2 d dx (u v ) = (x2 + 1)2x− (x2 − 1)2x (x2 + 1)2 d dx (u v ) = 2x3 + 2x− 2x3 + 2x (x2 + 1)2 d dx (u v ) = 4x (x2 + 1)2 c) Sejam u = 8ex−1 e v = x2+1 e aplicando a regra da derivada para o quociente de funções tem-se: d dx (u v ) = (x2 + 1)(8ex − 1)′ − (8ex − 1)(x2 + 1)′ (x2 + 1)2 = (x2 + 1)(8ex)− (8ex − 1)2x (x2 + 1)2 d dx (u v ) = 8exx2 + 8ex − 16xex + 2x (x2 + 1)2 1.6 Derivada de Função Composta - Regra da Ca- deia A regra da cadeia permite derivar funções complicadas utilizando deri- vadas de funções mais simples. Teorema 1.6.1. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas dy du e du dx existem, então a função composta f ◦ g possui derivada representada por dy dx = dy du · du dx (1.6.1) ou y′(x) = f ′(u) · g′(x). (1.6.2) Observação 1.6.1. Seja a função composta f ◦g, tal que (f ◦g)(x) = f [g(x)]. Neste caso, a função g pode ser chamada de �função interna� e f de �função externa�, devido às posições que ocupam na expressão f [g(x)]. Então, a regra da cadeia pode ser estabelecida como: a derivada da composta de duas funções é a derivada da função externa tomada no valor da função interna vezes a derivada da função interna. 29 Notas de aula de cálculo - FURG I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - I M E F - F U R G - 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA Exemplo 1.6.1. Seja y = u3 e u = 2x2 + 4x− 2, calcule dy dx . Exemplo 1.6.2. Calcule a derivada das funções: a) f(x) = ex 3+4x b) y = (x2 − 2)4(x2 + 2)10 c) h(x) = x2(9− x2)−2. 1.6.1 Derivada da potência de uma função A derivada da potência de uma função u = f(x), para n um número racional,
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