Determinantes Exercicios

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Cap´ıtulo 2
Determinantes
2.1 Definic¸a˜o. Ca´lculo de determinates de 1a, 2a e 3a ordem.
Seja A ∈ Mn definida em R. O determinante de A e´ uma escalar em R associado a`
matriz A e nota-se por det(A) ou |A|.
Se n = 1 enta˜o A = [a11] e define-se que |A| = a11;
Supondo definida a noc¸a˜o de determinante para matrizes Mn−1 (n ≥2), enta˜o |A| =
n∑
i=1
(−1)i+1ai1 |A
′|, em que A′ e´ a matriz de ordem n-1 que se obte´m de A suprimindo a a
linha i e a primeira coluna.
Se A e´ uma matriz de ordem 2, enta˜o A =

 a11 a12
a21 a22

 e o determinante, seguindo a
definic¸a˜o anterior, e´
(−1)1+1a11 · a22 + (−1)
1+2 · a12a21,
que na˜o e´ mais que a diferenc¸a entre o produto dos elementos da diagonal principal de A e
os elementos da outra diagonal, ou seja, |A| = a11 · a22 − a21 · a12.
Exemplo 2.1.1.
∣∣∣∣∣∣
−1 2
4 3
∣∣∣∣∣∣
= (−1) · 3− 4 · 2 = −3− 8 = −11
22
Se a matriz e´ de ordem 3 enta˜o A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 e o determinante de A pode
calcular-se usando a seguinte regra denominada Regra de Sarrus:


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


a11 a12 a13
a21 a22 a23
ou seja, |A| = a11·a22·a33+a21·a32·a13+a31·a12·a23−a13·a22·a31−a23·a32·a11−a33·a12·a21
Exemplo 2.1.2.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0
3 4 5
−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
1 2 0
3 4 5
= 1× 4× (−2) + 3× 0× 0 + (−1)× 2× 5− (−1)× 4× 0− 1× 0× 5− 3× 2× (−2)
= −8 + 0− 10− 0− 0 + 12 = −6
2.2 Desenvolvimento de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre R. O menor-ij denotado por Mij , de um
elemento aij da matriz A e´ o determinante da matriz A
′ ∈Mn−1, que se obte´m suprimindo
a linha i e da coluna j a` matriz A.
A =


a11 · · · a1j · · · a1n
...
...
...
ai1 · · · aij · · · ain
...
...
...
an1 · · · anj · · · ann


23
Mij = det(A
′) = |A′| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1j−1 a1j+1 · · · a1n
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1j−1 ai−1j+1 · · · ai−1n
ai+11 · · · ai+1j−1 ai+1j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
an1 · · · anj−1 anj+1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
O sinal de um menor e´ uma poteˆncia de (-1) cujo expoente e´ a soma dos ı´ndices da
linha e coluna suprimidas.
O complemento alge´brico ou cofactor-ij de um elemento aij da matriz A, denotado por
Cij ou por cof-ij, obte´m-se multiplicando Mij pelo respectivo sinal, isto e´, Cij = cof-ij =
(−1)i+jMij .
Teorema 2.2.1. (Laplace) Seja A ∈ Mn (n > 1) sobre R. Um determinante e´ igual a`
soma dos produtos que se obteˆm multiplicando cada elemento de uma fila pelos respectivos
complementos alge´bricos:
|A| =
n∑
j=1
aijCij, desenvolvimento de Laplace ao longo da linha i
ou
|A| =
n∑
i=1
aijCij , desenvolvimento de Laplace ao longo da coluna j
.
Exemplo 2.2.2. Consideremos as matrizes

 −1 2
4 3

 e


1 2 0
3 4 5
−1 0 −2

 dos exemplos
anteriores. Calculemos agora o determinante usando o teorema de Laplace:
- ao longo da primeira linha∣∣∣∣∣∣
−1 2
4 3
∣∣∣∣∣∣
= (−1)1+1 · (−1) · 3 + (−1)1+2 · 2 · 4 = −3− 8 = −11;
- ao longo da 2a coluna∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0
3 4 5
−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)1+2 · 2 ·
∣∣∣∣∣∣
3 5
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)2+2 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)3+2 · 0 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
3 5
∣∣∣∣∣∣
= (−1) · 2 · (−6 + 5) + 4 · (−2) + 0 = −6
24
2.3 Propriedades dos determinantes e caracter´ıstica
Propriedades dos determinantes:
P1: Uma matriz com uma fila (linha ou coluna) de zeros tem determinante nulo.
Exemplo 2.3.1.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
0 0 0
−2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)2+1×0×
∣∣∣∣∣∣
2 −1
1 4
∣∣∣∣∣∣
+(−1)2+2×0×
∣∣∣∣∣∣
1 −1
−2 4
∣∣∣∣∣∣
+(−1)2+1×0×
∣∣∣∣∣∣
1 2
−2 1
∣∣∣∣∣∣
= 0
P2: Multiplicando os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um
escalar λ ∈ R, vem o determinante de A multiplicado por λ.
Observac¸a˜o: Se a matriz for de ordem n enta˜o |λA| = λn|A|.
Exemplo 2.3.2.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3× 2 0
3 3× 4 5
−1 3× 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= (−1)1+2×3×2 ·
∣∣∣∣∣∣
3 5
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+(−1)2+2×3×4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+(−1)3+2×3×0 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
3 5
∣∣∣∣∣∣
= 3×

(−1)1+2 × 2 ·
∣∣∣∣∣∣
3 5
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)2+2 × 4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)3+2 × 0 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
3 5
∣∣∣∣∣∣


= 3× (−6)
P3: O determinante de uma matriz e´ igual ao determinante da sua transposta, isto e´,
|A| = |AT |.
Exemplo 2.3.3. Vimos, em exemplo anterior, que aplicando o teorema de Laplace ao longo
da 2a coluna se obte´m:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0
3 4 5
−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)1+2 · 2 ·
∣∣∣∣∣∣
3 5
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)2+2 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)3+2 · 0 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
3 5
∣∣∣∣∣∣
= (−1) · 2 · (−6 + 5) + 4 · (−2) + 0 = −6
A transposta da matriz dada e´


1 3 −1
2 4 0
0 5 −2

.
25
Se calcularmos o determinante desta matriz ao longo da 2a linha obtemos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −1
2 4 0
0 5 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)2+1 · 2 ·
∣∣∣∣∣∣
3 5
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)2+2 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
−1 −2
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)2+3 · 0 ·
∣∣∣∣∣∣
1 0
3 5
∣∣∣∣∣∣
= (−1) · 2 · (−6 + 5) + 4 · (−2) + 0 = −6
P4: Se trocarmos, entre si, duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o valor do
determinante muda de sinal.
Exemplo 2.3.4. Dada a matriz


1 2 0
3 4 5
−1 0 −2

 troquemos a 1
a com a 2a linha e calcule-
mos o determinante usando a Regra de Sarrus.∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 4 5
1 2 0
−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3 · 2 · (−2) + 1 · 0 · 5 + (−1) · 4 · 0− (−1) · 2 · 5− 3 · 0 · 0− 1 · 4 · (−2)
3 4 5
1 2 0
= (−12) + 0 + 0 + 10− 0 + 8 = 6
P5: Se duas linhas ou duas colunas da matriz A sa˜o proporcionais enta˜o, |A| = 0.
Exemplo 2.3.5.
∣∣∣∣∣∣
1 −2
2 −4
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 −2× 1
2 −2× 2
∣∣∣∣∣∣
= −2×
∣∣∣∣∣∣
1 1
2 2
∣∣∣∣∣∣
= 2× 0 = 0 pela propriedade
anterior (ou efectuando os ca´lculos)
∣∣∣∣∣∣
1 −2
2 −4
∣∣∣∣∣∣
= 1× (−4)− 2× (−2) = −4 + 4 = 0
P6: Seja A uma matriz de ordem n em que cada elementos da linha i e´ da forma
aij = a
′
ij + a
′′
ij , 1 ≤ j ≤ n. Enta˜o
26
|A′| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
...
a(i−1)1 a(i−1)2 · · · a(i−1)n
a′i1 + a
′′
i1 a
′
i2 + a
′′
i2 · · · a
′
in + a
′′
in
a(i+1)1 a(i+1)2 · · · a(i+1)n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
...
a(i−1)1 a(i−1)2 · · · a(i−1)n
a′i1 a
′
i2 · · · a
′
in
a(i+1)1 a(i+1)2 · · · a(i+1)n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
...
...
...
a(i−1)1 a(i−1)2 · · · a(i−1)n
a′′i1 a
′′
i2 · · · a
′′
in
a(i+1)1 a(i+1)2 · · · a(i+1)n
...
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Resultado ana´logo e´ va´lido para as colunas da matriz.
Exemplo 2.3.6. Podemos calcular o seguinte determinante usando as propriedades:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
2 4 5
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
1 + 1 1 + 3 2 + 3
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
1 1 2
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
1 3 3
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
1 1 2
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+0 = 1
Se calcularmos o determinante usando a regra de Sarrus verificam-se que
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
2 4 5
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 12− 5− 12 + 6 = 1,
ou seja, obte´m-se o mesmo resultado.
P7: O valor de um determinante na˜o se altera quando se adiciona a uma linha (respec-
tivamente coluna) um mu´ltiplo de outra linha (respectivamente coluna).
Exemplo 2.3.7. Consideremos a matriz

 1 2
−1 5

 adicionando a`1a linha da matriz o
dobro da 2alinha obte´m-se

 1− 2 2 + 10
−1 5

 =

 −1 12
−1 5

. Calculemos agora os deter-
27
minantes e verifiquemos que o resultado e´ igual
∣∣∣∣∣∣
1 2
−1 5
∣∣∣∣∣∣
= 5 + 2 = 7 e
∣∣∣∣∣∣
−1 12
−1 5
∣∣∣∣∣∣
=
−5 + 12 = 7.
P8: Sejam A e B matrizes de ordem n. Enta˜o |A ·B| = |A| · |B|.
Exemplo 2.3.8. Seja A =

 1 2
−1 5

 e B =

 2 0
−2 1

. Enta˜o A ·B =

 −2 2
−12 5

.
|AB| =
∣∣∣∣∣∣
−2 2
−12 5
∣∣∣∣∣∣
= −10 + 24 = 14
|A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2
−1 5
∣∣∣∣∣∣
= 5 + 2 = 7 e |B| =
∣∣∣∣∣∣
2 0
−2 1
∣∣∣∣∣∣
= 2− 0 = 2
|A| · |B| = 7× 2 = 14. Logo |A ·B| = |A| · |B|.
Uma matriz quadrada diz-se triangular superior A = [aij ] (respectivamente inferior) se
abaixo (respetivamente acima) da diagonal principal so´ existirem zeros, ou seja, aij = 0 se
i > j (respetivamente aij = 0 se i < j).
P9: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal e´ igual ao produto dos
elementos da respetiva diagonal principal.
Exemplo 2.3.9.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
0 3 1
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −3
A caracter´ıstica da matriz pode ser calculada usando os determinantes. Seja A uma
matriz. A caracter´ıstica r(A) e´ a ordem da maior matriz quadrada que se pode extrair de
A com determinante na˜o nulo.
Exemplo 2.3.10. Seja A =


1 −2 −1
−3 3 0
2 2 4

. |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 −1
−3 3 0
2 2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 e portanto
r(A) 6= 3. Extraem-se agora de A matrizes de tipo 2 × 2 ate´ obter um determinante na˜o
nulo. Por exemplo
∣∣∣∣∣∣
1 −2
−3 3
∣∣∣∣∣∣
= −3 6= 0 e portanto r(A) = 2.
Exerc´ıcio 2.3.11. Seja B =


4 2 1 3
6 3 4 7
2 1 0 1

 a caracter´ıstica de B e´ no ma´ximo 3 e fazendo
os ca´lculos verifica-se que e´ 2. Porqueˆ?
28
P10: A caracter´ıstica de uma matriz A e´ igual a` caracter´ıstica da sua transposta, isto
e´, r(A) = r(AT ).
Exerc´ıcio 2.3.12. Deˆ um exemplo que verifique a propriedade 10. Prove a propriedade
fazendo refereˆncia a outra propriedade anterior.
2.4 Ca´lculo da matriz inversa usando determinantes
Seja A ∈ Mn em R. A matriz adjunta de A e´ a transposta da matriz cujos elementos
sa˜o os complementos alge´bricos de A e nota-se por Adj(A). Assim, seja Cij o complemento
alge´brico do elemento aij da matriz A, Adj(A) = [Cij ]
T .
Exemplo 2.4.1. Seja A =

 1 2
3 4

 enta˜o adj(A) =

 (−1)
1+1 |4| (−1)1+2 |3|
(−1)2+1 |2| (−1)2+2 |1|


T
=

 4 −3
−2 1


T
=

 4 −2
−3 1


A matriz A so´ tem inversa se |A| 6= 0. Uma matriz nestas condic¸o˜es diz-se regular. Caso
contra´rio, como ja´ foi referido, a matriz diz-se singular.
Teorema 2.4.2. A inversa de uma matriz regular A de ordem n e´ dada por A−1 =
1
|A|Adj(A).
Exemplo 2.4.3. SejaA =

 1 2
3 4

 . |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2
3 4
∣∣∣∣∣∣
= 4−6 = −2 e adj(A) =

 4 −2
−3 1


portanto A−1 = 1−2

 4 −2
−3 1

 =

 −2 1
3
2 −12

.
2.5 Resoluc¸a˜o de sistemas usando determinantes
REGRA DE CRAMER:
Consideremos o sistema

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn
em que o nu´mero de equac¸o˜es lineares e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas e o determinante
associado a` matriz A, dos coeficientes, e´ diferente de zero (|A| 6= 0), isto e´, a caracter´ıstica
da matriz dos coeficientes e´ ma´xima (r(A) = n). Enta˜o
29
x1 =
D1
|A| , x2 =
D2
|A| , x3 =
D3
|A| , · · · , xn =
Dn
|A|
onde Dj , j=1, · · · , n e´ o determinante da matriz que se obte´m de A substituindo os
elementos da coluna j pelos termos independentes do sistema.
Exemplo 2.5.1. Considere o sistema


a+ 2c = 1
b+ c = 0
−a+ b+ 2c = 2
.
A matriz A associada a este sistema e´ A =


1 0 2
0 1 1
−1 1 2

 . Assim,
D1 =


1 0 2
0 1 1
2 1 2

 = −3; D2 =


1 1 2
0 0 1
−1 2 2

 = −3 e D3 =


1 0 1
0 1 0
−1 1 2

 = 3.
Como |A| = 3, a = D1|A| = −1, b =
D2
|A| − 1 e c =
D3
|A| = 1.
Exerc´ıcio 2.5.2. Como classifica os sistemas aos quais se pode aplicar a Regra de Cramer?
Justifique.
2.6 Exerc´ıcios
1. Calcule o determinante associado a cada uma das seguintes matrizes:
(a) A =

 −1 2
1 0


(b) B =

 −2 1
3 2


(c) C =


−1 2 3
0 4 1
5 −2 4


(d) D =


a 1 0
2 a 2
0 1 a


(e) E =


1 2 4 5
−1 0 7 2
−3 −2 0 1
1 −3 −2 1


30
2. Calcule o determinante associado a cada uma das seguintes matrizes:
A =


1 −1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 1 −1


B =


0 0 3 5
0 2 −1 3
1 −1 2 0
0 0 0 4


C =


1 2 −1 3
2 4 1 0
−1 −2 1 −3
5 0 7 1


D =


1 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 2 1 0 0
4 3 2 1 0
5 4 3 2 1


(a) aplicando o teorema de Laplace;
(b) usando as propriedades dos determinantes.
3. Sem expandir o determinante, encontre valores de x que satisfac¸am as seguintes
equac¸o˜es:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x 3 3
3 x 3
3 3 x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 x x
x 5 x
x x 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x x x
2 −1 0
7 4 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x x2
1 2 4
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
4. Prove que:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (b− a)(c− a)(c− b)
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 · · · 1 1
1 2 1 · · · 1 1
1 1 3 · · · 1 1
...
...
...
...
...
1 1 1 · · · n− 1 1
1 1 1 · · · 1 n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (n− 1)!
31
5. Deˆ um exemplo que mostre que |A+B| 6= |A|+ |B|.
6. Considere as matrizes A =

 1 2
2 0

 e B =

 1 −2
3 0

. Verifique |A ·B| = |A| · |B|.
7. Considere a matriz A =


1 0 1
0 −1 −1
1 1 0

. Verifique que |λA| = λ
n|A|, onde n e´ a
ordem da matriz A.
8. Determine a caracter´ıstica de cada uma das seguintes matrizes:
A =

 1 1 2
0 0 2

,B =


1 3 0
2 1 2
1 0 1

, C =


1 1
1 3
0 −1

 e D =


0 1 1
0 3 −2
1 1 0
4 2 1


.
9. Sendo a, b e c nu´meros reais, discuta a caracter´ıstica das seguintes matrizes:
A =


1 1 0 1
0 1 0 1
1 1 0 a
1 0 1 b


, B =


1 a a
1 1− a 1 + a
1 1 a

 e C =


0 −c b
c 0 −a
−b a 0

.
10. Determine k ∈ R de modo que sejam invert´ıveis as seguintes matrizes:
(a) A =


1 2 4
3 1 6
k 3 2


(b) B =

 2 k − 2
k − 3 1


11. Determine, usando a matriz adjunta, a inversa da matriz:
(a) A =

 1 2
2 0


(b) B =


1 3 0
2 1 2
1 0 1


(c) C =


1 −3 1
3 1 0
−1 0 1


(d) D =

 cos t −sen t
sen t cos t


32
12. Prove que, se A e´ uma matriz quadrada regular enta˜o |A−1| = 1|A| .
13. Considere A =


1 2 −1 1
−1 −1 2 −1
0 −1 0 1
−1 −2 2 −1


.
(a) Determine |A| utilizando o Teorema de Laplace.
(b) Sabendo que B = 2A determine |B−1|, utilizando exclusivamente as propriedades
dos determinantes.
14. Se A e´ uma matriz ortogonal, ou seja, A = A−1 quais os valores poss´ıveis para |A|?
15. Considere os sistemas de equac¸o˜es lineares seguintes e nos casos em que seja poss´ıvel
resolva-os aplicando a regra de Cramer.
(a)


2x− 3y = 2
4x+ y = 1
(b)


3x−2y − 2z = 1
2x+ 3y + 4z = 8
x− 3y − 2z = 5
(c)


2x− y + z − 2t = 0
x− 4y − t = 0
2x+ 6y − z + 5t = 0
(d)


x+ y = −3
x+ 3y + 3z = 1
2x+ 3y − z = −1
3x+ y + 2z = 0
(e)


5x− 4y = 3
3x− 6y = 5
(f)


x+ y + 3z = 1
3x+ 2y − z = 2
−y − 2z = −3
Nas seguintes questo˜es assinale qual das respostas a), b), c) ou d) e´ a
correta.
16. Se A−1 e´ a matriz inversa de A enta˜o
(a) |A−1| = 1|A|
(b) AT = A−1
(c) A−1 = 1
A
(d) A−1 = I.A, onde I e´ a matriz iden-
tidade
33
17. Seja A uma matriz quadrada tal que A2 = I, onde I e´ a matriz identidade de ordem
igual a A. Enta˜o
(a) a matriz A na˜o e´ invert´ıvel
(b) A = AT
(c) A = I
(d) |A| = 1 ou |A| = −1
18. Sejam A e B duas matrizes quadradas. Enta˜o
(a) (A ·B)T = AT ·BT
(b) |2AT | = 2|A|.
(c) AT +BT = (B +A)T
(d) |AT | = |A−1|
19. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e B = 3A. Enta˜o
(a) |B| = 3|A|
(b) |B−1| = 19 |A|
(c) |BT | = 32|A|
(d) |B| = |A|
20. Sabendo que N e P sa˜o duas matrizes de ordem 4 e que |N | = −10 e que |P | = 12 o
determinante de NP T )−1 e´:
(a) -120
(b) − 1120
(c) −56
(d) 120
21. O determinante de


1 −1 1 −1 1
−1 1 −1 1 −1
1 −1 1 −1 1
−1 1 −1 1 −1
1 −1 1 −1 1


e´:
(a) 5 (b) -1 (c) 0 (d) 1
34