2018224 232913 Módulo+1+ +Cálculo+Aplicado

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1 – Função de Várias Variáveis 
1.1 – Introdução 
Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções centrais da Matemática, o 
conceito de função. Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é 
determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis poderemos 
modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência. 
Vejamos alguns exemplos: 
✓ A área total A de um cilindro circular reto é função do raio r de sua base e da altura h: 
.22),( 2 rhrhrA  
Logo, um cilindro de altura h = 5 cm e raio r = 11 cm, tem área 
2(11,5) 352 .A cm
 
✓ O índice de massa corporal humano (IMC) é função do peso P e da altura A de uma pessoa: 
.),(
2A
P
APIMC 
O IMC indica se uma pessoa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a 
seguinte tabela da OMS (Organização Mundial da Saúde): 
 
Condição IMC 
Abaixo do peso IMC < 18,5 
Normal 18,5 ≤ IMC < 25 
Acima do peso 25 ≤ IMC < 30 
Obeso IMC ≥ 30 
 
Desta forma, se uma pessoa pesa P = 98 kg e mede A = 1.65 m, seu IMC será 
(98,1.65) 35,9,IMC 
 logo 
segundo a tabela esta pessoa está obesa. 
1.2 – Definição 
Uma função real f de n variáveis reais é uma relação que a cada termo ordenado 
 1 2, ,..., nx x x
 de números 
reais de um determinado conjunto A, associa um único número real 
 1 2, ,..., nw f x x x
: 
: nf A 
 
Chamamos 
 1 2, ,..., nw f x x x
de variável dependente e nos referimos a 
1 2, ,..., nx x x
por variáveis 
independentes. 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Geralmente, uma função 
 2 1 2: , , ,f A w f x x  
é representada na forma 
 , .z f x y
 E para uma função 
 3 1 2 3: , , , ,f A w f x x x  
é representada na forma 
 , , .z f x y z
 
 
1.3 – Gráfico de uma Função de Várias Variáveis 
Já vimos em Cálculo Básico que para as funções de uma variável, y = f(x), o gráfico é no plano R². Para 
funções de 2 variáveis, z = f(x, y), o gráfico é em R³. Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície 
no espaço R³. E desta forma, traçar o gráfico de uma função, a menos que tenhamos um computador com 
um bom programa gráfico, não é uma das tarefas mais fáceis. 
O Mapa de Contorno ou Curva de Nível é uma forma bastante simples de se obter uma representação de 
uma superfície usando apenas duas dimensões. 
Suponha que uma superfície z = f(x, y) seja interceptada por planos paralelos a xy, ou seja, planos cortantes 
em z = k. A curva formada pela intersecção deste plano com a superfície é chamada de curva de contorno, 
linha de contorno ou isolinha. Todos os pontos (x, y, z) de uma linha de contorno possuem a mesma 
coordenada z ou cota (z = k). A equação da curva de contorno ao longo da qual a função f assume o valor 
constante e igual a k é dada por: 
( , )f x y k
 
Como a curva de contorno está em um plano paralelo ao plano xy ela pode ser representada por sua projeção 
no plano xy. Desenhando certo número de linhas de contorno da função f, cada qual indicada pelo valor da 
cota k a ela associada, obtém-se um mapa de contorno da função f. 
 
Figura 1: Gráfico e curva de nível da função 2
2( , ) 1
4
y
f x y x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta técnica é muito utilizada em cartografia para se ver o mapa topográfico de uma região e ver a 
variação de altitude de um terreno. E no caso de z = f(x, y) representar uma grandeza física, as 
curvas de contorno recebem denominações específicas. 
 
2 – Derivadas Parciais 
2.1 – Definição 
As derivadas de funções de várias variáveis, também chamada de derivadas parciais podem ser calculadas 
pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções de uma variável), para isso basta 
tomar uma das variáveis, temporariamente constante. 
Assim, seja a função 
( , , ),f x y z
mantendo y e z constantes, a derivada parcial da função em relação à 
variável x será: 
0
lim x
x
f f
f
x x 
 
 
 
 
Mantendo agora, x e z constantes, a derivada parcial da função em relação à variável y será: 
0
lim y
y
f f
f
y y 
 
 
 
 
E analogamente, mantendo x e y constantes, a derivada parcial da função em relação à variável z será: 
0
lim z
z
f f
f
z z 
 
 
 
 
 
 
2.2 – Derivadas Parciais Sucessivas 
Uma função f(x,y) que admita derivadas parciais fx(x,y) e fy(x,y) em um ponto genérico (x,y) estabelece duas 
novas funções em x,y que poderão ser derivadas novamente, estabelecendo as chamadas derivadas 
parciais de segunda ordem, e assim sucessivamente até uma derivada parcial de ordem “11”. 
➢ Derivadas parciais de segunda ordem 
2
2
varxx
f f
f iável x
x x x
   
   
   
 e 2
2
varyy
f f
f iável y
y y y
   
   
   
 
➢ Derivadas parciais de ordem mesclada 
2
xy
f f
f
x y x y
   
  
    
 e 2
yx
f f
f
y x y x
   
  
    
 
 
 
 
 
 
Nota: O símbolo 
" "
é chamado de de’rom e será sempre utilizado quando formos calcular uma 
derivada parcial. 
 
NOTA: No caso fxy = fyx, esse resultado pode ser generalizado pelo Teorema de Schwartz: Se a 
função fx(x,y) e fy(x,y) são contínuas em um ponto (x0, y0) então fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). 
 
2.3 – Aplicação das Derivadas Parciais Sucessivas 
As Equações de segunda ordem são utilizadas para descrever vários fenômenos: 
➢ A Equação de Laplace: descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário 
no espaço: 
 
A equação de Laplace bidimensional: A equação de Laplace tridimensional: 
 2 2
2 2
0
f f
x y
 
 
 
 2 2 2
2 2 2
0
f f f
x y z
  
  
  
 
➢ A Equação da onda: Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma foto das ondas, esta mostrará um 
padrão regular de picos e depressão em um dado instante. Se ficarmos na água poderemos sentir 
a subida e descida da água com o passar das ondas então, um movimento periódico vertical ao 
longo do tempo. Em física, essa bela simetria é expressa pela equação de onda unidimensional: 
2 2
2
2 2
w w
c
t x
 

 
 
onde w é a altura da onda, x a variável distância, t a variável tempo e c a velocidade com que a onda 
se propaga 
 
2.4 – Derivada Parcial de uma Função Composta (Regra da Cadeia) 
2.4.1 – Introdução 
 
Antes de discutir a derivada de uma função composta, vamos falar sobre composição de funções de uma 
variável. 
Por exemplo: A função 
 2( )f t sen t t 
 é a composição da função 
 ( )g x sen x
com a função 
2( ) .h t t t 
Isto é, 
   2( ) ( )f t g h t sen t t  
 
 
A Regra da Cadeia afirma: se h é diferenciável no ponto t e g é diferenciável no ponto h(t), então f = g(h(t)) 
é diferenciável no ponto t e 
 
 '( ) ' ( ) . '( )f t g h t h t
 
Então, 
   2'( ) cos( ) . 2 1f t t t t  
. 
 
Desta forma, a mesma teoria aplicada a funções de uma variável pode ser aplicada para derivar uma função 
composta com várias variáveis. 
 
2.4.2 – Método da Arvorezinha 
 
Para resolver uma derivada por regra da cadeia, utilizaremos o método da Arvorezinha, que consiste em: 
 
1º) Montar a árvore com todas as relações de dependência das funções envolvidas; 
2º) “Pintar” o caminho desejado (o caminho indica a derivada que se quer calcular); 
3º) Nomear e calcular todas as derivadas que tiverem neste caminho; 
4º) Montar a resposta. 
 
 
3 – Integrais Duplas 
3.1 – Introdução 
Os problemas de “medida”, relacionados com os conceitosde comprimento, área e volume, remontam aos 
tempos dos egípcios há mais de 4.000 anos, às margens do rio Nilo, quando problemas como cálculo de 
áreas de campos e volumes de grãos começaram a ter importância. Com os conhecimentos das integrais 
simples obtemos áreas de regiões planas limitadas por gráficos de funções, volume de sólidos usando 
métodos das fatias, discos circulares, de aplicações na geometria, na física, etc. Nesta seção, esses 
problemas relacionados ao conceito de integrais simples serão estendidos para integrais múltiplas. 
 
Nas seções anteriores calculamos derivadas parciais de funções reais de duas ou mais variáveis, 
considerando uma das variáveis independentes como sendo constante e derivando em relação a outra. De 
modo inteiramente análogo, é possível considerar uma integral indefinida como uma função em relação a 
uma dessas variáveis. Por exemplo, 
4
3 2 2 3 2
4
x
x y dx y x dx y C
 
      
 
 
E da mesma forma que as integrais simples, as integrais duplas ou triplas podem ser utilizadas como 
eficientes ferramentas de montagem em diversas situações-problema, sobretudo aquelas que envolvem o 
cálculo de para ou volume de uma determinada região. 
 
3.2 – Integral Dupla sobre uma Região Retangular 
 
Par uma região do tipo 
  2, / ,R x y a x b e c y d     
 
 
a integral dupla de f sobre a região retangular T, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, como 
estabelece o Teorema de Fubini 
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
R a c c a
I f x y dA f x y dy dx f x y dx dy
   
         
   
 
 
Analisando a definição para região retangular, notamos que a ordem das integrais iteradas não irá alterar o 
resultado final, desta forma, observe qual a função que será integrada e escolha a que der “menos” trabalho 
para integrar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 1: Comece resolver a integral dupla de dentro para fora, e não esqueça de manter 
constante a outra variável que não será integrada. 
Dica 2: Para regiões retangulares, a ordem de integração não importa, pois o resultado final será 
o mesmo, logo, escolha integrar primeiro a função que achar mais fácil. 
3.3 – Integral Dupla sobre uma Região definida por Função 
 
➢ Região vertical simples 
 
Uma região do tipo 
      2 1 2, / ,D x y a x b e g x y g x     
 
 
a integral dupla de f sobre a região definida por função D, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, 
como estabelece o Teorema de Fubini 
 
( )2
( )1
( , ) ( , )
g xb
D a g x
I f x y dA f x y dydx   
 
 
➢ Região horizontal simples 
 
Uma região do tipo 
      2 1 2, / ,D x y h y x h y e c y d     
 
a integral dupla de f sobre a região definida por função D, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, 
como estabelece o Teorema de Fubini 
 
( )2
( )1
( , ) ( , )
h xd
D c h x
I f x y dA f x y dxdy   
 
 
 
 
 
3.4 – Interpretação Geométrica da Integral Dupla 
 
Seja 
 , 3.f x y 
Tomemos a região limitada superiormente por f(x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos 
planos x = 1, x = 2, y = 1 e y = 2, conforme ilustra a Figura 1: 
 
 
 
Figura 1: Sólido gerado pela função f(x, y) 
 
Analisando a Figura 1, podemos verificar que a 
integral dupla da função f(x, y) representa no plano o 
volume de um paralelepípedo de comprimento x = 1, 
largura y = 1 e altura z = 3. 
. (1.1).3 3 . .bV A h u v  
 
 
O fato observado no exemplo, não é mera 
coincidência. Na verdade, se 
( , ) 0f x y 
 para 
todo 
 , ,x y 
 então 
( , )
R
f x y dA
 nos fornece 
o volume de um sólido limitado superiormente 
por f(x y) e inferiormente por R: 
 
( , )
R
V f x y dA 
 
 
 
Dica: Para as regiões definida por função, comece integrando a variável onde o seu intervalo 
que estiver definido por função. 
 
3.5 – Aplicações de Integral Dupla 
 
➢ Cálculo de Volume 
 
Como vimos na Interpretação Geométrica da Integral Dupla, o volume do sólido que está acima da região D e 
abaixo da superfície z = f(x.y) é dado por: 
 
( , )
D
V f x y dA 
 
➢ Cálculo de Massa 
 
Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por 
unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por f(x,y), onde f é uma função contínua sobre D. Então a massa 
total m da lâmina é dada por: 
 
( , )
D
m f x y dA 
 
 
➢ Cálculo de Centro de Massa 
 
As coordenadas 
 ,x y
 do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade 
f(x,y) são: 
 
1
( , )
D
x x f x y dA
m
 
 e 
1
( , )
D
y y f x y dA
m
 
, onde 
( , )
D
m f x y dA 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Cálculo de Carga Elétrica 
 
Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a densidade de carga (em unidade de carga por 
unidade de área) é dada por f(x,y) num ponto (x,y) em D, então a carga total q é dada por: 
 
( , )
D
q f x y dA 
 
➢ Cálculo de Momento 
 
Seja uma lâmina com a forma de uma região D do plano XY e cuja densidade de massa por área num ponto 
(x,y) é f(x,y). Define-se momento de uma lâmina em torno do eixo com o produto de sua massa pela distância 
(na perpendicular) ao eixo. Assim: 
 
( , )x
D
M y f x y dA 
 e 
( , )y
D
M x f x y dA 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse 
concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada 
em seu centro de massa. 
 
 
Dica: Para regiões delimitadas por pontos, é importante desenhar esta região antes de integrar a 
função. 
EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO Á FUNÇÃO DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS 
 
1) Baseado na figura abaixo, defina a função que 
calcule: 
 
(a) A área lateral da caixa 
(b) A área total da caixa 
(c) O volume da caixa 
 
2) Baseado na figura ao lado, defina a função que 
calcule: 
 
(a) A área lateral do cilindro 
(b) A área total do cilindro 
(c) O volume do cilindro 
 
 
3) Defina a função que representa o 
comprimento de uma escada 
apoiada como Ilustra a figura ao 
lado: 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
4) Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª 
ordem imediata: 
 
(a) 
2( , ) 5f x y xy x 
 
(b) 
22 3),( yyxyxf 
 
(c) 
2 2( , ) 2f x y x y  
 
(d) 
3 2( , ) 2f x y xy x y 
 
(e) 
2 2( , , ) 1 2f x y z xy z  
 
(f) 
( , , )f x y z xy yz xz  
 
(g) 
   ( , , ) cosf x y z xsen y z
 
(h) 
3 2 3 2( , , , )f x y z t x x y z t  
 
 
5) Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª 
ordem para uma função composta: 
 
(a) 
 
2
( , ) 1f x y xy 
 
(b) 
 2( , ) cosf x y x y 
 
(c) 
2 2
2
( , )f x y
x y


 
(d) 
 2 4( , ) 3f x y sen x y 
 
(e) 
 ( , , ) ln 2 3f x y z x y z  
 
(f)  2 2 2
( , , )
x y z
f x y z e
  

 
(g) 
( , , )f x y z xyz
 
(h) 
 
3
2
1
( , , )f x y z
xyz x z


 
 
6) Utilize a regra do produto para calcular as 
seguintes derivadas parciais de 1ª ordem: 
 
(a) 
    ( , ) xh x y e sen x y 
 
(b) 
    2 3( , ) cosh x y x y x 
 
(c) 
    ( , , ) lnyzh x y z e x y z  
 
(d) 
    ( , , ) lnh x y z yz xy
 
 
7) Utilize a regra da divisão para calcular as 
seguintes derivadas parciais de 1ª ordem: 
 
(a) 
( , )
1
x y
h x y
xy



 
(b) 
2 2
2 2
( , )
x y
h x y
x y



 
(c) 
2
( , )
x
h x y
x y

 
(d) 
( , , )
xyz
h x y z
x y z

 
 
 
8) Quais das seguintes funções satisfazem a 
equação de Laplace: 
0
2
2
2
2






y
f
x
f
 
 
(a) 
2323 2),( yyxxyxf 
 
(b) 
( , ) 1yf x y xe y  
 
(c) 
23 3),( xyxyxf 
 
(d) 
( , )f x y x y xy  
 
(e) 
2 2( , )f x y x y 
 
 
9) Calcule as seguintes derivadas parciais 
simples e mescladas de segunda ordem: 
 
(a) 
2323 2),( yyxxyxf 
 
(b) 
( , )f x y x y xy  
 
(c) 
2( , ) cos( ) ( )f x y x y y ysen x  
 
(d) 
( , ) 1yf x y xe y  
 
(e) 
2 2 2( , ) 3 2f x y x y xy 
 
(f) 
2 3( , )f x y x xy y  
 
 
10) Utilize o método da arvorezinha e calcule 
:
dt
df
 
 
(a) 
2( , ) 2 ( ) ( ) ( ) cos( )f x y x y com x t sen t e y t t   
 
(b) 
 ( , ) ln( ) ln ( ) ( )t tf x y x y xy com x t e e y t e    
 
(c) 
2 2 2( , ) ( ) 3 1 ( ) 2f x y x xy com x t t e y t t t     
 
(d) 
( , ) cos( ) ( ) 1 ( ) 2 1f x y xy com x t t e y t t    
 
(e) 
2 2 2( , ) 2 ( ) ( )t tf x y x y xy com x t e e y t e    
 
(f) 
2 2( , ) 2 ( ) (2 ) ( ) cos(2 )f x y x y xy com x t sen t e y t t    
 
(g) 2 2
( , ) ( ) 1 ( ) 1x yf x y e com x t t e y t t    
 
(h) 
2 2 1 2 3( , , ) 3 ( ) , ( ) ( )f x y z x y yz com x t t y t t e z t t      
 
(i) 
2 3( , , ) ( ) , ( ) ( ) 1x y zf x y z e com x t t y t t e z t t     
 
(j) 
2 2( , , ) ( ) cos( ), ( ) 1 2 ( )f x y z x yz com x t t y t t e z t t     
 
 
Observação: nas letras (g) e (i) a função f(x,y) é 
composta, logo será necessário utilizar a tabela de 
derivadas por substituição. 
 
11) Utilize o método da arvorezinha e calcule 
dt
df
e 
:
ds
df
 
 
(a) 
2 2( , ) ( , ) 3 ( , ) 2f x y x y com x t s t s e y t s t s     
 
(b) 
2 2 2( , ) ( , ) ( , ) 2f x y x y com x t s t s e y t s ts    
 
(c) 
1( , ) ( , ) ( , ) 1t tf x y xy com x t s e s e y t s e s    
 
(d) 
2 2 2( , ) ( , ) ( , ) 3f x y xy y com x t s t s e y t s t s     
 
(e) 
2 2 2( , ) ( , ) ( , )f x y x y com x t s t s e y t s t s    
 
(f) 
2( , , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , )s tf x y z xy yz com x t s te y t s te e z t s s    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Se o raio r e a altura h de um tanque cônico 
decrescem ao longo do tempo a uma taxa de 0,3 
cm/h e 0,5 cm/h respectivamente, utilize o método 
da arvorezinha e determine a taxa de variação do 
volume em relação ao tempo quando r = 6 cm e 
h = 30 cm. Lembre-se: 
21( , )
3
V r h r h
 
 
13) Se a resistência R aumenta ao longo do tempo 
a uma taxa de 0,15 ohms/s e a tensão V reduz ao 
longo do tempo a uma taxa de 0,25 volts/s, utilize 
o método da arvorezinha e determine a taxa de 
variação da corrente em relação ao tempo quando 
R = 30 ohms e V = 26 volts. Lembre-se: 
( , )
V
I V R
R

 
 
14) Se a resistência R e a tensão V aumentam ao 
longo do tempo a uma taxa de 0,002 ohms/s e a 
0,015 volts/s respectivamente, utilize o método da 
arvorezinha e determine a taxa de variação da 
potência em relação ao tempo quando R = 6 ohms 
e V = 12 volts. Lembre-se: 
2
( , )
V
P V R
R

 
 
15) Se o comprimento c e a largura l de uma caixa 
retangular com tampa estão aumentando ao longo 
do tempo a uma taxa de 0,25 m/s e a altura h desta 
caixa está diminuindo também ao longo do tempo 
a uma de 0,5 m/s, utilize o método da 
arvorezinha e determine: 
 
(a) a taxa de variação da área da superfície em 
relação ao tempo quando c = 5 m, l = 3 m e h = 10 
m. Lembre-se: 
( , , ) 2 2 2A c l h cl ch lh  
 
(b) a taxa de variação do volume em relação ao 
tempo quando c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m. 
Lembre-se: 
( , , )V c l h clh
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS DUPLAS 
 
16) Calcule as seguintes integrais duplas sobre regiões retangulares: 
 
(a) 
  23 , , /1 2,1 2
R
I dA onde R x y x y      
 
(b) 
    24 , , / 0 2, 0 6
R
I x dA onde R x y x y       
 
(c) 
    2 23 , , / 0 2,1 2
R
I x y dA onde R x y x y       
 
(d) 
    2 24 , , / 0 3, 0 2
R
I y dA onde R x y x y       
 
(e) 
    2 3 212 8 , , /1 2, 1 2
R
I xy x dA onde R x y x y        
 
(f) 
    2 2, , / 0 1, 0 1
R
I xy x dA onde R x y x y       
 
(g) 
    2, , / 0 2,1 4
R
I x y dA onde R x y x y       
 
(h) 
  2 2 21 , , / 0 1 , 0 1
D
I y dA onde D x y x y y
           
 
 
(i) 
     2, , / 0 2, 0
2R
I xsen y dA onde R x y x y
 
        
 
 
(j) 
     2, , /1 2, 0
2R
I y sen xy dA onde R x y x y
 
        
 
 
(k) 
  2, , /1 2,1 4
R
x y
I dA onde R x y x y
y x
 
         
 
 
 
 
 
17) Calcule as seguintes integrais duplas sobre regiões definida por função: 
 
(a) 
 
2
21 , , / , 0 2
2D
y
I dA onde D x y x y y
  
        
  
 
(b) 
  2 31 , , / 0 2, 4
D
I dA onde D x y x x y x      
 
(c) 
    2 24 , , / 2 , 0 2
D
I x y dA onde D x y y x y y       
 
(d) 
    2 2, , / 2 3 , 0 1
D
I xy dA onde D x y y x y y      
 
(e) 
    2 21 , , / 0 1,
D
I xy dA onde D x y x x y x       
 
(f) 
    2 3 22 , , / 0 1, 0 1
D
I x y dA onde D x y x y x        
 
(g) 
    21 , , / 0 , 0 ( )
D
I y dA onde D x y x y sen x       
 
18. Calcule o volume do sólido delimitado 
superiormente pela função 
2 2( , ) 16 2f x y x y  
e inferiormente pela região definida pelo retângulo 
  2, / 0 2, 0 2 .R x y x y     
 
 
19. Calcule o volume do sólido delimitado 
superiormente pela função 
2 2
( , ) 1
4 9
x y
f x y   
e 
inferiormente pela região definida pelo retângulo 
  2, / 1 1, 2 2 .R x y x y       
 
 
20. Calcule o volume do sólido delimitado 
superiormente pela função 
2 2( , )f x y x y 
e 
inferiormente pela região definida pelo retângulo 
  2, / 1 1, 1 1 .R x y x y       
 
 
21. Calcule o volume do sólido delimitado 
superiormente pela função 
2( , ) 1f x y y 
e 
inferiormente pela região definida pelo retângulo 
  2, / 1 1, 0 1 .R x y x y      
 
 
 
22. Uma lâmina tem forma definida pelos pontos: 
A (0,0), B (0,4), C (2,0) e D (2,4). Determine a 
massa da lâmina, medida em gramas, sabendo 
que 
3 .
R
m xy dA 
 
 
23. Uma lâmina tem forma definida pelos pontos: 
A (0,1), B (0,-1), C (2,-1) e D (2,1). Determine a 
massa da lâmina, medida em gramas, sabendo 
que 
2 .
R
m xy dA 
 
 
24. Uma lâmina tem forma definida por: 
  2 2, / 4, 2 2 .D x y y x y      
 Determine a 
massa da lâmina, medida em gramas, sabendo 
que 
4 .
D
m x dA 
 
 
25. Uma lâmina tem forma definida por: 
  2, / 0 2, 0 2D x y x y x     
. Determine a 
massa da lâmina, medida em gramas, sabendo 
que 
29 .
D
m xy dA 
 
 
26. A carga é distribuída sobre uma região 
delimitada pelos pontos A (1,2), B (1,0), C (3,2) e 
D (3,0). Determine a carga total, em coulomb, 
sabendo que 
 22 .
R
q x y dA 
 
 
27. Uma lâmina tem forma definida por: 
  2, / 0 1, 0 2 2 .D x y x y x       
 
Determine a carga total, medidaem coulomb, 
sabendo que 
 1 3 .
D
q x y dA  
 
 
28. A carga é distribuída sobre uma região definida 
por:
  2, / 0 2, 2 2 .D x y x x y      
 
Determine a carga total, em coulomb, sabendo 
que 
3 .
D
q xy dA 
 
 
29. A carga é distribuída sobre uma região 
delimitada pelos pontos A (3,2), B (0,2), C (3,0) e 
D (0,0). Determine a carga total, medida em 
coulomb, sabendo que 
 2 .
R
q x y dA 