Transferência simultânea de momento e massa

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Difusão em regime permanente 3.27
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa
• Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido: 
coluna de parede molhada.
• Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de
gás.
Suposições:
1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de
massa é absorvida ⇒ propriedades do liquido são inalteradas.
2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão.
- Balanço de momento na direção x:
{ {
{
x
0
zxyx
0
xx
0
x
0
z
x
0
y
cte
0
x
x
ioestacionárestado
0
x
g
zyxx
P
zyxt
x
ρ+












∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
−
∂
∂
−=
















∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ρ
===
==
=ϑ
321321321321
Logo, g
y
yx
ρ−=
∂
τ∂
 (3.6.2.1)
As condições de contorno que devem ser satisfeitas:
C.C.1 para y = 0 ϑx = 0
C.C.2 para y = δ ∂ϑx/∂y = 0 ( contato do liquido com o gás)
Difusão em regime permanente 3.28
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Fluido newtoniano: 
dy
d x
xy
ϑ
µ=τ
Substituindo em (1), temos:
21
2
x1
x
2
x
2
cyc
2
yg
cy
g
y
g
y
++
µ
ρ
−=ϑ⇒+
µ
ρ
−=
∂
ϑ∂
⇒ρ−=
∂
ϑ∂
µ (3.6.2.2)
Pela C.C.1 ⇒ c2 = 0
Pela C.C.2 ⇒ c1 = ρgδ/µ
Substituindo e após um rearranjo, temos:














δ
−
δ
δ
µ
ρ
−=ϑ
2
2
x
y
2
1yg
(3.6.2.3)
2
yxmax 2
g
δ
µ
ρ
=ϑ=ϑ
δ=
 (3.6.2.4)
Logo:














δ
−
δ
ϑ=ϑ
2
maxx
y
2
1y
2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5)
Equação diferencial de transferência de massa
{
0R
t
c
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
A =−∂
∂
+⋅∇
=
=
321
r
nas direções x e y apenas:
0
y
N
x
N y,Ax,A
=
∂
∂
+
∂
∂
 (3.6.2.6)
Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como:
Difusão em regime permanente 3.29
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( )
444 3444 2143421
xAc
x,Bx,AA
curto.
muitoéliquidoocom vapor do
contatode tempoodesprezar,
A
ABx,A NNx
dx
dc
DN
ϑ=
++−= (3.6.2.7)
( )
444 3444 21
BemAdedesolubilidaa
baixamuito,desprezar
y,By,AA
A
ABy,A NNx
dy
dc
DN ++−= (3.6.2.8)
Direção y: A é transportado principalmente por difusão.
Direção x: A é transportado principalmente por convecção.
Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos:
( )
:logoapenas,ydedependenteécomo,0
y
c
D
x
c
x2
A
2
AB
xA ϑ=
∂
∂
−+
∂
ϑ∂
0
y
c
D
x
c
2
A
2
AB
A
x =
∂
∂
−+
∂
∂
ϑ (3.6.2.9)
Sendo ϑx dado pela equação (3.6.2.5), ∴
0
y
c
D
x
cy
2
1y
2
2
A
2
AB
A
2
max =
∂
∂
−+
∂
∂














δ
−
δ
ϑ (3.6.2.9)
As condições de contorno para a película deslizando são:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.2: para y = 0 → 0
y
c A =
∂
∂
 (parede)
C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás)
A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas.
Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a
concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):
Difusão em regime permanente 3.30
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
L++
++=
−
−
−
−−−
δ==
δ==
n75,204
n64,105n318,39n1213,5
yA0xA
yALxA
e01811,0
e03500,0e1001,0e7857,0
cc
cc
 (3.2.6.10)
Onde:
líquidonosolutododifusãodeecoeficientD
superfícienalocalizadafilme,domáximae velocidad
películadaespessura
colunadaalturaL
colunada toponosolutodoãoconcentraçc
liquido-gásinterfacenasolutodoãoconcentraçc
colunadafundonosolutodoãoconcentraçc
LD
n
AB
max
0xA
xA
LxA
max
2
AB
=
=ϑ
=δ
=
=
=
=
ϑδ
=
=
δ=
=
Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935)
• Um soluto é transferido dentro de uma película em y = δ. O efeito da película deslizando sobre a 
espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada
uniforme e igual a ϑmax.
• O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de
profundidade infinita.
Profundidade da penetração 
Difusão em regime permanente 3.31
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Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica:
2
A
2
AB
A
max
y
c
D
x
c
∂
∂
=
∂
∂
ϑ
com as condições de contorno:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás)
C.C.3: para y = -∞→ cA = 0
Fazendo ξ = δ - y, temos:
2
A
2
AB
A
max
c
D
x
c
ξ∂
∂
=
∂
∂
ϑ
e as condições de contorno ficam:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.2: para ξ = 0 → cA = cA0 (contato com o gás)
C.C.3: para ξ = ∞→ cA = 0
Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos:
( )
2
A
2
ABAmax
s,c
D0cs
ξ∂
ξ∂
=−ϑ no domínio de Laplace
rearranjando:
( )
0
D
css,c
AB
Amax
2
A
2
=
ϑ
−
ξ∂
ξ∂
Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de:
( ) 







ξ
ϑ
−+







ξ
ϑ
=ξ
AB
max
1
AB
max
1A
D
s
expB
D
s
expAs,c
As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o
domínio de Laplace:
C.C.1: para ξ = 0 → ( )
s
c
s,0c
0A
A = (contato com o gás)
Difusão em regime permanente 3.32
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C.C.2: para ξ = ∞→ ( ) 0s,cA =∞
Produzindo a solução:
( ) 







ξ
ϑ
−=ξ
AB
max0A
A
D
s
exp
s
c
s,c
Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos:
( )




























ϑ
−
ξ
−=ξ
max
AB
0AA
xD4
erf1c,xc ou
( )
















−
ξ
−=ξ
expAB
0AA
tD4
erf1c,xc
onde o tempo de exposição é definido como texp = x/ϑmax.
A função erro: erf() → apêndice L de Welty.
Fluxo:
{ { 









−
π
=
π
=
∂
∂
−==
==δ=
δ==ξ
0
2A
c
1A
exp
AB
exp
AB
0A
y
A
AByy,A0y,A
cc
t
D
t
D
c
y
c
DNN
0A
Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN −=
21
ABc
exp
AB
c Dkou
t
D
k ∝
π
= ⇒ Teoria da penetração.