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Física Geral e Experimental I 
Aula 04 
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Aula 04: Representação analítica de um vetor a partir de suas 
componentes 
 
 
Objetivo: Entender o processo de decomposição de um vetor e seu uso prático. 
 
A utilização dos componentes dos vetores representa o método mais geral 
para a operação vetorial, pois permite calcular o módulo, a direção e o sentido do 
vetor que representa o resultado dessa operação. Nas áreas de exatas (Física, 
Engenharias, Matemática etc.), muitas vezes o conceito de componentes e de vetor 
se misturam e um vetor é diretamente tratado apenas pelos seus componentes. 
 
Relações métricas em um triângulo retângulo 
 
Antes de iniciarmos o estudo dos componentes de um vetor, iremos relembrar 
alguns conceitos matemáticos que surgem em um triângulo retângulo. 
Observando o triângulo retângulo a seguir: 
 
Podemos reconhecer os lados de um triângulo retângulo: 
 
 a é chamada de hipotenusa, apresenta-se como o lado oposto ao ângulo 
reto e tem a maior medida dentre os três lados. 
 b e c são os catetos (saiba mais sobre o assunto ao final da aula). 
 
 
 
E, analogamente, para o outro ângulo: 
 
 
 E, analogamente, para o outro ângulo: 
 
 
Componentes de um vetor 
 
 As componentes de um vetor são um modo prático de representá-lo utilizando 
a soma de dois vetores pertencentes a um eixo cartesiano. 
 
222 cba 
 
 Para definirmos os componentes, devemos inicialmente desenhar o vetor com 
a sua origem na do sistema de coordenadas. Após isso, da extremidade do vetor, 
são traçadas duas retas paralelas aos eixos que definem (na intersecção com os 
eixos) os dois vetores componentes. 
 
 Podemos facilmente reconhecer o triângulo retângulo formado pelos módulos 
do vetor original e de seus componentes. 
 
 E, utilizando os conceitos do triângulo retângulo, podemos calcular os valores 
dos módulos dos componentes do vetor: 
 
 
θ 
 
 Definem-se dois vetores de módulo unitário nos eixos x e y. Esses vetores 
são chamados de versores e normalmente representados por 
jei

, como se pode 
ver na figura a seguir: 
 
 Assim, o modo correto de escrever um vetor utilizando seus componentes é: 
 
 Exemplo 1: descreva o vetor A com módulo 10 m e formando um ângulo de 
30º com a horizontal em termos de seus componentes. 
 Inicialmente calculando o valor dos componentes do vetor: 
 
 Com os componentes calculados, podemos descrever o vetor em termo dos 
seus componentes: 
 A resposta pode ser escrita nos dois modos indiferentemente. 
 
 
 
 Observando graficamente: 
 
 Exemplo 2: escreva o vetor representado a seguir por meio de seus 
componentes: 
 
 Esse exemplo pode ser calculado de duas formas baseadas na definição do 
ângulo: 
 
 
 Formalmente, o ângulo é definido no sentido anti-horário partindo do eixo 
x positivo; nesse caso, o ângulo seria 180º + 20º=200º. 
 
 
 Portanto, o resultado dos componentes é: 
 
 O outro modo de calcular (que se apresenta mais fácil) utiliza o ângulo de 20º 
(o menor ângulo com a horizontal), olhando-se no desenho quais os 
componentes que são negativos. 
 
 Nesse caso, ambos o são, pois o componente x aponta para a esquerda, 
enquanto o y aponta para baixo. 
 
 
 
 Calculando: 
 
 Em ambos os métodos, o vetor pode ser escrito como: 
 
 Exemplo 3: vetores nos eixos 
 Para calcular os componentes de um vetor que se encontra no eixo, não é 
necessário usar fórmulas ou ângulos. Se o vetor estiver contido no eixo x, só terá 
componente x, e no eixo y, componente y. Devemos sempre tomar muito cuidado 
com os sinais negativos. 
 Observando os dois vetores a seguir: 
 
 
 
 O cálculo dos componentes torna-se muito fácil nesse caso. O vetor 
A

apresenta-se apenas no eixo x e no sentido positivo: 
 
 O vetor 
B

, por outro lado, está no eixo y e no sentido negativo: 
B= -7jm/s2 
 
Cálculo do módulo e do ângulo de um vetor a partir de seus componentes 
 
 Podemos, utilizando as funções definidas no triângulo retângulo, calcular o 
valor do módulo de um vetor e o ângulo que ele faz com a horizontal a partir do 
conhecimento de seus componentes. 
 Observando o triângulo retângulo a seguir: 
 
 Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e calcular o módulo do vetor: 
 
 
 
 
 
 
 Além disso, o ângulo pode ser calculado pelo inverso da sua tangente: 
 
 Para calcular a função arctan, deve ser utilizada uma calculadora científica 
com as funções tan-1 ou atan. 
 Os exemplos 1 e 2 a seguir são os resultados da seção anterior. 
Exemplo 1: dado o vetor a seguir, calcule seu módulo e o ângulo que ele faz 
com a horizontal. 
 
 Calculando o módulo do vetor e seu ângulo: 
 
 
 O resultado do exemplo é reconstruído. 
 Exemplo 2: calcule o módulo e o ângulo do vetor a seguir: 
 
 
 
 
x
y
x
y
A
A
arctan
A
A
tan






030
5770
668
05
,
,arctan
,
,
arctan
A
A
arctan
x
y
   
m
,,
,,
AAA yx
10
100
025075
05668
22
22





 
 Utilizando o mesmo procedimento: 
 
 Os valores de 15 m/s e 20º diferem dos aqui encontrados por causa de erros 
de arredondamento. Esses erros não devem causar preocupação, pois são comuns. 
 
Saiba Mais 
 
Catetos 
 Deve-se tomar cuidado com um erro comum: chamar de cateto adjacente 
aquele que apresenta-se na horizontal e de oposto o na vertical; eles são adjacentes 
e opostos apenas a um dos ângulos dados. 
 Pode-se ver que um cateto que é oposto a um ângulo é adjacente a outro e 
vice-versa. 
 Utilizando os ângulos, podemos definir as funções matemáticas seno, 
cosseno e tangente. 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6022: Informação e 
documentação – Referências – Elaboração. Rio de Janeiro, 2002. 
BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES. The International System of 
Units. 8. ed. Paris, 2006. 
   
s/m
,
,,
,,
BBB yx
16
33254
322601228
1351015
22
22











818
400
1015
135
,
,arctan
,
,
arctan
B
B
arctan
x
y
 
CUTNELL, J; JOHNSON, K. Física. 6. ed. v. 1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos Editora, 2006. 
INMETRO. Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de 
Metrologia. 4. ed. Rio de Janeiro, 2005. 
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KELLER, F; GETTYS, E; SKOVE, M. Física. v. 1. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 1997. 
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Técnicos e Científicos Editora, 2003. 
SERWAY, R; JEWETT, J. Princípios de Física. Mecânica Clássica. v. 1. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2004. 
TIPLER, P; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. 5. ed. Mecânica, 
Oscilações e Ondas. v.1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e CientíficosEditora, 2006. 
VUOLO, J. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo: Edgard Blüchner, 
1996. 
YOUNG, H; FREEDMAN, R. Sears & Zemansky Física I. 10. ed. São Paulo: Pearson 
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