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IEM011-CÁLCULO I 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 1. Estude a função com relação a máximo e mínimos globais e locais. 2. Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo o perímetro 2p é dado. 3. Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo inscrito na esfera de raio R dado. 4. Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo e com geratriz a dada 5. Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse 4x²+ y² = 4 6. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do rio (de 100 m de largura) um barco com velocidade máxima de 10 km/h: de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máxima de 15 km. Determine B para que o tempo gasto ne percurso seja o mínimo possível. 7. Qual o ponto da curva y=x² que se encontra mais próxima de (3,0)? Seja P(a,b) tal ponto; mostre que a reta que passa por (3,0) e (a,b) é normal a curva em (a,b). 8. Duas partículas P e Q movem-se respectivamente, sobre os eixos x e y. A função de posição de P é 𝑥(𝑡) = √𝑡 e a de Q,𝑦 = 𝑡2 − 3 4 , 𝑡 > 0 , determine o instante em que a distância entre P e Q seja a menor possível . IEM011-CÁLCULO I 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 9. Sejam P=(0,a) e Q=(b,c), onde a, b e c são números reais dados e estritamente positivos. Seja M=(x,0), com 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 a) Determinar x para que o perímetro do triângulo a PMQ seja mínimo. b) Conclua que o perímetro será mínimo se 𝛼 = 𝛽 10. (Lei da Refração de Snell). Considere uma reta r e dois pontos P e Q localizados em semiplanos opostos Uma partícula vai de P a M com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida vai de M a Q com velocidade constante v, também com movimento retilíneo. Mostre que o tempo de percurso será mínimo se 11. Esboce o gráfico IEM011-CÁLCULO I 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 12. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante de 0, 6m/s, a) com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m do solo. b) Mostre que é fisicamente impossível o topo da escada alcançar o chão quando a base da escada se move a velocidade constante 13. Um quadro com 60 cm altura está fixado parede com base na altura dos olhos do observador. Encontre a taxa com que varia a distância entre o centro do quadro e os olhos do observador 14. Uma fonte cônica luminosa com abertura de 90º se aproxima a velocidade de 0,25𝑒−𝑡 𝑚/𝑠 de uma parede. Calcule a mudança no diâmetro da área iluminada na parede. 15. Um painel solar de 3m de comprimento equipado com um ajustador hidráulico é colocado de forma inclinada sobre um edifício. A medida que o sol se move o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre incidam de maneira perpendicular à ele de modo a maximizar a captação de energia. a) determine a relação entre a taxa �̇� à qual o painel deve ser movido e a taxa �̇� à qual o angulo de inclinação dos raios aumenta. b) Se, quando θ = 30◦, 𝜃 ̇ = 15 graus/h determine �̇� 16. Uma pipa está voando a uma altura de 40m. Uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha está sendo “dada", quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? IEM011-CÁLCULO I 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 17. Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de voo, seu ângulo de elevação θ varia `a razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30 graus. 18. Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância for de 200 m? 19. Um avião está a uma velocidade constante de 580Km/h e subindo a um ˆangulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de 3, 2km, passa diretamente sobre uma torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião `a torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). 20. Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta px − 20p – 3x + 105 = 0 Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil caixas? 21. No circuito abaixo determine a velocidade com que varia R. Dados: 𝑅1 = 75 𝛺; 𝑅2 = 50 𝛺; 𝑅1̇ = 1 𝛺𝑠 −1; 𝑅2̇ = 0.5 𝛺𝑠 −1 22. Uma partícula se move ao longo da curva 𝑦 = 𝑥1,5 no primeiro quadrante de tal maneira que a sua distância da origem aumenta a taxa 11 unidades por segundo. Encontre �̇�(3) 23. A figura mostra um barco a 1 km da costa varrendo a praia com um farol se o raio de luz gira à taxa de -0,6t rad/s. a) Quão rápido a luz está se movendo quando cruza o ponto A? b) Quantas revoluções por minuto equivalem 0.6t rad/s? 24. Uma partícula de massa constante m se move ao longo do eixo 𝑥. Se a partúcla está acoplada a uma mola ideal e começa a oscilar sobre IEM011-CÁLCULO I 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS uma superfície de atrito desprezível. Usando teorema da conservação da energia mostre que a aceleração da partícula é proporcional a sua posição x. Considere que no início do movimento a partícula se encontra em 𝑥0 com velocidade 𝑣0. 25. Uma partícula se move em um campo conservativo e se movimenta com energia potencial 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) a) Qual a potência despendida pela partícula b) Seja �⃗� = 𝐹𝑥 �̂� + 𝐹𝑦𝑗̂. Qual a relação das componentes de �⃗� com 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑦) 26. No circuito RC da figura abaixo determine: a) A relação entre a taxa 𝑑𝑖/𝑑𝑡 e a tensão fonte 𝑉(𝑡) p/ 𝑡 > 0 b) Que função 𝑖(𝑡) satisfaz a relação anterior? Considere 𝑖(0+) = 0 c) Com o resultado do item anterior encontre 𝑣(𝑡). Considere 𝑣(0+) = 𝑣0 Observação: nos exercícios acima é usada a notação de Newton para derivada temporal. Desta forma, �̇� = 𝑑𝑥/𝑑𝑡
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