lista2 cálculo derivadas

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
MAT 141 (Turma 1) – Ca´lculo Diferencial e Integral I – 2017/II
2a Lista de Derivadas (atualizado em: 03/11/2017)
1) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f .
a) f(x) = x3 + 7x2 − 5x
b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
c) g(x) = x
6
5 − 12x 15
d) f(t) = (t2 − 4) 23
e) h(x) =
x− 3
x+ 7
f) f(x) =
x
x2 − 9
g) f(x) = sen2(3x)
h) g(t) = sen(2t) cos(2t)
i) f(x) = tg2(4x)
j) g(x) = (x− 2)3(x+ 1)2
2) Sejam f(x) = x2 − 4x− 1 e g(x) = x3 − x2 − x.
a) Ache os extremos relativos de cada func¸a˜o, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais f e´ crescente e os intervalos nos quais f e´ decrescente.
3) Esboce o gra´fico de f , sabendo-se que:
a) � D(f) = R, f(0) = 0
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−1, 1}
� Crescente: [−1, 1]
� Decrescente: (−∞, 1] ∪ [1,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (1, 2)
Ponto de mı´nimo: (−1, 2)
� Convexa: [−2, 0] ∪ [2,+∞)
Coˆncava: (−∞,−2] ∪ [0, 2]
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(−2, 1), (0, 0), (2, 1)}
� Ass´ıntota Horizontal: y = 0
b) � D(f) = R− {−1, 1}, f(0) = 0
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {0}
� Crescente: (−∞, 0]
� Decrescente: [0,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (0, 0)
� Convexa: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
Coˆncava: (−1, 1)
� Ass´ıntotas Verticais: x = −1 e x = 1
c) � D(f) = R, f(0) = 0
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {1}
� Crescente: (−∞, 1]
� Decrescente: [1,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (1, 1)
� Convexa: [2,+∞)
Coˆncava: (−∞, 2]
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(2, 1/2)
� Ass´ıntota Horizontal: y = 0
d) � D(f) = R− {−1, 1}, f(0) = 0
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−2, 0, 2}
� Crescente: (−∞,−2] ∪ [2,+∞)
� Decrescente: [−2, 2]
� Ponto de ma´ximo: (−2,−3)
Ponto de mı´nimo: (2, 3)
� Convexa: (−1, 0] ∪ (1,+∞)
Coˆncava: (−∞,−1) ∪ [0, 1)
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(0, 0)}
� Ass´ıntotas Verticais: x = −1 e x = 1
4) Dado o gra´fico de f ′ e sabendo-se que f(0) = 0, f(1) = 5, f(−1) = −6, f(3) = −6, f(−1/2) = −4, f(2) = 0, e
que os extremos de f ′ ocorrem em x = −1/2 e em x = 2, determine:
a) os pontos cr´ıticos de f .
b) os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
c) os intervalos em que f e´ coˆncava
os intervalos em que f e´ convexa.
d) o gra´fico de f .
x
−1 1 2 3
y
f ′
5) Uma func¸a˜o real f tem as seguintes caracter´ısticas:
D(f) = R− {2}, f(3) = 2,
lim
x→2+
f(x) = +∞ e lim
x→2−
f(x) = +∞; lim
x→∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = +∞
Os gra´ficos de f ′ e de f ′′ sa˜o dados abaixo:
x
y
f ′
2
3
x
2
y
f ′′
Determine:
a) intervalos onde f e´ crescente e os extremos relativos de f , se existirem.
b) intervalo onde f e´ coˆncava para cima e pontos de inflexa˜o, se existirem.
c) as ass´ıntotas horizontal e vertical, se existirem.
d) o gra´fico de f .
6) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine:
� O domı´nio de f .
� Os pontos cr´ıticos de f .
� O(s) intervalo(s) em que f e´ crescente e o(s) intervalo(s) em que f e´ decrescente.
� Os extremos relativos de f , se existirem.
� O(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava para cima e o(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava para baixo.
� Os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f , se existirem.
� As ass´ıntotas (horizontais, verticais e obl´ıquas) do gra´fico de f , caso existam.
� Um esboc¸o do gra´fico de f .
a) f(x) = x3 − 3x2
b) f(x) =
x
x− 1
c) f(x) =
x
x2 − 1
d) f(x) =
x
x2 + 1
e) f(x) =
x2
x2 − 1
f) f(x) = x e−x
g) f(x) = 3
√
x− 2
h) f(x) = (x+ 1)(x− 1)3
i) f(x) =
x3
x2 + 3
j) f(x) =
x2
6(x+ 3)
k) f(x) = 2|x− 2|x3
7) Determine os valores de ma´ximos e mı´nimos (locais e globais) de f no intervalo indicado.
a) f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 + 3 em [−2, 3].
b) g(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1].
8) Determine ma´ximos e mı´nimos locais e globais de f .
a) f(x) =
x
1 + x2
b) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2
9) Ache os ma´ximos e mı´nimos relativos das func¸o˜es dadas, pelo teste da derivada segunda.
a) f(x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2
b) g(x) = 3x2 − 2x+ 1
10) Resolva os seguintes problema de otimizac¸a˜o:
a) Um fabricante de caixas de papela˜o de base quadrada deseja fazer caixas abertas de pedac¸os de papela˜o de
12 m de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento
do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior poss´ıvel.
b) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e na˜o se exige cerca ao longo do rio.
Se o material da cerca custa R$ 2,00 por metro para os extremos e R$ 3,00 por metro para o lado paralelo
ao rio, encontre as dimenso˜es do campo de maior a´rea poss´ıvel que pode ser cercado com um custo de R$
480,00.
c) Os pontos A e B sa˜o opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3km de largura. O ponto
C esta´ na mesma margem que B, mas a 6 km rio abaixo, de B. Uma companhia telefoˆnica deseja estender
um cabo de A a C. Se o custo por km de cabo e´ 25% mais caro sob a a´gua do que em terra, que linha de
cabo seria menos cara para a companhia?
d) Se uma lata fechada de volume dado deve ter a forma de um cilindro circular reto, encontre o quociente da
altura pelo raio da base tal que seja usada a menor quantidade de material poss´ıvel na sua fabricac¸a˜o.
e) Em um laranjal cada laranjeira produz 600 laranjas por ano se na˜o mais de 20 laranjeiras forem plantadas
por acre. Para cada laranjeira plantada a mais por acre, a produc¸a˜o por laranjeira diminui em 15 laranjas.
Quantas laranjeiras por acre devem ser plantadas a fim de se obter o maior nu´mero de laranjas?
f) Uma folha de papel para um cartaz tem 1 metro quadrado de a´rea. As margens superior e inferior valem 10
cm e as margens laterais 5 cm. Determine as dimenso˜es da folha, sabendo que a a´rea impressa e´ ma´xima.
g) Uma ilha esta´ situada no ponto A, 8 km de distaˆncia da praia medidos a partir do ponto B mais pro´ximo
num trecho reto de litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9 km praia abaixo a contar do ponto
B. A mulher pode alugar um barco por R$ 1,00 o quiloˆmetro e viajar por mar ate´ um ponto P situado entre
B e C, e da´ı tomar um ta´xi a R$ 0,6 o quiloˆmetro e viajar por uma estrada retil´ınea de P a C. Calcule a
rota menos dispendiosa do ponto A ao ponto C.
h) Um chale´ tem a forma de um triaˆngulo iso´sceles de 12 m de altura e 9 m de base. A iluminac¸a˜o na parede
dos fundos e´ feita atrave´s de uma u´nica janela retangular que vai ate´ o cha˜o. Ache as dimenso˜es para que a
a´rea da janela seja a maior poss´ıvel.
i) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a
a´rea do canteiro seja a maior poss´ıvel? Sabendo que dispomos de 360 m de fio para cerca´-lo com treˆs voltas?
Qual e´ essa a´rea ma´xima?
j) Qual e´ o comprimento do menor caminho entre os pontos A = (0, 1) e B = (3, 2), passando pelo eixo x?
k) Uma pessoa se acha em um bote a 2 km de distaˆncia do ponto mais pro´ximo em uma praia retil´ınea e
deseja-se atingir uma casa a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a raza˜o de 3 km/h e andar a raza˜o
de 5 km/h determine o tempo mı´nimo que levara´ para atingir a casa.
l) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com 400 m2. Ela necessita saber a largura do
terreno de tal forma que a quantidade de material para cerca´-lo seja mı´nimo.
m) De todos os retaˆngulos com a´rea 10000 m2, qual o de menor per´ımetro?
n) De todas as latas cil´ındricas de volume 300 m3, qual a que pode ser fabricada com menor quantidade de
material?
o) Uma rede de a´gua pota´vel ligara´ uma central de abastecimento situada a` margem de um rio de 500 metros
de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O
custo daobra atrave´s do rio e´ de R$640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual a forma
mais econoˆmica de se instalar a rede de a´gua pota´vel?
p) A` 1 hora da tarde o navio A esta´ a 30 km ao Sul do navio B e navega rumo ao Norte a 15 km/h.Se o navio
B navega para Oeste a 10 km/h, determine o instante em que a distaˆncia entre os dois navios e´ mı´nima.
q) Dois postes verticais de 2 m e 2,5 m de altura distam 3 m um do outro. Determine o comprimento do menor
cabo que, partindo do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro poste.
r) Uma imobilia´ria possui 180 apartamentos tipo econoˆmico, que esta˜o todos alugados por R$ 300,00 mensais.
A imobilia´ria estima que, para cada R$ 10,00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficara˜o vazios. Qual
o aluguel que deve ser cobrado para se obter renda mensal ma´xima?
Gabarito
1) a) −5, 13
b) −3,−1, 1
c) 0, 2
d) −2, 0, 2
e) na˜o tem
f) na˜o tem
g)
1
6kpi
, k ∈ Z
h)
1
8
(2k + 1)pi, k ∈ Z
i)
1
4
kpi, k ∈ Z
j) −1, 1/5, 2
2) a) f −−, f(2) = −5, mı´nimo relativo, g −−, g(−1
3
) =
5
27
, ma´ximo relativo; g(-1)=-1 e´ o mı´nimo relativo
b) f −−, f(2) = −5, mı´nimo relativo, g −−, g(−1
3
) =
5
27
, ma´ximo relativo; g(-1)=-1 e´ o mı´nimo relativo
c) f—:Cresc. em [2,+∞[ e Decres em ]−∞, 2]; g—:Cresc. em ]−∞,−1
3
[ e [1,+∞[ e Decres. [−1
3
, 1]
3) a)
x
y
b)
x
y
c)
x
yy
d)
x
y
4) � D(f) = R, f(0) = 0
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−1, 1, 3}
� Crescente: [−1, 1], [3,+∞)
� Decrescente: (−∞,−1], [1, 3]
� Ponto de ma´ximo: (2, 0)
Ponto de mı´nimo: (−1/2,−4)
� Convexa: (−∞,−1/2], [2,+∞)
Coˆncava: [−1/2, 2]
� Ass´ıntotas: –
x
y
5) a) Crescente: [3,+∞)
Ponto de mı´nimo (3, 2)
b) Convexa: (−∞, 0], [2,+∞)
Ponto de inflexa˜o: (0, 0)
c) Ass´ıntota horizontal em y = 0.
x
y
6) a) f(x) = x3 − 3x2
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {0, 2}
� Crescente: (−∞, 0], [2,+∞)
� Decrescente: [0, 2])
� Ponto de ma´ximo: (0, 0)
Ponto de mı´nimo: (2,−4)
� Convexa: [1,+∞)
Coˆncava: (−∞, 1]
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(1,−2)}
� Ass´ıntotas–
x
3
y
b) f(x) =
x
x− 1
� D(f) = R− {1}
� Ponto(s) cr´ıtico(s):–
� Crescente: –
Decrescente: R− {1}
� Na˜o tem pontos extremos
� Convexa: (1,+∞)
Coˆncava: (−∞, 1)
� Ponto(s) de inflexa˜o: –
� Ass´ıntota Vertical: x = 1
Ass´ıntota Horizontal: y = 1
x
1
y
1
c) f(x) =
x
x2 − 1
� D(f) = R− {−1, 1}
� Ponto(s) cr´ıtico(s): na˜o tem
� Crescente:–
Decrescente: R− {−1, 1}
� Ponto de ma´ximo: na˜o tem
Ponto de mı´nimo: na˜o tem
� Convexa: (−1, 0], (1,+∞)
Coˆncava: (−∞,−1), [0, 1)
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(0, 0)}
� Ass´ıntota Vertical: x = 1 e x = −1
Ass´ıntota Horizontal: y = 0
x
−1 1
y
d) f(x) =
x
x2 + 1
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−1, 1}
� Crescente: [−1, 1]
Decrescente: (−∞, 1], [1,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (1, 1/2)
Ponto de mı´nimo: (−1,−1/2)
� Convexa: (−√3, 0], [√3,+∞)
Coˆncava: (−∞,−√3], [0,√3]
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(−√3,−
√
3
4
), (0, 0), (
√
3,
√
3
4
)}
� Ass´ıntota Horizontal:y = 0
x−1 1
y
−1
1
e) f(x) =
x2
x2 − 1
� D(f) = R− {−1, 1}
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {0}
� Crescente: (−∞,−1), (−1, 0]
Decrescente: [0, 1), (1,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (0, 0)
Ponto de mı´nimo: na˜o tem
� Convexa: (−∞,−1), (1,+∞)
Coˆncava: (−1, 1)
� Ponto(s) de inflexa˜o: –
� Ass´ıntota Vertical: x = 1 e x = −1
Ass´ıntota Horizontal: y = 1
x−1 1
y
1
f) f(x) = x e−x
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {1}
� Crescente:(−∞, 1]
Decrescente: [1,+∞)
� Ponto de ma´ximo: (1, 1/e)
Ponto de mı´nimo: –
� Convexa: [2,+∞)
Coˆncava: (−∞, 2]
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(2, 1/e2)}
� Ass´ıntota Horizontal: y = 0
x
yy
g) f(x) = 3
√
x− 2
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {2}
� Crescente: R
Decrescente: –
� Ponto de ma´ximo: –
Ponto de mı´nimo: –
� Convexa: (−∞, 2]
Coˆncava: [2,+∞)
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(2, 0)}
� Ass´ıntotas: –
x2
y
h) f(x) = (x+ 1)(x− 1)3
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−1/2, 1}
� Crescente: (−1/2,+∞)
� Decrescente: (−∞,−1/2))
� Ponto de mı´nimo: (−1/2,−27/16)
� Convexa: (−∞, 0), (1,+∞)
Coˆncava: (0, 1)
� Ponto(s) de inflexa˜o: {(0,−1), (1, 0)}
x
−1 1
y
−1
−2
i) f(x) =
x3
x2 + 3
� D(f) = R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): –
� Crescente: R
� Convexa: (−3, 0), [3,+∞)
Coˆncava: (−∞,−3), (0, 3)
� Ponto(s) de inflexa˜o: (−3,−9/4), (0, 0), (3, 9/4)
� Ass´ıntota obl´ıqua: y = x
x
y
j) f(x) =
x2
6(x+ 3)
� R− {−3}
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {−6, 0}
� Crescente: (−∞,−6), (0,+∞)
� Decrescente:(−6,−3), (−3, 0).
� Ponto de ma´ximo: (−6,−2)
Ponto de mı´nimo: (0, 0)
� Convexa: (−∞,−3)
Coˆncava: (−3,+∞)
� Ponto(s) de inflexa˜o: –
� assintota vertical: x = −3
ass´ıntota obl´ıqua : 6y − x+ 3 = 0
x
−3
y
k) f(x) = 2|x− 2|x3
� R
� Ponto(s) cr´ıtico(s): {0, 3/2, 2}
� Crescente: (−∞, 3/2), (2,+∞)
� Decrescente:(3/2, 2)
� Ponto de ma´ximo: (3/2, 27/8)
Ponto de mı´nimo: –
� Convexa: (0, 1), (2,+∞)
Coˆncava: (−∞, 0), (1, 2)
� Ponto(s) de inflexa˜o: (0, 0)(1, 2), (2, 0)
� assintotas: –
x
1 2
y
7) a) f(−2) = 7 valor ma´ximo; f(3) = −87
4
valor mı´nimo
b) f(−2) = −27 valor mı´n.; f(1) = 0 valor ma´ximo.
8) a) (1, f(1)) e´ ponto ma´ximo global; (−1, f(−1)) e´ ponto de mı´nimo global.
b) (0, f(0)) e (2, f(2)) ponto de mı´nimos globais; (1, f(1)) e´ ponto de ma´ximo local.
9) a)
f(x) f ′(x) f ′′(x) Conclusa˜o
x = −2 −3/2 0 + f tem um valor mı´nimo relativo
x = 0 0 0 - f tem um valor ma´ximo relativo
x = 1 −5/3 0 + f tem um valor mı´nimo relativo
b) f(1/3) = 2/3, mı´nimo relativo; coˆncavo para cima em toda parte.
10) a) 2cm, 128 cm3
b) O lado paralelo ao rio deve ser de 80m e os outros dois de 60m.
c) 5km por a´gua e 2 km por terra.
d) h = 2r=diaˆmetro
e) 30 laranjeiras.
f) 100
√
2 cm e 50
√
2 cm
g) Ir 10 km de barco e 3 km de ta´xi.
h) 92 m e 6 m
i) r = 30 m e A = 900 m2
j)
√
2 +
√
5
k)
26
15
h
l) largura de 20 m.
m) Quadrado de lado 100 m.
n) A´rea de raio
5
3
√
pi
m
altura
12
3
√
pi
.
o) Com uma tubulac¸a˜o de 654 m em terra.
p) 1813 h apo´s a`s 13 h.
q) 13
√
52 + 56
√
13 m
r) Aluguel deve ser de R$ 330,00.