Teoria+das+Filas+Exercícios

Prévia do material em texto

Teoria das Filas – Exercícios.
1) Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que λ =20 clientes por hora, μ = 25 clientes por hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio da fila. (Resposta: NF = 5,2 clientes).
2) Para o mesmo sistema acima, calcular NS e NA. (Resposta: NS = 6 clientes e NA = 0,8 clientes).
3)Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, em média, 4 entregadores por minuto para pegar o produto a ser entregue. Sabe-se, ainda que o número médio de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual o tempo médio no sistema? (Resposta: TS = 1,5 minutos).
4) No desenho seguinte, representativo do fluxo de peças em um setor de uma fábrica calcule o fluxo de chegada em cada equipamento. (Resposta: A = 10, B = 20, C = 10, D = 30, E = 9, F = 21)
5) Cabine telefônica. Suponha que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponha que siga a distribuição exponencial. Pedes-se:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? (Resposta: 0,7)
b) Qual é o número médio de pessoas na fila? (Resposta: NF = 0,128)
c) Qual o número médio de pessoas no sistema? (Resposta: NS = 0,428)
d) Qual o número médio de clientes usando o telefone? (Resposta: NA = 0,3).
e) Qual o tempo na fila? (Resposta: TF = 1,28 min)
f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo de médio de espera na fila seria de 3 minutos? (Resposta: λ = 10 chegadas /hora)
g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso? (Resposta: 30%)
6) Depósito de ferramentas. Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada λ = 1 chegada/minuto e o ritmo de atendimento μ = 1,2 atendimentos/minuto seguem o modelo marcoviano M/M/1. A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao operário. Pede-se:
a) O custo horário do sistema. (Resposta: $99,00)
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. (Resposta: 0,16)
7) Contratação de um reparador. Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é de $3,00 e o do reparador rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo horário de $5,00. (Resposta: reparador rápido a um custo de $10,00 – o reparador lento o custo é de $18,00).
8) Filas seqüenciais em uma fábrica. Em um sistema de filas seqüenciais, conforme figura a seguir, calcule as filas que se formam em cada servidor.
(Resposta: NF (Fabricação) = 1,54 clientes, NF (Inspeção) = 0,17 e NF (Reparo) = 0,01.)
9) Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo médio de 3 por hora e o serviço demora, em média, 16 minutos. Qual o tempo médio de espera na recepção? E no sistema? (Resposta: λ = 3, μ = 3,75, TF = 1,07h e TS = 1,33h)
10) Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espera e a fração de tempo em que a bilheteria não trabalha. (Resposta: λ = 25, μ = 30, NF = 4,16, TF = 0,167h e tempo ocioso: 17%).
11) Em um sistema no qual λ = 4 clientes/hora e μ = 6 clientes/hora, qual a probabilidade de existir no sistema:
a) zero clientes; (Resposta: 0,33)
b) 1 cliente; (Resposta: 0,22)
c) 3 ou 4 clientes e (Resposta: 0,09 e 0,06)
d) 5 ou mais clientes. (Resposta: 0,16)
12) No mesmo sistema anterior, admitindo-se que o custo do cliente parado seja de $10 por hora, pede-se o custo horário de clientes no sistema. (Resposta: NS = 2 e custo $20,00)
13) Uma empresa deseja comprar um equipamento para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 12 falhas por semana. Possui duas opções: o equipamento marca A custa $20.000,00 e é capaz de efetuar 15 consertos por semana; o equipamento B custa $80.000,00 e é capaz de efetuar 50 consertos por semana. Sabe-se que o custo semanal de uma máquina parada é de $500,00 e que o tempo útil de vida de ambos os equipamentos é de 5 anos.
Pergunta-se: Qual equipamento deve ser adquirido de modo que o custo total anual (52 semanas) seja mínimo?
Observações: Para calcular o custo anual do valor do equipamento, efetue a operação:
Custo Anual = Custo do Equipamento x fator de recuperação do capital.
Considere uma taxa de juros de 15% ao ano. Assim, temos que o fator de recuperação de capital é 0,2984.
Resposta: Custo anual de A: $101.968 e Custo anual de B: $32.036.
14) Em um sistema de filas seqüenciais (veja figura), no qual as peças fluem pela linha de produção, temos:
λ1 = 10, λ2 = 5, μ1 = 15, μ2 = 30 e μ3 = 20
Calcule:
a) NF, TF, NS e TS para cada servidor.
b) NS e TS para o sistema como um todo.
Resposta:
	Servidor
	λ
	μ
	NF
	TF
	TS
	NS
	1
	10
	15
	1,33
	0,13
	0,20
	2
	2
	5
	30
	0,03
	0,007
	0,04
	0,2
	3
	15
	20
	2,25
	0,15
	0,20
	3
Para o sistema como um todo:
NS = 2 + 0,2 +3 = 5,2.
TS para quem entra pelo servidor 1: TS = TS(1) + TS(3) = 0,20 + 0,20 = 0,40
TS para quem entra pelo servidor 2: TS = TS(2) + TS(3) = 0,04 + 0,20 = 0,24
15) No exercício 6 calculamos o custo horário de um sistema com 1 atendente em que λ = 1, μ = 1,2 , $9,00 o custo horário do atendente e $18,00 o custo horário do operário parado. Calcule agora o custo horário total para 2, 3, 4 e 5 atendentes e avalie a melhor escolha.
Resposta
	c
	ρ
	NS
	Custo dos atendentes
	Custo dos operários
	Custo total
	1
	0,833
	5,0
	$9,00
	$90,00
	$99,00
	2
	0,417
	1,0
	$18,00
	$18,00
	$36,00
	3
	0,277
	0,7
	$27,00
	$12,60
	$39,60
	4
	0,208
	0,6
	$36,00
	$10,80
	$46,80
	5
	0,167
	0,59
	$45,00
	$10,62
	$55,62
16) Centralização versus Descentralização. No exercício 15, avaliamos a melhor escolha em termos de número de atendentes para o sistema. O que ocorreria caso optássemos pela descentralização, ou seja, dividir o sistema em vários unidades com 1 atendente? Suponha ainda que essa divisão entre os clientes seja proporcional ao número de atendentes considerado mais vantajoso, ou seja, o ritmo de chegada fica dividido pelo número de atendentes. Analise os resultados. 
 Resposta: NS = 0,714 clientes, Custo do atendente = $9,00, Custo dos operários parados = $12,86 e Custo de cada centro= $21,86 e custo total = $43,72.
NS do centralizado é menor que no descentralizado.
17) Fila única versus diversas filas. Um banco deseja modificar a forma de atendimento à seus clientes, que hoje funciona com diversas filas, pela introdução do sistema de fila única. Os dados de hoje são:
λ = 70 clientes por hora, que se distribuem em 5 filas.
c = 5 atendentes
μ = 20 clientes por hora (TA = 3 minutos)
Qual o atendimento mais vantajoso?
Resposta: 
Sistema atual com 5 filas: λ = 14, TS = 10 minutos = 0,167 hora, NS = 2,33 clientes e NS (total) = 11,67 clientes.
Sistema de fila única: ρ = 0,7, NS = 5 pessoas (pelo gráfico), TS = 4,3 minutos = 0,07 hora. (mais vantajoso)
18) Filas sequênciais em uma fábrica. Em um sistema de filas sequenciais, conforme figura a seguir, suponha que o ritmo de chegada cresça para λ = 25 peças por minuto, calcule a quantidade de servidores de cada estação de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF) seja menor que 1.
Resposta:
	
	Produção: 
λ = 25 e μ = 15.
	Inspeção
λ = 25 e μ = 15.
	Reparo
λ = 5 e μ = 20.
	c
	ρ
	NF
	ρ
	NF
	ρ
	NF
	1
	
	
	0,83
	4,16
	0,25
	0,09
	2
	0,83
	3,5
	0,41
	0,2
	
	
	3
	0,55
	0,50Valores de NF obtidos nos gráficos.
19) Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor de atendimento ao público. O primeiro trabalha apenas com depósitos e o segundo com retiradas. Sabe-se que o tempo de serviço de ambos segue a distribuição exponencial, com uma média de 3 minutos por cliente. As chegadas obedecem a distribuição de Poisson, com média de 16 chegadas por hora para os depositantes e 14 chegadas por hora para os que vão fazer retirada. Qual seria o efeito no tempo médio no sistema (TS) se ambos os funcionários trabalhassem tanto com retiradas como com depósitos?
Resposta: 
Situação atual: TA = 3 minutos= 0,05h, μ = 20 atendimentos/hora, TS(Depósitos)=0,25h e TS(Retiradas)=0,167h.
Caixa único: ρ = 0,75, NS = 3,5 clientes e TS = 0,117h
20) Veículos chegam a um posto de pedágio à razão de 10 por minuto. Um único atendente pode atender 6 veículos por minuto. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o tempo médio na fila (única) seja menor que 0,2 minuto. Certamente a proposição de fila única não seria conveniente para um posto de pedágio; imagine, então, que os veículos se distribuam por diversos servidores. Calcule agora a quantidade ótima de servidores tal que, para cada um deles, TF seja inferior a 0,2 minuto. Compare as duas situações.
Resposta:
Fila única com 3 servidores: NF = 0,35 veículos e TF = 0,035 minutos