Cap. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

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Cap´ıtulo 1
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares e
Matrizes
1.1 Sistemas de equac¸o˜es lineares
Uma expressa˜o a1x1 + a2x2 + · + anxn = b onde a1, a2, ..., an sa˜o nu´meros reais, a que
se chama coeficientes, x1, x2, ..., xn sa˜o as inco´gnitas e b e´ o termo independente e´ uma
equac¸a˜o do 1ograu ou linear .
Exemplo 1.1.1. A equac¸a˜o linear 2x + 5y − 3z = 2 representa um plano em R3, e pode
escrever-se na forma 2x1 + 5x2 − 3x3 = 2.
Um conjunto de equac¸o˜es lineares, definidas em R, constitui um sistema de equac¸o˜es lineares
e representa-se, na forma cano´nica, por


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3
·
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
(1.1)
onde aij e bi com i = 1, ...,m e j = 1, ..., n sa˜o conhecidos e x1, x2, ..., xn sa˜o as inco´gnitas a
determinar. Os n-uplos (x1, x2, · · · , xn) das inco´gnitas, em Rn, que verificam as equac¸o˜es
chamam-se soluc¸o˜es.
3
Exemplo 1.1.2. Considere o seguinte sistema


2x1 − 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 − x3 = −1
3x1 + 2x3 = 1
−x1 + 4x2 = 0
Identifique os coeficientes, as varia´veis e os termos independentes. Verifique se o ponto
(0, 1, 2) e´ soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es.
Podemos classificar os sistemas, quanto ao conjunto das soluc¸o˜es:
Sistemas Poss´ıveis
Determinados: uma so´ soluc¸a˜o
Indeterminados: infinitas soluc¸o˜es
Sistemas Imposs´ıveis: quando na˜o existe soluc¸a˜o
Exemplo 1.1.3.


x+ y = 2
x− y = 0
e´ um sistema poss´ıvel e determinado;


x+ y = 2
2x+ 2y = 4
e´ um sistema poss´ıvel indeterminado;


x+ y = 2
x+ y = 0
e´ um sistema imposs´ıvel.
Dois sistemas dizem-se equivalentes se teˆm exatamente as mesmas soluc¸o˜es. Dado um
sistema de equac¸o˜es lineares obte´m-se um sistema equivalente quando:
i. se trocam as equac¸o˜es entre si;
ii. se multiplicam ambos os membros da equac¸a˜o por uma constante diferente de zero;
iii. se substitui uma equac¸a˜o pelo resultado da sua soma, membro a membro, com outra
multiplicada por uma constante diferente de zero.
Um sistema de m equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas pode ser representado por uma “ta-
bela” de nu´meros para a qual fixamos mentalmente a posic¸a˜o das varia´veis e dos sinais de
igual. A esta tabela chama-se matriz ampliada ou completa do sistema de equac¸o˜es linares
4
e sera´ denotada por [A|B] onde A e´ a matriz dos coeficientes do sistema e B os termos
independentes. Ou seja, dado o sistema


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3
·
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
a matriz ampliada e´


a11 a12 · a1n | b1
a21 a22 · a2n | b2
a31 a32 · a3n | b3
...
...
... | ...
am1 am2 · amn | bm


.
Exemplo 1.1.4. Consideremos o sistema


2x1 − 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 − x3 = −1
3x1 + 2x3 = 1
−x1 + 4x2 = 0
A matriz ampliada e´


2 −3 1 | 4
1 1 −1 | −1
3 0 2 | 1
−1 4 0 | 0


.
1.2 Me´todos para a resoluc¸a˜o de sistemas
Considere-se o sistema dem equac¸o˜es e n inco´gnitas represenrtado pela matriz ampliada
[A|B] comm linhas e (n+1) colunas. Usando esta forma matricial de representar um sistema
pode-se escrever novamente as operac¸o˜es elementares de Gauss, que permitem obter sistemas
equivalentes, mas como operac¸o˜es sobre as linhas da matriz. Assim, dado um sistema de
equac¸o˜es lineares obte´m-se um sistema equivalente quando:
i. se trocam linhas na matriz ampliada;
ii. se multiplica uma linha da matriz ampliada por uma constante diferente de zero;
iii. substitui uma linha da matriz ampliada pela sua soma com outra linha multiplicada
por uma constante diferente de zero.
5
Usando as operac¸o˜es sobre as linhas de uma matriz transforma-se a matriz numa ou-
tra matriz, denominada matriz escalonada reduzida. Um matriz desta forma verifica as
seguintes propriedades:
1. Se uma linha na˜o for totalmente constituida por zeros, enta˜o o primeiro elemento
diferente de zero e´ 1 e chama-se pivot .
2. Se existirem linhas constituidas unicamente por zeros, enta˜o elas sera˜o as linhas mais
abaixo na matriz.
3. Em duas linhas consecutivas que na˜o sa˜o unicamente cosntituidas por zeros, o pivot
da linha abaixo encontra-se a` direita do pivot 1 da linha acima.
4. Em todas as colunas com pivot 1 os restantes elementos sa˜o todos zero.
Uma matriz que verifique apenas as treˆs primeiras propriedades diz-se matriz escalonada
(mas na˜o reduzida).
Exemplo 1.2.1. As seguintes matrizes sa˜o escalonadas reduzidas


1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1

 ,


1 0
0 1
0 0

 ,


0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0


,
Exemplo 1.2.2. As seguintes matrizes sa˜o escalonadas


1 4 −3 7
0 1 6 2
0 0 1 5

,


1 1 0
0 1 0
0 0 1

,


0 1 2 6 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 1

.
Para encontrar o conjunto soluc¸a˜o do sistema basta partir da matriz ampliada e recu-
perar o sistema de equac¸o˜es lineares.
Exerc´ıcio 1.2.3. Indique o conjunto soluc¸a˜o para os sistemas representados pelas matrizes
escalonadas reduzidas apresentadas no exemplo anterior.
Os seguintes me´todos indicam os passos a seguir de forma a obter matrizes escalonadas
e matrizes escalonadas reduzidas.
6
Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Para resolver um sistema de equac¸o˜es lineares usando a matriz ampliada e as operac¸o˜es de
Gauss sobre as linhas da matriz, devem seguir-se os seguintes passos:
Passo1: procurar a coluna mais a` esquerda com elementos na˜o nulos.
Passo2: trocar linhas, caso seja necessa´rio, de forma a colocar no topo da coluna escolhida no
passo anterior os elementos diferentes de zero.
Passo3: Multiplicar por um escalar na˜o nulo o elemento do topo da coluna escolhida no Passo1
de forma a obter o pivot 1.
Passo4: Adicionar a`s restantes linhas a 1a linha multiplicada por um escalar na˜o nulo de forma
a obter zeros abaixo do pivot.
Passo5: marcar a primeira linha, voltar ao Passo1 e aplicar de novo todos os passos a` restante
submatriz (matriz que se obte´m da antetior eliminando uma linha).
O Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss e´ portanto um processo para encontrar matrizes
escalonadas.
Exerc´ıcio 1.2.4. Usando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss transforme as seguintes ma-
trizes em matrizes escalonadas:
a.

 1 2 −3
0 5 1

 ,
b.


1 2 0 1
5 2 0 2
3 1 0 −1

.
Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan
Se ao operarmos sobre as linhas de uma matriz o objetivo for obter uma matriz escalonada
(mas agora) reduzida, enta˜o aos cinco passos descritos anteriormente acrescenta-se outro.
Passo6: Escolher a u´ltima linha da matriz que tem elementos diferentes de zero e, de baixo
para cima, adicionar a`s restantes linhas a u´ltima linha multiplicada por um escalar
diferente de zero de forma a obter zeros acima do pivot.
Exerc´ıcio 1.2.5. Considerando as matrizes escalonadas do exerc´ıcio anterior transforme-as
agora em matrizes escalonadas reduzidas.
7
Numa matriz escalonada A o nu´mero de linhas na˜o nulas diz-se a caracter´ıstica de A, e
reperesenta-se por r(A).
Exerc´ıcio 1.2.6. Determine a caracter´ıstica das matrizes seguintes
a.

 1 2
−1 0

 ,
b.


1 2 −3 1
0 2 −1 2
3 1 0 −1

.
O teorema que se segue permite classificar um sistema quanto ao conjunto soluc¸a˜o sem
ter que o resolver.
Teorema 1.2.7. Dado um sistema de m equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas, onde A e´ a
matriz dos coeficientes e [A|B] e´ a matriz ampliada, tem-se que:
• se r(A) 6= r([A|B]) enta˜o o sistema e´imposs´ıvel;
• se r(A) = r([A|B]) enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e
– determinado se o nu´mero de inco´gnitas e´ igual a r(A), isto e´, r(A) = n;
– indeterminado se o nu´mero de inco´gnitas e´ maior que r(A), isto e´, r(A) < n.
Exerc´ıcio 1.2.8. Classifique os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineraes quanto ao conjunto
de soluc¸o˜es sem os resolver.
a.


x+ 2y − z = 1
y + 3z = 2
2x− z = −1
b.


x = 3y − 1
−4y + 3z = x
x = 2− z
A um sistema com m equac¸o˜es e n inco´gnitas cujos termos independentes sa˜o todos
nulos chama-se sistema homoge´neo.
Observac¸a˜o: Um sistema homoge´neo e´ sempre poss´ıvel, basta atribuir a cada uma das
varia´veis o valor zero e verificar que se obteˆm identidades verdadeiras.
8
1.3 Matrizes
Exemplo 1.3.1. Pretende-se determinar as percentagens de ca´lcio, fosfato, prote´ına total
e albumina em treˆs amostras de sangue. Os respetivos testes bioqu´ımicos forneceram os
seguintes dados:
1a amostra 2a amostra 3a amostra
Ca´lcio 9,5 10,2 8,5
Fosfato 3,5 4,1 4
Prote´ına Total 7 7,2 6
Albumina 4 4,8 3,6
(As concentrac¸o˜es indicadas sa˜o medidas em mg100ml para o ca´lcio e o fosfato e g100ml
para a prote´ına total e a albumina)
Exemplo 1.3.2. Um laborato´rio farmaceˆutico produz um certo medicamento. Os custos
relativos a` compra e transporte de quantidades espec´ıficas das substaˆncias necessa´rias para
a sua elaborac¸a˜o, adquiridas em duas localidades (fornecedoras) distintas sa˜o dadas respe-
tivamente pelas seguintes tabelas:
Substaˆncia Prec¸o de Compra Custo de Transporte
A 5 12
B 17 4
C 3 1
Substaˆncia Prec¸o de Compra Custo de Transporte
A 7 13
B 15 3
C 2 2
A apresentac¸a˜o organizada de dados em filas horizontais e verticais, nos exemplos ante-
riores, foi feita de forma a facilitar a leitura e apresentac¸a˜o.
Uma matriz A = [aij ] de tipo m× n, ou seja com i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n , sobre
R e´ um quadro com m linhas e n colunas cujos elementos aij sa˜o escalares em R. Mas
uma matriz serve na˜o so´ para representar sistemas de equac¸o˜es lineares, mas tambe´m para
representar dados, ou diversos objetos que se queira estudar.
9
Exemplo 1.3.3. A matriz A =


9, 5 10, 2 8, 5
3, 5 4, 1 4
7 7, 2 6
4 4, 8 3, 6


resume os dados do exemplo 1.3.1.
Exemplo 1.3.4. As matrizes M =


5 12
17 4
3 1

 e N =


7 13
15 3
2 2

 resumem os dados do
exemplo 1.3.2.
Exemplo 1.3.5. A matriz

 2 −1 0
1 0 3

 e´ uma matriz em Z de tipo 2× 3.
Exemplo 1.3.6. A matriz

 x x
2
−x− 1 0

 e´ uma matriz de func¸o˜es de tipo 2× 2.
O conjunto das matrizes com m linhas e n colunas representa-se por Mm,n.
Duas matrizes A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mm,n sa˜o iguais se e so´ se ha´ igualdade dos
elementos homo´logos, isto e´, aij = bij , i = 1, 2, ...,m e j = 1, 2, ..., n.
Exemplo 1.3.7. As matrizes

 1 2
1
2
0

 e

 (−1)
2 |√4|
3
6
0

 sa˜o iguais.
1.4 Operac¸o˜es com matrizes e suas propriedades
A soma de duas matrizes A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mm,n e´ uma matriz C = [cij ] ∈ Mm,n
cujos elementos sa˜o iguais a` soma dos elementos homo´logos de A e B, isto e´, cij = aij + bij ,
onde i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
Exemplo 1.4.1.
M +N =


5 12
17 4
3 1

+


7 13
15 3
2 2

 =


5 + 7 12 + 13
17 + 15 4 + 3
3 + 2 1 + 2

 =


12 25
32 7
5 3


Propriedades da adic¸a˜o de matrizes:
Sejam A = [aij ], B = [bij ], C = [cij ] ∈Mm,n.
1. (A+B) + C = A+ (B + C)
2. A+B = B +A
10
3. A+Om,n = Om,n +A = A
4. A+ (−A) = (−A) +A = Om,n
A matriz nula Om,n e´ uma matriz cujos elementos sa˜o todos nulos. A matriz (−A) =
[−aij ] e´ a matriz cujos elementos homo´logos sa˜o sime´tricos dos elementos da matriz A =
[aij ] (mais a` frente veremos que a matriz com elementos sime´tricos e´ diferente da matriz
sime´trica).
O produto de uma matriz A = [aij ] ∈ Mm,n por um escalar λ ∈ R e´ uma matriz B =
[bij ] ∈Mm,n cujos elementos sa˜o iguais ao produto do escalar por cada elemento da matriz
A, isto e´, bij = λaij , onde i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Exemplo 1.4.2. 2×

 1 2
1
2
0

 =

 2× 1 2× 2
2× 1
2
2× 0

 =

 2 4
1 0


Propriedades da multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar:
Sejam A = [aij ], B = [bij ] ∈Mm,n e α, β ∈ R.
1. α(A+B) = αA+ αB
2. (α+ β)A = αA+ βA
3. (α · β)A = α(β ·A)
4. 1 ·A = A
Considerem-se duas matrizes A e B sobre R, onde o nu´mero de colunas da primeira e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, isto e´, a matriz A e´ de tipo m × n e a matriz B e´
de tipo n× p. O produto das matrizes A e B e´ uma matriz P = [pij ] = A ·B de tipo m× p
onde pij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj =
∑n
k=1 aikbkj , com i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , p.
Exemplo 1.4.3. Sejam A =


1 2
0 −1
−1 0

 e B =

 2 3
4 5

.
A×B =


1× 2 + 2× 4 1× 3 + 2× 5
0× 2 + (−1)× 4 0× 3 + (−1)× 5
(−1)× 2 + 0× 4 (−1)× 3 + 0× 5

 =


2 + 8 3 + 10
0 + (−4) 0 + (−5)
(−2) + 0 (−3) + 0

 =


10 13
−4 −5
−2 −3


mas na˜o e´ poss´ıvel calcular B × A porque B e´ de tipo 2× 2 e A e´ de tipo 3× 2, ou seja, o
nu´mero de colunas da primeira, a matriz B, na˜o e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz A.
11
Uma matriz quadrada A e´ uma matriz com igual nu´mero de linhas e colunas. Se A ∈Mn
e´ uma matriz quadrada com n linhas e n colunas.
A diagonal principal de uma matriz quadrada A sa˜o os elementos aij em que i = j.
Chama-se trac¸o de uma matriz A a` soma dos elementos da diagonal principal e escreve-se
tr(A).
Exemplo 1.4.4. A matriz


1 3 5
2 −1 6
2 −2 7

 e´ uma matriz quadrada porque o nu´mero de
linhas e de colunas e´ igual e como a diagonal principal e´ 1, -1, 7 e o trac¸o e´ tr(A) =
1− 1 + 7 = 7.
A matriz identidade In e´ uma matriz quadrada de ordem n, i.e´ com n linhas e n colunas,
cujos elementos sa˜o todos nulos excepto os da diagonal principal que sa˜o 1.
Exemplo 1.4.5.

 1 0
0 1

 e´ uma matriz quadrada, porque tem 2 linhas e 2 colunas. Como
todos os elementos sa˜o zeros excepto os da diagonal principal que sa˜o zero diz-se uma matriz
identidade.
Propriedades da multiplicac¸a˜o de matrizes:
1. Se A ∈Mm,n, B ∈Mn,p e C ∈Mp,q, enta˜o (A×B)× C = A× (B × C)
2. Se A,B ∈Mm,n e C ∈Mn,p, enta˜o (A+B).C = A.C +B.C
3. Se A ∈Mm,n e B,C ∈Mn,p, enta˜o A.(B + C) = A.B +A.C
4. Se A, I ∈Mn enta˜o A.I = I.A = A
1.5 Matriz transposta e matriz sime´trica
A transposic¸a˜o e´ uma operac¸a˜o que a cada matriz de tipo m× n faz corresponder uma
outra matriz , mudando ordenadamente as linhas em colunas (e, portanto, as colunas em
linhas), que se chama matriz transposta de A e se representa por AT . A matriz AT e´ de
tipo n×m.
12
Exemplo 1.5.1. Dada a matriz A =


1 3 5
2 −1 6
2 −2 7

, a sua transposta e´
AT =


1 2 2
3 −1 −2
5 6 7


.
Propriedades da transposic¸a˜o de uma matriz:
1. Se A ∈Mm,n, enta˜o (AT )T = A
2. Se A,B ∈Mm,n, enta˜o (A+B)T = AT +BT
3. Se A ∈Mm,n e B ∈Mn,p, enta˜o (A.B)T = BT .AT
Uma matriz quadrada A ∈ Mn diz-se sime´trica se e so´ se e´ igual a` sua transposta,
A = AT .
Exemplo 1.5.2. A matriz


1 3 5
3 −1 6
5 6 7

 e´ uma matriz sime´trica.
1.6 Inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de tipo m × n. Chama-se inversa esquerda de A qualquer matriz
M de tipo n ×m tal que M.A = I, onde I e´ a matriz identidade de ordem m. Chama-se
inversa direita de A, qualquer matriz N de tipo n×m tal queA.N = I, onde I e´ a matriz
identidade de ordem m.
Seja A uma matriz quadrada. Chama-se inversa de A a uma matriz, que se representa
por A−1, tal que A−1.A = A.A−1 = I.
Exemplo 1.6.1. A matriz

 1 2
3 4

 e´ inversa de

 −2 1
3
2
−1
2

.
Se a matriz A na˜o tem inversa, A diz-se singular .
Propriedades da inversa de matrizes quadradas:
Sejam A,B ∈Mn.
13
1. Se A e´ invert´ıvel enta˜o A−1 tambe´m e´ invert´ıvel e
(
A−1
)−1
= A.
2. Se A e B sa˜o invert´ıveis, A ·B tambe´m e´ invert´ıvel e (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.
3. Se A e´ invert´ıvel e α ∈ R\{0}, enta˜o (α ·A)−1 = 1
α
A−1.
4. Se A e´ invert´ıvel, enta˜o (AT )−1 = (A−1)T .
Uma matriz quadrada A diz-se ortogonal sse A−1 = AT .
Exemplo 1.6.2. A matriz

 1 0
0 −1

 e´ ortogonal.
1.7 Ca´lculo da matriz inversa
Usando as operac¸o˜es definidas sobre matrizes verfica-se que um sistema de equac¸o˜es
lineares pode ser representado por A ·X = B, onde A e´ a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz coluna com as inco´gnitas e B a matriz coluna com os termos independentes.
Ou seja, dado os sistema


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3
·
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
⇔ A ·X = B
onde A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn


, X =


x1
x2
...
xn


e B =


b1
b2
...
bm


.
Exemplo 1.7.1. Consideremos o sistema


x1 + x2 − x3 = −1
3x1 + 2x3 = 1
−x1 + 4x2 = 0
A matriz dos coeficientes e´ A =


1 1 −1
3 0 2
−1 4 0

,
14
a matriz das inco´gnitas X =


x1
x2
x3


e a matriz dos termos independentes B =


−1
1
0

 .
Observe-se que determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A e´ determinar a
matriz X tal que A ·X = I. Portanto, equivale a resolver um sistema de equac¸o˜es lineares.
Assim, para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A invert´ıvel, constroi-
se a matriz [A|I], onde I e´ a matriz identidade de ordem igual a A. Aplicam-se as operac¸o˜es
elementares sobre as linhas da matriz, ja´ descritas anteriormente, ate´ se obter a matriz
identidade do lado esquerdo da matriz ampliada. A matriz inversa de A e´ a matriz do lado
direito, ou seja, [I|A−1].
Considerando A a matriz dos coeficientes, X a matriz das inco´gnitas e B a matriz dos
termos independentes de uma sistema de equac¸o˜es lineares, o sistema pode ser escrito na
forma
A ·X = B ⇔ X = A−1 ·B
que nos fornece uma outro me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas utilizando a matriz inversa dos
coenficientes do sistema.
1.8 Exerc´ıcios
1. Represente cada um dos seguintes sistemas pela respetiva matriz ampliada.
(a)


2x− 3y = 2
4x+ y = 1
(b)


3x− 2y − 2z = 1
2x+ 3y + 4z = 8
x− 3y − 2z = 5
(c)


5x− 4y = 3
3x− 6y = 5
(d)


x+ y + 3z = 1
3x+ 2y − z = 2
−y − 2z = −3
(e)


2x+ y + z = 3
2x+ z = 3
x+ 2y + 3z = 5
(f)


2x− y − z + t = 0
y − z − 3t = 2
x− z − t = 1
x− y + 2t = 0
15
(g)


2x− y + z − 2t = 0
x− 4y − t = 0
2x+ 6y − z + 5t = 0
(h)


x+ y = 0
x+ 3y + 3z = 1
2x+ 3y − z = −1
3x+ y + 2z = 0
(i)


x+ y = 2− z
y + 2z = 0
z + y + x = 1
2. Resolva os sistemas de equac¸o˜es lineares do exerc´ıcio (1) usando a Me´todo de Eli-
minac¸a˜o de Gauss.
3. Use a resoluc¸a˜o apresentada para as alineas do exerc´ıcio (1) e resolva cada um dos
sistemas pelo Me´todo de Gauss-Jordan.
4. Classifique cada um dos sistemas de equac¸o˜es lineares do exerc´ıcio (1) quanto ao
conjunto soluc¸a˜o:
(a) usando as resoluc¸o˜es apresentadas anteriormente;
(b) sem resolver os sistemas.
5. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares


x+ y + z = 1
x+ 2ay + 2az = 1
x+ y + az = b
.
(a) Discuta o sistema para os diferentes valores de a e b.
(b) Resolva o sistema pelo Me´todo de Gauss considerando a=2 e b=1.
6. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares


x− 2z = 1
y − kz = 1
tx− z = 2t
.
(a) Para que valores de k e t o sistema e´ poss´ıvel e determinado?
(b) Resolva o sistema para um dos valores encontrados.
7. Resolva os seguintes sistemas homoge´neos:
(a)


2x+ 3y + z = 0
4x+ y − zy = 0
.
(b)


2x+ 3y + z = 0
−x+ 2y = 0
3x− y = 0
.
16
8. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares


−2x+ y + kz = −1
4x+ ky + 2z = 1
2x− y = 1
.
(a) Discuta o sistema em func¸a˜o do paraˆmetro k, ou seja, para que valores o sistema
e´ poss´ıvel determinado, poss´ıvel indeterminado ou imposs´ıvel.
(b) Resolva o sistema pelo me´todo de Gauss-Jordan fazendo k = 2.
9. Dadas as matrizes:
A =

 −1 2 3
4 0 1

, B =

 2 3 −1
−2 0 −1

 e C =

 1 1 0
0 0 1

.
(a) Indique o tipo da matriz A e os elementos a11 e a23.
(b) Determine A+B, A−B e 2A− 3(B + C).
(c) Verifique que (A+B) + C = A+ (B + C) e que (2− 5)A = 2A− 5A.
10. Considere as matrizes A =

 1 −4 2
−1 4 −2

, B =


1 2
−1 3
5 −2

, C =


2 2
1 −1
1 −3

.
Calcule B + C, A×B, B ×A, C ×A, A× (2B − 3C).
11. Considere as seguintes matrizes
A =

 1 −1 2
0 0 −2

, B =


1 3 0
−1 1 2
1 0 1

, C =


1 1
1 3
0 −1

 e D =


0 1 1
0 3 −2
1 1 0
4 2 1


.
(a) Indique o tipo de cada uma das matrizes A, B, C e D.
(b) Efetue todos os produtos poss´ıveis entre duas das matrizes dadas.
12. Deˆ um exemplo, no conjunto das matrizes reais deM2,2 que mostre que a multiplicac¸a˜o
de matrizes na˜o e´ comutativo.
17
13. Considere as matrizes
A =


1 2 3 4 5
0 2 1 1 0
0 1 3 1 0
0 1 1 4 0
0 0 0 0 5


, B =


1 0 0
−2 3 0
1 −1 2

, C =

 −1 0 1
2 1 3

 eD =


−2 1
0 5
1 3

.
(a) Determine B − 2[DC]T .
(b) Determine B−1, usando a matriz adjunta.
(c) Calcule |A|. (deve indicar todos os ca´lculos ou propriedades que utilizar)
14. Considere a matriz


0 0 0
1 0 0
0 1 0

. Calcule M
2, M3,· · · , Mn.
15. Considere as matrizes A =


1 1
1 2
5 0

 e B =

 1 −2
3 0

.
(a) Calcule (AT )T e compare-a com A.
(b) Calcule AB, (AB)T , BTAT e compare-as.
16. Dada a matriz A =

 x
2 −11
1 0

, calcule A×AT .
17. Determine o trac¸o das seguintes matrizes A =

 1 −1
0 −2

, B =


1 3 0
−1 −4 2
1 0 1

.
18. Sejam A e B duas matrizes reais de ordem n tais que B=A+AT . Mostre que
tr(B)=2tr(A).
19. Recorrendo a` definic¸a˜o, determine as matrizes inversas de:
A =

 1 −1
0 −2

, B =

 −1 2
1 3

 e C =


0 0 1
1 0 2
0 0 −1

.
18
20. Quais das seguintes matrizes sa˜o: A =

 1 2
2 0

, B =


1 −3 1
3 1 0
−1 0 1

, C =

 x −1
1 x

, D =


0 −11 2
1 0 −3
−2 3 0

, E =


1
2
−
√
3
2
√
3
2
−1

.
(a) sime´tricas;
(b) ortogonais.
21. Usando as operac¸o˜es sobre as linhas de uma matriz para determinar a matriz inversa
das seguintes matrizes:
A =


1 1 1
1 0 1
2 1 2

,B =


1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 −1
1 −1 1 −2


,C =

 1 1
1 3

.
22. Considere os sistemas de equac¸o˜es lineares do exerc´ıcio(1) e naqueles em que a matriz
dos coeficientes for quadrada, determine o conjunto soluc¸a˜o usando a matriz inversa,
caso exista.
23. Deˆ exemplo de:
(a) uma matriz que na˜o seja invert´ıvel;
(b) um sistema de equac¸o˜es lineares imposs´ıvel;
(c) uma matriz que seja igual a` sua inversa;
(d) um sistema homoge´neo que seja poss´ıvel indeterminado com 3 equac¸o˜es
(e) uma matriz sime´trica;
(f) uma matriz ortogonal;
(g) duas matrizes diferentes em que A×B = B ×A.
19
Nas seguintes questo˜es assinale qual das respostas (a), (b), (c) ou (d) e´ a
correta.
24. Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. A propriedade A×B = B ×A:
(a) verifica-se sempre
(b) verifica-se se as matrizes forem diagonais
(c) nunca se verifica
(d) verifica-se se as matrizes forem triangulares
25. Sejam A e B duas matrizes quadradas do mesmo tipo. Enta˜o:
(a) tr(A+B) = tr(AT ) + tr(BT )
(b) tr(A×B) = tr(A)× tr(B)
(c) tr(A) = tr(A−1)
(d) tr(A−B) = tr(A) + tr(B−1)
26. Considere as matrizes A =

 9 5
7 4

 e B =

 4 n
m 9

. Se B e´ matriz inversa de A
enta˜o:
(a) n = m
(b) n = −5 e m = −7
(c) n = 7 e m = 5
(d) m e n sa˜o valores reais quaisquer.
27. Se A−1 =

 2 1
−5 −3

, enta˜o 5A+ I e´ a matriz:
(a)

 11 5
−25 −14


(b)

 11 6
−24 −14


(c)

 16 5
−25 −9


(d)

 16 6
−24 −9


28. A caracter´ıstica da matriz


1 1 −1
−1 k 1
1 −1 k

 e´:
(a) para qualquer valor de k
(b) para nenhum valor de k
(c) para k = −1
(d) para k 6= −1
20
29. O sistema homoge´neo


2x+ y + z = 0
−3y + 5z = 0
e´:
(a) poss´ıvel determinado com soluc¸a˜o u´nica (0, 0, 0)
(b) poss´ıvel indeterminado
(c) imposs´ıvel
(d) poss´ıvel determinado com soluc¸a˜o diferente de (0, 0, 0)
30. O sistema homoge´neo


x− 3y = 0
x+ z = 0
e´:
(a) poss´ıvel determinado com soluc¸a˜o u´nica (0, 0, 0)
(b) poss´ıvel indeterminado
(c) imposs´ıvel
(d) poss´ıvel determinado com soluc¸a˜o diferente de (0, 0, 0)
21