SLIDE - MC e aceleração centrípeta - USJT

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Física I para Engenharia 
 
 
2º Semestre de 2014 
 
Universidade São Judas Tadeu - USJT 
 
 
Movimento Circular e aceleração centrípeta 
 
 
Professora: Dra. Michele H. Ueno Guimarães 
 
 
Seja um corpo rígido de massa M, que gira em torno 
de um eixo fixo. Cada ponto deste corpo descreve 
um círculo, cujo raio ri é a distância entre o ponto e 
o eixo de rotação. 
A posição angular dessa reta é o ângulo que a reta 
de referência faz com a reta fixa. 
drdS ii 
Posição angular 
Cinemática Rotacional 
O ângulo é medido em radianos. 
Deslocamento angular 
É positivo no sentido anti-horário. 
Quando o corpo gira de um ângulo dθ, o ponto 
descreve um arco de comprimento dSi 
12  
A taxa de variação do ângulo é a mesma para todas as posições no 
corpo e é chamada de velocidade angular ω. 
Velocidade angular 
dt
d
 
 rrv  
Cinemática Rotacional 
rddS 
dt
d
r
dt
rd
dt
dS 

Dividindo-se por t 
r
v

 Para os valores médios temos: 
t
med





 velocidade angular instantânea 
 rS
notação 


 
dt
d
Analogamente, a taxa de variação da velocidade 
angular é a mesma para todas as posições no 
corpo e é chamada de aceleração angular 𝛼. 
aceleração angular 
 
2
2
dt
d
dt
d
 Se 𝛼 é constante: 
t  0
2
00
2
1
tt  
  2202
Exemplo 
Um CD gira, do repouso até 500 rpm, em 5,5 s. 
(a)Qual a aceleração angular suposta constante? 
(b)Quantas voltas o disco dá em 5,5 s? 
(c)Qual a distância percorrida por um ponto a 6,0 
cm do centro, nestes 5,5 s? 
 (b) 
= 22,9 voltas 
t  0
2
00
2
1
tt  
sradrpm 36,5260/2500500  
5,5036,52 
2/5,9 srad
2)5,5(5,9
2
1
00  rad7,143
 (c) 
 (a) 
mrS 62,87,14306,0  
Acelerações e velocidades angulares no movimento circular 
(r=R=constante) 
Já vimos que: 
Analogamente, para a aceleração temos: 
rv 
dt
d
R
dt
d
r
dr
dr
dt
rd
dt
dv
a tt
  )(
 RR
dt
d
Rat 
rddS 
rv 
Para movimento circular r=R=constante temos: 
Rv 
Aceleração tangencial: 
Como o movimento é circular, 
existe uma aceleração centrípeta 
22
22 )(  RR
R
R
R
v
a tc 
22  RRac 
aceleração centrípeta 
Para Movimento Circular: 
 RRat 
Coordenadas Polares ! ! 
Considere um corpo de massa m, suspenso por um 
fio, fazendo um movimento circular de raio r e 
com rapidez constante v. 
Movimento Pendular Cônico 
Chamamos de Força Centrípeta a 
componente da resultante que é 
responsável pelo movimento circular. 
r
g
maT
mgT
amFT





sin
0cos

sin
2
2
T
r
v
mF
r
v
a
cp
r


Força centrípeta versus força centrifuga 
Força centrípeta = força necessária para que um objeto faça uma 
curva ou movimento curvo. Alguma força deve fazer o papel da força 
centrípeta. 
 
Força centrífuga = força que você sente quando está num referencial 
girante. Força fictícia ou não-inercial. 
Exemplos 
Num parque de diversões, um carrinho 
desce de uma altura h para dar uma volta 
no “loop” de raio R, esquematizado na 
figura. Despreze o atrito do carrinho com 
o trilho. 
a) Qual é a velocidade mínima, que o 
carrinho deve ter no parte inferior do 
loop, para que ele consiga completá-lo? 
b) Qual é o menor valor de h necessário 
para permitir ao carrinho dar a volta toda 
no loop? 
𝑷 𝑵 
No ponto A → V ≠ 0. 
A 
Na situação limite → 𝑉𝑚𝑖𝑛 → N = 0. 
𝑃 = 𝐹𝑐𝑝 
𝑚𝑔 = 
𝑚𝑉2
𝑅
 
 
𝑉2 = 𝑅𝑔 
 
𝑉 = 𝑅𝑔 
 
(a) (b) 
1 
2 
𝐸1 = 𝐸2 
 
𝑚𝑔ℎ = 
1
2
 𝑚𝑉2 + 𝑚𝑔2𝑅 
 
𝑔ℎ = 
1
2
𝑅𝑔 + 𝑔2𝑅 
 
ℎ = 
5
2
 R 
Exemplos 
Uma pequena bola de massa 𝒎𝟏 repousa 
sobre o topo de uma mesa horizontal sem 
atrito, a uma distância r de um buraco, 
situado no centro da mesa, conforme 
mostra a figura. Um fio ligado a essa bola 
passa através do buraco e tem uma bola 
de massa 𝒎𝟐 ligada em sua outra 
extremidade. A bola de massa 𝒎𝟏 
descreve um movimento circular uniforme 
com raio r e velocidade v. Qual deve ser o 
valor de v para que o bloco de massa 𝒎𝟐 
permaneça imóvel quando liberado? T = 𝑭𝒄𝒑 
𝒎𝟏 𝒎𝟐 
𝑷𝟐 𝑷𝟏 
𝑻𝟐 
𝑻𝟏 
𝑵𝟏 
Bloco de massa 𝒎𝟏: 𝑻 = 𝑭𝒄𝒑 = 
𝒎𝟏𝑽
𝟐
𝒓
 
 N = 𝑚1𝑔 
 
Bloco de massa 𝒎𝟐: 𝑇 = 𝑚2𝑔 
Então, a força de tração que age na bola de massa 𝑚2 é igual à 
força centrípeta que faz a bola de massa 𝑚1 girar: 
𝒎𝟐𝒈 = 
𝒎𝟏𝑽
𝟐
𝒓
 
 
𝑽 = 
𝒈𝒓𝒎𝟐
𝒎𝟏
 
A figura representa um ponto material 
percorrendo uma curva no plano horizontal. 
Dada a figura, determine o raio da 
curvatura. Sabendo-se que: g = 10 m/s², 𝜇 
= 0,5 e v = 20 m/s. 
Exemplos 
Como a força de atrito está dirigida para o centro da curvatura, ela é a 
força centrípeta. 
𝑭𝒄𝒑 = 𝒇𝒂𝒕 
 
𝑚𝑉2
𝑅
= 𝜇 𝑁 
𝑚𝑉2
𝑅
= 𝜇 𝑚 𝑔 
 
𝑅 =
𝑉2
𝜇 𝑔
 
𝑅 =
202
0,5 . 10
 
 
𝑅 = 80 𝑚 
Exemplos 
A figura representa um ponto material em MCU em uma mesa 
horizontal sem atrito, preso a um fio. Baseando-se na figura e 
sabendo-se que g = 10 m/s2, 𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠, m = 2 kg e R = 50 cm. 
Determine a tração no fio. 
Como a tração está dirigida para o centro 
da curvatura, ela é igual à força centrípeta. 
𝑭𝒄𝒑 = 𝑻 
 
𝒎𝝎𝟐𝑹 = 𝑻 
 
𝟐 . 𝟐𝟐 . 𝟎, 𝟓 = 𝑻 
 
𝑻 = 𝟒 𝑵 
Exemplos 
Dado um ponto material preso a um fio em MCU no plano vertical, 
determine a tração no fio no ponto mais alto da trajetória. 
Sabendo-se que v = 5 m/s, g = 10 m/s², m = 2 kg e R = 1 m. 
𝑭𝒄𝒑 = 𝑻 + 𝑷 
 
𝒎𝑽𝟐
𝑹
= 𝑻 + 𝒎. 𝒈 
 
𝑻 =
𝟐. 𝟓𝟐
𝟏
 − 𝟐. 𝟏𝟎 
 
𝑻 = 𝟑𝟎 𝑵 
 
Exemplos 
Em um brinquedo de um parque de diversões, os passageiros 
viajam com velocidade constante em um círculo de raio 5 m. Eles 
fazem uma volta completa no círculo em 4 s. Qual é a aceleração 
deles? 
𝑽 = 
∆𝑺
𝑻
= 
𝟐𝝅𝑹
𝑻
 
 
𝑽 = 
𝟐. 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟓
𝟒
 
 
𝑽 = 𝟕, 𝟗 𝒎/𝒔 
𝒂𝒄𝒑 = 
𝑽𝟐
𝑹
 
 
𝒂𝒄𝒑 = 
𝟕, 𝟗𝟐
𝟓
 
 
𝒂𝒄𝒑 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝒎/𝒔
𝟐