2018224 233023 Módulo+2+ +Cálculo+Aplicado

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1 – INTRODUÇÃO À EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
 
 
1.1 – CONCEITOS BÁSICOS 
 
Uma Equação Diferencial é uma relação que envolve como incógnita uma função e suas derivadas ou 
diferenciais ou “equação diferencial é uma equação que contêm derivadas”. 
 
Podemos classifica-la quanto: 
 
(a) Tipo: uma equação diferencial pode ser ordinária ou parcial. Ela é ordinária se as funções incógnitas 
forem funções de somente uma variável, ou seja, contém somente uma variável independente. Caso 
contrário ela é parcial. Por exemplo: 
 
1dQ
R Q V t
dt C
 
representa uma Equação Diferencial Ordinária, 
onde Q é a variável dependente e t é a variável independente, já a equação 2 2
2 2
0
d u d u
dx dy
 
 representa 
uma Equação Diferencial Parcial, onde u é a variável dependente e x e y são as variáveis independentes. 
 
 
(b) Ordem e Grau: a ordem de uma equação diferencial representa a mais alta derivada da função incógnita 
que ocorre na equação e o grau de uma equação diferencial representa o valor do expoente para a derivada 
mais alta da equação. Vejamos: 
G
o
o
d y
dx
 
 
 
 
 
 
(c) Solução: Uma solução é uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa 
identidade. Ela pode ser: 
 
➢ Geral: Chama-se solução geral à família de todas as soluções que verifica a equação diferencial e 
possui constantes arbitrárias. Por exemplo: 
y Ax Bx C  2
 é a solução geral da equação 
diferencial d y
dx
3
3
0
. 
 
➢ Particular: Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da 
solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Por exemplo: 
25 2 3y x x  
é a solução 
particular da equação diferencial d y
dx
3
3
0
. 
➢ Explícita: Chama-se solução explícita a solução que pode ser expressa na forma y = f(x), isto é, a 
variável dependente (função) pode ser isolada e igualada a uma expressão, a qual é função apenas 
da variável independente (não ambígua). Por exemplo: 
2
2x
Cey


 é solução explícita da equação 
diferencial 
0
1
 y
dx
dy
x
. 
 
 
➢ Implícita: Chama-se solução implícita a solução que expressa na forma f(x, y) = 0, isto é, a variável 
dependente (função) não pode ser isolada e igualada a uma expressão que dependa apenas da 
variável independente, ou quando isto for possível (será ambígua). Por exemplo: 
Cx)x(n2x)y(ny 1  
é solução implícita da equação diferencial 
0)1()1( 22 
dx
dy
yxyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 – PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E DE CONTORNO 
 
Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais, relativas tudo à mesma variável 
independente é denominado Problema de Valor Inicial, caso essas condições adicionais se referem a mais 
de um valor da variável independente é denominado Problema de Valor de Contorno. Por exemplo: y” + 
2y’ = ex com y(π) = 1 e y’(π) = 2 é um problema de valor inicial, pois as duas condições adicionais são ambas 
dadas no ponto x = π. Já o problema y” + 2y’ = ex com y(0) = 1 e y’(1) = 1 é um problema de valor de 
contorno, pois as condições adicionais são dadas em diferentes pontos x = 0 e x = 1. Geralmente as 
condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas 
equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dados em pontos distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM LINEAR 
 
2.1 – DEFINIÇÃO 
 
Toda Equação Diferencial de 1a Ordem 
   , , 0M x y dx N x y dy 
 é dita linear se ela puder ser 
transformada na forma 
   
dy
f x y r x
dx
 
. 
 
2.2 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
 
Passo 1: Coloque a equação diferencial na forma linear (caso seja necessário). 
 
Passo 2: identifique f(x) e r(x) e calcule 
( ) ( )h x f x dx 
 
 
Passo 3: Determine a solução geral através da seguinte fórmula: 
 
( ) ( ). ( )h x h xy e e r x dx C   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a 
equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter somente a 
solução geral. 
Nota: Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções, enquanto outras não admitem 
solução. É possível também uma equação diferencial ter uma única solução. 
3 – EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM LINEAR 
 
3.1 – DEFINIÇÃO 
 
Toda Equação Diferencial de 2a Ordem é dita linear se ela puder ser transformada na forma 
      )(
2
2
xryxc
dx
dy
xb
dx
yd
xa 
, onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e r = r(x) são funções conhecidas somente 
da variável independente x. 
 
 
3.2 – EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações diferenciais lineares, existe um grupo 
de equações muito importante que é formado pelas equações cujas funções coeficientes de 
2
2
dx
yd , 
dx
dy
 e y 
são constantes e neste caso, escrevemos simplesmente: 
  )(
2
2
xrcy
dx
dy
b
dx
yd
ayL 
 
 
3.3 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM COM R(X) = 0 
 
Passo 1: Obtenha a equação a característica associada à mesma, dada por: 
02  cba  . 
 
Passo 2: Como a equação característica é uma equação do segundo grau, resolva-a através da fórmula de 
Bháskara e depois faça o teste para verificar qual solução melhor se encaixa: 
➢ Se 
 21 
então a solução da equação diferencial será do tipo: 
  1 21 2
x xy x c e c e  
 
➢ Se 
 21 
 então a solução da equação diferencial será do tipo: 
  1 2( )
xy x c c x e 
 
➢ Se 
C 21 
, sendo 
qip1 
 e 
qip2 
, então a solução da equação diferencial será do tipo: 
     1 2. cos
pxy x e C q x C sen q x   
 
 
Passo 3: Monte a solução, que deverá ter a forma verificada no passo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anote aí: Vamos relembrar como calcular uma raíz complexa: sabendo que (-1) equivale a i2, 
temos por exemplo, que: 
24 4. 1 4.( ) 2i i     
 
4 – APLICAÇÕES DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM 
 
4.1 – INTRODUÇÃO 
 
As Equações Diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos tais como 
na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste, sociológicos e até mesmo econômicos. Deste modo, o estudo 
de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e aplicada. 
 
Mesmo que não nos damos conta, as equações diferenciais fazem parte do nosso dia a dia. Existem 
inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras áreas do conhecimento e 
as soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis e circuitos 
elétricos. Vejamos a seguir algumas aplicações relacionadas a equações diferenciais de 1ª ordem: 
 
 
4.2 – PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou 
decrescimento. Se admitirmos que dN
dt
representa a taxa de variação da quantidade de substância e que 
a mesma seja proporcional à quantidade de substância presente, então a taxa de crescimento ou 
decrescimento pode ser formulada através da seguinte equação diferencial linear de 1ª ordem: 
 
0
dN
kN
dt
 
 onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. 
 
e, cuja solução geral pode ser determinada por: 
 
( ) ktN t Ce
 
 
Vale ressaltar que estamos admitindo que N(t) seja uma função diferenciável – logo contínua no tempo. Em 
problemas de população, onde N(t) é, na realidade, discreta, tal hipótese não é correta. Nãoobstante, ainda 
assim dá uma boa aproximação das leis físicas que regem tais sistemas. 
 
 
 
4.3 – PROBLEMAS DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
 
A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é 
proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e 
Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é 
,
dT
dt
e a lei de 
Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada através da seguinte equação diferencial linear 
de 1ª ordem: 
 
m
dT
kT kT
dt
 
 onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. 
 
E, cuja solução geral pode ser determinada por: 
 
( ) kt mT t Ce T
 
 
 
 
 
 
4.4 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
A equação básica que rege a quantidade de 
corrente I (em ampéres) em um circuito simples do 
tipo RL (ver Figura 1) consistindo de uma 
resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) 
e uma força eletromotriz E (em volts) pode ser 
formulada através da seguinte equação diferencial 
linear de 1ª ordem: 
: 
 
dI R E
I
dt L L
   
    
   
 
 
 
Figura 1: Circuito RL 
 
 
Para um circuito do tipo RC (ver Figura 2) 
constituindo de uma resistência, um capacitor C 
(em farads), uma força eletromotriz, e sem 
indutância, a equação que rege a quantidade de 
carga elétrica q (em coulombs) no capacitor pode 
ser formulada através da seguinte equação 
diferencial linear de 1ª ordem: 
 
 
1dq E
q
dt RC R
   
    
   
 
 
 
Figura 2: Circuito RC 
A relação entre q e I é: 
 
dQ
I
dt

 
 
 
5 – APLICAÇÕES DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM LINEAR 
 
Vejamos a seguir algumas aplicações relacionadas a equações diferenciais de 2ª ordem: 
 
 
5.1 – SISTEMAS MECÂNICOS 
 
Problema do carro – mola: 
 
Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Coloca-se o 
carro em movimento puxando-o x0 metros de sua posição de equilíbrio e soltando-o. Pela lei de Hooke, a 
mola exerce uma força Fm sobre o carro proporcional à sua distensão, com coeficiente de proporcionalidade 
k e tende a restaurar o carro à sua posição inicial. Vamos supor que o meio viscoso oferece uma força Fv 
de resistência ao movimento proporcional à sua velocidade com constante de proporcionalidade c e, 
portanto, tem sempre sinal oposto ao movimento. Seja x=x(t) a posição do carro em um instante t e v=v(t) 
sua velocidade. Uma vez iniciado o movimento, as forças atuantes no carro, Fm e Fv, tem sinais contrários. 
Coloquemos um referencial conforme a figura: 
 
 
 
 
Vamos supor que, por um instante, o carro está à direita do ponto de equilíbrio. Neste caso, a força Fm 
assume o sinal negativo e a força Fv o sinal positivo. Acontece que, como o carro está se movimentando 
para a esquerda, a distância x(t) da posição de equilíbrio está diminuindo, isto é, x(t) está decrescendo e, 
portanto, sua derivada x0(t) é uma função negativa, ou seja, sua velocidade é negativa. Como Fv é positiva, 
então Fv = cx0 (t). Logo, pela 2ª lei de Newton, a soma das forças atuantes no sistema carro-mola, nos dá 
 
  "( ) '( )m vF t ma F F m x t x t x       
 
ou seja, temos uma equação diferencial de segunda ordem: 
 
 "( ) '( )m x t x t x F t   
 
 
onde x(t) representa o deslocamento, m representa a massa, β o fator de amortecimento, k a constante 
elástica e F(t) uma força externa. 
 
Considerando o sistema como uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, vale 
fazer algumas considerações importantes: 
 
 
✓ Quanto ao Movimento: 
 
 "( ) '( )m x t x t x F t   
 
, ( ) 0 0se F t e Movimento livre amortecido   
, ( ) 0 0se F t e Movimento livre sem amortecimento   
, ( ) 0 0se F t e Movimento oscilatório harmônico   
 
 
✓ Quanto o Sistema: 
 
2"( ) '( ) ( ) 0m x t x t x F t m            
2, 4
2
m
A
       
 
, 0se Sistema Super amortecido   
 
, 0se Sistema Sub amortecido   
 
, 0se Sistema criticamente amortecido  
 
 
 
5.2 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
A equação básica que mostra a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor e a quantidade 
de corrente I (em ampéres) em um circuito simples do tipo RLC (ver figura 3) consistindo de uma resistência 
R (em ohms), um indutor L (em henries), um capacitor C (em farads) e uma força eletromotriz E (em volts) 
podem ser formuladas como: 
 
2
2
1d q R dq E
q
L dt CL Ldt
  
 e 2
2
1 1d I R dI dE
I
L dt CL L dtdt
  
 
 
 
 
 Figura 3: Circuito RLC 
EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO Á FUNÇÃO DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS 
 
1. Classifique as seguintes equações diferenciais 
quanto ao Tipo, Ordem e Grau: 
(A) 22
2
3 0
d y dy
y xy
dxdx
   
         
 
(B) 2 2
2 2
4 1
z z
t x
    
    
       
 
(C) 32
2
0
d y dy
dxdx
   
        
 
(D) 
1
22
















v
z
u
z 
(E) 22
2
2 1y
d y dy
e
dxdx
   
        
 
(F) 2 33 2
3 2
0
d y d y dy
dxdx dx
     
               
 
(G) 
5 3
dy
x
dx
 
  
 
 
(H) 32
2
3 6 0
d y dy
y
dxdx
   
         
 
(I) 33 2
4 2
3 2
( ) 0
d y d y dy
y x x x
dxdx dx
     
                
 
(J) 3 32 2
2 2
0
z z
t x
    
    
       
 
(K) 
 
3 2
42
3 2
( ) 0
d y d y dy
x x x sen y y
dxdx dx
     
                 
 
 
2. Determine a solução particular, para as 
seguintes equações diferenciais: 
(A) 2
ln( ) (0) 3
2
x
y C com y  
 
(B) 
2 2 (0) 1y x C com y  
 
(C) 2 2
( 1) 1
2 2
x y
x y C com y     
 
(D) 
41 (0) 3
3
x xy e C e com y   
 
(E) 
2
1 2 (0) 3 '(0) 0
x xy C e C e com y e y   
 
(F) 
4 4
1 2 (0) 1 '(0) 4
x xy C e C xe com y e y    
 
(G) 
1 2( ) cos( ) (0) 1 '(0) 2y C sen x C x com y e y   
 
(H) 
1 2( ) cos( ) (0) 1 1
2
y C sen x C x com y e y
 
    
 
 
 
3. Verifique se a função dada é solução da equação 
diferencial: 
(A) 
" 4 ' 4 ;x xy y y e y e   
 
(B) 
2" 5 ' 6 0; xy y y y e   
 
(C) 
3" 5 ' 6 0; xy y y y e   
 
(D) 
" 2 ' ; 1y y y x y   
 
(E) 
" 2 ' 0; 2 x xy y y y e xe     
 
(F) 
xx eyeyyy 2;4'4" 
 
(G) 2;0'2
x
eyyy

 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 
 
4. Determine a solução das seguintes equações 
diferenciais de 1ª ordem linear: 
(A) 
2 0
dy
x y
dx
 
 
(B) 
04  y
dx
dy
 
(C) 
02  xy
dx
dy
 
(D) 
1
0
dy
y
x dx
 
 
(E) 
 
2
0 1 2
dy
y com y
dx x
  
 
(F) 
2 0 (0) 2
dy
y com y
dx
  
 
(G) 
1
0 (2) 4
dy
y com y
dx x
  
 
(H) 
1
0 (2) 2
dy
y com y
dx x
  
 
(I) 
xxy
dx
dy
x  3
 
(J) 
22
dy
x y x
dx
 
 
(K) 
 
1
cos
dy
y x
dx x
 (L) 
1 xdy y e
dx x
 
 
(M) 
xey
dx
dy 33 
 
(N) 
1
( )
dy
y sen x
dx x
 
 
(O) 
2 2 1 (1) 0
dy
x xy x com y
dx
   
 
(P) 
23 6 (0) 3x
dy
y e com y
dx
   
 
 
5. Para um circuito RC onde a resistência é de 10 
ohms, a capacitância é de 10-1 farads e sem força 
eletromotriz, determine a Função da Carga 
subseqüente carga Q(t) no capacitor em qualquer 
instante t, se Q(0) = 2 e também a Função da 
Corrente subseqüente I(t) no circuito. 
 
6. Para um circuito RC onde a resistência é de 1 
ohms, a capacitância é de 2-1 farads e com força 
eletromotriz de e2t volts, determine a Função da 
Carga subseqüente carga Q(t) no capacitor em 
qualquer instante t, se Q(0) = 1 e também a 
Função da Corrente subseqüente I(t) no circuito. 
 
7. Um circuito RL tem uma força eletromotriz de 5 
volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 
henry. Determine a corrente no circuito para um 
instante qualquer, sabendo que i(0) = 0. 
 
8. Um circuito RC tem uma força eletromotriz de 
e-t volts, resistência de 1 ohms e capacitância de 
4-1 farads. A carga inicial é 1 coulomb. Determine 
a carga total no capacitor para um instante 
qualquer, sabendo que q(0) = 1 
 
9. Um corpo à temperatura inicial de 40ºF é 
colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente 
é de 100ºF. Se após 5 minutos a temperatura do 
corpo é de 80ºF, determine: 
(a) a expressão matemática que mostra a 
temperatura de um corpo para um tempo 
qualquer. 
 (b) o tempo necessário para a temperatura do 
corpo atingir 60º F. 
 
10. O café está a 90ºC logo depois de coado e, 
um minuto depois, passa para 85ºC, em uma 
cozinha cuja temperatura ambiente é de 25º. 
Nessas condições, determine: 
(a) a expressão matemática que mostra a 
temperatura do café em função do tempo. 
 (b) a temperatura do café após 8 minutos. 
 
11. Um corpo à temperatura inicial de 50ºF é 
colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente 
é de 100ºF. Se após 5 minutos a temperatura do 
corpo é de 60ºF, determine: 
(a) a expressão matemática que mostra a 
temperatura de um corpo para um tempo 
qualquer. 
 (b) a temperatura do corpo após 20 minutos. 
 
 
 
 
 
12. A população de bactérias de uma cultura 
cresce a taxa proporcional ao número de bactérias 
presentes em qualquer tempo. Após 3 horas 
observa-se que há cerca de 400 bactérias 
presentes. Após 10 horas observa-se que o 
número aumentou para cerca de 2000 bactérias 
presentes. Nessas condições, determine: 
(a) a expressão matemática que mostra o número 
de bactérias presentes para um tempo qualquer. 
 (b) o número de bactérias presentes inicialmente. 
 
13. Sabe-se que a cultura de bactérias cresce a 
uma taxa proporcional à quantidade presente. 
Após 1 hora, observam-se 1000 núcleos de 
bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. 
Diante destas informações, determine: 
(a) a expressão matemática que mostra o número 
de núcleos presentes na cultura para um tempo 
qualquer. 
 (b) o número de núcleos existentes inicialmente 
na cultura. 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM 
 
14. Determine a solução das seguintes equações 
diferenciais de 2ª ordem linear: 
 
(a) 
d y
dx
dy
dx
y
2
2
2 0  
 
(b) 
044
2
2
 y
dx
dy
dx
yd
 
(c) 
0102
2
2
 y
dx
dy
dx
yd
 
(d) 
2
2
8 16 0
d y dy
y
dx dx
  
 
(e) 2
2
2 10 0
d y dy
y
dx dx
  
 
(f) 2
2
2 0 (0) 3 '(0) 0
d y dy
y com y e y
dx dx
    
 
(g) 2
2
2 0 (0) 0 '(0) 3
d y dy
y com y e y
dxdx
    
 
(h) 2
2
6 0 (0) 2 '(0) 0
d y dy
y com y e y
dxdx
    
 
(i) 2
2
4 5 0 (0) 1 '(0) 3
d y dy
y com y e y
dxdx
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Um sistema carro-mola, com massa m = 1/2, 
constante de atrito β = 3 e constante elástica da 
mola k = 4, é posto em movimento a partir da 
posição de equilíbrio com um deslocamento x(0) 
= 2 e velocidade inicial x’(0) = 0 e ainda sem força 
aplicada. Vamos determinar o deslocamento do 
carro x(t) em qualquer instante t. 
 
16. Um sistema carro-mola, com massa m = 1, 
constante de atrito β = 2 e constante elástica da 
mola k = 1, é posto em movimento a partir da 
posição de equilíbrio com um deslocamento x(0) 
= 0 e velocidade inicial x’(0) = 1 e ainda sem força 
aplicada. Vamos determinar o deslocamento do 
carro x(t) em qualquer instante t. 
 
17. Um sistema carro-mola, com massa m = 1, 
constante de atrito β = 0 e constante elástica da 
mola k = 16, é posto em movimento a partir da 
posição de equilíbrio com um deslocamento x(0) 
= 5 e velocidade inicial x’(0) = 0 e ainda sem força 
aplicada. Vamos determinar o deslocamento do 
carro x(t) em qualquer instante t. 
 
18. Um sistema carro-mola, com massa m = 1, 
constante de atrito β = 5 e constante elástica da 
mola k = 6, é posto em movimento a partir da 
posição de equilíbrio com um deslocamento x(0) 
= 1 e velocidade inicial x’(0) = 0 e ainda sem força 
aplicada. Determine o deslocamento do carro x(t) 
em qualquer instante t. 
 
19. Um circuito RLC tem resistência de 180 ohms, 
indutância de 20 henry, capacitância de 1/280 
farads e sem força eletromotriz Determine a carga 
total no capacitor para um instante qualquer, 
sabendo que q(0) = 0 e q’(0) = 1.