MI AFA EEAR EFOMM MATEMÁTICA AP.01 2014

Prévia do material em texto

1. NOÇÕES PRIMITIVAS
Em geometria plana, algumas noções são aceitas sem defini-
ção, ou seja, são aceitas simplesmente pela observação. São elas:
Notação
Pontos são representados por uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto: A, B, C, ...
Retas são representadas por letras minúsculas do nosso al-
fabeto: a, b, c, ...
Planos são representados por letras gregas minúsculas: α, β, ...
1.1 Proposições primitivas ou postulados
Postulado 1 (postulado da existência)
I) Há infinitos pontos numa reta, assim como há infinitos 
pontos fora da reta.
Note que os pontos A, B e C pertencem a reta r, enquanto 
que os pontos D, E e F não pertencem a reta r.
II) Há infinitos pontos num plano, assim como há infinitos 
pontos fora do plano.
Observe aqui também, que os pontos B, C e D pertencem ao 
plano, enquanto que os pontos A, E e F não pertencem ao plano.
Posição relativa entre pontos 
Dois pontos são ditos distintos quando não forem represen-
tados exatamente pelo mesmo ponto, como no desenho abaixo.
Nesse caso temos A ≠ B.
Dois pontos são ditos coincidentes se ambos forem represen-
tados exatamente pelo mesmo ponto, como no desenho abaixo.
Nesse caso temos A = B.
Postulado 2 (Postulado da determinação)
I) Dois pontos distintos determinam uma única reta que pas-
sa por eles.
OBSERVAÇÃO: 
Note que precisamos exatamente de dois pontos para de-
terminarmos uma reta, pois por um ponto apenas passam 
infinitas retas. Veja o desenho abaixo.
Fundamentos e ângulos
129
II) Três pontos distintos, não colineares, determinam um úni-
co plano que passa por eles.
OBSERVAÇÃO:
Outra forma de se gerar um plano é através de um ponto e 
de uma reta, desde que o ponto esteja fora da reta, como 
na figura abaixo.
Postulado 3 (Postulado da inclusão)
Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, 
então a reta está contida nesse plano.
1.2 Retas
Duas retas são ditas concorrentes se tiverem apenas um 
ponto em comum. As retas r e s abaixo são concorrentes.
Semirreta
Um ponto de uma reta irá dividi-la em duas partes, cada uma 
delas chamada de semirreta. Na figura abaixo temos a partir do 
ponto A as semirretas AB e AC.
Segmento de reta
Um segmento de reta é um pedaço, uma parte, de uma reta. 
Dados dois pontos quaisquer de uma reta, o segmento de reta 
AB é formado pelo conjunto de todos os pontos da reta que 
estão entre A e B. No desenho abaixo o segmento de reta AB 
aparece destacado em cinza.
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se, e somente 
se tiverem uma extremidade em comum.
Nas duas figuras acima temos que os segmentos AB e BC 
são consecutivos, pois possuem a extremidade B em comum. Já 
na próxima figura, abaixo, os segmentos AB e CD são exemplos 
de segmentos não consecutivos, pois não possuem uma extremi-
dade em comum.
Segmentos colineares
Assim como pontos colineares são aqueles que estão sobre 
a mesma reta, os segmentos de reta são ditos colineares se, e 
somente se, estiverem sobre a mesma reta.
Em ambas as figuras temos segmentos colineares. Na figura 
da esquerda AB e BC são colineares e, na da direita, AB e CD 
são colineares.
OBSERVAÇÃO:
Note que na figura do lado esquerdo os segmentos são coli-
neares e consecutivos, enquanto que no lado direito os seg-
mentos são colineares e não consecutivos.
Segmentos adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se 
tiverem apenas uma extremidade em comum.
Os segmentos AB e BC acima são adjacentes, pois são conse-
cutivos, colineares e tem apenas o ponto B em comum.
Os segmentos PQ e QR acima não são adjacentes, pois, ape-
sar de serem colineares e consecutivos, tem mais de um ponto 
em comum.
130
Congruência de segmentos
A congruência de segmentos (denotada pelo símbolo ≡ ) é, em 
matemática, o que chamamos de uma relação de equivalência. 
Esta relação de equivalência satisfaz as seguintes três condições:
1) Reflexiva: qualquer segmento de reta é congruente a si 
mesmo, ou seja, ≡AB AB .
2) Simétrica: se ≡AB CD , então ≡CD AB . Ou seja, se AB é 
congruente a CD, então CD é congruente a AB.
3) Transitiva: se ≡AB CD e ≡CD EF , então ≡AB EF . Ou seja, 
se AB é congruente a CD e CD é congruente a EF, então AB é 
congruente a EF.
Medida de um segmento
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento de 
reta pode-se associar um número real, não negativo, que é a me-
dida do segmento em relação àquela unidade. A medida do seg-
mento é o seu comprimento ou o seu módulo. O comprimento do 
segmento AB é indicado por ( )m AB ou simplesmente por AB.
Assim, o comprimento do segmento AB da figura abaixo é 
de 4 unidades de comprimento.
AB = 4 u.c.
Ponto médio de um segmento
Dizemos que um ponto M é o ponto médio do segmento AB 
se a distância de A até M é igual a distância de M até B, ou seja, 
se AM MB= .
2. ÂNGULOS
Dizemos que um conjunto (ou região) é convexo se, e so-
mente se, ao escolhermos dois pontos distintos desse conjunto o 
segmento de reta que une esses dois pontos está completamente 
contido no conjunto.
Se, ao contrário, pudermos escolher dois pontos distintos de 
um conjunto de forma que o segmento de reta que une estes 
conjuntos não está totalmente contido nessa região, o conjunto 
será chamado de côncavo.
Chama-se ângulo a menor região que está entre duas semi-
retas de mesma origem.
Exterior e interior de um ângulo
Um ângulo divide o plano em duas regiões, uma convexa e ou-
tra côncava. A região convexa corresponde à região interna do ân-
gulo e a região côncava corresponde à região externa do ângulo.
2.1 Medidas de ângulos
As duas principais unidades usadas para medir ângulos são 
o grau e o radiano. O ângulo de um grau, representado por 1º, 
corresponde a 1
360
 da circunferência. Por isso, dizemos que uma 
circunferência completa tem 360º. O grau possui duas subunida-
des, que são o minuto e o segundo. Um minuto, representado 
por 1’, corresponde a 1
60
 do grau, ou seja,
=
1º
1'
60
Já a subunidade segundo, denotada por 1’’, corresponde a 
1
60
 do minuto, ou seja,
1'
1''
60
=
Portanto, temos que = =1º 60' 3600'' .
A segunda unidade, o radiano, foi obtida contando-se a 
quantidade de vezes em que o raio de uma circunferência cabe na 
própria circunferência. Foi verificado que numa semicircunferên-
cia de raio R cabem aproximadamente 3,141592... raios, núme-
ro este que é conhecido como π. Portanto, numa circunferência 
completa temos um ângulo de 2π radianos.
Sendo assim, relacionando as duas unidades acima estuda-
das temos que 360º corresponde a 2π radianos. Essa relação que 
será usada para converter um ângulo de grau para radiano ou de 
radiano para grau. 131
Exemplo:
1) Converta o ângulo de 60º para radianos.
Grau Radiano
 360º 2π 
 60º x
360 x 2 60
2 60
x
360 3
⋅ = pi ⋅
pi ⋅ pi
= =
2) Converta o ângulo 9
4
pi para graus.
Grau Radiano
360º 2π 
 x 9
4
pi
pi
pi ⋅ = ⋅
=
9
2 x 360
4
x 315º
OBSERVAÇÃO:
Uma terceira unidade utilizada para medir um ângulo é o 
grado, que corresponde a simplesmente 
1
1Gr
400
= da cir-
cunferência. Essa unidade praticamente não é utilizada em 
provas e concursos vestibulares em geral.
Classificação quanto à medida
Dizemos que um ângulo é reto quando a sua medida for 90º.
Dizemos que um ângulo é agudo quando a sua medida es-
tiver entra 0º e 90º.
Por fim, dizemos que um ângulo é obtuso quando a sua 
medida estiver entre 90º e 180º.
2.2 Tipos de ângulos
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, tiverem um 
lado em comum. Veja abaixo alguns exemplos.
Ângulos adjacentesDois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, 
não tiverem região interna em comum.
Os ângulos α e β acima são adjacentes, pois não possuem 
região em comum.
OBSERVAÇÃO:
Note que todo par de ângulos adjacentes são consecutivos, 
mas nem todo par de ângulos consecutivos são adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice se, e somente se, 
os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos 
lados do outro.
As semirretas opostas são:
AO e OC
OB e OD
Note que temos dois pares de ângulos opostos pelo vértice, 
são eles: 1) AÔB e CÔD; 2)AÔC e BÔD.
Além disso, note que na figura acima podemos destacar alguns 
pares de ângulos suplementares. Você saberia dar algum exemplo? 
132
2.3 Pares de ângulos
Dizemos que dois ângulos são complementares quando a 
soma deles for 90º. Veja na tabela abaixo alguns exemplos de 
ângulos complementares.
α β α + β
20º 70º 90º
30º 60º 90º
45º 45º 90º
80º 10º 90º
De forma geral, o complemento de um ângulo x é 90 – x.
Dizemos que dois ângulos são suplementares quando a 
soma deles for 180º. Veja na tabela abaixo alguns exemplos de 
ângulos suplementares.
α β α + β
50º 130º 180º
80º 100º 180º
90º 90º 180º
120º 60º 180º
De forma geral, o suplemento de um ângulo x é 180 – x.
Dizemos que dois ângulos são replementares quando a 
soma deles for 360º. Veja na tabela abaixo alguns exemplos de 
ângulos replementares.
α β α + β
100º 260º 360º
120º 240º 360º
220º 140º 360º
300º 60º 360º
De forma geral, o replemento de um ângulo x é 360 – x.
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo 
na metade.
3. PROBLEMAS dE RELÓGIO
Para resolvermos os clássicos problemas de relógio precisa-
mos lembrar primeiro que, como o relógio divide a circunferência 
em 12 partes iguais, cada uma dessas partes terá uma medida de 
30º. E, segundo, que quando o ponteiro dos minutos anda uma 
volta completa, o ponteiro das horas anda 30 graus. Podemos 
escrever essa regra de três como:
 Minutos Horas
 60 30º
 x α
Dessa forma, você pode perceber que o ponteiro das horas 
andará, em graus, um valor igual à metade da quantidade de 
minutos que o ponteiro dos minutos andou.
Muitos exercícios pedem o ângulo entre os ponteiros de um 
relógio em determinada hora, mas há variações. Vejamos um 
exemplo do primeiro caso.
Exemplo:
1) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de 
um relógio às 08:20.
Solução: Lembre que conforme o ponteiro dos minutos anda, 
o ponteiro das horas andará proporcionalmente. Se o ponteiro 
das horas estivesse apontando exatamente para o 08 o ângulo 
entre os ponteiros seria 120º, mas como o ponteiro das horas 
andou por uma medida α, o ângulo entre os ponteiros é 120 + α, 
onde α é determinado pela seguinte regra de três:
 Minutos Horas
 60 30º
 20 α
60 20 30
10º
⋅ α = ⋅
α =
EXERCÍCIOS DE AULA
01. 
Converta os ângulos abaixo de grau para radiano.
a) 60º b) 150º 
c) 225º d) 300º 
e) 330º
02.
Converta os ângulos abaixo de radiano para grau.
a) 
5
pi 
b) pi2
3
 
c) 9
4
pi 
d) 11
6
pi 133
03.
Um ângulo excede o seu complemento em 10º. Determine o su-
plemento desse ângulo.
04.
A razão entre dois ângulos suplementares é 1/2. Determine o 
complemento do menor dos ângulos.
05.
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x – 15º e 8x – 45º. 
Determine o valor de x.
06. 
O valor de y na figura abaixo é:
07. (FAAP) 
Dividir um segmento de medida 144 em quatro partes, tais que: 
somando 5 à primeira parte, subtraindo 5 da segunda parte, mul-
tiplicando a terceira por 5 e dividindo a quarta por 5 as medidas 
resultantes em todas as partes sejam iguais.
08.
Dados três pontos distintos e não coplanares A, B e C responda:
a) Quantas retas pode-se traçar passando pelo ponto A?
b) Quantas retas pode-se traçar passando por dois dos três pon-
tos acima?
c) Quantos planos pode-se traçar passando pelos pontos A e B?
d) Quantos planos pode-se traçar passando pelos pontos A, B e 
C simultaneamente?
134
notas
GABARITO
ExERCíCIOS dE AULA 
01. 
a) π/3 rad
b) 5π/6 rad
c) 5π/4 rad
d) 5π/3 rad
e) 11π/6 rad
02. 
a) 36º
b) 120º
c) 405º
d) 330º
03. 130º 04. 30º
05. 6 06. y = 21
07. 15, 25, 4, 100
08. 
a) infinito
b) 3 retas
c) infinitos
d) um único plano
notas
135
136
1. Definição
A palavra polígono significa: poli (muitos, vários) + gonos 
(ângulos), ou seja, é uma figura formada por vários ângulos. 
Polígono é a união de segmentos consecutivos A1A2, A2A3,..., An-
1An, AnA1 onde A1, A2, ... e An formam uma sequência de pontos 
de um plano não colineares três a três.
As figuras abaixo não são polígonos.
Perceba que as duas figuras acima não são polígonos, pois 
possuem três pontos colineares: C, E e B na figura da esquerda e 
A, B e C na figura da direita.
1.1 Polígono convexo e polígono côncavo
Um polígono é dito convexo se, e somente se, a reta suporte 
de cada lado deixa todos os outros lados num mesmo semiplano 
dos dois que ela determina.
1.2 interior e exterior de um polígono
A região interna a um polígono é a região plana delimitada 
pelo polígono.
A região externa será toda a região fora da região interna 
ao polígono.
A união de um polígono com o seu interior é uma região 
poligonal ou superfície poligonal.
Polígonos 
137
2. CLASSifiCAção
A classificação dos polígonos se dá com relação ao número 
de lados do polígono. Veja a lista a seguir, lembrando que o me-
nor polígono é aquele formado por 3 lados:
n = 3 triângulo 3 lados
n = 4 quadrilátero 4 lados
n = 5 pentágono 5 lados
n = 6 hexágono 6 lados
n = 7 heptágono 7 lados
n = 8 octógono 8 lados
n = 9 eneágono 9 lados
n = 10 decágono 10 lados
n = 11 undecágono 11 lados
n = 12 dodecágono 12 lados
n = 13 tridecágono 13 lados
n = 14 tetradecágono 14 lados
n = 15 pentadecágono 15 lados
n = 20 icoságono 20 lados
2.1 Polígono regular
Um polígono que possui todos os lados com a mesma medi-
da é chamado de equilátero. 
Se o polígono tiver todos os ângulos iguais será chamado de 
equiângulo.
Quadrilátero equiângulo
(retângulo)
O polígono que possui todos os lados iguais e todos os ângu-
los iguais é chamado de polígono regular.
3. DiAGonAiS e ÂnGULoS
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois 
vértices não consecutivos do polígono.
A figura do lado esquerdo representa um polígono convexo com 
as suas duas diagonais tracejadas e, do lado direito, tem-se um qua-
drilátero côncavo também com as suas duas diagonais tracejadas.
Considere um polígono de n lados. Se uma diagonal une 
dois vértices não consecutivos, de cada vértice partirão n 3− 
diagonais (devemos descontar os vértices adjacentes à direta e 
à esquerda e o próprio vértice). Ampliando para os n vértices 
teremos um total de ( )n n 3⋅ − diagonais, mas nesse caso cada 
diagonal estaria sendo contada duas vezes, por isso, o número 
total de diagonais de um polígono de n lados é dado por
( )n n 3
d
2
⋅ −
=
A figura acima mostra as cinco diagonais do pentágono.
3.1 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo 
qualquer é 180º podemos deduzir a soma dos ângulos internos 
dos polígonos dividindo-os em triângulos. Por exemplo, um qua-
drilátero pode ser separado em dois triângulos, um pentágono 
pode ser separado em três triângulos, um hexágono, em quatro 
triângulos, e assim por diante. Note que num polígono de n la-
dos pode-se separá-lo em n 2− triângulos. Portanto, a somados 
ângulos internos de um polígono de n lados é:
( )iS n 2 180º= − ⋅
138
Note que conseguimos colocar 2 = (4 – 2) triângulos den-
tro do quadrilátero, portanto, a soma dos ângulos internos do 
quadrilátero é 2.180 = 360º. E, 3 = (5 – 2) triângulos dentro do 
pentágono, portanto, a soma dos ângulos internos do pentágono 
é 3.180 = 540º.
3.2 Soma dos ângulos externos de um polígono
Note que o ângulo externo de um polígono é o suplemento 
do respectivo ângulo interno, ou seja, podemos escrever então
i ea a 180º+ = .
Essa relação é válida para todos os ângulos do polígono. En-
tão, considerando um polígono de n lados podemos escrever n
equações:
i1 e1
i2 e2
i3 e3
in en
a a 180º
a a 180º
a a 180º
........................
a a 180º
+ =
+ =
+ =
+ =
Somando essas n equações obtemos:
( )
i e
e
e
S S n 180
n 2 180 S 180 n
S 360º
+ = ⋅
− ⋅ + = ⋅
=
Ou seja, independentemente do número de lados do polígo-
no convexo, a soma dos ângulos externos será sempre 360º.
Como visto anteriormente, um polígono regular é aquele que 
possui todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Portanto, 
podemos achar as expressões para os ângulos interno e externo 
de um polígono regular de n lados:
( )i
i i i i
n 2 180S
n a S a a
n n
− ⋅
⋅ = ⇒ = ⇒ =
Como os ângulos externos de um polígono regular também 
são todos congruentes, temos:
e
e e e e
S 360
n a S a a
n n
⋅ = ⇒ = ⇒ =
EXERCÍCIOS DE AULA
01.
Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono.
02.
Determine o ângulo interno e o ângulo externo do pentágono 
regular.
03. 
Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 2340º?
04.
O polígono convexo que possui 27 diagonais é:
05. 
Determine o número de diagonais de um dodecágono.
06.
Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo 
do número de lados.
07.
Determine o número de diagonais de um polígono regular conve-
xo cujo ângulo externo vale 24°.
08. 
Um pentágono possui dois ângulos iguais a 150º e os outros três 
ângulos iguais “x”. Determine x.
139
GABARiTo
exeRCíCioS De AULA 
01. 1080º
02. interno = 108º, externo = 72º
03. Pentadecágono
04. Eneágono
05. 54
06. Undecágono
07. 90 08. 80º
140
1. PARALELISMO
Dizemos que duas retas r e s são paralelas se forem coinci-
dentes ou se forem coplanares e não tiverem nenhum ponto em 
comum. Denotamos duas retas paralelas pelo símbolo //.
 retas coincidentes retas coplanares
Sejam r e s duas retas paralelas ou não e t uma reta trans-
versal a r e s. A reta t formará com r e s um total de oito ângulos, 
destacados nos desenhos abaixo.
Os oito ângulos acima são classificados em correspondentes, 
alternos (internos e externos) e colaterais (internos e externos) da 
seguinte forma: 
 Correspondentes: 1e 5 , 2 e 6 , 3 e 7 , 4 e 8
 Alternos: internos: 3 e 5 , 4 e 6
 externos: 1 e 7 , 2 e 8
 Colaterais: internos: 3 e 6 , 4 e 5
 externos: 1 e 8 , 2 e 7
A congruência entre dois ângulos alternos de um dos pares, 
por exemplo, se tivermos 1 ≡ 7 , isso implica:
1) a congruência de todos os pares de ângulos alternos, ou 
seja, teremos 2 ≡ 8 , 3 ≡ 5 e 4 ≡ 6 .
2) a congruência dos pares de ângulos correspondentes, ou 
seja, 1 ≡ 5 , 2 ≡ 6 , 3 ≡ 7 , 4 ≡ 8 .
3) que os pares de ângulos colaterais são suplementares, ou 
seja, 1 + 8 ≡ 2 + 7 ≡ 3 + 6 ≡ 4 + 5 .
Se r e s forem paralelas cortadas por uma transversal, então 
os pares de ângulos alternos e os pares de ângulos corresponden-
tes serão iguais, ou seja,
1 ≡ 5 , 2 ≡ 6 , 3 ≡ 7 , 4 ≡ 8 (correspondentes).
3 ≡ 5 , 4 ≡ 6 , 1 ≡ 7 , 2 ≡ 8 (alternos).
Uma condição necessária e suficiente para que duas retas, r e s, 
cortadas por uma transversal sejam paralelas é que os pares de ân-
gulos alternos ou os pares de ângulos correspondentes sejam iguais.
r / /sα ≡ β⇔
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo 
ABC é 180º.
Demonstração: Primeiro, traça-se uma reta paralela ao lado 
BC passando pelo vértice A.
Agora, observe que os ângulos X e B são congruentes pois 
são alternos internos, assim como os ângulos Y e C. Como a soma 
dos ângulos X, Â e Y forma um ângulo raso, ou seja, 180º, então
 + X + Y =  + B + C = 180º
Paralelismo e triângulos
141
2. TRIÂNGULOS
2.1 Definição
Dados três pontos não colineares A, B e C, à reunião dos 
segmentos AB,AC e BC chama-se triângulo ABC ( ABC∆ ).
Elementos do triângulo
Os pontos ABC são chamados de vértices do triângulo ABC.
Os lados AB,AC e BC de medidas c, b e a, respectivamente, 
são os lados do triângulo ABC.
Os ângulos BÂC ou Â, ACB , ou B e ACB ou B são os 
ângulos internos do triângulo.
Diz-se que os lados BC, AC e AB são opostos aos ângulos Â, 
B e B , respectivamente.
Interior e exterior
A região interna a um triângulo é a região limitada pelos três 
lados do triângulo e que está “dentro” do triângulo e a região 
externa ao triângulo é a região ilimitada que está voltada “para 
fora” dos lados do triângulo. Veja os desenhos abaixo.
Condição de existência
Será que é possível construir um triângulo com lados medin-
do 3, 5 e 10? E com lados medindo 4, 6 e 10? Desenhando-se 
esses segmentos tem-se:
3 5 6
4
10 10
Veja pela figura do lado esquerdo que é impossível montar 
um triângulo com lados 3,5 e 10, pois os dois lados menores jun-
tos nem sequer se igualam ao tamanho do lado maior.
Na figura do lado direito, os dois lados menores juntos tem 
exatamente o mesmo comprimento que o lado maior. Nesse caso 
também não será possível montar um triângulo, pois quando in-
clinarmos os lados menores com a base (segmento de medida 
10) ficará uma abertura na parte superior, o que não permitirá 
“fechar” o triângulo.
Portanto, pode-se deduzir agora a condição de existência de 
um triângulo:
A soma de dois lados quaisquer de um triângulo deve 
ser maior do que o terceiro lado. 
Sendo assim, se um triângulo tiver lados a, b e c, as seguintes 
condições devem ser satisfeitas:
a + b > c
a + c > b
b + c > a
Teorema do ângulo externo
Note que o ângulo externo a cada ângulo interno de um 
triângulo é exatamente o suplemento desse ângulo. Portanto, se 
um triângulo tiver ângulo internos medindo 50º, 60º e 70º, os 
respectivos ângulos externos são 130º, 120º e 110º.
Perceba que o ângulo externo ao ângulo de 50° (130°) é 
igual a soma dos outros dois ângulos internos (60° + 70° = 130°). 
O mesmo vale para os outros dois ângulos externos. Essa obser-
vação nos leva ao teorema do ângulo externo: em um triângulo, 
o ângulo externo a cada ângulo interno é igual à soma dos outros 
dois ângulos internos do triângulo.
2.2 Classificação
A classificação de um triângulo pode ser feita com relação 
aos lados (medidas dos lados) ou com relação aos ângulos (medi-
das dos ângulos).
2.2.1 Quanto aos lados
Quanto aos lados, um triângulo pode ser:
Equilátero – quando possui os três lados com a mesma medida.
Isósceles – quando possui pelo menos dois lados iguais.
142
Escaleno – quando possui os três lados com medidas diferentes.
2.2.2 Quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, um triângulo pode ser:
Acutângulo – quando possui todos os ângulos agudos, ou 
seja, todos os ângulos menores do que 90º.
Retângulo – é o triângulo que possui um ângulo reto, ou 
seja, um ângulo de 90º.
Obtusângulo – é o triângulo que possui um ângulo obtuso, 
ou seja, um ângulo maior do que 90º.
2.3 Congruência de triângulos
2.3.1 Definição
Dois triângulos são ditos congruentes (símbolo ≡ ) se, e so-
mente se, os lados e os ângulos de um forem congruentes aoslados e ângulos correspondentes do outro.
Em símbolos, tem-se:
^ ^
^ ^
 Â'AB A'B'
ABC A'B'C' AC A'C' e B B'
BC B'C' C C'
 ≡
≡  ∆ ≡ ∆ ⇔ ≡ ≡ 
≡ ≡ 
2.3.2 Casos de congruência
A congruência de triângulos exige que tenhamos três lados iguais 
e três ângulos iguais, ou seja, deve-se verificar 6 condições. Porém, é 
possível relaxarmos essas condições dividindo a congruência em al-
guns casos ou critérios de congruência com condições mais simples.
1º Caso de congruência - LAL
Se dois triângulos tiverem dois lados e o ângulo entre eles 
congruentes, então os triângulos são congruentes.
Nos triângulos ABC e A’B’C’ temos AC A'C'≡ , AB A'B'≡ 
e  Â'≡ . Portanto, pelo caso LAL de congruência de triângulos 
tem-se também que BC B'C'≡ , 
^ ^
B B'≡ e 
^ ^
C C'≡ .
2° Caso de congruência - ALA
Se dois triângulos tiverem dois ângulos e o lado entre eles 
congruentes, então os triângulos são congruentes.
Nos triângulos ABC e A'B'C' temos BC B'C'≡ , 
^ ^
C C'≡ e 
^ ^
B B'≡ . 
Portanto, pelo caso ALA de congruência de triângulos tem-se tam-
bém que AC A'C'≡ , AB A'B'≡ e  Â'≡ .
3° Caso de congruência - LLL
Se dois triângulos têm os três lados congruentes, então os 
triângulos são congruentes.
Como os três lados dos triângulos ABC e A'B'C' são iguais, 
pelo caso de congruência LLL temos que os ângulos correspon-
dentes também serão iguais, ou seja, Â Â'≡ , 
^ ^
B B'≡ e 
^ ^
C C'≡ .
4º Caso de congruência – LAA0
Se dois triângulos têm um lado congruente, um ângulo ad-
jacente e o ângulo oposto a esse lado, então os triângulos são 
congruentes.
BC B'C'≡ , Â Â'≡ e 
^ ^
C C'≡ ⇒ ABC A'B'C'∆ ≡ ∆ 143
Caso especial de congruência – triângulos retângulos
Se dois triângulos retângulos têm um cateto e a hipotenusa 
congruente, então os triângulos são congruentes.
Sendo os ângulos A e A’ retos, AB A'B'≡ e BC B'C'≡ temos 
ABC A'B'C'∆ ≡ ∆ .
2.4 Desigualdades nos triângulos
2.4.1 O maior lado é oposto ao maior ângulo.
Se dois lados de um triângulo não são congruentes (não tem o 
mesmo tamanho) então os ângulos opostos a estes lados também 
não são congruentes, sendo o maior ângulo oposto ao maior lado. 
Ou seja, num triângulo com lados medindo 5 cm, 7 cm e 10 cm o 
ângulo oposto ao lado medindo 10 cm é maior do que os ângulos 
opostos aos lados de 5 cm e 7 cm.
2.4.2 O maior ângulo é oposto ao maior lado
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes (não tem 
a mesma medida) então os lados opostos a estes ângulos também 
não são congruentes, sendo o maior lado oposto ao maior ângulo. 
Por exemplo, num triângulo com ângulos de 50°, 60° e 70° o lado 
oposto ao ângulo de 70° é maior do que os outros lados.
a > b > c
2.5 Pontos notáveis do triângulo
2.5.1 Baricentro (encontro das medianas)
Chamamos de mediana de triângulo o segmento que liga um 
vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. 
Um triângulo possui três medianas, uma para cada um de 
seus vértices. Ao ponto de encontro das medianas damos o nome 
de baricentro do triângulo, que é denotado pela letra G.
O baricentro do triângulo é também o centro de gravidade 
do triângulo.
2.5.2 Incentro (encontro das bissetrizes)
A bissetriz de um triângulo é o segmento que liga um vértice 
até um ponto do lado oposto de forma que o ângulo desse vérti-
ce fique dividido em duas partes iguais.
O ponto de encontro das três bissetrizes de um triângulo é 
chamado de incentro do triângulo, denotado pela letra I.
2.5.3 Circuncentro (encontro das mediatrizes)
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao seg-
mento passando pelo ponto médio deste.
O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é cha-
mado de circuncentro do triângulo, e é denotado pela letra O.
O circuncentro corresponde ao centro da circunferência cir-
cunscrita ao triângulo.
144
2.5.4 Ortocentro
A altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice 
até um ponto da reta suporte do lado oposto, formando com esta 
um ângulo de 90º.
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo é cha-
mado de ortocentro do triângulo, que é denotado pela letra H.
OBSERVAÇÃO:
O ortocentro do triângulo ABC corresponde ao incentro do tri-
ângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo ABC.
EXERCÍCIOS DE AULA
01. 
Determine x sabendo que r // s.
02.
Determine y na figura abaixo.
03.
Determine x e y na figura abaixo sabendo que as retas r e s são 
paralelas.
04.
Sendo r // s, determine x e y na figura abaixo.
05.
Justifique se é possível formar um triângulo com lados medindo 
7 cm, 8 cm e 16 cm.
06. 
Os três ângulos internos de um triângulo medem 2x + 10, 3x e 
4x – 10. Quanto vale x?
07. 
Determine a medida do lado de um triângulo equilátero sabendo 
que o seu perímetro vale 135 cm.
08. 
Cada um dos lados congruentes de um triângulo isósceles excede 
a base em 15 cm. Sabendo que o perímetro desse triângulo vale 
60, quanto mede cada lado?
09. 
Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 120º. 
Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos 
outros ângulos internos?
notas
145
GABARITO
ExERCíCIOS DE AULA 
01. 110° 02. 170°
03. x = 120° e y = 75º
04. x = 20° e y = 30° 
05. Não 06. 20
07. 45
08. 25cm, 25cm, 10cm
09. 30°
146
1. DEFINIÇÃO
Uma circunferência é um conjunto de pontos do plano que 
está a uma mesma distância de um ponto dado desse plano. O 
ponto dado é chamado de centro da circunferência e a distância 
dos pontos ao centro é chamada de raio da circunferência.
Indicamos o centro da circunferência por O, o raio por r e um 
ponto da circunferência por P. Uma circunferência de centro O e 
raio r é indicada por ( )O,rλ .
1.1 Posições relativas de ponto e circunferência
São três as posições relativas entre um ponto e uma circunfe-
rência. Um ponto P é dito interior à circunferência quando a sua 
distância até o centro é menor do que o raio, o ponto é exterior 
à circunferência quando a sua distância até o centro é maior do 
que o raio e o ponto pertence à circunferência quando a sua 
distância até o centro é igual ao raio. Em símbolos, tem-se:
I é interior à λ ⇔ dI,O<r
P pertence à
 
λ ⇔ dP,O=r
E é exterior à λ ⇔ dE,O>r
1.2 Interior e exterior
O interior de uma circunferência corresponde ao conjunto 
de todos os pontos interiores à circunferência.
O exterior de uma circunferência corresponde ao conjunto 
de todos os pontos externos à circunferência.
Sendo ( )O,rλ uma circunferência de um plano α:
Interior de λ={P∈a / dP,O<r}
Exterior de
 
λ={P∈a / dP,O>r}
1.3 Corda e diâmetro
Corda de uma circunferência é o segmento de reta que 
une dois pontos distintos quaisquer de uma circunferência.
A corda de maior comprimento é aquela que passa pelo centro 
da circunferência, e é chamada de diâmetro da circunferência.
Na figura acima, AB é uma corda da circunferência e CD é o 
diâmetro da circunferência.
O raio de uma circunferência é o segmento de reta com uma 
extremidade no centro da circunferência e outra num ponto da 
circunferência. No desenho acima, OP é um raio.
CirCunferênCia e CírCulo
147
1.4 Arco de circunferência e semicircunferência
Um arco de circunferência é um pedaço, uma parte da cir-
cunferência. Dados dois pontos distintos A e B de uma circunfe-
rência λ , que não são extremidade de um diâmetro, esses pon-
tos dividem a circunferência em dois arcos, um chamado de arco 
menor AB e o outro, arco maior AB . Os pontos A e B são as 
extremidades dos arcos maior e menor.
I) o arco menor AB é formado pelos pontos A, B e por todos 
os pontos de L que estão no interior do ângulo ˆAOB;
II) o arco maior AB é formado pelos pontos A, B e por todos 
os pontos de L que estão no exterior do ângulo ˆAOB;
Notação: AB = arco menorAB
AXB = arco maior AB
De modo geral, quando falamos em arco AB estamos consi-
derando o menor arco determinado por AB.
Se os pontos A e B forem as extremidade de um diâmetro, 
então AB divide a circunferência em duas partes iguais, chamadas 
de semicircunferência.
2. CírCulO
O círculo corresponde à circunferência junto com o seu in-
terior, ou seja, dado o centro e o raio de uma circunferência, o 
círculo é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância 
do centro menor ou igual ao raio.
Em símbolos, dado um plano α , um ponto O de α e um 
raio r > 0, o círculo de centro O e raio r, denotado por C(O,r), é o 
conjunto dos pontos P, tais que P,Od r≤ .
O centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo coinci-
dem com o centro, raio, corda, diâmetro e arco da circunferência.
2.1 Setor circular, segmento circular e semicírculo
Dado um círculo C(O,r) considere dois pontos distintos, A e B, 
da circunferência, que não sejam extremidades de um diâmetro, 
então definimos:
I) Setor circular menor AOB: é a união dos pontos do círcu-
lo entre AO e OB, inclusive, assim como o arco menor AB.
II) Setor circular maior AOB: é a união dos pontos do círcu-
lo que estão no exterior do ângulo AÔB, juntamente com os raios 
AO e OB assim como o arco maior AB.
De forma geral, sempre que nos referirmos a setor circular 
AOB estaremos nos referindo ao menor setor circular determina-
do por AOB.
2.2 Segmento circular
Um segmento circular é a região do círculo que está entre um 
arco e uma corda.
2.3 Semicírculo
Quando uma corda AB divide o círculo em duas partes iguais 
(dois segmentos circulares iguais) cada uma das partes é chamada 
de semicírculo.
148
3. POSIÇõES rElAtIvAS DE rEtA E 
CIrCuNFErêNCIA
Temos três posições relativas entre uma reta e uma circunfe-
rência, são elas: secante, tangente e exterior. Vejamos cada uma:
3.1 Secante
Dizemos que uma reta é secante a uma circunferência se 
a reta corta a circunferência em dois pontos distintos.
A reta secante a uma circunferência possui duas proprieda-
des, são elas:
I) Sejam A e B os pontos de intersecção de uma reta e uma 
circunferência C(O,r). Se M é o ponto médio da corda AB, então a 
reta OM é perpendicular à reta secante.
II) Sejam A e B os pontos de intersecção de uma reta e uma 
circunferência C(O,r). A perpendicular à reta secante traçada a par-
tir do centro O da circunferência passa pelo ponto médio de AB.
3.2 tangente
Dizemos que uma reta é tangente a uma circunferência se 
a intersecção entre elas for apenas um ponto. O ponto de inter-
secção é chamado de ponto de tangência.
As propriedades da reta tangente a uma circunferência são:
I) A reta perpendicular ao raio de uma circunferência na sua 
extremidade é tangente à circunferência.
II) A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
raio no ponto de tangência.
3.4 Externa
Uma reta é dita externa a uma circunferência se a inter-
secção entre a reta e a circunferência for vazia.
Chamando de d a distância entre a reta e o centro da circun-
ferência, temos:
I) a reta é secante à circunferência C(O,r) se d < r
II) a reta é tangente à circunferência C(O,r) se d = r
III) a reta é exterior à circunferência C(O,r) se d > r
149
4. POSIÇõES rElAtIvAS ENtrE 
DuAS CIrCuNFErêNCIAS
Considere duas circunferências, C1(O1,r1) e C2(O2,r2), com r1 > r2. 
Chamando de d a distância entre os centros das duas circunferên-
cias, temos as seguintes possibilidades:
I) interiores: quando a distância entre os centros é menor do 
que a diferença entre os raios, ou seja, d < r1 – r2.
II) tangentes internamente: quando a distância entre os 
centros é igual à diferença entre os raios, ou seja, d = r1 – r2.
III) secantes: quando a distância entre os centros for tal que
r1 – r2 < d < r1 + r2
IV) tangentes externamente: quando a distância entre os 
centros das circunferências for igual à soma dos raios, ou seja, 
d = r1 + r2.
v) exteriores: quando a distância entre os centros for maior 
do que a soma dos raios, ou seja, d > r1 + r2.
5. SEgmENtOS tANgENtES
Considere um ponto P, exterior a uma circunferência. Se a 
partir de P traçarmos os segmentos PA e PB tangentes à circun-
ferência, então PA PB= .
Para a demonstração desse resultado basta notar a congru-
ência entre os triângulos PAO e PBO (caso especial de congruên-
cia – triângulos retângulos).
5.1 Quadrilátero circunscrito
Usando o resultado anterior de segmentos tangentes, vamos 
determinar agora uma condição para que um quadrilátero seja 
circunscritível a uma circunferência.
Dizemos que um quadrilátero está circunscrito a uma circunfe-
rência quando os seus quatro lados forem tangentes à circunferência.
Também dizemos que a circunferência é inscrita ao quadrilátero.
Propriedades
I) Se um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circun-
ferência, então a soma de dois lados opostos é igual à soma dos 
outros dois lados.
Para mostrar a propriedade acima basta usar a igualdade en-
tre segmentos tangentes:
AP AM
AP BP AM BO
BP BO
 =
⇒ + = +
=
CN CO
CN DN CO DM
DN DM
 =
⇒ + = +
=150
Somando as duas equações, teremos
AP BP CN DN AM BO CO DM
AB CD AD BC
+ + + = + + +
+ = +
II) Se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opos-
tos é igual à soma dos outros dois lados, então o quadrilátero é 
circunscritível a uma circunferência.
Portanto, para que um quadrilátero convexo seja circunscrití-
vel a uma circunferência basta que a soma das medidas dos lados 
opostos sejam iguais.
6. ÂNgulOS NA CIrCuNFErêNCIA
6.1 Congruência de circunferências e arcos congruentes
Dizemos que duas circunferências, C1(O1,r1) e C2(O2,r2), são con-
gruentes quando elas tiverem raios iguais, ou seja, quando r1 = r2.
Dois arcos AB e CD de uma circunferência de centro O são con-
gruentes se, e somente se, os ângulos AÔB e CÔD são congruentes.
  ˆ ˆAB CD AOB COD≡ ⇔ =
6.2 Adição e desigualdade de arcos
A soma de arcos corresponde à soma dos respectivos ângu-
los, ou seja, o arco AB é a soma dos arcos AC e CB se, e somente 
se, o ângulo AÔB é a soma dos ângulos AÔC e CÔB.
Dois arcos AB e CD de uma circunferência de centro O são di-
ferentes se, e somente se, os ângulos AÔB e BÔC são diferentes, 
sendo o maior ângulo correspondente ao maior arco e o menor 
ângulo, ao menor arco.
ˆ ˆAB CD AOB COD> ⇔ >
 
6.3 Ângulo central
O ângulo central a um arco de circunferência é aquele ângulo 
que tem o vértice no centro da circunferência. Na figura abaixo, 
dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB 
ou AB é o arco subtendido por AÔB.
A medida de um arco de circunferência é igual à medida do 
ângulo central correspondente. Por exemplo, se numa circunfe-
rência de centro O, o ângulo central AÔB mede 50°, então o arco 
AB mede também 50°. Escreveremos:
Se m(AÔB) = 120°, então m(AB) = 120°, reciprocamente.
6.4 Ângulo inscrito
Um ângulo inscrito a uma circunferência é aquele que possui 
o vértice como sendo um ponto da circunferência e os lados são 
secantes a ela.
Na figura acima, o ângulo AÔB é o ângulo central correspon-
dente ao ângulo inscrito AMB.
A medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central 
correspondente. Se ˆAOB = α então ˆAMB
2
α
= . No desafio 7 
você deverá demonstrar esta igualdade.
151
6.5 Quadrilátero inscrito
Um quadrilátero está inscrito a uma circunferência quando 
os seus vértices são pontos da circunferência.
O quadrilátero inscrito possui a propriedade de que a soma 
dos ângulos opostos é sempre igual a 180°, ou seja, ˆ ˆ ˆ ˆA C B D+ = + . 
A recíproca também é verdadeira, se num quadrilátero convexo a 
soma dos ângulos opostos é 180°, então ele é inscritível.
Vamos provar a primeira parte. Suponha que ABCD seja um 
quadrilátero inscrito a uma circunferência.Então, o ângulo  é 
inscrito ao arco BCD e o ângulo C é inscrito ao arco BAD. Como 
BCD + BAD = 360° e A e C são os respectivos ângulos inscritos, 
então  + C = 180°. O mesmo vale para os ângulos B e D.
Portanto, uma condição necessária e suficiente para um qua-
drilátero convexo ser inscritível é que a soma dos ângulos opostos 
seja 180°. 
6.6 Ângulo de segmento
Um ângulo de segmento é aquele que possui o vértice na cir-
cunferência, um lado tangente à circunferência e um lado secante 
à circunferência.
Na figura acima, o ângulo tÂB é o ângulo de segmento ao 
arco AB e AÔB é o ângulo central correspondente.
A medida do ângulo de segmento é a metade do arco AB, 
ou seja, 
2
β
α = .
6.7 Arco capaz
Considere uma circunferência de centro O e um ângulo a. 
Seja AÔB um ângulo central de medida 2β = ⋅ α . Os vértices dos 
ângulos inscritos relativos à circunferência que têm os lados pas-
sando por A e B têm medida α e estão num arco APB. Este arco 
é chamado arco capaz de α .
Na figura, os ângulos AP1B, AP2B, AP3B, t1AB e t2AB têm me-
dida 
AB
2
α = . O arco APB é o arco capaz de α .
7. COmPrImENtO DE ArCO
O comprimento de um arco AB na circunferência é direta-
mente proporcional ao ângulo central a ele correspondente.
Para calcularmos o comprimento do arco l basta fazer uma re-
gra de três, lembrando que uma circunferência completa tem um 
ângulo 360° ou 2pi radianos e um comprimento total de 2 rpi ⋅ .
Ângulo Comprimento
2pi 2 rpi ⋅
α 
Portanto,
 = r ⋅ a 
Em graus, temos:
Ângulo Comprimento
360° 2 rpi ⋅
α 
 
r
l
180
pi ⋅ ⋅ α
=
152
EXERCÍCIOS DE AULA
01. 
Determine o valor de x na figura abaixo:
AB 5x 3= −
OC x 3= +
02. 
Determine o valor de x na figura abaixo:
03. 
Determine x, y e z na figura abaixo:
04. 
Determine x nas figuras abaixo:
a)
b) 
05. 
Determine o perímetro do quadrilátero abaixo:
06.
Sabendo que as circunferências abaixo são tangentes externa-
mente, que a distância entre os centros é 18 cm e que a diferença 
entre os raios é 6 cm, determine os raios.
07.
Três circunferências de centros A, B e C são tangentes externa-
mente duas a duas. Se AB = 9, AC = 7 e BC = 8, determine os 
raios das circunferências.
08. 
Calcule o comprimento do arco menor AB sabendo que o raio da 
circunferência é 20 cm.
153
gABArItO
ExErCíCIOS DE AulA 
01. x = 3 02. x = 6
03. x = 5, y = 6 e z = 4
04. 
a) 5; 
b) 3
05. 86 06. 6 e 12
07. 3, 4 e 5
08. 
a)
20
3
⋅ pi
, b)
40
3
⋅ pi
 
c) 20 ⋅ pi
154
1. Lugares geométricos
Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfaz 
a uma ou mais propriedades. Por exemplo, uma circunferência de 
centro O e raio r num plano α é o lugar geométrico formado por 
todos os pontos de α que estão a uma distância r de O.
Na figura acima os pontos x e y fazem parte do lugar geométri-
co que gera a circunferência. Já o ponto z não faz parte deste lugar 
geométrico, pois a sua distância até o centro é maior do que o raio r.
Para se demonstrar que um determinado conjunto de pontos é 
um lugar geométrico com a propriedade P devemos mostrar que:
I) todos os pontos desse lugar geométrico tem a propriedade P;
II) somente os pontos desse lugar satisfazem a propriedade, 
ou seja, se X é um ponto que não satisfaz a propriedade P, então 
X não pertence ao lugar geométrico em questão.
1.1 mediatriz
 Dado um segmento de reta AB , chamamos de media-
triz o lugar geométrico dos pontos que estão a mesma distância 
dos pontos A e B.
1.2 Paralelas
Dada uma reta r qualquer, o lugar geométrico dos pontos que 
estão a uma distância d de r é o conjunto formado por duas retas, 
s e t, paralelas a reta dada e que estão a uma distância d de r.
Dadas duas retas r e s num plano α , o lugar geométrico dos 
pontos de α que está a uma mesma distância das retas r e s é uma 
reta t paralela as retas dadas e que está à mesma distância de ambas.
1.3 Bissetrizes
Considere duas retas concorrentes r e s, chamamos de bis-
setriz o conjunto de pontos que equidista simultaneamente das 
retas r e s. Note que cada par de retas concorrentes possui duas 
bissetrizes, uma para o menor ângulo formado por elas e outra 
para o maior ângulo entre r e s.
Lugar geométrico
155
1.4 arco capaz
Considere uma circunferência de centro O e um ângulo α. 
Seja AÔB um ângulo central de medida β = ⋅ α2 . Os vértices dos 
ângulos inscritos relativos à circunferência que têm os lados pas-
sando por A e B têm medida α e estão num arco APB. Este arco 
é chamado arco capaz de α.
Na figura, os ângulos AP1B, AP2B, AP3B, t1AB e t2AB têm medida 
α =
AB
2
. O arco APB é o arco capaz de α.
2. Divisão De um segmento
Dado um segmento de reta AB e um número real k podemos 
dividir o segmento na razão k por um ponto interior ou por um ponto 
exterior ao segmento.
Dizemos que o ponto M divide interiormente o segmento AB na 
razão k se M for interior a AB e =
MA
k
MB
Dizemos que o ponto N divide exteriormente o segmento 
AB na razão k se N for exterior a AB e =
NA
k
NB
.
exemplo:
Considere a figura abaixo:
Temos as seguintes divisões:
M divide AB na razão = =
MA 2 1
6 3MB
A divide MB na razão = =
AM 2 1
8 4AB
B divide AM na razão = =
BA 8 4
6 3BM
teorema: Dado um segmento de reta AB e uma razão k, então:
I) existe um único ponto M que divide interiormente o seg-
mento nessa razão;
II) existe um único ponto N que divide externamente o seg-
mento nessa razão.
3. Divisão harmônica
Dado um segmento AB e os pontos M e N dizemos que M e 
N dividem harmonicamente o segmento AB se =
MA NA
MB NB
Os pontos M e N são chamados de conjugados harmônicos 
de AB na razão k.
Numa divisão harmônica vale que
= − <
2 1 1
para k 1
AB AM AN
= + >
2 1 1
para k 1
AB AM AN
Considere um segmento AB , O o ponto médio de AB e M e 
N os conjugados harmônicos de AB . Então vale a seguinte relação:
( ) = ⋅2OA OM ON
4. Distância entre Divisores 
harmônicos
Sejam M e N os conjugados harmônicos do segmento AB , 
conforme figura abaixo:
Então, temos que = = >
MA NA
k 1
MB NB
.
Sejam dadas as medidas =AB L, =MB a, =BN b e =MN x. 
Vamos determinar o valor de x em função da razão k e do compri-
mento L de AB . Temos que:
−
= ⇒ = ⇒ =
+
MA L a L
k k a
a k 1MB
e
+
= ⇒ = ⇒ =
−
NA L b L
k k b
b k 1NB
Note que, = = + = +x MN MB BN a b. Daí, segue que
= + = +
+ −
L L
x a b
k 1 k 1
Logo, =
−
2
2kL
x
k 1156
EXERCÍCIOS DE AULA
Nas questões de 1 a 5 assinale V para verdadeiro e F para falso.
01. 
( ) A circunferência não é um lugar geométrico.
( ) A mediatriz de uma corda qualquer de uma circunferência 
passa pelo centro dessa circunferência.
02.
( ) Num triângulo equilátero, as bissetrizes coincidem com as 
medianas.
( ) Num triângulo isósceles, o circuncentro coincide com o bari-
centro.
03.
( ) O incentro e o baricentro de um triângulo são sempre interiores 
ao triângulo.
( ) O ortocentro e o circuncentro de um triângulo podem ser 
exteriores ao triângulo.
04.
( ) Se o ortocentro é um vértice, então o triângulo é retângulo.
05. 
( ) Se o incentro está na mediatriz, então o triângulo é isósceles.
06.
Qual é o lugar geométrico dos baricentros dos triângulos cujos 
vértices são A, B e C é um ponto qualquer de r?
07.
Quanto mede a mediana de um triângulo equilátero de lado 10cm?
08.
Determine a distância do baricentro de um triângulo equilátero 
de lado 12 cm até um de seus vértices.
09. 
Um segmento AB é tal que 7.AB = 3.CD. Qual será sua medida na 
unidade 1/4.CD?
 
10. 
Se M divide um segmento AB, de 18 cm, interiormente na razão 
2/7, calculeMA e MB.
NotaS
157
gaBarito
exercícios De auLa 
01. F, V 02. V, F
03. V V 04. V
05. V 06. reta
07. 5 3 08. 2 3
09. 12/7
10. MA = 4 cm; MB = 14 cm
158
159
1. Teorema de Tales
Chamamos de feixe de retas paralelas ao conjunto forma-
do por retas paralelas e coplanares.
Uma transversal a um feixe de retas paralelas é uma reta 
do plano do feixe que é concorrente a todas as retas do feixe.
Chamamos de pontos correspondentes de duas ou mais 
transversais ao feixe os pontos das transversais que estiverem em uma 
mesma reta do feixe. De forma análoga, chamamos de segmentos 
correspondentes de duas ou mais transversais aos segmentos cujas 
extremidades são os respectivos pontos correspondentes.
Na figura acima, os pontos correspondentes são A e A’, 
B e B’, C e C’ e D e D’. E, AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos 
correspondentes.
1.1 Teorema
Se um feixe de retas paralelas possui duas transversais, então 
os segmentos congruentes de uma tem como correspondentes 
segmentos congruentes na outra.
Demonstração: Trace pelos pontos A e C os segmentos AL 
e CM paralelos à transversal t’, conforme desenho. Temos que:
≡AL A'B' e ≡CM C'D' (1)
Como lados opostos dos paralelogramos ALB’A’ e CMD’C’.
Os triângulos ABL e CDM, tendo um lado congruente adja-
cente a dois ângulos ordenadamente congruentes como corres-
pondentes, são congruentes pelo caso ALA. Portanto ≡AL CM .
Logo, de acordo com (1) ≡A'B' C'D'.
1.2 Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então 
a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão 
entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Demonstração: Sejam AB e CD os segmentos da transversal 
t. De acordo com a definição da razão de dois segmentos, temos, 
conforme a figura abaixo:
⋅ α
= =
⋅ α
AB p p
CD q q
 (1)
Traçando pelos pontos que dividem AB e CD em p e q partes 
congruentes ao segmento de medida alfa , as retas paralelas às 
do feixe, de acordo com o teorema anterior, essas paralelas divi-
dirão os segmentos A’B’ e C’D’ também em partes congruentes 
entre si. Então, temos:
⋅β
= =
⋅β
A'B' p p
C'D' q q
 (2)
Das relações (1) e (2) temos:
=
AB A'B'
CD C'D'
observação:
A demonstração foi feita supondo que os segmentos AB e CD 
são comensuráveis.
Teorema de Tales e 
semelhança de Triângulos
160
1.3 Teorema das bissetrizes
1.3.1 Teorema da bissetriz interna
Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado 
oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Se AD é bissetriz do ângulo A, então vale a relação:
=
x y
c b
Demonstração: Seja ABC um triângulo tal que =BC a , 
=AC b e =AB c .
Trace pelo vértice C do triângulo ABC a paralela CD à bisse-
triz interior AS, conforme desenho.
Temos que: α = β
 = βrˆ
 = αsˆ
Logo, =ˆ ˆr s
O triângulo ACD é isósceles, de base CD. Logo, = =AD AC b. 
Por outro lado, no triângulo BCD, AS sendo paralelo a CD, teremos:
=
BS BA
SC AD
Como =BS x , =SC y , =BA c e = =AD AC b temos que 
 
=
x y
c b
1.3.2 Teorema da bissetriz externa
Em um triângulo qualquer, a bissetriz externa de um ângulo 
externo divide o lado, externamente, em segmentos proporcio-
nais aos lados adjacentes.
Se AS é bissetriz do ângulo externo A, então vale relação:
=
x y
c b
2. semelhança de Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente 
se, os três ângulos são ordenadamente congruentes e os lados 
homólogos são proporcionais. 
Por exemplo, os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo são seme-
lhantes, pois possuem três ângulos ordenadamente congruentes.
Dizer que dois triângulos são semelhantes não significa que eles 
são iguais, mas sim proporcionais, ou seja, existe uma proporção en-
tre os lados correspondentes.
Em símbolos, temos
'
ˆ ˆA A'
a b cˆ ˆABC A'B'C' B B' e k
a b' c'
ˆ ˆC C'
 ≡∆ ∆ ⇔ ≡ = = =
≡

onde k é a razão de semelhança.
observação:
lados homólogos são os lados opostos aos ângulos ordenada-
mente congruentes.
vértices homólogos são os vértices de ângulos ordenadamen-
te congruentes.
161
2.1 Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e en-
contra os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo 
que ela determina é semelhante ao primeiro.
Em termos da figura abaixo, se DE é paralelo a BC, então o 
triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE.
2.2 Casos de semelhança entre triângulos
Os casos de semelhança entre triângulos são condições mais 
fracas para determinar quando dois triângulos são semelhantes. 
Isto é, não há necessidade de verificar sempre as congruências 
dos três ângulos e a proporcionalidade dos três lados para deter-
minar se dois triângulos são semelhantes. 
1° Caso de semelhança
Se dois triângulos têm dois ângulos ordenadamente con-
gruentes, então eles são semelhantes.
Suponha que A = A’ e B = B’. Devemos mostrar que ABC é 
semelhante a A’B’C’.
Se o lado A’B’ fosse congruente ao lado AB, os dois triângulos 
seriam congruentes pelo caso ALA, e a semelhança estaria pronta. 
Nesse caso teríamos k = 1.
Supondo que os lados não são congruentes, podemos dizer, sem 
perda de generalidade, que A’B’ < AB. Escolha um ponto D, em AB, 
tal que AD = A’B’ e trace DE paralelo a BC. Pelo teorema fundamental 
temos que os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
Como os triângulos ADE e A’B’C’ são congruentes, isso implica 
que A’B’C’ e ABC são semelhantes.
observação:
Perceba que se dois triângulos possuem dois ângulos con-
gruentes, obrigatoriamente o terceiro ângulo dos triângulos 
também será congruente, pois a soma dos ângulos internos 
de qualquer triângulo é sempre 180°.
2° Caso de semelhança
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um ân-
gulo e os lados compreendidos proporcionais, então eles são se-
melhantes.
A demonstração aqui é análoga à do primeiro caso.
3° Caso de semelhança
Se dois triângulos tem os lados homólogos proporcionais, 
então eles são semelhantes.
3. relações méTriCas no Triân-
gulo reTângulo
Considere um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em 
A. Trace a altura relativa à hipotenusa a partir do vértice A, con-
forme figura abaixo:
Os elementos desse triângulo são:
•	 Hipotenusa	a;
•	 Catetos	b e c;
•	 Projeções	dos	catetos	sobre	a	hipotenusa,	m e n;
•	 Altura	relativa	a	hipotenusa	h.
162
Note	que	no	triângulo	retângulo	ABC	os	ângulos	ABC	e	HAC	
são	iguais,	assim	como	os	ângulos	ACB	e	HAB.	Com	isso,	pode-
mos identificar três triângulos semelhantes na figura, são eles: 
ABC,	HBA	e	HAC.	Veja	a	figura	abaixo:
Vejamos	agora	as	relações	de	semelhança	entre	eles:
∆ ∆ABC ~ HBA
 = ⋅
= = ⇒ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
2c a m
a c b
a h b c
c m h
c h b m
∆ ∆ABC ~ HAC
 = ⋅
= = ⇒ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
2b a n
a c b
a h b c
b h n
c n b h
∆ ∆HBA ~ HAC
 ⋅ = ⋅
= = ⇒ ⋅ = ⋅
= ⋅ 2
c h b m
c m h
c n b h
b h n
h m n
Excluindo-se as repetidas, as principais fórmulas acima são:
1) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto 
dos catetos.
⋅ = ⋅a h b c
2) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenu-
sa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
= ⋅
= ⋅
2
2
b a n
c a m
3) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa.
= ⋅
2h m n
4. Teorema de PiTágoras
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipote-
nusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos
Para demonstrar o teorema de Pitágoras basta somar as equações
 
= ⋅
= ⋅
2
2
b a n
c a m
( )
+ = ⋅ + ⋅
+ = ⋅ +
+ =
2 2
2 2
2 2 2
b c a m a nb c a m n
b c a
Usando o teorema de Pitágoras podemos deduzir uma fór-
mula para a diagonal de um quadrado e para a altura de um 
triângulo equilátero.
diagonal do quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras na figura acima:
= + ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅2 2 2 2 2d a a d 2 a d a 2
altura do triângulo equilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
⋅ 
+ = ⇒ = − =  
⋅
=
2 2 2
2 2 2 2a a 3 ah a h a
2 4 4
a 3
h
2
163
EXERCÍCIOS DE AULA
01. 
Determine x na figura abaixo:
02. 
Determine x na figura abaixo:
03. 
O valor de x na figura abaixo é:
04. 
O valor de x é:
05. 
Uma reta paralela ao lado AC de um triângulo ABC determina 
sobre AB segmentos de 6m e 9m. Determine os segmentos que 
ela determina sobre BC que mede 25m.
06. 
O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 25 m. 
Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao 
lado dado mede 15 m?
07. 
Determine o valor de AD na figura abaixo sabendo que BC é pa-
ralelo a DE, BC = 15, DE = 45 e BD = 14.
08. 
Sendo DE paralelo a BC, AD = 10, DB = 6 e DE = 8, determine o 
valor de x.
09. 
Determine x e y na figura abaixo:
164
gabariTo
exerCíCios de aula 
01. 4 02. 12
03. 6 04. 7
05. 10m e 15m 06. 36m
07. 21 08. 64/5
09. 7 e 10
1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Chama-se progressão aritmética (PA) uma sequência de nú-
mero tais que a diferença entre cada termo e o seu antecessor é 
uma constante denominada razão da progressão.
Essa sequência pode ser representada pela seguinte fórmula 
de recorrência:
n n 1a a r−− = ou n n 1a a r−= +
onde n ∈ N, n ≥ 2, an e an − 1 são, respectivamente, os termos de 
ordem n e n − 1 na sequência e a constante r é a razão da PA.
A PA é crescente, se r > 0; decrescente, se r < 0 e estacionária 
ou constante, se r = 0.
r > 0 ⇒ PA crescente ⇒ an > an − 1, ∀ n
r = 0 ⇒ PA estacionária ⇒ an = an − 1, ∀ n
r < 0 ⇒ PA decrescente ⇒ an < an − 1, ∀ n
Nos exemplos citados acima, a primeira PA é crescente e a 
segunda decrescente.
Uma consequência da definição é que dados três termos 
consecutivos de uma PA, o do meio é a média aritmética dos 
outros dois.
n 1 n 1
n
a a
a
2
− ++
=
1.1 Notações especiais
Em problemas que tratam de progressões aritméticas com 
poucos termos, é útil lançar mão de representações especiais que 
facilitam os cálculos.
PA de 3 termos: x − r, x, x + r razão r
PA de 5 termos: x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r razão r
PA de 4 termos: x − 3k, x − k, x + k, x + 3k razão r = 2k
Assim, se tivermos uma PA de 3 termos cuja soma é 18 e o 3º 
termo é a metade do 1º termo, podemos escrever
a1 = x − r x −r + x + x + r = 18 ⇔ x = 6
a2 = x 2a3 = a1 ⇔ 2⋅(6 + r) = (6 − r) ⇔ r = −2
a3 = x + r
Assim, os 3 termos são:
a1 = 6 − (−2) = 8, a2 = 6 e a3 = 6 + (−2) = 4.
Observe que a utilização das notações especiais é particular-
mente interessante quando se conhece a soma dos termos da PA.
1.2 Fórmula do termo geral
A partir da definição feita no item anterior, vemos que é pos-
sível obter todos os termos de uma PA se conhecermos o seu 1º 
termo a1 e a sua razão r. Assim,
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r

an = an −1 + r
Se uma PA possui 1º termo igual a 2 e razão igual a 3, po-
demos escrever:
a2 = a1 + r = 2 + 3 = 5
a3 = a2 + r = 5 + 3 = 8
a4 = a3 + r = 8 + 3 = 11
Entretanto, se precisarmos obter um termo de ordem ele-
vado da PA, o método acima será muito trabalhoso. Para tanto, 
lançamos mão da expressão do termo geral da PA.
Considerando a PA (a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) de razão r, pode-
mos escrever:
2 1a a r= +/
3 2a a r= +/ /
4 3a a r= +/ /

n n 1a a r−= +/
Somando membro a membro as (n − 1) igualdades, temos:
n 1a a r (n 1)= + ⋅ − (fórmula do termo geral)
Entretanto, se em vez de conhecer o 1º termo da PA, for co-
nhecido um termo de ordem p, ap, e a sua razão, podemos utilizar 
uma expressão alternativa para o termo geral.
n pa a r (n p)= + ⋅ −
É importante notar que a progressão aritmética é uma fun-
ção de 1º grau em n com domínio N*, a(n) = r⋅n + (a1 − r).
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
165
1.3 Interpolação aritmética
Em toda sequência finita (a1 , a2 , a3 , ... , a n ) os termos a1 e an 
são chamados extremos e os outros termos chamados meios.
Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, consis-
te em obter uma PA de k + 2 termos e com extremos a e b.
Para determinar essa PA é necessário calcular a sua razão o 
que pode ser feito através da expressão
b a
r
k 1
−
=
+
obtida a partir da expressão do termo geral da PA, fazendo
a1 = a, an = b e n = k + 2.
Dessa forma, se desejarmos interpolar 5 meios aritméticos 
entre −2 e 40, basta calcularmos 
40 ( 2)
r 7
6 1
− −
= =
+
 e a PA será
(−2, 5, 12, 19, 26, 33, 40).
1.4 Propriedades
(I) Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos 
extremos é igual à soma dos extremos.
(II) Numa PA finita com número ímpar de termos, o termo 
central é igual à media aritmética dos extremos e consequente-
mente de qualquer par de termos equidistantes dos extremos.
Na PA (5, 2, −1, −4, −7, −10) de 6 termos, temos:
5 + (−10) = 2 + (−7) = (−1) + (−4). 
Na PA (7, 11, 15, 19, 23) de 5 termos, temos:
7 + 23 = 11 + 19 = 2⋅15.
(III) Sejam am , an , ap e aq termos quaisquer de uma PA de 
razão r ≠ 0, tem-se
m + n = p + q ⇔ am + an = ap + aq
1.5 Soma dos termos da PA
Baseados nas propriedades (I) e (II) acima, podemos escrever 
a expressão da soma dos n primeiros termos de uma PA de 1º 
termo a1 e n-ésimo termo an.
n
1 n
n k
k 1
(a a ) n
S a
2=
+ ⋅
= =∑
A fórmula acima também pode ser usada na forma a seguir:
n 1
n (n 1)
S n a r
2
⋅ −
= ⋅ + ⋅
Nessa expressão, notamos que a soma dos n primeiros termos 
de uma progressão aritmética é uma função de 2º grau em n.
EXERCÍCIOS DE AULA
01. (UERJ)
Uma sequência de cinco átomos está organizada por ordem cres-
cente de seus números atômicos, cujos valores são regidos por 
uma progressão aritmética de razão 4. Já o número de nêutrons 
desses mesmos átomos é regido por uma progressão aritmética 
de razão 5.
Se o átomo mais pesado pertence ao elemento ferro (Z = 26) e o 
mais leve possui o número de prótons igual ao número de nêu-
trons, o número de massa do terceiro átomo da série é:
a) 18
b) 20
c) 26
d) 38
02. (UFCE)
A soma dos 15 primeiros termos de uma Progressão Aritmética é 
150. O 8º termo desta P.A. é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
03. (UENF)
Um incêndio no Parque Nacional da Serra dos Órgãos, que durou 
exatamente 6 dias, devastou 60 hectares nos três primeiros dias. 
Suponha que, a partir do segundo dia, o fogo tenha destruído sem-
pre 8 hectares a mais do que no dia anterior. A partir desses dados, 
calcule, em hectares, a área que foi destruída pelo incêndio:
a) no primeiro dia;
b) nos seis dias.
04. (UERJ)
Observe a tabela de Pitágoras.
Calcule a soma de todos os números dessa tabela até a vigésima 
linha.
166
05. (UFRJ)
Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de 
uma plateia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele 
pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o 
número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse 
a média aritmética do número da anterior com o da posterior. 
Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse 
o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo 
como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da plateia, 
Mister MM adivinhou então o valor da última ficha. Determine 
você também esse valor.
06. (UFF)
Considere r e s duas retas concorrentes formando entre si 
um ângulo de 45º. Traçam-se 51 retas perpendiculares à 
reta r, que determinam sobre r segmentosde comprimentos 
m1 , m2 , ... , m50 e sobre s segmentos de comprimentos 
n1 , n2 , ... , n50 (veja a figura).
Sabendo que m1 , m2 , ... , m50 formam, nessa ordem, uma pro-
gressão aritmética de razão 1 cm e que m1 = 1cm, calcule o valor 
da soma n1 + n2 + ... + n50.
07. (FATEC)
Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo:
A plateia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais 
que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a 
um evento e todas comparecerem:
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
08. (IME)
O quadrado de qualquer número par 2n pode ser expresso como 
a soma de n termos, em progressão aritmética. Determine o pri-
meiro termo e a razão desta progressão.
167
NOTAS
GABARITO
ExERCíCIOS dE AULA 
01. D
Solução:
nos atômicos: x −8, x −4, x, x +4, x +8
nº de nêutrons: y −10, y −5, y, y +5, y +10
átomo mais pesado: p = x +8 e n = y + 10
26 = x + 8⇒ x = 18
átomo mais leve: p = x −8 e n = y −10
p = n ⇒ x −8 = y −10 ⇒ y −10 = 18 −8 ⇒ y = 20
nº de massa do 3º átomo:
p + n = x + y = 18 + 20 = 38
02. 10
Solução:
1 15
15
(a a ) 15
S 150
2
+ ⋅
= =
8 1 152a a a= + ⇒ 
82a 15 150
2
⋅
= ⇒ 8a 10=
03.
a) 12 hectares b) 192 hectares
Solução:
a) 1º dia: x −8 2º dia: x 3º dia: x +8
⇒ (x −8) +x +(x +8) = 60 ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20
No 1º dia foram devastados x −8 = 20 − 8 = 12 ha.
b) a6 = 12 +8×(6 −1) = 52 ⇒ 6
(12 52) 6
S 192
2
+ ⋅
= = ha
04. 2520
Solução:
20
3 4 5 12
6 8 10 24
9 12 15 36
a
+ + = + + = 
+ + = 
= 


 ⇒ a20 = 12 + 12×(20 −1) = 240
S = 12 +24 +36 + ... + 240 = 
(12 240) 20
2520
2
+ ⋅
=
05. 1
Solução:
As fichas ordenadas da forma solicitada formam uma PA (x1 , x2 , 
x3 , ... , x50) de razão r.
a16 = 103
a31 = 58
a31 = a16 + (31 − 16)r ⇔ 58 = 103 + 15r ⇔ r = −3
a50 = a31 + (50 −31)r = 58 + 19×(−3) = 1
06. 1275 2
Solução:
m50 = 1 + 1×(50 −1) = 50
1 2 50
1 2 50
m m m 2
cos45º
n n n 2
= = = = =
⇒ 1 2 50
1 2 50
m m m 2
n n n 2
+ + +
=
+ + +


1 2 50
(1 50) 50
m m m 1275
2
+ ⋅
+ + + = =
⇒ 
1 2 50
1275 2
n n n 2
=
+ + +
 ⇒ 1 2 50n n n 1275 2+ + + =
07. C
Solução:
O número de assentos é a soma de uma PA de 18 termos com a1 
= 8 e r = 4.
a18 = 8 +4×(18 −1) = 76
⇒ nº assentos = 
(8 76) 18
756
2
+ ⋅
=
Logo, se forem convidadas 800 pessoas faltarão 800 −756 = 44 
lugares.
08. a1 = 4 e r = 8
Solução:
a1 +a2 + ... +an = (2n)
2
an = a1 +r(n − 1)
Sn = a1 +a2 + ... +an = 
1 1 1(a a r(n 1)) n (2a r(n 1)) n
2 2
+ + − ⋅ + − ⋅
=
⇒ 1
(2a r(n 1)) n
2
+ − ⋅
 = (2n)2
Supondo n ≠ 0, então 
2a1 +r(n −1) = 8n ⇒ (2a1 −r) +rn = 8n , ∀ n
⇒ 2a1 − r = 0 ⇒ rn = 8n
⇒ r = 8 ⇒ a1 = 4
168
1. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Chama-se progressão geométrica (PG) uma sequência de nú-
mero tais que o quociente entre cada termo e o seu antecessor é 
uma constante denominada razão da progressão.
Essa sequência pode ser representada pela seguinte fórmula 
de recorrência:
n
n 1
a
q
a
−
= ou n n 1a a q−= ⋅ , n ∈ N, n ≥ 2
onde an e an − 1 são, respectivamente, os termos de ordem 
n e n − 1 na sequência e a constante q é a razão da PG.
Exemplos:
A sequência (1, 2, 4, 8) é uma PG de 4 termos e razão q = 2.
A sequência (
2
3
, 
2
9
, 
2
27
...) é uma PG infinita de razão q = 
1
3
.
As PGs podem ser classificadas quanto ao seu crescimento 
como segue:
1
1
a 0 e q 1
a 0 e 0 q 1
> > 
< < <  ⇒ PG crescente ⇒ an > an − 1, ∀ n
1
1
a 0 e 0 q 1
a 0 e q 1
> < < 
< >  ⇒ PG decrescente ⇒ an < an − 1, ∀ n
q = 1 ⇒ PG constante ⇒ an = an − 1, ∀ n
q < 0 ⇒ PG alternante (não é crescente nem decrescente)
q = 0 ⇒ PG estacionária ⇒ an = 0, ∀ n ≥ 2
Nos exemplos citados acima, a primeira PG é crescente e a 
segunda decrescente.
1.1 Notações especiais
Em problemas que tratam de progressões geométricas com 
poucos termos, é útil lançar mão de representações especiais que 
facilitem os cálculos.
PG de 3 termos: 
x
q
, x, x⋅q razão q
PG de 5 termos: 
2
x
q
, 
x
q
, x, x⋅q, x⋅q2 razão q
PG de 4 termos: 3
x
k
, 
x
k
, x⋅k, x⋅k3 razão q = k2
Observe que a utilização dessas notações especiais é particular-
mente interessante quando se conhece o produto dos termos da PG.
1.2 Fórmula do termo geral
A partir da definição feita no item anterior, vemos que é pos-
sível obter todos os termos de uma PG se conhecermos o seu 1º 
termo a1 e a sua razão q. Assim,
a2 = a1 ⋅ q
a3 = a2 ⋅ q
a4 = a3 ⋅ q

an = an −1 ⋅ q
Se uma PG possui 1º termo igual a 2 e razão igual a 3, po-
demos escrever:
a2 = a1 ⋅ q = 2 ⋅ 3 = 6
a3 = a2 ⋅ q = 6 ⋅ 3 = 18
a4 = a3 ⋅ q = 18 ⋅ 3 = 54
Entretanto, se precisarmos obter um termo de ordem ele-
vado da PG, o método acima será muito trabalhoso. Para tanto, 
lançamos mão da expressão do termo geral da PG.
Considerando a PG (a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) de razão q, pode-
mos escrever:
2 1a a q= ⋅/
3 2a a q= ⋅/ /
4 3a a q= ⋅/ /

n n 1a a q−= ⋅/
Multiplicando membro a membro as (n−1) igualdades, temos:
n 1
n 1a a q
−
= ⋅
 
(fórmula do termo geral)
onde a1 é o 1º termo da PG, q a sua razão e n a ordem do termo 
que se quer calcular an.
Entretanto, se em vez de conhecer o 1º termo da PG, for co-
nhecido um termo de ordem p, ap, e a sua razão, podemos utilizar 
uma expressão alternativa para o termo geral.
(n p)
n pa a q
−
= ⋅
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
169
1.3 Interpolação geométrica
Interpolar k meios geométricos entre os números a e b, con-
siste em obter uma PG de k + 2 termos e com extremos a e b.
Para determinar essa PG é necessário calcular a sua razão o 
que pode ser feito através da expressão.
k 1
b
q
a
+=
obtida a partir da expressão do termo geral da PG, fazendo
a1 = a , an = b e n = k + 2.
Dessa forma se desejarmos interpolar 4 meios geométricos 
entre 3 e 96, basta calcularmos 54 1
96
q 32 2
3
+= = = e a PG será 
(3, 6, 12, 24, 48, 96).
1.4 Propriedades
(I) Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual ao produto dos extremos.
(II) Sejam am , an , ap e aq termos quaisquer de uma PG de 
razão r ≠ 0, tem-se
m + n = p + q ⇔ am ⋅ an = ap ⋅ aq
1.5 Produto dos termos da PG
Seja Pn o produto dos n primeiros termos de uma PG finita.
n 1 2 n 1 nP a a a a−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
n n n 1 2 1P a a a a−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Multiplicando as igualdades membro a membro, temos:
2
n 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1P (a a ) (a a ) (a a ) (a a )− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Utilizando as propriedades (I) e (II) do item anterior, vem:
= ⋅
2 n
n 1 nP (a a )
Note que é possível substituir o produto a1 ⋅ an pelo produto 
de qualquer par de termos equidistantes dos extremos.
A expressão anterior também pode ser escrita como
n(n 1)n
n 2
n 1
k 1
P a q
−
=
= ⋅∏
Dessa forma, para determinar o produto dos termos da PG 
(3, 6, 12, 24, 48, 96), basta calcular 
6(6 1)
6 6 152
6 1P a q 3 2
−
= ⋅ = ⋅ .
1.6 Soma dos termos da PG finita
A expressão da soma dos n primeiros termos da PG
(a1 , a2 , a3 , ... , an) finita de razão q ≠ 1 pode ser obtida como 
segue:
n 1 2 n 1 nS a a a a−= + + + +
⇒ n 1 2 n 1 nq S q a q a q a q a−⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
⇒ n 2 3 n nq S a a a q a⋅ = + + + + ⋅
⇒ n n n 1q S S q a a⋅ − = ⋅ −
n 1
n
q a a
S
q 1
⋅ −
=
−
Substituindo n 1n 1a a q
−
= ⋅ , vem
nn
1
n k
k 1
a (q 1)
S a
q 1=
−
= =∑
−
Dessa forma, para determinar a soma dos termos da PG (3, 6, 
12, 24, 48, 96), basta calcular 
6 6
1
6
a (q1) 3 (2 1)
S
q 1 2 1
− ⋅ −
= =
− −
 = 189.
1.7 Soma dos termos da PG infinita
Seja uma PG infinita de razão q ≠ 0 e q < 1, a soma dos 
termos dessa PG pode ser obtida a partir da expressão do item 
anterior considerando que, quando n tende ao infinito, qn tende 
a zero. Assim,
→∞ →∞
− −
= = =
− − −
n
1 1 1
nn n
a (q 1) a a
lim S lim
q 1 q 1 1 q
Chamando o limite da soma dos termos da PG infinita de S 
podemos escrever:
1aS
1 q
=
−
 onde q < 1
EXERCÍCIOS DE AULA
01. 
Qual o quarto termo da progressão geométrica 632, 2, 2...?
02. (UNIRIO)
Há exatamente um ano, José iniciou uma criação de coelhos e, 
durante este período, o número de coelhos duplicou a cada 3 
meses. Hoje, preocupado com a falta de espaço para os coelhos, 
José vai vender parte dessa criação, de modo que apenas a quan-
tidade inicial fique com ele. Se 0N denota a quantidade inicial de 
coelhos, então a quantidade a ser vendida é
a) 15 0N
b) 13 0N 
c) 12 0N
d) 8 0N 
e) 7 0N
03. (UFSC)
Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) 
VERDADEIRA(S).
(01) Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.
(02) O valor de x que satisfaz a equação:
 (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 é x = 1.
0(4) O oitavo termo da PG ( 2 , 2, ...) é a8 = 16.
(08) A soma dos termos da PG    
1 2 4
, , ,...
3 9 27
é igual a 1.
170
04. (UFRJ)
A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1 cm, 
é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma 
infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadra-
dos de menor lado (l) acrescentados na etapa anterior e acrescen-
tam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado l/3. As 
três primeiras etapas da construção de F são apresentadas a seguir.
Calcule a área de F.
05. (UFF)
Determine a soma dos 100 primeiros termos da progressão geo-
métrica (a1, a2, a3, ...), sabendo que 10 nlog a n 1= − , n ∈ N*.
06. (UFMG)
Os números a, b e c, nessa ordem, estão em progressão geomé-
trica de razão 4/3 . Além disso, a − 1, b e c, nessa ordem, estão 
em progressão aritmética. DETERMINE a, b e c.
07. (UFSC)
Sabendo que a sequência (1 − 3x, x − 2, 2x + 1) é uma PA e que 
a sequência (4y, 2y − 1, y + 1) é uma PG, determine a soma dos 
números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
(1) O valor de x é 2.
(2) O valor de y é 
1
8
.
(4) A soma dos termos da P.A. é zero.
(8) –
3
2
−
 
é a razão da P.G.
(16) A P.A. é crescente.
08. (FUVEST)
No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecuti-
vos da poligonal, que começam na origem 0 e termina em B (veja 
a figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 
0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendicula-
res. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
a) 
−
−
20
2
1 p
1 p
 b) 
−
+
20
4
1 p
1 p
c) 
−
−
16
4
1 p
1 p
 d) 
−
+
16
2
1 p
1 p
e) 
20
4
1 p
1 p
−
−
NOTAS
171
GABARITO
ExERCíCIOS dE AULA 
01. 1
02. B
P.G.: 0 0 0 0 0N , 2N , 4N , 8N ,16N .
População hoje: 016N .
A vender: 0 0 016N N 15N− = .
03. V V V V ⇒ soma = 15
04. 1,5 cm2
Solução:
2 2 2
F
1 1 1
S 1 3 9 27
3 9 27
     
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +           
F
1 1 1
S 1
3 9 27
= + + + +
A expressão acima representa a soma de uma PG infinita com a1 
= 1 e r = 1/3.
F
1 3
S
1 1/ 3 2
= =
−
 cm2
05. 
100
100
10 1
S
9
−
=
Solução:
log
10
a
1
 = 0 ⇒ a
1
 = 1
log
10
a
2
 = 1 ⇒ a
2
 = 10
q = 10 e an = 10
n –1
n
1
n
a (q 1)
S
q 1
−
=
−
 ⇒ 
100 100
100
1 (10 1) 10 1
S
10 1 9
⋅ − −
= =
−
06. a = 9, b = 12, c = 16
Solução:
4
b a
3
= e 
4 16
c b a
3 9
= =
⇒ 2b = (a −1) +c ⇒ 
4 16
2 a a 1 a
3 9
⋅ = − + 
⇒ a = 9, b = 12 e c = 16
07. V V V V V ⇒ soma = 31
08. D
Solução:
Sendo na os termos dessa PG, temos:
B 1 3 5 7 9 11 13 15x (a a ) (a a ) (a a ) (a a )= − + − + − + −
2 4 6 8 10 12 14
B 1 1 1 1 1 1 1 1x a a p a p a p a p a p a p a p= − + − + − + −
A soma acima é a soma de uma PG de 8 termos de primeiro ter-
mo a1 e razão −p
2, assim
2 8
1
B 2
a (( p ) 1)
x
p 1
− −
=
− −
 = 
16
1 2
1 p
a
1 p
−
+
a1 = 1 ⇒ 
16
B 2
1 p
x
1 p
−
=
+
172
173
1. Definição De números 
complexos
Considere o conjunto 2 x {(x,y) | x,y }.= = ∈    Dois ele-
mentos (x1, y1) e (x2, y2) de
2
 são iguais se e somente se x1 = x2 
e y1 = y2. As operações de adição e multiplicação são definidas no 
conjunto 2 da seguinte maneira:
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z (x ,y ) (x ,y ) (x x , y y )+ = + = + + ∈
e
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z (x ,y ).(x ,y ) (x x y y ,x y x y ) ,= = − + ∈
Para todo z1 = (x1, y1) ∈
2
 e z2 = (x2, y2) ∈ 
2
 .
O elemento z1 + z2 ∈ 
2
 é definido como soma e o elemen-
to z1 . z2 ∈ 
2
 é definido como produto.
Propriedades . 1) Se z1 = (x1, 0) ∈ 
2
 e z2 = (x2, 0) ∈ 
2
 , 
então z1 . z2 = (x1x2, 0).
(2) se z1 = (0, y1) ∈ 
2
 e z2 = (0, y2) ∈ 
2
 , então z1 . z2 = 
(-y1 y2, 0).
exemplo 1) Sejam z1 = (-5, 6) e z2 = (1, -2). Então
z1 + z2 = (-5, 6) + (1, -2) = (-4,4)
e
z1 z2 = (-5, 6) . (1, -2) = (-5 + 12, 10 + 6) = (7, 16).
Definição. O conjunto 2 , junto com as operações de adi-
ção e multiplicação, é chamado conjunto dos números complexos 
representado por  . Qualquer elemento z = (x, y) ∈  é chama-
do de número complexo.
2. proprieDaDes Da aDição
A adição de números complexos satisfaz as seguintes pro-
priedades:
(a) Comutativa
z1 + z2 = z2 + z1 para todoz1, z2 ∈  .
(b) Associativa 
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) para todo z1, z2, z3 ∈  .
Números Complexos - forma 
algébriCa, potêNCias de i, 
operações, CoNjugado
(c) Elemento neutro 
Existe um único número complexo tal que 0 = (0, 0) tal que 
z + 0 = 0 + z = z para todo z = (x, y) ∈  .
(d) Elemento Simétrico para qualquer número complexo 
z = (x, y) existe um único -z = (-x, -y) ∈  tal que:
z + (-z) = (-z) + z = 0.
3. subtração
z1- z2 é chamada subtração e é definida a seguir:
z1 - z2 = (x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2) ∈  .
4. proprieDaDes Da 
multiplicação
(a) Comutativa
z1 . z2 = z2 . z1 para todo z1, z2 ∈  .
(b) Associativa
(z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3) para todo z1, z2, z3 ∈  .
(c) Elemento neutro
Existe um único número complexo 1 = (1 , 0) ∈  tal que:
z.1 = 1.z = z para todo z ∈  .
(d) inverso de um elemento
Para todo complexo z = (x, y) ∈  * 
Existe um único elemento z-1 = (x’, y’) ∈  tal que :
z . z-1 = z-1 . z = 1.
z . z-1 = 1
 (x, y) . (x’, y’) = (1, 0), equivale a
xx' yy' 1
yx' xy' 0
− =
+ =
Resolvendo o sistema obtemos:
2 2
x
x'
x y
=
+
 e 
2 2
y
y'
x y
=
+
,
1
2 2 2 2
1 x y
z , *
z x y x y
−
 −
= = ∈ 
+ +   .
174
5. Quociente
−
 −
= =   + + 
11
1 1 1 2 2 2 2
z x y
z . z (x , y ) . ,
z x y x y
1 1 1 1
2 2 2 2
x x y y x y y x
,
x y x y
 + − +
= ∈  + +   .
6. potência
Uma potência com expoente inteiro do número complexo 
z ∈  *é definido por : 
z0 = 1; z1 = z; z2 = z . z;
zn = 

n vezes
z.z...z para todos os inteiros n > 0
e zn = (z-1)-n para todos os inteiros n < 0.
Propriedades:
1) m n m nz .z z += ;
2) 
m
m n
n
z
z
z
−
= ;
3) m n mn(z ) z= ;
4) n n n1 2 1 2(z .z ) z .z= ;
5) 
n
1 1
n
2 2
z z
z z
 
=   ;
7. proprieDaDe Distributiva
z1.(z2 + z3) = z1. z2 + z1 . z3 para todo z1, z2, z3