01. Funcoes Vetoriais Parte I

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Funções Vetoriais
Parte I
Curso: Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Cálculo Vetorial
Prof. Kleyton Jânio Camelo
kleytoncamelo@hotmail.com
Funções Vetoriais
Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ƹ𝑗 + ℎ 𝑡 ෠𝑘 = ۦ𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ۧℎ(𝑡)
𝑥 = 𝑓 𝑡 ; 𝑦 = 𝑔 𝑡 ; 𝑧 = ℎ(𝑡)
Equações Paramétricas de C
▪ Dizemos que C é uma curva paramétrica.
▪ Uma curva paramétrica no espaço ou
curva espacial é um conjunto de triplos
ordenados (x, y, z).
Ponto terminal 
de Ԧ𝑟(𝑡)
Orientação de C
Exemplo 01. 
Esboce a curva cuja equação vetorial é dada por
Ԧ𝑟 𝑡 = 2cos 𝑡 Ƹ𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 Ƹ𝑗 + 𝑡 ෠𝑘, 𝑡 ≥ 0
Exemplo 02. 
Determine uma equação vetorial e as equações
paramétricas para o segmento de reta ligando o
ponto P(1, 3 -2) ao ponto Q(2, -1, 3).
NOTA. Equações paramétricas de uma reta
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎1𝑡; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑎2𝑡; 𝑧 = 𝑧1 + 𝑎3𝑡
𝑃(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
Ԧ𝑎 = 𝑃𝑄 = ൻ𝑥𝑞 − 𝑥𝑝, 𝑦𝑞 − 𝑦𝑝, 𝑧𝑞 − ൿ𝑧𝑝
Limite de Uma Função Vetorial
Se lim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡 , lim
𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 e lim
𝑡→𝑎
ℎ 𝑡 existem, então
lim
𝑡→𝑎
Ԧ𝑟 𝑡 = ർlim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡 , lim
𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 , ඀lim
𝑡→𝑎
ℎ 𝑡
Propriedades dos Limites
lim
𝑡→𝑎
Ԧ𝑟1 𝑡 = 𝐿1 e lim
𝑡→𝑎
Ԧ𝑟2 𝑡 = 𝐿2Considere que 
lim
𝑡→𝑎
𝑐 Ԧ𝑟1 𝑡 = 𝑐𝐿1 , 𝑐 é 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
lim
𝑡→𝑎
[ Ԧ𝑟1 𝑡 + Ԧ𝑟2 𝑡 ] = 𝐿1 + 𝐿2
lim
𝑡→𝑎
[ Ԧ𝑟1 𝑡 ∙ Ԧ𝑟2 𝑡 ] = 𝐿1 ∙ 𝐿2
Derivada de Uma Função Vetorial
A derivada de uma vetorial Ԧ𝑟 𝑡 é
Ԧ𝑟′ 𝑡 = lim
∆𝑡→0
1
∆𝑡
[ Ԧ𝑟 𝑡 + ∆𝑡 − Ԧ𝑟 𝑡 ]
Diferenciação de componentes
Se Ԧ𝑟 𝑡 = ۦ𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ۧℎ(𝑡) , onde f, g e h são diferenciáveis, então 
Ԧ𝑟′ 𝑡 = ۦ𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ۧℎ′(𝑡)
Exemplo 03. 
Determine: 
lim
𝑡→2
(𝑡2 Ƹ𝑖 + 3𝑡 Ƹ𝑗 + 5෠𝑘) Resposta: 4 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗 + 5෠𝑘
Interpretação Geométrica
Exemplo 04. 
Seja Ԧ𝑟 𝑡 = ln 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑒−3𝑡 Ƹ𝑗 + 𝑡2 ෠𝑘, determine:
(a) O domínio de Ԧ𝑟;
(b) Ԧ𝑟′(𝑡) e Ԧ𝑟′′(𝑡)
Respostas: (a) ]0, +[
(b) 
1
𝑡
Ƹ𝑖 − 3𝑒−3𝑡 Ƹ𝑗 + 2𝑡 ෠𝑘; −
1
𝑡2
Ƹ𝑖 + 9𝑒−3𝑡 Ƹ𝑗 + 2෠𝑘
Curvas Suaves
Uma curva suave não tem pontos angulosos, pontos de recursão, nem interrupção.
Curvas Suaves Não são curvas suaves
Quando as funções componentes de uma função vetorial Ԧ𝑟 têm as primeiras derivadas contínuas e Ԧ𝑟′(𝑡) ≠ 0
para todo t no intervalo aberto (a, b), então Ԧ𝑟 é dita ser uma função suave e a curva C traçada por Ԧ𝑟 é chamada
curva suave.
Derivada de Uma Função Vetorial
Regras de Diferenciação
Considere 𝑢(𝑡)e Ԧ𝑣 𝑡 funções vetoriais diferenciáveis, c um escalar e f uma função de valores reais. Então:
Regra da cadeia
Exemplo 05. 
Mostre que, se Ԧ𝑟(𝑡) = c (uma constante), então Ԧ𝑟′(𝑡) é ortogonal a Ԧ𝑟(𝑡) para todo t.
Exemplo 06. 
Determine a derivada de Ԧ𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡3 Ƹ𝑖 + 𝑡𝑒−𝑡 Ƹ𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ෠𝑘
Resposta: 3𝑡2 Ƹ𝑖 + 1 − 𝑡 𝑒−𝑡 Ƹ𝑗 + 2 cos 2𝑡 ෠𝑘
Produto 
Escalar
Integral de Uma Função Vetorial
Se f, g e h forem integráveis, então as integrais indefinidas e definidas de uma função vetorial 
Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ƹ𝑗 + ℎ 𝑡 ෠𝑘 são definidas, respectivamente, por 
න Ԧ𝑟 𝑡 𝑑𝑡 = න𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 + න𝑔 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 + නℎ 𝑡 𝑑𝑡 ෠𝑘
න
𝑎
𝑏
Ԧ𝑟 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 + න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 + න
𝑎
𝑏
ℎ 𝑡 𝑑𝑡 ෠𝑘
Exemplo 07. 
Calcule: න
0
2
Ԧ𝑟 𝑡 𝑑𝑡
Ԧ𝑟 𝑡 = 12𝑡3 Ƹ𝑖 + 4𝑒2𝑡 Ƹ𝑗 + (𝑡 + 1)−1 ෠𝑘
Resposta: 48 Ƹ𝑖 + 2(𝑒4 − 1) Ƹ𝑗 + ln 3 ෠𝑘
Comprimento de Uma Curva Espacial
Se uma curva C admite uma parametrização suave x = f(t), y = g(t), z = h(t), com a  t  b e se, além disso, 
C não se intercepta, exceto possivelmente em t = a e t = b, então o comprimento L de C é dado por
𝐿 = න
𝑎
𝑏
[𝑓′ 𝑡 ]2+[𝑔′ 𝑡 ]2+[ℎ′ 𝑡 ]2 𝑑𝑡
𝐿 = න
𝑎
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
NOTA:
𝐿 = න
𝑎
𝑏
𝑟′(𝑡) 𝑑𝑡
Exemplo 07. 
Determine o comprimento L da hélice circular dada por
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡; 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝑧 = 𝑏𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Resposta: 2𝜋 𝑎2 + 𝑏2
NOTA: Substituir valores do exemplo 01.
Funções Vetoriais
Parte I
Curso: Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Cálculo Vetorial
Prof. Kleyton Jânio Camelo
kleytoncamelo@hotmail.com