Séries de Fourier - UFF1

Prévia do material em texto

Séries de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Victor Rios Silva 
victorrios@live.com 
 
 
Universidade Federal Fluminense (UFF) 
Instituto de Matemática (IM) 
Departamento de Matemática Aplicada (GMA) 
Rua Mário Santos Braga, S/N – Valonguinho 24020-14 - Niterói, Rio de Janeiro, Brasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outubro 2010 
Página 2 / 57 
 
 Todos os eventos da natureza podem ser equacionados, uns de maneira simples e outros de maneira 
mais complexa. Uma das formas de equacionarmos os fenômenos naturais é através das Séries de Fourier. 
Nosso estudo sobre as Séries de Fourier será uma análise sobre quais as circunstâncias é possível 
escrever e como escrever uma função como uma Série de Fourier, análise da convergência e demonstração 
da derivação e integração dessas séries. 
 Nas seções I e II é apresentado as funções periódicas e séries trigonométricas, como uma forma de 
revisão de conceitos posteriormente essenciais para o entendimento das Séries de Fourier. Na seção III 
apresenta-se as Condições de Dirichlet, na seção IV, as Integrais de Euler, na seção V, a maneira pela qual se 
determinam os coeficientes de Fourier, na seção VI, funções pares e ímpares, na seção VII, funções com 
períodos arbitrários, a fim de expandirmos o conceito de Séries de Fourier da maneira mais genérica possível; 
na seção VIII, fala-se sobre séries em senos e cossenos e expansão par e ímpar, na seção IX, igualdade de 
Parseval, na seção X, convergência das Séries de Fourier, na seção XI, derivação e integração das Séries de 
Fourier, na seção XII, forma complexa das Séries de Fourier e na seção XIII, as aplicações das Séries de 
Fourier. Durante o estudo são propostas diversas questões resolvidas como forma de exemplificação e 
melhor entendimento do assunto. 
 
 
I. Funções Periódicas 
 Uma função é dita periódica com um período T se para qualquer x. Do que 
decorre que para n inteiro 
 
Exemplo 1: , temos que , logo . 
 
Exemplo 2: Achar o período da função 
Se a função for periódica: 
Página 3 / 57 
 
 
 
 
Logo ⁄ 
 
Observação: Se duas funções e possuem período T então a função é 
periódica com período T. 
 
 
II. Série Trigonométrica 
 É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos 
múltiplos sucessivos da Variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são 
admitidos reais. 
 
 
 
ou 
 
 
 ∑ [ ]
 
 (1) 
 
Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) 
será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções 
periódicas de período , a soma será uma função periódica de período . De modo que precisamos 
estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento , por exemplo: 
 As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série 
trigonométrica. 
 
 
 
 ∑[ ]
 
 
 
 Esta representação é possível se a satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet. 
Página 4 / 57 
 
III. Condições de Dirichlet 
 Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser 
representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais 
restritivas, asseguram a convergência da série para a função. 
 
 1ª) A função deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo com exceção, talvez, 
de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas). 
Exemplo: {
 
 
 
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em . 
 
Contra-exemplo: no intervalo 
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto . 
 
 2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo em um número finito de sub-intervalos, a função 
f(x) em cada um deles é monótona. A função tem somente um número finito de máximos e mínimos 
em um período. 
 
Exemplo 1: 
 
Podemos considerar 3 subintervalos: 
 No 1º é crescente 
 No 2º é decrescente 
 No 3º é crescente 
Apresenta no período um ponto de máximo e um 
de mínimo. 
 
Página 5 / 57 
 
Contra-exemplo: 
 
 
Esta função apresenta um número 
infinito de máximos e mínimos na 
vizinhança de . 
 
 
 
Exemplo 2: Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet 
a. 
 
 
 , 
Sim, pois no ponto onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. , 
Não, pois temos descontinuidade infinita para . 
 
c. 
 
 ⁄ , 
Não, descontinuidade infinita na vizinhança de . 
 
Página 6 / 57 
 
d. {
 
 
 
Sim, as duas condições de Dirichlet são satisfeitas. 
 
e. 
 
 
 , 
Não, pois na vizinhança de temos um número infinito de máximos e mínimos. 
 
 
IV. Ortogonalidade – Integrais de EULER 
 Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período , isto é, a integral em um 
período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula. 
 
1) ∫ 
 
 
 
De fato: ∫ 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
[ ] 
 
2) ∫ 
 
 
 
De fato: ∫ 
 
 
 *
 
 
+|
 
 
 
 
 
[ ] 
 
3) ∫ 
 
 
 
De fato: – (1) 
 (2) 
Somando membro a membro (1) + (2): 
 
 
 
[ ] 
∫ 
 
 
 
 
 
∫[ ] 
 
 
 
Página 7 / 57 
 
4) ∫ 
 
 
 
De fato: (1) 
 – (2) 
Fazendo (1) + (2) → 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
[ ] 
 
5) ∫ 
 
 
 
 – (1) 
 (2) 
(2) – (1): 
 
 
[ ] 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ [ ] 
 
 
 
 
6) ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
7) ∫) (1) 
 – (2) 
(1) + (2): 
 
 
[ ] 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
Página 8 / 57 
 
V. Determinação dos Coeficientes de Fourier 
 Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar 
e em termos de de maneira que no intervalo a série trigonométrica (1) seja igual à função 
 isto é: 
 
 
 
 ∑[ ]
 
 
 
Integramos os dois membros de (1) entre (-π,π) 
∫ 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∑ (∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
)
 
 
 
 = 0 (1ª I.E.) 0 (2ª I.E.) 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 [ ] 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 Multiplicando (1) por , sendo p, número fixo dado, integrando no intervalo (– ) 
∫ 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∑∫ 
 
 
 
 
 
 = 0 (1ª I.E.) = 0 se (3ª I.E.) = 0 (7ª I.E.) 
 
Se : 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
Página 9 / 57 
 
Cálculo de : 
 Multipliquemos (1) por e integremos entre 
∫ 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∑ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Se : 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar a série de Fourier da função que supomos possuir período e fazer esboço 
gráfico de e das primeiras três somas parciais. 
 
 
 ,
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
[∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
] 
 
 
 
[
 
 
 ] 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
[ ] 
Página 10 / 57 
 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
[ ] 
 
 
 
 
[ ] ,
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
As somas parciais são: 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
Vimos que para: 
 ,
 
 
 
 
A Série que Fourier representa é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 11 / 57 
 
Vamos determinar a Série de Fourier para: 
 
 {
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
 
 
 
A função é a deslocada 
 
 
 unidade para baixo, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ,
 
 
 
 
 
A função é a mesma , exceto por uma alteração na escala do tempo: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificamos que alterar a escala tempo, altera as frequências angulares dos termos individuais, mas 
não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente 
mudado se isto parecer conveniente. 
 
Exemplo 2: Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período : 
a. ,
 
 
 
 
A satisfaz as condições de Dirichlet. 
Página 12 / 57 
 
 
 
 A satisfaz as condições de Dirichlet. 
 
 
 
Cálculo dos Coeficientes de Fourier: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Fazendo a integração por partes: 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
 
 
|
 
 
 ∫
 
 
 
 
 - 
 
 
,
 
 
 ∫
 
 
 
 
 - 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
.∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
/ 
Página 13 / 57 
 
 
 
 
,
 
 
|
 
 
 ∫
 
 
 
 
 - 
 
 
,
 
 
 ∫
 
 
 
 
 - 
 
 
 
{ 
 
 
 
 
 
|
 
 
} 
 
 
{ 
 
 
 
 
 
|
 
 
} 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
A satisfaz as condições de Dirichlet. 
Cálculo dos Coeficientes 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
*
 
 
+
 
 
 
 
 
*
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Sabemos que ∫ ∫ , então, faremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Fazendo integral por partes novamente para ∫ 
 
 
 temos: 
 
 
 
 
 
Página 14 / 57 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
/
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 /
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
∫ 
 
 
 
( 
 
 
)∫ 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
∫ 
 
 
 
 
 
( 
 
 
)
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
)
( 
 
 
)
 
 *(
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) + 
 
c. 
A satisfaz as condições de Dirichlet. Vamos calcular os coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Se fizermos a integração por partes, teremos: 
∫ ∫ 
 ; 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
Página 15 / 57 
 
 ; 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
[ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ] 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
∫ 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
)∫Se multiplicarmos por n², teremos: 
 ∫ 
∫ 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
Mas, sabemos que: {
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo análogo, calculamos 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 ∑ * 
 
 
 
 
 
 +
 
 
 
ou 
 
 
 
[
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
] 
Página 16 / 57 
 
d. {
 
 
 
A satisfaz as condições de Dirichlet. 
Cálculo dos Coeficientes 
Como a função é ímpar, então . 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
[ ] {
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
VI. Funções Pares e Ímpares 
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo . Diz-se que: 
 
 
 
 
Observação: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. 
 
 O valor da função ímpar no ponto zero: . 
 Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos 
que: 
Página 17 / 57 
 
I) ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
II) ∫ 
 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), é ímpar: 
 
 
 
 
 
 
 
IV) O produto de uma função par g(x) por uma função par é uma função par: 
 
 
 
 
Página 18 / 57 
 
V) O produto de uma função ímpar h(x) por uma função ímpar é uma função par: 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: Se uma função é uma função par, é uma função ímpar e: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Por outro lado, se é uma função ímpar, é ímpar e: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Teorema I 
 A série de Fourier de uma função periódica par , que possui período , é uma série de Fourier 
em cossenos: 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 Com coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
A série de Fourier de uma função periódica ímpar , que possui período , é uma série de 
Fourier em senos: 
Página 19 / 57 
 
 ∑ 
 
 
 
 Com coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 Consideremos par. 
 
 
 
 ∑ 
 
 (1) 
 
 
 
 ∑ 
 
 (2) 
Mas como f é par, 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
Somando-se (1) com (2): 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
Por outro lado, 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Como são funções pares, temos: 
 
 
 
*∫ ∫ 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
*∫ ∫ 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
*∫ ∫ 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
* ∫ 
 
 
+ 
Página 20 / 57 
 
Consideremos agora ímpar: 
 
 
 
 ∑ 
 
 (1) 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
Como é ímpar, , então: 
 
 
 
 ∑ 
 
 (2) 
 
Fazendo (1) – (2): 
 ∑ 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
Por outro lado, 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Como são funções ímpares: 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
 
*∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Página 21 / 57 
 
 Logo, ao calcular os coeficientes da Série de Fourier para uma função que tenham simetria, é 
conveniente integrar de a , ao invés de a . 
 
 Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, 
de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. 
 
Exemplo 1: Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares: 
a. 
 
 
Logo não é nem par nem ímpar. 
 
b. 
 
Logo, é par. 
 
c. | | 
 | | 
Logo, é ímpar. 
 
d. 
 
Logo, não é uma função nem par, nem ímpar. 
 
e. 
 
Página 22 / 57 
 
Logo, é uma função par. 
 
Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier da função: 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo . 
 
Cálculo dos Coeficientes: 
 Como é par, 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Como a integral já foi calculada, sabemos que: 
 {
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 23 / 57 
 
Exemplo 3: Determine a Série de Fourier para : 
 
Embora pudéssemos determinar a série de diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de 
usar as relações de simetria, pois a não é par nem ímpar. 
 
1º Caso: A subtração de uma constante de 
 
 
 produz uma função ímpar : 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 )Página 24 / 57 
 
2º Caso: Mudemos o eixo vertical para obter uma função par 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 Mas como: 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos reescrever : 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ), exatamente como obtido anteriormente. 
 
Página 25 / 57 
 
Exemplo 4: Desenvolver em Séries de Fourier as funções, supostas periódicas de período : 
a. 
 
 
 
 
Como é par, temos que 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Se substituirmos , teremos: 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
Página 26 / 57 
 
b. {
 
 
 
 
 
 
Como é ímpar, 
 . 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
c. 
Como é par, temos que 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
( | 
 ∫ 
 
 
 ) 
 =0 (1ª I.E.) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
=0 (1ª I.E.) 
Página 27 / 57 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. | | 
A satisfaz as condições de Dirichlet. 
 
Cálculo dos Coeficientes 
Como | | é uma função par, temos que 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
*
 
 
+
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Sabemos que ∫ ∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
[
 
 
]
 
 
 
 
 
[ ] 
 
 
[ ] 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
Página 28 / 57 
 
Exemplo 5: Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T: 
a. {
 
 
 
 e 
 
 
 
 Como é ímpar, . 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
b. {
 
 
 
 
 
 
Como é par, . 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
Página 29 / 57 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
c. ,
 
 
 e 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
)|
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
)|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Página 30 / 57 
 
d. , e 
 
 
 
Como a função não é nem par nem ímpar, teremos que 
calcular . 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
|
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
e. ,
 
 
 e 
 
Página 31 / 57 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
 
 
|
 
 
 ( 
 
 
)|
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
 Resolvermos a integral da seguinte forma: 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 )|
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
 )|
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 Resolvermos a integral da seguinte forma: 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 32 / 57 
 
 (
 
 
 
 
 
 )|
 
 
 ( 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 ))|
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
() 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
f. 
Como sabemos que é uma função par, temos que . 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
( | 
 ∫ 
 
 
) 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. ,
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
) 
 
 
[ 
 
 
 |
 
 
] 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 33 / 57 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
h. 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
i. 
 
 
 
Como sabemos que é uma função par, temos que 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 34 / 57 
 
Resolvermos a integral da seguinte forma: 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 )|
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
 
 
 
 
[(
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 ] 
 
 
 
j. 
 
Como é uma função par, temos que . 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Mas temos que 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 ,
 
 
 
 ∑(
 
 
) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 35 / 57 
 
k. 
 
 
 
Como é uma função par, temos que . 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
Para calcular ∫ 
 
 
, aplicaremos a solução por partes duas vezes: 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
) 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 (
 
 
) [ ] 
∫ 
 
 
 (
 
 
) [ ] 
 
Ao multiplicarmos o resultado por 
 
 
, teremos valendo: 
 
 
 
(
 
 
) [ ] 
 
 
 
 
∑(
 
 
) [ ] 
 
 
 
 
Página 36 / 57 
 
VII. Funções com Período Arbitrário 
Até agora consideramos funções periódicas de período . Por uma simples mudança de variável 
podemos encontrar a Série de Fourier para uma função de período T qualquer. 
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. 
Seja definida no intervalo ( 
 
 
 
 
 
): 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
 (2) 
 
Somando membro a membro (1) e (2): 
 
Substituindo em (1): 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde 
 
 
 , logo a (
 
 
 )é definida no intervalo . 
Assim: 
 (
 
 
 ) 
 
 
 ∑ 
 
 
 
Com coeficientes: 
 
 
 
∫ (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
∫ (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
∫ (
 
 
 ) 
 
 
 
Página 37 / 57 
 
Para facilitar os cálculos, façamos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por 
exemplo, 
O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer. 
 
Seja uma função qualquer, definida num intervalo fechado [ ]. 
 
Podemos definir o intervalo T como sendo: 
 
Página 38 / 57 
 
Então, é possível generalizar a Série de Fourier descrita acima como: 
 
 
 
 ∑ ( 
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar a Série de Fourier da função , periódica de período . 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 Temos que: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é par: 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Página 39 / 57 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier em [ ] da função . 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
Página 40 / 57 
 
Exemplo 3: Determine a série de Fourier da função , dada por: 
 
A função pode ser definida como: 
 ,
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
) 
 
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculospodem ser simplificados 
consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio: Designemos por a extensão periódica de a todo o 
eixo dos x. Então, as funções e são periódicas com período 2, e temos: 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Para qualquer número real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de ser contínua por partes 
em – com período . Então, 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Para qualquer par de números reais [ ]. Faremos agora , para obtermos: 
Página 41 / 57 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Mas, no intervalo [– ], coincide com a função par | |, onde para todo k, e: 
 ∫ 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIII. Séries em Senos e Séries em Cossenos 
Desenvolvimento de meio período. 
Se for par, a série de Fourier fica: 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 (1) 
Com coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 (2) 
 
 prolongada como função par. 
Página 42 / 57 
 
Se for ímpar, a série de Fourier fica: 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
Com coeficientes: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prolongamento periódico ímpar. 
 
Observação: Constatamos que (2) e (4) empregam unicamente os valores de do intervalo . 
 
 Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1) e (3). Se a função 
satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo . Fora deste 
intervalo, a série (1) representará o prolongamento periódico par da , tendo período ; e a (3) o 
prolongamento periódico ímpar da . 
 
Página 43 / 57 
 
Exemplo 1: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função definida no intervalo e fazer o 
gráfico do prolongamento periódico correspondente. 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
) 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
Página 44 / 57 
 
Exemplo 2: Representar por meio da Série de Fourier em cossenos e fazer o prolongamento periódico 
correspondente. 
a. ,
 
 
 
 
Prolongamento periódico par. 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
(
 
 
|
 
 
 *
 
 
 +
 
 
) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
Calculemos a integral: 
∫ 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +
 
 
 *
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +
 
 
 
 
 
* 
 
 
 +
 
 
) 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja: 
Página 45 / 57 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 ∑ ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Representar por meio da Série de Fourier em senos e fazer o prolongamento periódico 
correspondente da seguinte função: 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Mas temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 {
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 46 / 57 
 
IX. Igualdade de Parseval 
Se é uma função qualquer de [ ] então: 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Onde e são os coeficientes de Fourier. 
 
De fato: 
 
〈 〉 
‖ ‖ 
 ∑ *
〈 〉
‖ ‖ 
 
〈 〉
‖ ‖ 
 + 
 
 
 
 
Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação(1) por obtém-se: 
〈 〉 ‖ ‖ 
〈 〉〈 〉
‖ ‖ 
 
〈 〉〈 〉
‖ ‖ 
 
〈 〉〈 〉
‖ ‖ 
 
Tendo em vista que: 
‖ ‖ = ∫ 
 
 
 
‖ ‖ ∫ ( )
 
 
 
 
‖ ‖ ∫ 
 
 
 
‖ ‖ ∫ 
 
 
 
 
Conclui-se que: 
 〈 〉 
‖ ‖ 
 
(∫ 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 〈 〉 
‖ ‖ 
 
(∫ 
 
 
 )
 
 
 
 
 
Página 47 / 57 
 
Observação: Em geral, 
‖ ⃑‖ ∑ 〈 ⃑ ̂〉 
 
 
 
 
 
onde ̂, ̂,..., é um conjunto ortogonal de vetores de um espaço de dimensão infinita(espaço euclidiano)V. 
Assim, ⃑ é um vetor arbitrário de V. Além disso, ̂, ̂ ..., é uma base de v se , e somente se : 
 
‖ ⃑‖ ∑ 〈 ⃑ ̂〉 
 
 
 
 
 
 
X. Convergência das Séries de Fourier 
a. Convergência Pontual 
 Seja f(x) contínua por partes em , com período e suponhamos que: 
 
 
 
[ ] 
 
para todo x. Então, a série de Fourier em cada ponto em que f tem derivadas à direita e à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando f é continua 
 
 
 ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 48 / 57 
 
b. Convergência em Média 
 
 
‖ ‖ 
 
 ∫ [ ]
 
 
 
Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e não que converge pontualmente, 
no sentido que 
 
 
 ∑ 
 
 para todo em [ ] A convergência 
pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada. 
 ,
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
Neste caso a série converge também pontualmente para f nos pontos de [ ] onde está 
definida. Além disso, quando , a série converge parazero, embora não esteja definida nesses 
pontos. 
 
 
Teorema 
Seja uma função continuamente diferenciável por partes em [ ], com o que entendemos 
que f tem uma derivada primeira contínua por partes em [ ]. Então, o desenvolvimento em série de 
Fourier de converge pontualmente em [ ] e tem o valor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 ( 
 ) 
 
 
 é a média dos limites à esquerda e a direita de em , e é igual a quando 
 é um ponto de continuidade de . 
Página 49 / 57 
 
 
Assim, podemos afirmar que a série 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
 
[ 
 
 
 
 
 
 ]] 
converge pontualmente no intervalo [ ] para 
 
 
 
 
 
c. Convergência Absoluta e uniforme 
Teorema 
Seja uma função contínua em , com período , e suponhamos que tenha derivada 
primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de converge uniforme e absolutamente para em 
todo intervalo fechado do eixo x. 
 
Teorema 
Seja continuamente diferenciável por partes e periódica em com período . Então a 
série de Fourier de converge uniformemente para em qualquer intervalo fechado do eixo x que não 
contenha ponto de descontinuidade de . 
 
Página 50 / 57 
 
XI. Derivação e Integração das Séries de Fourier 
Teorema 
Seja f uma função contínua em , com período , e suponhamos que tenha derivada 
primeira, , contínua por partes. Então, a série de Fourier de pode ser obtida derivando a série de 
termo a termo, e a série derivada converge pontualmente para se existe: 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Teorema 
Seja f uma função contínua por partes em com período , e seja 
 
 
 
∑ 
 
 , a série de Fourier de .Então: 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, a integral definida de , de a até b, pode ser calculada integrando-se a série de 
Fourier de termo a termo: 
∫ ∑ 
 
 
 ∑∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 51 / 57 
 
Teorema da Integral 
 Seja uma função arbitrária de [ ] com Série de Fourier dada por: 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Então, a função ∫ 
 
 
 tem uma série de Fourier que converge pontualmente com 
relação a todo x do intervalo e 
 
∫ ∑
 
 
 
 
 
 
 ∑
 [ 
 ] 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: [ ] 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
Página 52 / 57 
 
Exemplo 2: 0 
a. 
 , - 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. ( ) {
 
 
 
 
 
 
∫ {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
XII. Forma Complexa das Séries de Fourier 
 
 
 
 ∑ ( 
 
 
 
 
 
)
 
 
 
Onde pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E introduza estas expressões na Série de Fourier. É conveniente definir: 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 53 / 57 
 
Então, a Série de Fourier pode ser escrita, sua forma complexa, da seguinte maneira: 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 ,
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Ache a Série Complexa de Fourier de: 
 ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
 
Página 54 / 57 
 
XIII. Aplicações das Séries de Fourier 
a. Circuitos RLC 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Página 55 / 57 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Deflexão em Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 é a rigidez da viga e é a carga por unidade de comprimento. Temos também que 
 . 
 ∑ (
 
 
 )
 
 
 
 ∑ (
 
 
)
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
 
Mas temos que a Série de Fourier de é: 
 ∑ (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
∫ (
 
 
 ) 
 
 
 {
 
 
 
 
 
Página 56 / 57 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
 
 
 (
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
Página 57 / 57 
 
Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre as Séries de Fourier, além de suas 
peculiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções. Foi possível também notar a grande 
importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais e a facilidade que ela propõe para tal estudo. 
Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta é essencial para as sociedades poderem interagir com a 
natureza de maneira cada vez mais eficaz. 
 
 
Agradecimentos 
 Aos amigos Bruno César Gimenez, Pedro Gall Fernandes e Liziane Freitas Possmoser pelo empenho, 
dedicação e auxílio na elaboração, desenvolvimento e conclusão deste estudo. 
Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos 
itens enunciados. 
 
 
Referências 
[1] Butkov, Eugene, Mathematical Physics, 1ª edição (1988) 
[2] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier 2010 
[3] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier: Mudança de Intervalo 
[4] Assis, Altair S. de, Convergência das Séries de Fourier 
[5] Assis, Altair S. de, Apêndice 1 
[6] Assis, Altair S. de, Forma Complexa das Séries de Fourier