Pêndulo Simples – Determinação da Aceleração local da Gravidade

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INTRODUÇÃO
Em algum momento de nossas vidas já nos deparamos com um balanço em forma de pêndulo. Embora ele apresentasse continuamente o mesmo movimento de vai e vem, sempre queríamos que ele fosse a um ponto cada vez mais alto. Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste em uma massa suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade; o movimento é periódico e oscilatório, sendo assim podemos determinar o período do movimento.
Chamamos de Pêndulo Simples o sistema que é composto por um corpo que realiza oscilações preso à extremidade de um fio ideal. Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes o descrevem como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples.
O esquema de um pêndulo simples está ilustrado abaixo:
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma: 
O pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação da força peso, apresentando um movimento periódico. As forças que atuam sobre a esfera de massa m são: a força peso e a força de tração T. Usando o conceito de pêndulo simples podem relaciona-lo e consequentemente achar a aceleração da gravidade.
 (Equação 1)
No entanto, o ângulo θ (expresso em radianos) que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, então:
Substituindo em F:
 
Ao considerarmos o caso de pequenos ângulos de oscilação:
 ou: 
Como P = m.g, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como: 
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, ele descreve um movimento harmônico simples (MHS). Como para qualquer MHS, o período é dado por:
E como: 
Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:
 
Assim:
 (equação 2)
Esse resultado nos diz que o período de oscilação do pêndulo simples independe da abertura angular em que ele é solto, somente dependendo de parâmetros considerados fixos como o comprimento do fio do pêndulo e da gravidade local.
OBJETIVO
O presente experimento realizado em sala tem como finalidade registrar, através de um cronômetro, o tempo em que um pêndulo simples levaria para retornar ao seu ponto inicial, obtendo assim, o valor da aceleração da gravidade local, verificando a dependência entre o período de oscilação em função da variável apresentada, neste caso, o comprimento do fio de nylon.
MATERIAIS UTILIZADOS
Pêndulo simples, Cronômetro digital e Trena.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O Procedimento experimental está ilustrado na Figura 1, siga os passos conforme abaixo:
I. Meça o comprimento L do pêndulo (leve em conta o raio da esfera);
II. Escolha um valor de θ menor que 15° (anote esse valor) e posicione a esfera no ponto escolhido;
III. Meça 5 vezes o tempo gasto pela esfera para 10 oscilações completas do pêndulo;
IV. Mantenha o ângulo inicial constante para outros 5 valores de L com o mesmo procedimento.
 Falta foto da trena e cronômetro
Figura 1: Esquema do aparato experimental de pêndulo simples.
Anote na Tabela 1 os dados referentes e em seguida, plote o gráfico para determinar a aceleração da gravidade no experimento.
Tabela 1: Dados coletados na experiência de pêndulo simples.
	Tempo (s)
	L1 L2
Medida(30cm) Medida(50cm)
	Incerteza 0,5
			Incerteza 0,5
	T1
	9,94
	12,62
	T2
	9,75
	12,66
	T3
	9,66
	12,72
	T4
	9,72
	12,47
	T5
	9,72
	12,62
	Média 
	9,76
	12,62
	Desvio Padrão 
	0,10
	0,08
	Período de oscilação 
	0,98
	1,26
	Aceleração gravitacional 
	5,94
	5,93
	Erro Relativo
	39,45%
	39,55%
 Princípios físicos e cálculos matemáticos
, onde: m é em quilograma (kg) e g = 9,81 m/s2
Resultados: Δx ± δa
Valor médio :
Desvio padrão da medida (δ):
Desvio padrão do valor médio (δA):
Período de oscilação:
T = tmédio/10
Expressão para o cálculo da aceleração da gravidade no local:
T = 2* π * ((L/g)1/2)
Onde T é o período de oscilação, L é o comprimento do barbante e π = 3,1415...
Erro Relativo: 
* 100
Onde G é a gravidade e Ag é a aceleração gravitacional 
DISCUSSÃO
 Inicialmente, o pêndulo foi suspenso no tripé de apoio e com o auxílio da trena, mediu-se esse comprimento “L” do fio. Em seguida, o pêndulo foi deslocado um ângulo  e solto. 
Com o auxílio de um cronômetro, mediu-se o tempo de dez oscilações, esse tempo total foi dividido pelo número de oscilações e encontrou-se o tempo “T” de uma oscilação. Em cada um dos comprimentos adotados mediu-se o tempo cinco vezes, para diminuir a imprecisão. 
A posição inicial adotada foi no marco dos 30 cm. Em seguida, o pêndulo foi solto, oscilando com amplitude inicial igual a 30 cm, o tempo começou a ser cronometrado. Sendo repetido posteriormente no marco dos 50 cm.
Devido à resistência do ar, o pêndulo perde energia e, com o passar do tempo, começa a oscilar com uma amplitude menor. Encontrou-se o tempo para cada vez que a amplitude diminuía. O que pode concluir em relação à dependência funcional de T com L, é que se variarmos a massa do pêndulo e o tamanho do fio, a gravidade não será alterada
CONCLUSÃO
Observamos que um pêndulo composto com um fio e massa desprezível fixada a ponta está disposto livremente à movimentação, fazendo com que o corpo esteja sujeito a força causada pela gravidade, executando assim movimentos periódicos. 
O experimento nos leva à resultados bem próximos do real, mostrando que o período do pêndulo simples depende somente do comprimento da variável apresentada (fio), ou seja, quanto maior o comprimento, maior o período. 
Os pequenos erros observados são consequência de erros de leitura das medidas e leitura de tempo, assim como as aproximações nos cálculos.
 BIBLIOGRAFIA
1. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de Física 1 - Mecânica - 9ª Edição. Editora LTC. 2012.
2. Internet: www.unicamp.br/fisica/labfis1/associacao_leidehooke, acessado em 31 de agosto de 2017.
3. Internet: http://www.if.ufrgs.br/~riffel/notas_aula/ensino_astro/roteiros/Roteiro_gravidade.htm, acessado em 01 de setembro de 2017.