trabalho queda de corpos

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Sistema de Ensino Presencial Conectado
ENGENHARIAS ELÉTRICA 
Estudo da queda de corpos
Estudo da queda de corpos
Trabalho de engenharia elétrica, engenharia civil apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média semestral nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial; Cálculo Diferencial Integral II; Física Geral e Experimental: Mecânica; Algoritmos e Lógica de Programação; Ciências dos Materiais; Seminário Interdisciplinar III.
Orientador: Prof.
SUMÁRIO
1	INTRODUÇÃO	3
2	FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL: MECÂNICA	4
3	MODELAG EM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE.	7
4	CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE.	12
5	CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II	13
6	CIÊNCIAS DOS MATERIAIS	15
6.1	CANETAS	15
7	ALGORÍTIMO	17
8	CONCLUSÃO	19
REFERÊNCIAS	20
INTRODUÇÃO
Entender o movimento realizado por corpos na superfície do planeta terra sempre foi um dos assuntos mais importantes na história da física. A busca por entendimento de como os corposreagem ese comportam em relação a grande rocha esférica que nos abrigaresultou em grandes avanços científicos, levando a compreensão da própria Física e do funcionamento do Universo. 
Por volta no século XVII, o físico Galileu Galilei percebeu que na superfície da terra todos os corpos quecaem com a mesma velocidade chamam-se aceleração da gravidade.
Ao largar um martelo e uma pena da mesma altura observa-se que o martelo chegará ao solo mais rápido, pois a condição para que a massa não a influencie no tempo de queda, é que esta seja livre. Portanto, queda livre significa que, ela se dá única e exclusivamente pela gravidade e que nenhuma força atua a não ser ela mesma.
No experimento da pena e do martelo, não existe só a gravidade atuando nos corpos, existe também a resistência do ar oferecendo um obstáculo à queda livre a esses corpos. Assim, a resistência do ar, tem o significado de que, qualquer corpo ao se deslocar, tem que atravessar as moléculas de ar, de modo que, acabam colidindo, ocasionando retardona velocidade do corpo em queda livre. Dependendo da massa do corpo, a influência que ele pode sofrer varia. Já, a pena por ter uma massa menor, sofrerá com uma resistência do ar maior, do que a do martelo, por isso chegará depois. 
Portanto, na física a queda livre é uma particularização do movimento uniformemente variado (MRUV), sendo este movimento estudado primeiramente por Aristóteles.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL: MECÂNICA
Partido dos tempos mais remotos, o homem vem aprimorando seus estudos sobre os movimentos que ocorrem na natureza, e dentre estes, sempre houve grande interesse pelo estudo do movimento de queda dos corpos.Segundo Aristóteles, se abandonarmos uma pedra de uma determinada altura, percebemos que seu movimento é acelerado e caso lancemos a mesma pedra de baixo para cima, percebemos que o movimento é retardado. 
Assim, por volta de 300 anos antes de Cristo, o filósofo Aristóteles que acreditava que se abandonássemos dois corpos de massas diferentes, de uma mesma altura, o corpo mais pesado tocaria o solo primeiro, ocasionando uma diferenciação, no tempo de queda desses corpos. Essa crença perdurou por muitos anos sem que ninguém procurasse verificar se realmente o que o filósofo dizia era mesmo verdade.
Desta forma, no século XVII, o físico Galileu Galilei, ao introduzir o método experimental, chegou à conclusão de que quando dois corpos de massas diferentes, desprezam a resistência do ar e são abandonados da mesma altura, ambos alcançam o solo no mesmo instante. 
Com o passar do tempo, Galileu foi até o topo da Torre de Pisa, na Itália, e de lá realizou experimentos para comprovar sua afirmativa sobre o movimento de queda dos corpos. Ele abandonou várias esferas de massas diferentes e percebeu que elas atingiam o solo no mesmo instante. Mesmo após as evidências de suas experiências, muitos dos seguidores de Aristóteles não se convenceram, e Galileu foi alvo de perseguições em razão de suas ideias revolucionárias. 
É importante destacar que a afirmativa de Galileu, só é válida para queda de corpos que estão no vácuo, ou seja, livre da resistência do ar ou no ar e com resistência desprezível. Dessa forma o movimento vertical de qualquer corpo que se move nas proximidades da superfície da terra, influenciando unicamente sua força peso, é chamado movimento de queda livre.
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, no entanto, ocorre quando um corpo se desloca ao longo de uma trajetória retilínea com uma aceleração constante. Isto dizer, que a velocidade do corpo apresenta sempre a mesma variação, a cada segundo que passa. Para tanto, se um corpo apresenta MRUV, é possível caracterizar esse movimento em Acelerado ou Retardado, conforme a variação da velocidade do corpo.
O MRVU, é bastante utilizado na Engenharia Civil dentre as fórmulas utilizadas podemos citar:As formulas que não possuem a aceleração (a) na função, ou seja, o movimento possui velocidade constante.
MRU (Movimento Retilíneo Uniforme)
ΔV: Variação da Velocidade
ΔS: Variação do Espaço
Δt: Variação do tempo
V = ΔS/Δt
S = So + V*(tf - ti) ==> como na maioria dos casos partimos de um instante zero, então temos: S= So + Vt
MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado)
São aquelas fórmulas que possuem aceleração, ou seja, a velocidade não é constante.
a: aceleração
a = ΔV/Δt
V = Vo + at (eq. 1)
S = So + Vot + at²/2 (eq. 2)
V² = Vo² + 2*a*ΔS (Equação de Torricellli) (eq. 3)
A equação de Torricelli, pode ser facilmente deduzida substituindo (eq. 1) em (eq. 2).
Seguindo a premissa da interferência da massa do corpo na queda, pode-se afirmar que:A massa não interfere no tempo de queda e sim a força gravitacional da Terra que é sempre 10m/s². 
Todos os objetos em queda livre e próximos da superfície da terra estão sujeitos à resistência do ar, caindo com a mesma aceleração, sendo que o valor de g não depende da massa gravitacional, não havendo influências.
Sobre a aceleração da gravidade é possível dizer que: Ao falarmos sobre queda livre, ou movimento retilíneo vertical e e força da gravidade não podemos deixar de citar Newton.
Newton através de outras observações e análises também notou que a atração exercida pela terra sobre um objeto qualquer era da mesma natureza que a atração do Sol sobre a Terra. Ele também mostrou que as leis de Kepler são coerentes com uma força de atração gravitacional que depende diretamente das massas dos objetos que se atraem e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros dos mesmos e que, para calcular a força de gravidade sobre um objeto na superfície da Terra, podemos admitir que toda a massa da terra está concentrada em seu centro.
Assim, chega-se à seguinte equação que representa a lei da gravitação universal:
G = constante universal
M e m = massas dos dois corpos em questão
r = distância dos centros dos dois corpos.
Através dessa equação podemos calcular a aceleração da gravidade terrestre que é a aceleração sentida por um corpo em queda livre.Para calcular a aceleração da gravidade temos que analisar se o local está ao nível do mar, se sim, podemos estimar g por g = 9, 780327 (1 + 0,0053024 sin²2){\displaystyle g_{\phi }=9,780327\left(1+0,0053024\sin ^{2}\phi -0,0000058\sin ^{2}2\phi \right)}em que: {\displaystyle g_{\phi }}g = aceleração em m/s² à latitude φ
A primeira correção refere-se a hipótese em que o ar é desprezível, considerando a altura em relação ao nível do mar, assim: {\displaystyle g_{\phi }=9,780318\left(1+0,0053024\sin ^{2}\phi -0,0000058\sin ^{2}2\phi \right)-3,086\times 10^{-6}h}
G = 9,780318 (1+0,0053024 sin² - 0,0000058²) – 3,086 x 10
h = altura em metros, comparada ao nível do mar.
MODELAGEM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE.Para realização do experimento, foi utilizado um conjunto de painel vertical, um corpo de prova esférico de metal, uma bola de pingpong e um isopor.
Com o equipamento pronto e as instruções passadas, começamos a experiência, onde primeiramente colocamos os objetos na posição de largada, zeramos o cronometro e em seguida soltamos. 
Foram geradas 5 medidas de tempo de cada objeto, num total de 15. Todas essas medidas foram anotadas, para futuramente calcular os valores de g, desvios absolutos (dA) e percentual (d%).
A variação de posição (∆y) é encontrada em função do descolamento atual e o anterior, pela fórmula:
∆y=y-y_o
E a gravidade é obtido a partir do tempo médio e da expressão:
∆y=y_o t- (gt^2) /2
O resultado e análise de dados é de extrema importância, pois na teoria, sabemos que quando um corpo está em queda livre faz um deslocamento (y) em uma trajetória linear vertical, com velocidade (v) e aceleração (g) em um determinado intervalo de tempo (t). 
Aplicando esta teoria em experimento, foipreenchida a seguinte tabela: 
	T (S)
	Y( cm) Trajeto
	Gravidade (cm/s)
	Velocidade
	0,407
	0,89,65897772
	0,15102228
	15,102228
	0,415
	0,89,29017274
	0,51982726
	51,982726
	0,413
	0,89,38036806
	0,42963194
	42,963194
	0,411
	0,89,47188331
	0,33811669
	33,811669
	0,406
	0,89,70661749
	0,10338251
	10,338251
	0,412
	0,89,42595909
	0,38404091
	38,404091
	0,408
	0,89,61168781
	0,19831219
	19,831219
	0,414
	0,89,335107
	0,474893
	47,4893
	0,409
	0,89,56474435
	0,24525565
	24,525565
	0,413
	0,89,38036806
	0,42963194
	42,963194
	0,411
	0,89,47188331
	0,33811669
	33,811669
	0,409
	0,89,56474435
	0,24525565
	24,525565
	0,409
	0,8956574435
	0,24525565
	24,525565
	0,405
	0,89,75461058
	0,05538942
	5,5389422
	0,409
	0,89,56474435
	0,24525565
	24,525565
Fonte: Própria
Através da tabela percebeu-se que o valor gravitacional no momento do experimento é menor que o valor teórico da gravidade, 9,81 m/s². Isto devido à resistência do ar ser não desprezível no experimento. Podemos observar também que a velocidade inicial do móvel é zero, portanto, no instante em que o objeto é solto e a aceleração da gravidade começa a atuar, a esfera é atraída gravitacionalmente até atingir o solo. 
Figura 1:Inicio do experimento 
Fonte: Própria
Gráfico 1. Movimento de queda livre realizado
Fonte: Própria 
Gráfico 2. A dinâmica da queda
Fonte: Própria 
Para velocidades inferiores a 86m /h a intensidade de Fr é dada pela impressão:
Fr. K.v
A seguir os dados obtidos através dos experimentos com 86km.
Esfera de metal
	N°
	m
	m
	m
	s
	S
	s
	s
	s
	M/s ²
	M/ s²
	M/s ²
	01
	0,0800
	0,200
	0,100
	0,156
	0,155
	0,155
	0,155
	0,0240
	8,324
	
	1,290
	02
	0,0800
	0,300
	0,200
	0,215
	0,213
	0,215
	0,214
	0,0457
	8,734
	
	1,869
	03
	0,800
	0,400
	0,300
	0,259
	0,259
	0,260
	0,259
	0,0670
	8,955
	
	2,319
	04
	0,800
	0,500
	0,400
	0,298
	0,298
	0,299
	0,298
	0,088
	9,090
	
	2,708
	05
	0,800
	0,5600
	0,500
	0,332
	0,331
	0,331
	0,331
	0,10956
	9,174
	
	3,036
Fonte: Própria
Média: 8,85
Bola de PingPong
	N°
	m
	m
	m
	s
	S
	s
	s
	s
	M/s²
	M/s²
	M/s²
	01
	0,0800
	0,200
	0,100
	0,154
	0,159
	0,158
	0,157
	0,0246
	8,33
	0
	1,307
	02
	0,0800
	0,300
	0,200
	0,218
	0,217
	0,214
	0,216
	0,0466
	8,695
	0
	1,878
	03
	0,0800
	0,400
	0,300
	0,262
	0,262
	O,260
	0,261
	0,0466
	8,823
	0
	2,302
	04
	0,0800
	0,500
	0,400
	0,299
	0,297
	0,298
	0,298
	0,0888
	9,090
	0
	2,708
	05
	0,800
	0,600
	0,500
	0,330
	0,332
	0,332
	0,331
	0,1095
	9,174
	0
	3,036
Fonte: Própria 
Média: 8,82
Isopor
	N°
	m
	m
	m
	s
	S
	s
	s
	s
	M/s²
	M/s²
	M/s²
	01
	0,0800
	0,200
	0,100
	0,151
	0,158
	0,156
	0,157
	0,0246
	8,33
	0
	1,307
	02
	0,0800
	0,300
	0,200
	0,218
	0,217
	0,214
	0,216
	0,0466
	8,695
	0
	1,878
	03
	0,0800
	0,400
	0,300
	0,262
	0,262
	O,260
	0,261
	0,0466
	8,823
	0
	2,302
	04
	0,0800
	0,500
	0,400
	0,299
	0,297
	0,298
	0,298
	0,0888
	9,090
	0
	2,708
	05
	0,800
	0,600
	0,500
	0,330
	0,332
	0,332
	0,331
	0,1095
	9,174
	0
	3,036
Fonte: Própria
Média: 8,82 
CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE.
| t1 /s | t2 /s | v1 / m s-1 | v2 / m s-1 | a/m s-2 | ā/m s-2 |
 Desvios absolutos | Incerteza absoluta | δ % |
m1
(esfera)12,2 ±0.1g | 0.0248 | 0.0470 | 2,02 | 2,25 | 9,79 | 10,21 | 0,43 | 10,21±0,43 | 4,1% |
| 0.0250 | 0.0473 | 2,0 | 2,24 | 10,14 | | 0,07 | | 
| 0.0250 | 0.0473 | 2,0 | 2,24 | 10,14 | | 0,07 | | 
| 0.0252 | 0.0476 | 1,98 | 2,23 | 10,50 | | 0,29 |
| 0.0252 | 0.0476 | 1,98 | 2,23 | 10,5 | | 0,29 | | 
m2
(esfera)27.4 ± 0.1g | 0.0252 | 0.0477 | 1,98 | 2,22 | 10,06 | 9,36 | 0,7 | 9,36±0,7 | 4,65% |
| 0.0250 | 0.0475 | 2,00 | 2,22 | 9,26 | | 0,1 | | 
| 0.0249 | 0.0473 | 2,01 | 2,23 | 9,30 | | 0,06 | 
| 0.0249 | 0.0473 | 2,01 | 2,23 | 9,30 | | 0,06 | 
| 0.0249 | 0.0474 | 2,01 | 2,22 | 8,86 | | 0,5 | | 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
V: velocidade
t: tempo de queda
g: aceleração da gravidade
d: distância percorrida pelo corpo em queda
Consideramos 2 exemplos para achar as formulas e resolução 
Exemplo 1
 Abandonamos um corpo em queda livre de uma determinada altura, e levou 6 segundos para chegar ao solo. Calculamos a velocidade com qual o corpo chegou ao solo? Consideramos g = 9,8 m/s²
Exemplo 2
largamos um tijolo de um edifício em construção o mesmo chegou ao solo com uma velocidade de 30 m/s. Calculamos a altura do edifício e o tempo de queda do tijolo. Consideramos g = 10 m/s. 
V = g * t
V = 9,8 * 6
V = 58,8 m/s ou 211,68 Km/h
Equação horária do espaço na queda livre:
Onde:
g é a aceleração da gravidade 
t  é o tempo de queda. 
S  é a altura
Equação horária da velocidade na queda livre:
Onde: v é a velocidade
Equação de Torricelli para a queda livre.
Quando um corpo é arremessado para cima ou para baixo, com uma velocidade inicial não nula, chamamos o movimento de lançamento vertical. Esse movimento também é um movimento uniformemente variado como na queda livre, em que a aceleração é a da gravidade.
Lançamento vertical para cima 
À medida que um corpo lançado para cima sobe, sua velocidade escalar diminui até que se anule no ponto de altura máxima. Isso ocorre porque o movimento é retardado, ou seja, o movimento se dá contra a ação da gravidade.
CIÊNCIAS DOS MATERIAIS
Esferas
A fabricação das esferas começa com um grosso fio de aço. Esse fio passa por uma máquina que corta e depois pressiona um pedaço dele, criando uma quase esfera. Esse processo é chamado de estampagem a frio.
Após a estampagem a “esfera” tem um excesso de metal, como um anel, que deve ser removido. A máquina utilizada é composta por dois discos de aço com sulcos para as esferas. Um disco fica parado enquanto o outro gira e vai removendo o “anel” das esferas.
Depois disso as esferas passam por tratamento térmico, assim como os anéis. E finalmente são polidas até seu tamanho exato.
BOLINHAS DE PING PONG
Elas já foram de cortiça e de borracha, mas era complicado. As bolas feitas de cortiça mau quicavam na mesa, e as de borracha, por outro lado, quicavam de forma imprevisível e em diferentes direções. Foi em 1862, que o inglês Alexander Parkes registrou a Parkesina, primeiro celulóide e primeiro plástico fabricado. 
Celulóide é o nome de uma classe de compostos criados a partir da nitrocelulose e de cânfora, a que se adicionam corantes e outros agentes. O termo celulóide só passou a ser utilizado em 1870.
Moldado com facilidade, o celulóide foi produzido originalmente como substituição para o marfim. Os celulóides também são extensamente utilizados na fabricação de bolas de tênis de mesa, por sua rigidez e propriedades elásticas.BOLAS DE ISOPOR
O poliestireno, ou isopor, como é conhecido no Brasil, é um polímero aromático sintético feito com o monômero de estireno, um líquido derivado da indústria petroquímica. O poliestireno pode ser rígido ou em espumado, mas geralmente é usado na sua forma é branca, dura e quebradiça. Levando em consideração seu peso, é uma resina muito barata, sendo bastante usada como uma eficiente barreira contra o oxigênio e vapor de água, tendo um ponto de fusão relativamente baixo. O poliestireno é um dos plásticos mais utilizados no mundo, sendo produzidas milhões de toneladas anualmente. O poliestireno pode ser naturalmente transparente, mas geralmente é colorido com o uso de corantes. Geralmente, é usado como uma embalagem de proteção.
Monômero de Poliestireno
Como polímero termoplástico, o poliestireno permanece em estado sólido à temperatura ambiente, mas derrete quando aquecido à uma temperatura superior 100 ° C, sendo capaz de tornar-se rígido novamente quando resfriado. Este comportamento é explorado para durante o processo de moldagem, uma vez que pode ser convertido em moldes com altos níveis de detalhes. Ele é muito lento para se biodegradar, gerando, portanto, um foco de polêmica, já que muitas vezes seus restos são notados no ambiente ao ar livre, especialmente ao longo das costas e canais de água.
O poliestireno foi descoberto em 1839, por Eduard Simon, um boticário, em Berlim. Do estoraque, a resina da árvore turca árvore-do-âmbar, Liquidambarorientalis, ele destilou uma substância oleosa, um monômero a que deu o nome de estirol. Vários dias depois, Simon descobriu que o estirol havia engrossado, presumivelmente pela oxidação, tornando-se uma geleia, que ele chamou de óxido de estireno. Em 1845, os químicos John Blyth e August Wilhelm von Hofmann, inglês e alemão, respectivamente, provaram que a mesma transformação de estirol ocorria mesmo na ausência de oxigênio. Eles chamaram a substância de "metastyrol ". Análises feitas posteriormente mostraram que era quimicamente idêntica ao óxido de estireno. Em 1866, MarcelinBerthelot identificou corretamente que a formação do "metastyrol" era resultado de um processo de polimerização. Cerca de 80 anos mais tarde, percebeu-se que o aquecimento do estirol desencadeia uma reação que produz macromoléculas, seguindo a tese do químico orgânico alemão Hermann Staudinger (1881-1965). Esta descoberta levou à substância que conhecemos hoje por poliestireno.
Em 1931, a empresa IG Farben, de Ludwigshafen, começou a produção em larga escala do poliestireno, esperando que ele fosse substituto natural para o zinco fundido, em muitas aplicações. O sucesso foi alcançado quando eles desenvolveram uma forma de produzir poliestireno em formas circulares, usando o calor para moldar.
O poliestireno é resultados da ligação entre os monómeros de estireno. Na polimerização, a ligação carbono-carbono pi (do grupo de vinilo) é quebrada e uma nova ligação carbono-carbono simples é formada, anexando um outro monómero de estireno para a cadeia. Essa nova ligação é muito mais forte do que a ligação que anterior, tornando mais difícil de despolimerizar poliestireno. Geralmente, são necessários alguns milhares de monómeros para uma cadeia de poliestireno, que lhe dá um peso molecluar de 100,000 a 400,000, e uma densidade de 1050 kg/m³.
O poliestireno é, quimicamente, muito inerte, resistente à substâncias ácidas e básicas. Devido à sua resistência e à inércia, é utilizado para a fabricação de muitos objetos do comércio. É atacada por muitos solventes orgânicos, os quais se dissolvem o polímero. Um dos problemas do isopor é sua composição: 98% de ar e 2% de plástico. Por isso, quando é derretido, o volume final do poliestireno cai para 10% daquilo que foi coletado. Por essa razão, a maioria das empresas de reciclagem se recusam a lidar com esse material. Além de ocupar muito volume, o que encarece seu transporte e, consequentemente, a sua reciclagem, exigindo quantidades muito grandes para se viabilizar economicamente o processo como um todo. Quando é descartado como lixo, ele pode levar cerca de 150 anos para se decompor. Se queimado, produz grande quantidade de gás carbônico, contribuindo para a poluição e para o aquecimento global.Já existe um chamado "isopor biodegradável". Composto por fungos de raízes e resíduos agrícolas, o Eco Cradle, como é chamado oficialmente, pode ser moldado em qualquer forma, tem baixo custo de produção e pode ser reutilizado ou aplicado como fertilizante.
ALGORÍTIMO
Para o cálculo e a análise dos corpos que estão à determinada altura da Terra, usamos a equação:
Todo corpo colocado na superfície terrestre sofre a influência da força peso, que os atrai para o centro da Terra. É o caso, por exemplo, de um salto de paraquedas, onde os paraquedistas serão atraídos para a superfície. A representação matemática do fenômeno é dada pela seguinte equação:
 P = m.g
P representa o peso do corpo, m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.
A Teoria de Newton diz que a força de atração gravitacional que existe entre a Terra e o corpo, é dada pela equação:
F= G m.M
 R²
Existe ainda uma outra equação capaz de calcular a aceleração da gravidade em qualquer superfície planetária, onde g é a aceleração da gravidade da superfície do planeta em questão:
Superfície = G. M
 R²
Forma Vetorial
A fórmula acima é simplificada e pode ser expressa mais propriamente pela seguinte, vetorialmente completa.
F12= Gm1 m2 (r2 – r1)
(r2 – r1)³
F12 é a força exercida em m1 por m2
M1 e M2 são as massas
R1 E R2 são os vetores posição das duas massas respectivas
G é a constante gravitacional
CONCLUSÃO
De modo geral o trabalho atende as especificações desta instituição de ensino, onde o mesmo trouxe à tona todos os relacionados com o manual disponível.
O trabalho contou com 1 experimento com 3 corpos diferentes e os resultados foram vistos de modo geral, desde o tempo da queda até o cálculo final.
De modo geral contou-se com fundamentação teórica de artigos e autores acerca do desafio proposto, aumento a credibilidade do trabalho e dando embasamento ao conteúdo.
REFERÊNCIAS
Halliday, David; Renisck, Robert; Walker, Jeal, Fundamentos da física, vol. 2 Rio de Janeiro, LTC (2008) 8ª edição.
Kilhian, Kleber. EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar. disponível em: < http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/08/edo-queda-dos-corpos-com-resistencia-do.html > acesso em 11 de out de 2012, 15:27.
Sergio, Paulo. A velocidade terminal de um paraquedas . disponível em: < http//obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/05/equacao-do-movimento.html > acesso em 9 de out de 2012, 9:20.
Zill., Denis G. – Equações Diferenciais com aplicações em Modelagem. São Paulo, Thomson, 2003, pág 27-29, exercício 29 – Pág 106.
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/queda-livre.htm
http://www.rolamentoseesferas.com.br/como-rolamentos-sao-fabricados/
 http://www.ttsport.ru/sekrety-izgotovleniya-myachey./pub.198/
https://www.infoescola.com/compostos-quimicos/isopor/