Exercícios Algebra Linear

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2014 / 2015
Álgebra Linear e Geometria Analítica
EsACT
setembro de 2014
Escola Superior de Comunicação, Administração e Turismo
2014
Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica
Lic. em Informática e Comunicações
Lic. em Multimédia
EsACT
setembro de 2014
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
1 : Matrizes.
1.1. Dê exemplo de uma matriz
a) quadrada de ordem 3.
b) retangular de ordem 2× 4.
c) retangular de ordem 5× 3
d) linha de ordem 1× 6
e) coluna de ordem 2× 1
1.2. Em cado caso apresente a matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por
a)
aij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
b)
aij =

2 se i = j
−1 se |i− j| = 1
0 caso contrário
1.3. Dadas as matrizes
A =
1 2 10 2 3
0 0 −1
 B =
 1 0 0−1 1 0
0 2 1
 C =
1 0 00 2 0
0 0 −1

D =
2 0 00 2 0
0 0 2
 E =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 F =
1 1 21 −1 0
2 0 2

a) Que designação especial tem cada uma delas?
b) Para cada uma delas determine a matriz transposta.
1
1.4. Dadas as matrizes
A =
1 2 34 5 6
7 8 9
 B = [1 −1
1 2
]
C =
1 −1 11 −1 1
1 0 −1

D =
3 0 00 3 0
0 0 3
 E =
1 0 00 0 1
0 1 0
 F =
−1 0 1 20 1 4 −1
0 0 3 −5

u =
[
2
3−1
3
]
v =
[
1
0
]
x =
12
1

calcule:
a) A+D
b) 3u− 2v
c) CA
d) AF
e) CF
f) AD e DA (Observação: Note que D comuta com A.)
g) EA e AE
h) Bu
i) Cx (Observação: Note que se tem Cx = 0 sem que C = O ou x = 0.)
1.5. Dadas as matrizes
A =
[
2 3 5
1 0 −1
]
B =
1 −12 2
3 3
 C = [1 2
0 1
]
calcule:
a) A ·B + C
b) 2B · 3A+ I2
c) C3
1.6. Dadas as matrizes
A =

−1 2 0
1 3 5
0 −1 3
2 1 5
 BT =

1 −1 1
2 0 3
5 1 7
0 2 9
 C =
−1 0 21 3 5
2 5 7

Determine:
a) AB
2
b) AC
c) ACT
d) BA+ CT
e) (BA− 4I + 2C)T
f) [(AB)2 − 4I]T
1.7. Considere as matrizes
A =
[
1 1 1
2 1 3
]
B =
[
5 1 0
0 2 4
]
C =
[
0 0 0
1 3 4
]
e determine
a) A matriz X tais que
1
2
(X + A) = 3[X + (A− C)] + C
b) X e Y tais que {
2X − Y = A−B
X + Y = B − A
1.8. Desenvolva a expressão (A+B)2 no caso de:
a) A e B serem matrizes de ordem n quaisquer
b) A e B serem comutáveis.
1.9. Sendo
A =
2 1 −10 3 −2
0 0 2

b =
11
1

determine x =
x1x2
x3

tal que Ax = b.
1.10. Exprima a seguinte equação matricial como um sistema de equações lineares
[
2 1 −3
4 0 1
]x1x2
x3
 = [−2
3
]
.
1.11. Considere a matriz [
2 −1
2 −1
]
a) Determine uma matriz B quadrada de ordem 2, não nula, tal que AB = 0.
b) Dê exemplo de matrizes não nulas X e Y tais que AX = AY mas X 6= Y .
c) Dê exemplo de uma matriz simétrica de ordem 3.
3
d) Verifique que a inversa de 
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2

é igual a
1
5

4 3 2 1
3 6 4 2
2 4 6 3
1 2 3 4

1.12. Use a definição para calcular a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
A =
[
1 −1
1 2
]
B =
[
0 1
1 0
]
C =
1 0 00 4 9
0 0 9

1.13. Verifique que a seguinte matriz é ortogonal:
1
7
−6 3 −2−3 −2 6
2 6 3

4
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
2 : Caraterística de uma matriz.
Aplicação aos Sistemas de Equações Lineares.
2.1. Determine a caraterística da matriz
A =

3 2 5 −1
6 1 10 0
1 1 2 0
2 1 3 0
0 0 0 1

2.2. Considere as matrizes:
A =
1 0 −10 1 −1
3 1 3
 B =
2 2 −3 02 −1 1 3
3 −2 1 0

C =
 1 2 −1−7 2 8
−6 4 −7
 D =

2 1 5
0 1 3
−1 2 −4
1 4 4
3 0 12

E =
 1 2 5 1−2 −4 −10 −2
3 6 15 3

a) Determine a caraterística de cada uma das matrizes.
b) Quais as matrizes que têm as linhas linearmente independentes?
c) Para cada uma das matrizes, indique o número máximo de linhas linearmente inde-
pendentes.
2.3. Determine k de forma que a caraterística da matriz seja igual a 3.
C =

4 4 −3 1
1 1 −1 0
k 2 2 2
9 9 k 3

5
2.4. Deduza que a caraterística da matriz é 2 e exprima a terceira e a quarta colunas como
composição linear das duas primeiras. 1 2 −1 33 4 0 −1
−1 0 −2 7

2.5. Resolva pelo método de triangulação de Gauss os seguintes sistemas e indique a carac-
terística da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada:
a)

x+ z = 2
y − z = 2
3x+ y + z = 4
b)

x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + x2 + 2x3 = −4
2x1 + 2x2 + x3 = 20
c)

x− y + z − t+ u = −1
−2x+ 3y − 3u = 2
z + 2u = 1
−x− y + t = 1
2x− 3y + z + t+ 3u = 0
d)

x1 + x3 + x4 = 2
x2 − x3 − x4 = 2
3x1 + x2 + x3 − 2x4 = 4
e)

x1 + x2 − x3 = 1
2x1 − x2 − x3 = 0
3x1 − 2x3 = 5
f)

x+ y + 2z = 1
−x+ 3y + 5z = 2
2y + z = −1
6y + 8z = 2
2.6. Considere o sistema:
x1 + 2x2 − x4 = 10
2x1 + x2 + x3 − 2x4 = 10
−x2 + 2x3 = 20
a) Escreva a equação matricial do sistema.
b) Indique a matriz completa e resolva-o.
6
c) Dê uma solução de modo que x1 e x4 sejam no máximo 10.
2.7. Use eliminação Gaussiana para resolver os seguintes sistemas:
a)

2x− y − 3z = 1
x+ y − z = 2
−x− y + 2z = 5
b)

x− y − u = 1
3x− 2y − z − u = −2
4x− 7y + 3z − 2u = 3
c)

4x+ y − z = 2
2x− y − z = 1
2x+ 2y + z = 1
6x− y − 5z = 4
2.8. Indique os valores de a para os quais o sistema é possível e determinado:
ax+ y = 1 = 0
x− y + 2z = 0
x+ z = a
2x+ y + az = 1
2.9. Considere o sistema de equações lineares:
2x− y = 1
ax+ 2y + z = 2
x− y + z = b
a) Para que valores de a e b o sistema é possível e determinado.
b) Considere a = −4 e b = 1 e resolva o sistema anterior.
2.10. Considere o sistema de equações lineares:
x+ y + z = 1
x+ y + (β + 1)z = 3
x+ y + (α− 1)z = α− 1
a) Discuta o sistema em função dos parâmetros reais α e β.
b) Considere α = 1 e β = 2 e resolva o sistema anterior.
2.11. Discuta, em função do parâmetro real α, o seguinte sistema de equações lineares:
x+ z + t = 1
αx+ y − t = 3
x− y + αt = 1
αx+ y + αz = 1
2
2.12. Discuta, em função dos parâmetro reais α e β, o seguinte sistema de equações lineares:
7

αx+ βy − z = α
αx− z = −1
x− y + z = 2
2.13. Discuta os seguintes sistemas em função dos parâmetros reais a e b.
a)

x+ y + az = b
−x− 2y + 3z = 1
2x+ 3y − 2z = 0
b)

x+ y + z = 2
2x− y + 3z = 0
3x− 3y + az = b
c)

2x+ 2y + 2z = 1
2x+ y + 3z = 0
x+ az = b
2.14. Determine k de forma que o sistema de equações lineares tenha uma solução nula.
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1 + 3x2 + kx3 = 0
3x1 + kx2 + (2k + 1)x3 = 0
Resolva o sistema para o menor valor de k
2.15. Resolva os seguintes sistemas homogéneos.
a)

x2 + 2x3 + x4 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4 = 0
b)

3x1 + 2x2 + x3 − x4 − x5 = 0
x1 − x2 − x3 − x4 + 2x5 = 0
−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 − x5 = 0
2.16. Para cada uma das seguintes matrizes, indique se são não-singulares e, em caso afirma-
tivo, calcule a sua inversa (pelo método de Gauss-Jordan):
a)
1 0 10 2 1
1 −1 0

b)
[
a b
c d
]
(a 6= 0 ou c 6= 0)
c)
4 0 10 2 1
1 1 9

8
d)
2 5 31 3 2
1 4 5

e)

2 −1 3 0
1 1 1 1
0 2 0 3
−1 0 2 1

9
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
3 : Determinantes.
Propriedades dos determinantes
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
• Propriedade 1: Se A tem uma fila nula, então |A| = 0.
• Propriedade 2: Se multiplicarmos uma fila de um determinante por um número real,
o determinante vem multiplicado por esse número.
•Propriedade 3: |A| = |AT |.
• Propriedade 4: Um determinante muda de sinal quando se trocam duas filas paralelas.
• Propriedade 5: Se na matriz A existem duas filas paralelas iguais |A| = 0.
• Propriedade 6: Se na matriz |A| existem duas filas paralelas proporcionais |A| = 0.
• Propriedade 7: Se cada elemento de uma fila de um determinante é soma de duas
parcelas, o determinante é igual à soma dos determinantes que dele se obtém substituindo
os elementos daquela fila, sucessivamente, pelas primeiras e segundas parcelas e deixando
as restantes filas inalteráveis.
• Propriedade 8: Não se atera o valor do determinante quando a uma fila se junta o
produto de outra, paralela, por um fator.
• Propriedade 9: Não se altera um determinante juntando a uma fila uma combinação
linear de outras filas paralelas.
• Propriedade 10: É nulo o determinante de uma matriz quadrada cuja caraterística é
inferior à ordem.
• Propriedade 11: A caraterística de uma matriz não nula é a mais alta ordem dos
determinantes (de submatrizes quadradas) significativos que nessa matriz se contém.
• Propriedade 12: O Determinante de uma matriz triangular superior
• Propriedade 13: |AB| = |A| × |B|
• Propriedade 14: Se A é regular, então |A−1| = 1|A|
10
3.1. Calcule os seguintes determinantes de 2.
o
ordem:
a)
∣∣∣∣ 1 10 −2
∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣ 2 1−3 4
∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣ 1 00 3
∣∣∣∣
3.2. Usando a regra de sarrus, calcule os determinantes de 3.
a
ordem:
a)
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
2 −3 4
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣
1 2 1
3 4 5
2 2 6
∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣
1 2 1
−2 5 4
0 9 6
∣∣∣∣∣∣
3.3. Diga, justificando e sem efetuar quaisquer cálculos, qual o valor dos determinantes.
a)
∣∣∣∣ 1 1−1 −1
∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣ 0 02 −1
∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣
1 2 5
0 0 7
−3 −6 9
∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣
1 4 5
2 4 7
3 8 12
∣∣∣∣∣∣
e)
∣∣∣∣∣∣
1 4 5
4 7 18
2 −1 8
∣∣∣∣∣∣
3.4. Dadas as matrizes
A =
2 4 63 1 8
0 2 1

e B =
2 3 04 1 2
6 8 1

calcule det(A) e det(B), justificando os resultados obtidos.
3.5. Justifique as igualdades:
a)
∣∣∣∣∣∣
u v w
o p q
r s t
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣
o u r
p v s
q w t
∣∣∣∣∣∣
11
b)
∣∣∣∣∣∣
a 0 0
b c 0
d e f
∣∣∣∣∣∣ = acf
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a 0 0
b 0 0 0
0 0 c 0
0 0 0 d
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −abcd
3.6. Encontre duas matrizes A e B que não verifiquem a igualdade
det(A+B) = det(A) + det(B).
3.7. Dadas as matrizes
A =
1 0 −12 1 3
4 5 1

e B =
1 0 −10 1 2
1 3 0

verifique que det(A)× det(B) = det(AB)
3.8. Considere as matrizes
A =
1 0 −12 1 3
3 1 2

e B =
1 4 10 1 2
1 5 7

a) Calcule |A| e |B|.
b) O que pode afirmar acerca das caraterísticas de A e de B.
3.9. Prove que se A é uma matriz ortogonal, então det(A) = ±1.
3.10. Duas matrizes dizem-se semelhantes se existe uma matriz regular C tal que
B = C−1AC
Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.
3.11. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Sabendo que det(A) = −3, determinante:
a) det(5A);
b) det(2A−1);
c) det(−AT );
d) det((4A)−1);
3.12. Considere a matriz:
A =

a a a a
1 1 1 1
0 0 −1 2
0 2 −1 0

a) Qual o valor de |A|?
b) Que conclui sobre a relação de dependência ou independência linear das filas da
matriz? Justifique.
12
c) Forme uma submatriz B de A pela exclusão da 1.alinha e da 1.a coluna. Calcule,
aplicando o Teorema de Laplace, o determinate de |B|.
3.13. Considere a matriz
A =

2 0 1 −1
1 a 0 1
0 1 −1 2
1 a 0 a

a) Calcule o determinante da matriz A.
b) Quais os valores de a para os quais as linhas da matriz são linearmente dependentes?
3.14. Use o método da adjunta para calcular a inversa de:
A =
[
1 2
−1 2
]
B =
[
1 3
2 5
]
C =
1 2 32 3 1
3 5 7
 D =
0 1 −11 2 −1
1 3 3

E =

1 2 −1 2
1 3 2 −3
2 1 −4 −2
1 0 3 −1

3.15. Considere a matriz:
A =
1 2 0k −k 3
k 1 k

a) Calcule k de modo que |A| = 0.
b) Faça k = −1 e determine A−1.
3.16. Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
{
2x− y = 6
4x+ 5y = 2
b)

3x+ y − z = 0
x+ y + z = 0
y − z = 0
c)

3x+ y − z = 1
−x− y + 4z = 7
2x+ y − 5z = −8
d)

2x− y + z = 1
x+ 3y − 2z = 0
4x− 3y + z = 2
13
Para cada sitema:
a) Verifique que o sistema é possível e determinado, sem resolver o sistema.
b) Encontre a solução pela regra de Cramer.
c) Encontre a solução pelo método de Gauss.
d) Verifique que a solução do sistema é dada por A−1b , onde A representa a matriz
dos coeficientes do sistema e b a matriz coluna dos termos independentes (calcule a
inversa da matriz A usando o método da adjunta)
14
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
4 : Cálculo vetorial e geometria analítica.
4.1. Desenhe um sistema de coordenadas e marque os pontos cujas coordenadas são:
a) (3, 4, 5)
b) (−3, 4, 5)
c) (3,−4, 5)
d) (3, 4,−5)
4.2. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
a) ~v = (3, 6)
b) ~v = (−4,−8)
c) ~v = (3, 4, 5)
d) ~v = (0, 0,−3)
4.3. Encontre as componentes do vetor
−−→
P1P2 de ponto inicial P1 e ponto final P2.
a) P1(4, 8), P2(3, 7)
b) P1(3,−5), P2(−4,−7)
c) P1(−5, 0), P2(−3, 1)
d) P1(3,−7, 2), P2(−2, 5,−4)
4.4. Encontre um vetor não nulo ~u com ponto inicial P (−1, 3,−5) tal que
a) ~u tem a mesma direção e sentido que ~v = (6, 7,−3)
b) ~u tem a mesma direção e sentido oposto ao de ~v = (6, 7,−3)
4.5. Encontre a norma de ~v
a) ~v = (4,−3)
b) ~v = (2, 3)
c) ~v = (−5, 0)
d) ~v = (2, 2, 2)
e) ~v = (−7, 2,−1)
4.6. Encontre a distância entre P1 e P2:
15
a) P1(3, 4), P2(5, 7)
b) P1(−3, 6), P2(−1,−4)
c) P1(7,−5, 1), P2(−7,−2,−1)
4.7. Sejam ~u = (2,−2, 3), ~v = (1,−3, 4) e ~w = (3, 6,−4). Calcule:
a) ‖~u+ ~v‖
b) ‖~u‖+ ‖~v‖
c) ‖−2~u‖+ 2‖u‖
d) ‖3~u− 5~v + ~w‖
e)
1
‖~w‖‖~w‖
f) ‖ 1‖~w‖ ~w‖
4.8. Seja ~v = (−1, 2, 5). Encontre todos os escalares k tais que ‖k~v‖ = 4.
4.9. Averigúe se os seguintes pares de vetores são colineares:
a) ~u = (2, 7) e ~v = (−4,−14)
b) ~u = (−3, 1, 2) e ~v = (1, 1, 4)
4.10. Determine as coordenadas do vetor ~u sabendo que tem norma 8 e é colinear com o vetor
~v de coordenadas (−2, 4,√5).
4.11. Considere-se os pontos P (1, 4) e Q(3, 7).
a) Escreva a equação vetorial da reta PQ.
b) Será R(−1, 1) um ponto desta reta? E S(2, 5)?
4.12. Considere a seguinte equação vetorial da reta no plano
(x, y) = (2, 5) + k(1,−3), k ∈ R.
a) Indique dois pontos pertencentes à reta.
b) Verifique que o ponto (0, 1) não pertence à reta.
c) Averigúe se o vetor (−2, 6) é um vetor diretor da reta.
d) Escreva uma equação de uma reta paralela à dada e que passa pelo ponto (−1, 4).
4.13. Determine a equação reduzida da reta que passa nos pontos P (1, 2) e Q(−1, 0).
4.14. Dada a equação da reta 2x+3y−1 = 0, indique um ponto da reta e determine um vetor
diretor.
4.15. A reta r é dada pela equação vetorial
(x, y) = (−1, 2) + k(3, 1), k ∈ R
a) Verifique que os pontos A(−4, 1) e B(5, 4) pertencem à reta r.
b) Averigúe se a reta s de equação y = 2
5
x+ 4 é paralela à reta r.
c) Indique uma equação vetorial do segmento de reta [AB].
4.16. Escreva uma equação
16
a) vetorial da reta
(i) que passa pelos pontos (−1, 3, 1
2
) e (4, 0,−2).
(ii) que passa por (2, 1/3) e é paralela à reta y = 3x+ 4.
(iii) horizontal que passa por (−1, 2).
b) reduzida da reta
(i) paralela a (x, y) = (−5, 2) + k(−4, 6), k ∈ R e cuja ordenada na origem é 7.
(ii) paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e que contém o ponto (3, 0).
(iii) horizontal que passa por (−1,√2).
4.17. Determine as equações cartesianas da reta a que pertence o ponto B(1,−3, 4) e que tem
a direção do vetor ~v(−3, 2, 0).
4.18. Dada a equação vetorial
(x, y) = (−3, 2, 9) + k(1,−5, 7), k ∈ R.
Determine a equação cartesiana.
4.19. Dada a equação cartesiana deuma reta definida por
x+ 2 =
3− z
4
∧ y = 1
Determine um ponto e um vetor diretor da reta.
4.20. Determine a projeção de ~u sobre ~v sendo ~u = (1, 2, 3) e ~v = (1, 2, 2).
4.21. Determinar vetorialmente os cossenos dos ângulos do triângulo no espaço tridimensional
cujos vértices são os pontos (2,−1, 1), (1,−3,−5) e (3,−4,−4).
4.22. Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P1(2, 2, 0), P2(−1, 0, 2) e P3(0, 4, 3).
4.23. Usando as propriedades do produto externo e do produto interno, calcule a área do
triângulo de vértices A(1,−1, 2), B(3, 4, 5) e C(−2, 1,−1), bem como o ângulo −→AĈ−→AB.
4.24. Seja ~a = −~e1 + 2~e3, ~b = 2~e1 + ~e2 − ~e3 e ~c = ~e1 + 2~e2 + 3~e3.
Calcular cada um dos seguintes vetores, em função de ~e1, ~e2 e ~e3:
a) ~a×~b
b)
~b× ~c
c) ~a× (~c× ~a)
d) (~a+~b)× (~a− ~c)
4.25. Calcule o produto misto ~u · (~v× ~w) dos vetores ~u = 3~e1 − 2~e2 − 5~e3, ~v = 3~e1 + 4~e2 − 4~e3
e ~w = 3~e2 + 2~e3.
4.26. Calcule o produto misto ~a · (~b× ~c) em cada um dos seguintes casos:
a) ~a = 3~e1, ~b = 4~e2 e ~c = 8~e3.
b) ~a = 2~e1 + 3~e2 − ~e3, ~b = 3~e1 − 7~e2 + 5~e3 e ~c = ~e1 − 5~e2 + 2~e3.
17
c) ~a = 2~e1 + ~e2 + 3~e3, ~b = −3~e1 + 6~e3 e ~c = 4~e1 + 5~e2 − ~e3.
4.27. Sejam (0, k, 6), (−2, 4, 4) e (4,−4, 0) as coordenadas de três pontos A, B e C de R3.
Determine k de modo que
a) o volume do paralelipípedo de arestas
−→
0A,
−→
0B e
−→
0C seja igual a 80.
b) Os pontos A, B, C sejam complanares.
4.28. Calcule o volume do paralipípedo determinado pelos vetores ~e1 + ~e2, ~e2 + ~e3 e ~e3 + ~e1.
4.29. Verifique em cada caso se os pontos estão em linha reta:
a) P (2, 1, 1), Q(4, 1,−1) e R(3,−1, 1).
b) P (2, 2, 3), Q(−2, 3, 1) e R(−6, 4, 1).
c) P (2, 1, 1), Q(−2, 3, 1) e R(5,−1, 1).
4.30. Considere duas retas: uma que passa pelo ponto P (1, 1, 1) e é paralela ao vetor ~u(1, 2, 3)
e outra que passa por Q(2, 1, 2) e é paralela ao vetor ~v(3, 8, 11). Prove que as duas retas
se intesetam e determine o ponto de interseção.
4.31. Estude a posição relativa das retas:
L = {(x, y, z) : (x, y, z) = (1, 1,−1) + λ(−2, 1, 3), λ ∈ R}
e L′ = {(x, y, z) : (x, y, z) = (3,−4, 1) + β(−1, 5, 2), β ∈ R}
4.32. Considere duas retas de vetores diretores ~u(2, 3, 1) e ~v(1, 2, 4) respetivamente.
a) Calcule o ângulo das duas retas.
b) Determine uma reta paralela à primeira.
c) Determine uma reta perpendicular à segunda.
4.33. Seja M um plano definido pela equação vetorial
(x, y, z) = (1, 2,−3) + λ(3, 1, 1) + µ(1, 0, 4), λ, µ ∈ R
Determine quais dos seguintes pontos pertencem a M :
a) (1, 2, 0);
b) (1, 2, 1);
c) (6, 4, 6).
4.34. Determine as equações paramétricas de cada um dos seguintes planos:
a) Plano que passa por (1, 2, 1) e é gerado pelos vetores (0, 1, 0) e (1, 1, 4).
b) Plano que passa por (1, 2, 1), (0, 1, 0) e (1, 1, 4).
4.35. Determine as equações cartesianas dos seguintes planos:
a) Plano que passa por (2, 3, 1) e é gerado por (3, 2, 1) e (−1,−2,−3).
b) Plano que passa por (2, 3, 1), (−2,−1,−3) e (4, 3,−1).
c) Plano que passa por (2, 3, 1) e é paralelo ao plano que passa pela origem e que é
gerado por (2, 0,−2) e (1, 1, 1).
18
4.36. Considere os planos M = {(x, y, z) : (x, y, z) = (1, 1, 1)+ λ(2,−1, 3)+µ(−1, 0, 2), λ, µ ∈
R}
e M ′ = {(x, y, z) : (x, y, z) = (2, 3, 1) + λ(1, 2, 3) + µ(3, 2, 1), λ, µ ∈ R}. Determine dois
pontos que pertençam à interseção dos dois planos.
4.37. Encontrar a equação cartesiana do plano que passa por (1, 2,−3) e é paralelo ao plano
3x− y + 2z = 4. qual a distância entre os dois planos?
4.38. Quatro planos tem as seguintes equações cartesianas x+ 2y − 2z = 5, 3x− 6y + 3z = 2
2x+ y + 2z = −1 e x− 2y + z = 7.
a) Provar que dois dos planos são paralelos e os outros dois são perpendiculares.
b) Calcular a distância entre os dois planos paralelos.
4.39. Determine o ângulo formado pelos planos x+ y = 1 e y + z = 2.
19
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
5 : Espaços vetoriais. Base e dimensão.
5.1. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos dados constitui um espaço vetorial real
estando a adição e multiplicação por escalares definida da forma usual. Para aqueles em
que isto não acontece dizer quais os axiomas que não são verificados.
a) Todas as funções racionais,
b) Todas as funções pares,
c) Todos os vetores (x, y, z) de R3 com 3x+ 4y = 1, z = 0,
d) Todos os vetores (x, y, z) de R3 com y = 5x.
5.2. Identifique o subespaço gerado de R3 gerado pelos vetores ~u1 = (1, 0, 0) e ~u2 = (0, 1, 1).
5.3. Identifique o subespaço de M2×2(R) gerado pelas matrizes:[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
.
5.4. Considere os vetores de R2 ~u1 = (1, 0) e ~u2 = (1, 1).
a) Escreva ~v = (3,−1) como combinação linear de ~u1 e ~u2.
b) Verifique que ~u1 e ~u2 são linearmente independentes.
c) Verifique que qualquer vetor (a, b) ∈ R2 pode ser escrito como combinação linear de
~u1 e ~u2.
5.5. Verifique se são linearmente independentes os vetores de R3 apresentados em seguida.
No caso de serem linearmente dependentes escreva um deles como combinação linear dos
restantes.
a) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1).
b) (1, 0, 1), (0, 1, 0), (1,−1, 1).
5.6. Verifique se são dependentes ou independentes os seguintes conjuntos de vetores:
a) {(√3, 1, 0), (1,√3, 1), (0, 1,√3)}
b) {(√2, 1, 0), (1,√2, 1), (0, 1,√2)}
5.7. Dos conjuntos da alínea anterior qual ou quais poderão constituir uma base de R3?
20
5.8. Determine uma base e a dimensão do subespaço de R4
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 = x3 + x4}
5.9. Verifique que os vetores (1, 0, 0), (1,−1, 0) e (1, 0,−1) formam uma base de R3. Deter-
mine as coordenadas do vetor ~v = (1,−4, 2) relativamente a esta base.
5.10. Considere três vetores ~u1 = ~e1, ~u2 = ~e1 + ~e2, ~u3 = ~e1 + ~e2 + ~e3 de R3 com ~e1, ~e2 e ~e3
vetores coordenados unitários.
a) Prove que { ~u1, ~u2, ~u3} são linearmente independentes.
b) Exprima ~e2 e ~e3 como combinação linear de ~u1, ~u2 e ~u3.
c) Exprima 2~e1 − 3~e2 + 5~e3 como combinação linear de ~u1, ~u2 e ~u3.
d) Prove que { ~u1, ~u2, ~u3} constituem uma base de R3.
5.11. Mostre que os vetores (1, 0), (1, 1), (0,−1) constituem um sistema de geradores de R2.
Retire vetores, entre os dados, para obter uma base de R2.
5.12. Mostre que os vetores (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1) formam uma base do subespaço de R4
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x2 = x3}.
Qual a dimensão de U?
5.13. Considere o conjunto
S = {(1, 0, 1), (2, 2, 1), (3, 2, 2)}.
a) O conjunto S é linearmente independente? Justifique.
b) Explique porque é que o conjunto S? = {(2, 2, 1), (3, 2, 2)} forma uma base do
subespaço gerado por S.
c) Use o produto vectorial para encontrar um vector, w, de modo que B = (2, 2, 1),
(3, 2, 2),w forme uma base de R3.
21
Álgebra Linear e Geometria Analítica (2014/2015)
Folha de exercícios n.
o
6 : Transformações lineares.
6.1. Verifique se as seguintes transformações são ou não lineares, e em caso afirmativo iden-
tifique qual o seu núcleo.
a) T (x, y) = (y, x)
b) T (x, y) = (x, 0)
c) T (x, y) = (x+ 1, y + 1)
d) T (x, y, z) = (z, y, x)
e) T (x, y, z) = (x+ 2, 0, x+ y)
6.2. Seja f : R2 → R3 uma transformação linear tal que f(1, 0) = (−1, 1, 2) e f(0, 1) =
(3, 0, 1). Determine f(x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2, utilizando a definição de aplicação
linear.
6.3. Supondo fixadas em R2 e R3 as respetivas bases canónicas, determine a matriz associada
a cada transformação linear, em relações a estas bases:
a) g : R2 → R3 definida por g(x, y) = (x+ y, 0, 0);
b) f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (−y, x);
c) h : R2 → R3 definida por h(x, y, z) = (x+ z, y − z, x+ y).
6.4. Se f : R3 → R3 é uma transformação linear que é representada, em relação à base
canónica de R3 pela matriz 1 0 10 1 2
2 0 2

qual a imagem por f de um vetor genérico x de R3.
6.5. Admita fixada em R3 a basecanónica e em R2 a base {(1, 1), (0, 1)}. Determine a matriz
que representa, em relação a estas bases, a transformação linear h : R3 → R2 definida
por h(x, y, z) = (x, y).
6.6. Sejam, no espaço vetorial real dos segmentos orientados do plano as seguintes transfor-
mações:
T -rotação de um segmento orientado, em torno da sua oriegem, de 90◦, no sentido di-
reto.
S-rotação de um segmento orientado, em torno da sua oriegem, de 180◦, no sentido
inverso.
22
a) Mostre que são transformações linearres.
b) Determine as respetivas matrizes.
c) Determine as matrizes de S ◦ T e T ◦ S.
d) Determine as matrizes de T ◦ T e S ◦ S.
e) Determine T−1 e S−1.
6.7. Considere a aplicação P : R3 → R3 definida por P (x, y, z) = (x, y, 0).
a) Verifique que P é uma transformação linear e interprete-a geometricamente.
b) Mostre que P 2 = P .
c) Determine N (P ) e Im(P ). Situe estes espaços na interpretação geométrica anterior
e indique uma base para cada um deles.
6.8. Para cada uma das seguintes aplicações lineares
T (x, y, z) = (2y − x, y − 3x, y + 3z)
T (x, y, z, w) = (x+ y − w, x+ 3z − y)
calcule:
a) o núcleo, N (T ).
b) Uma base do núcleo, caso exista, e a sua dimensão.
c) No caso da aplicação ser injetiva, determinar T−1.
d) A imagem, Im(T ).
e) Uma base da imagem e a sua dimensão.
6.9. Admita que a matriz 1 1 00 α− 3 3
0 0 α + 1

representa uma transformação linear T numa determinada base de R3, com α ∈ R.
a) Determine os valores de α de modo que a transformação linear T , seja injetiva.
b) Considere α = 0.
(i) Encontre a matriz que define a transformação inversa.
(ii) Determine uma base da imagem da transformação T .
23
24
Bibliografia
[AF] Amaral, I. e Ferreira, M. A. (2008). Álgebra Linear - Matrizes e determinantes- Vol. 1
(7.
a
Ed. ). Lisboa: Edições sílabo.
[AF] Amaral, I. e Ferreira, M. A. (2009). Álgebra Linear - Exercícios Vol.1- Matrizes e
determinantes (4.
a
Ed. ). Lisboa: Edições sílabo.
[R] Reis, Ilda (2006). Fichas práticas de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Recuperado
de http://www.ipb.pt/ ildareis/.
[V] Valença, M. R. (2003). Introdução à álgebra Linear (2.
o
Ed. ). Braga: Universidade
do Minho.
25
	Folha n.º 1: Matrizes
	Folha n.º 2: Caraterística de uma matriz. Aplicação aos Sistemas de Equações Lineares
	Folha n.º 3: Determinantes
	Folha n.º 4: Cálculo vetorial e geometria analítica
	Folha n.º 5: Espaços vetoriais. Base e dimensão
	Folha n.º 6: Transformações lineares