Aula 6 disciplina online - Teoria das Estruturas I

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25/03/2018 Disciplina Portal
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PÓRTICO PLANO
Os pórticos planos (glossário) são estruturas lineares constituídas por barras que formam quadros isostáticos, com
cargas ativas e reativas. As estruturas são geralmente ligadas por nós rígidos, podendo haver articulações entre as
barras (rótulas).
Para os cálculos das reações de apoio, são necessárias as três equações de equilíbrio (equação da estática).
Os pórticos planos são classi�cados em: simples e compostos.
Estudaremos a seguir cada um deles.
O estudo dos pórticos planos será feito por meio dos exemplos de exercícios.
PÓRTICO PLANO SIMPLES BIAPOIADO
Exemplo 1
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
G = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
G = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática.
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 ← + 
H - 30 = 0, H = 30 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para H está certo)
e
e
A A A
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ΣFy = 0 ↑ + 
V + V – 20 = 0 
V + V = 20 kN 
Σ M = 0 + 
-6 V + (20 x 2) + (30 x 3) = 0 
-6 V = - 130 
V = 21.67 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está certo) 
V = - 1.67 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para V é sentido contrário)
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a �m de obter as convenções de sinais aos Esforços
Solicitantes Internos da estrutura (aula 3).
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (KN)
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão)
Barra AD
Barra DF
Barra BF
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (KN)
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo
Barra AD
Barra DF
Barra BF
A B
A B
A
B
B
B B
A A
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (KNM)
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo.
Fazendo pelo lado esquerdo M = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 30 x 3 = 90 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 30 x 7 – 30 x 4 = +210 – 120 = + 90 
Fazendo pelo lado direito M = + 21.67 x 6 – 20 x 2 = +130.02 – 40 = + 90 
Fazendo pelo lado esquerdo M = - 1.67 x 2 + 30 x 7 – 30 x 4 = - 3.34 + 210 – 120 = + 86.7 
Fazendo pelo lado direito M = + 21.67 x 4 = + 86.7 
Fazendo pelo lado esquerdo M = -1.67 x 6 +30 x 7 –30 x 4 –20 x 4 = - 10.02 + 210 – 120 - 80 = 0 
Fazendo pelo lado direito M = 0
Exemplo 2
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
G = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
A
C
D
D
E
E
F
F
e
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R = Rótula = 0 
G = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática.
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 ← + 
H – 5 + (10X 7) = 0 , H = - 65 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para HA é no sentido contrário)
ΣFy = 0 ↑ + 
V + V – (20 x 5) - 4 - 3= 0 
V + V = 107 kN 
Σ M = 0 + 
-12 V - (10 x 7 x 3.5) + (20 x 5 x 9.5) + (4 x 5.5) + (3 x 4) + (5 x 2.5) = 0 
-12 V = - 751.5 
V = 62.62 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está certo) 
V = 44.37 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está certo)
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a �m de obter as convenções de sinais aos Esforços
Solicitantes Internos da estrutura (aula 3).
Achar o ângulo → α = arctg (7/7) = 45º
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (KN)
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão)
Barra AF 
Barra FG 
Barra BG
e
A A
A B
A B
A
B
B
B B
A B
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (KN)
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo.
Barra AF 
Barra FG 
Barra BG
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (KNM)
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo.
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 44.37 x 2.5 – 65 x 2.5 = - 51.56 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 44.37 x 4 – 65 x 4 – 5 x 1.5 = - 90.00 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 44.37 x 5.5 – 65 x 5.5 – 5 x 3 – 3 x 1.5 = - 132,94 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 44.37 x 7 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 3 – 4 x 1.5 = - 181.88 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 44.37 x 12 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 8 – 4 x 6.5 – 20 x 5 x 2.5 = - 245 
Fazendo pelo lado direito M = + 10 x 7 x 3,5 = + 245 
Fazendo pelo lado esquerdo M = 0
C
D
E
F
G
G
B
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PÓRTICO PLANO SIMPLES BIAPOIADO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE
Exemplo 3
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
G = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
G = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática.
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
← + ΣFx = 0 
H – (10 x 4) = 0 , HA = 40 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para HA está certo) 
ΣFy = 0 ↑ + 
V + V – (30 x 5) – (20 x 3) = 0 
e
e
A
A B
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V + V = 210 kN 
Σ MA= 0 + 
-8 V + (10 x 4 x 6) + (20 x 3 x 6.5) + (30 x 5 x 
2.5) = 0 
-8 V = - 1005
V = 125.6 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está certo) 
V = 84.4 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está certo) 
Para achar o valor do tirante (N ). 
Tenho que escolher um ponto cujo momento seja igual a zero na rótula. 
Fazendo momento �etor em D pelo lado direito (basta fazer um dos lados, direito ou esquerdo). 
Σ M = 0 + 
-4 N - (10 x 4 x 2) = 0 
-4 V = + 80 
N = - 20 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para N é sentido contrário. Logo, o tirante é tração) = + 20 kN
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a �m de obter as convenções de sinais aos Esforços
Solicitantes Internos da estrutura (aula 3).
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (KN)
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão)
Barra AC 
Barra CD 
Barra BD 
Tirante
A B
B
B
B B
A A
1
D
1
B
1 1
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (KN)
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo
Barra AC 
Barra CD 
Barra BD 
Tirante
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (KNM)
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo.
Fazendo pelo lado esquerdo M = 0 
Fazendopelo lado esquerdo M = + 40 x 4 = + 160 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 40 x 8 – 20 x 4 = + 240 
Fazendo pelo lado direito M =+ 125.6 x 8 - 20 x 4+ (10 x 4 x 2)–(20 x 3 x 6.5)–(30 x 5 x 2.5) = - 240 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 84.4 x 5 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 5 x 2.5 = + 286.9 
Fazendo pelo lado esquerdo M = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado esquerdo M = 0 (não há nenhuma força pelo lado esquerdo, que faça momento em F) 
Fazendo pelo lado direito M = - 84.4 x 8 - 40 x 4 + 30 x 5 x 5.5 + 20 x 3 x 1.5 – 10 x 4 x 2 = 0 
Fazendo pelo lado direito M = 0
Tirante 
No momento �etor o tirante é zero.
A
E
C
C
G
D
F
F
B
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Momento máximo
Achar a distância: 
84.4 / 30 = 2.81 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança de triângulo. 
65.6 / 30 = 2.19 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança de triângulo. 
M = + 84.4 x 2.81 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 2.81 x (2.81/2) = + 358.7 kNm
PÓRTICO PLANO SIMPLES ENGASTADO E LIVRE (BALANÇO)
Exemplo 4
Max
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1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
G = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
G = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática.
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 ← + 
H = 0 (não há força horizontal) 
ΣFy = 0 ↑ + 
V – (35 x 5) = 0 
V = 175 kN 
Σ M = 35 x 5 x 2.5 = 437.5 kNm (anti-horário)
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a �m de obter as convenções de sinais aos Esforços
Solicitantes Internos da estrutura (aula 3).
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (KN)
- Positivo quando a força sai da seçao de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressão)
Barra AB 
Barra BC
e
e
A
A
A
A
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (KN)
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo
Barra AB 
Barra BC
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (KNM)
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo.
Fazendo pelo lado esquerdo M = - 437.5 
Fazendo pelo lado esquerdo M = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito M = 35 x 5 x 2.5 = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito M = 0
PÓRTICO PLANO SIMPLES TRIARTICULADO
A
B
B
C
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Exemplo 5
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
G = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
G = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática.
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
← + ΣFx = 0 
H + H – (2 x 6) + (1 x 3) = 0 
H + H = 9 kN 
ΣFy = 0 ↑ + 
V + V – (4 x 10) = 0 
V + V = 40 kN 
Σ MA= 0 + 
- 10 V – 3H - (1 x 3 x 4.5) + (4 x 10 x 5) + (2 x 6 x 3) = 0 
- 10 V – 3H + 222.5 = 0
Tenho um sistema de duas incógnitas. 
Pode ser feito o momento �etor em C pelo lado direito ou lado esquerdo. 
Como foi feito o momento �etor em A, e as incógnitas são em função de B, será feito o momento �etor em C pelo lado
direito, para ter as incógnitas em B. 
Σ M = 0 + (lado direito) 
e
e
A B
A B
A B
A B
B B
B B
C
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- 5 V + 6H + (1 x 3 x 4.5) + (4 x 5 x 2.5) = 0 
- 5 V + 6H + 63.5 = 0
Sistema: 
- 10 V – 3H + 222.5 = 0 
- 5 V + 6H + 63.5 = 0 
H = 6.4 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para H está correto) 
H = 2.6 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para H está correto) 
V = 20.3 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está correto) 
V = 19.7 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para V está correto)
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças para o eixo das barras inclinadas.
α = arctg (3/5) = 30.96º 
β = arctg (5/3) = 59.04º
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a �m de obter as convenções de sinais aos Esforços
Solicitantes Internos da estrutura (aula 3).
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (KN)
- Positivo quando a força sai da seçao de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressão)
Barra AD 
Barra DC 
Barra CE 
Barra BE
B B
B B
B B
B B
B B
A A
B B
A A
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (KN)
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo
Barra AD 
Barra DC 
Barra CE 
Barra BE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (KNM)
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo.
Fazendo M = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo M = + 2.6 x 6 – (2 x 6 x 3) = - 20.4 (no diagrama do Ftool, o resultado é – 20.2, aproximação de casa
decimal) 
Fazendo M = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado direito M = + 6.4 x 3 + (1 x 3 x 1.5) = 23.6 
Fazendo M = 0
A
D
C
E
B
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Momento máximo para a barra AD 
Momento máximo para a barra DC (galeria/aula6/docs/a06_t06.pdf) 
Momento máximo para a barra CE
PÓRTICO PLANO COMPOSTO
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Glossário
PÓRTICOS PLANOS
Estruturas com barras ligadas.
BARRA AD
Fazendo pelo lado esquerdo N = +1.67 (positivo porque sai da seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = + 1.67 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = + 1.67 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = + 20 – 21.67 = - 1.67 
-1.67 + 1.67 = 0 , barra AD em equilíbrio
BARRA DF
Fazendo pelo lado esquerdo N = + 30 – 30 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo N = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo N = 0 
Fechando a barra DF, tem-se pelo lado direito = 0
BARRA BF
A
AC
CD
D
E
F
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Fazendo pelo lado esquerdo N = -21.67 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = -21.67 
Fechando a barra BF, tem-se pelo lado direito = +20 + 1.67 = + 21.67 
-21.67 + 21.67 = 0 , barra BF em equilíbrio 
BARRA AD
Barra AD 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = 30 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 30 
Logo, tem-se que + 30 – 30 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = 0 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = 0 , barra AD em equilíbrio
BARRA DF
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 1.67 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = - 1.67 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = -20 
Logo, tem-se que - 1.67 – 20 = 21.67 
Fazendo pelo lado esquerdoQ = Const. = - 21.67 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = +21.67 
Logo, tem-se que - 21.67 + 21.67 = 0
BARRA BF
Fazendo pelo lado esquerdo Q = 0 (não há carga paralela a essa seçao de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = 0 
Veri�cando a barra BF, pelo lado direito = +30 - 30 = 0
BARRA AF
Nesse trecho do pórtico a barra é inclinada, logo, para desenhar os diagramas, devemos rebater as cargas. O desenho do
diagrama tem que ser perpendicular à barra. 
Fazendo pelo lado esquerdo N = - 44.37 x sen45 – 65 x cos 45 = - 31.37 – 45.96 = - 77.34 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 77.34 
Fazendo pelo lado esquerdo N = - 5 x cos 45 = - 3.54 
Logo, tem-se que -77.34 – 3.54 = 80.88 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 80.88 
Fazendo pelo lado esquerdo N = + 3 x sen 45 = + 2.12 
Logo, tem-se que -80.88 + 2.12 = - 78.75 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 78.75 
Fazendo pelo lado esquerdo N = + 4 x sen 45 = + 2.83 
Logo, tem-se que -78.75 + 2.83 = - 75.93 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 75.93 
Fechando a barra AF, têm-se, pelo lado direito, as cargas (10 x 7); ( 20 x 5); (62.62) 
- 62.62 x sen 45 + 20 x 5 x sen 45 + 10 x 7 x cos 45 = 75.93 
-75.93 + 75.93 = 0, barra AF em equilíbrio.
BARRA FG
B
BF
A
AC
C
CD
D
DE
E
EF
F
B
BF
A
AC
C
CD
D
DE
E
EF
25/03/2018 Disciplina Portal
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Fazendo pelo lado esquerdo N = -5 – 65 = -70 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 70 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = + 10 x 7 = + 70 
-70 + 70 = 0, barra FG em equilíbrio.
BARRA BG
Fazendo pelo lado esquerdo N = -62.62 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = -62.62 
Fechando a barra BG, tem-se pelo lado direito = -44.37 + 3 + 4 + (20 x 5) = + 62.62 
-62.62 + 62.62 = 0, barra BG em equilíbrio.
BARRA AF
Nesse trecho do pórtico, a barra é inclinada, logo para desenhar os diagramas devemos rebater as cargas. O desenho do
diagrama tem que ser perpendicular à barra. 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 44.37 x cos45 – 65 x sen 45 = + 31.37 – 45.96 = - 14.58 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = - 14.58 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 5 x sen 45 = - 3.54 
Logo, tem-se que -14.58 – 3.54 = -18.12 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = - 18.12 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 3 x cos 45 = - 2.12 
Logo, tem-se que – 18.12 - 2.12 = - 20.24 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = - 20.24 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 4 x cos 45 = - 2.83 
Logo, tem-se que -20.24 - 2.83 = - 23.07 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = - 23.07 
Fechando a barra AF, têm-se, pelo lado direito, as cargas (10 x 7); ( 20 x 5); (62.62) 
+ 62.62 x cos 45 - 20 x 5 x cos 45 + 10 x 7 x sen 45 = 23.07 
-23.07 + 23.07 = 0, barra AF em equilíbrio. 
Fazendo pelo lado esquerdo N = -5 – 65 = -70 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 70 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = + 10 x 7 = + 70 
-70 + 70 = 0, barra FG em equilíbrio.
BARRA FG
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 44.37 – 3 – 4 = 37.38 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (20 x 5) = -100 
Logo, tem-se que +37.38 - 100 = - 62.62 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = +62.62 
-62.62 + 62.62 = 0 , barra FG em equilíbrio
F
FG
B
BG
A
AC
C
CD
D
DE
E
EF
F
FG
F
FG
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BARRA BG
Fazendo pelo lado esquerdo Q = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + (10 x 7) = + 70 
Fechando a barra BG, tem-se pelo lado direito = - 65 -5 = - 70 
+70 - 70 = 0, barra BG em equilíbrio.
BARRA AC
Fazendo pelo lado esquerdo N = -84.4 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 84.4 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 84.4 
Fechando a barra AC, tem-se pelo lado direito = - 125.6 + (30 x 5) + (20 x 3) = + 84.4 
84.4 + 84.4 = 0, barra AC em equilíbrio.
BARRA CD
Fazendo pelo lado esquerdo N = + 40 – 20 = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = + 20 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = -20 
+ 20 - 20 = 0, barra CD em equilíbrio.
BARRA BD
Fazendo pelo lado esquerdo N = -125.6 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 125.6 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 125.6 
Fechando a barra BD, tem-se pelo lado direito = - 84.4 + (30 x 5) + (20 x 3) = + 125.6 
- 125.6 + 125.6 = 0, barra BD em equilíbrio.
TIRANTE
O cálculo do tirante já foi feito na reação de apoio. 
Tirante = + 20 kN
BARRA AC
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - 20 
Logo, tem-se que + 40 – 20 = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = + 20 
Fechando a barra AC, tem-se pelo lado direito = - (10 x 4) + 20 = - 20 
+ 20 - 20 = 0, barra AC em equilíbrio.
BARRA CD
B
BG
A
AE
EC
C
CG
GD
B
BF
FD
A
AE
E
EC
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Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 84.4 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (30 x 5) = -150 
Logo, tem-se que + 84.4 – 150 = - 65.6 (nesse trecho, a linha do cortante passa pelo zero, terá um momento máximo). 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (20 x 3) = -60 
Logo, tem-se que – 60 – 65.6 = - 125.6 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = + 125.6 
- 125.6 + 125.6 = 0, barra CD em equilíbrio.
BARRA BD
Fazendo pelo lado esquerdo Q = 0 (não há carga paralela a essa seçao de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (10 x 4) = - 40 
Logo, tem-se que + 20 – 40 = - 20 
Fechando a barra BD, tem-se pelo lado direito = + +40 -20 = + 20 
- 20 + 20 = 0 , barra BD em equilíbrio
TIRANTE
No cortante, o tirante é zero.
BARRA AB
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 175 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = Const. = - 175 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = + (35 x 5) = +175 
- 175 + 175 = 0, barra AB em equilíbrio.
BARRA BC
Fazendo pelo lado esquerdo N = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = 0 
Fechando a barra B , tem-se pelo lado direito = 0
BARRA AB
Fazendo pelo lado esquerdo Q = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = Const. = 0 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = 0, barra AD em equilíbrio.
BARRA BC
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 175 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (35 x 5) = - 175 
Logo, tem-se que + 175 – 175 = 0
BARRA AD
C
CG
GD
B
BF
F
FD
B
BC
C
A
AB
B
BC
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Fazendo pelo lado esquerdo N = - 19.7 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 19.7 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = - 20.32 +(4 x 10) = + 19.7 
19.7 + 19.7 = 0, barra AD em equilíbrio.
BARRA DC
Fazendo pelo lado esquerdo N = - 19.7 x sen 30.96 + 2.6 x cos 30.96 – (2 x 6) x cos 30.96 = - 18.1 
Fazendo pelo lado esquerdo N = + (4 x 5) x sen 30.96 = + 10.2 
Logo, tem-se que -18.1 + 10.2 = - 7.9 
Fechando a barra DC, tem-se pelo lado direito = - 20.3 x sen 30.96 + (4 x 5) x sen 30.96 + 6.4 x cos 30.96 + (1 x 3) x cos 30.96 = +
7.9 
- 7.9 + 7.9 = 0, barra DC em equilíbrio.
BARRA CE
Fazendo pelo lado esquerdo N = + 19.7 x cos 59.07° + 2.6 x sen 59.07° – (2x 6) x sen 59.07° – (4 x 5) x cos 59.07° = - 8.2 
Fazendo pelo lado esquerdo N = - (4 x 5) x cos 59.07° = - 10.3 
Logo, tem-se que -8.2 - 10.3 = - 18.5 
Fechando a barra CE, tem-se pelo lado direito = + 20.3 x cos 59.07° + 6.4 x sen 59.07° + (1 x 3) x sen 59.07° = + 18.5 
18.5 + 18.5 = 0, barra CE em equilíbrio.
BARRA BE
Fazendo pelo lado esquerdo N = - 20.3 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo N = Const. = - 20.3 
Fechando a barra BE, tem-se pelo lado direito = - 19.7 + (4 x 10) = + 20.3 
- 20.3 + 20.3 = 0, barra BE em equilíbrio.
BARRA AD
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 2.6 (subindo pelo lado esquerdo da seção de estudo, positivo) 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (2 x 6) = - 12 
Logo, tem-se que + 2.6 - 12 = - 9.4 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = + 6.4 + (1 x 3) = + 9.4 
9.4 + 9.4 = 0, barra AD em equilíbrio.
BARRA DC
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 19.7 x cos 30.96° + 2.6 x sen 30.96° - (2 x 6) x sen 30.96° = + 12.0 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (4 x 5) x cos 30.96° = - 17.1 
Logo, tem-se que + 12.0 – 17.1 = - 5.1 
Fechando a barra DC, tem-se pelo lado direito = + 20.3 x cos 30.96° - (4 x 5) x cos 30.96° + 6.4 x sen 30.96° + (1 x 3) x sen 30.96° =
+ 5.1 
- 5.1 + 5.1 = 0, barra DC em equilíbrio.
BARRA CE
A
AD
D
DC
C
CE
B
CE
A
AD
D
DC
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Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 19.7 x sen 59.07° - 2.6 x cos 59.07° + (2 x 6) x cos 59.07° – (4 x 5) x sen 59.07° = + 4.5 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = - (4 x 5) x sen 59.07° = - 17.1 
Logo, tem-se que + 4.5 – 17.1 = - 12.6 
Fechando a barra CE, tem-se pelo lado direito = + 20.3 x sen 59.07° - 6.4 x cos 59.07° - (1 x 3) x cos 59.07° = + 12.6 
- 12.6 + 12.6 = 0, barra CE em equilíbrio.
BARRA BE
Fazendo pelo lado esquerdo Q = + 6.4 (positivo porque sobe na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo Q = +(1 x 3) = + 3 
Logo, tem-se que + 6.4 + 3 = + 9.4 
Fechando a barra BE, tem-se pelo lado direito = +2.6 – (2 x 6) = - 9.4 
+ 9.4 – 9.4 = 0, barra BE em equilíbrio.
MOMENTO MÁXIMO PARA A BARRA AD
Achar a distância: 
2.6 / 2 = 1.3 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança de triângulo. 
9.4 / 2 = 4.7 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança de triângulo. 
M = + 2.6 x 1.3 – 2 x 1.3 x (1.3/2) = + 1.7 kNm
MOMENTO MÁXIMO PARA A BARRA CE
Achar as distâncias: 
4.5 / 2.94 = 1.53 m (cortante dividido pelo a carga distribuída). 
12.6 / 2.94 = 4.30 m (cortante dividido pelo a carga distribuída).
C
CE
B
CE
Max
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Distância em X e Y: 
Y = 1.53 x cos 59.04° = 0.79 m 
X = 1.53 x sen 59.04° = 1.3 m
M = + 19.7 x 6.3 +2.6 x 8.2 – (2 x 6 x 5.2) – (4 x 5 x 3.8) – (4 x 1.3 x 0.65)= + 3.5 kNmMax esquerdo