CONCRETO ARMADO I - CISALHAMENTO

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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CONCRETO ARMADO ICONCRETO ARMADO I
CISALHAMENTOCISALHAMENTO
BIBLIOGRAFIA
ARAÚJO, José Milton; “Curso de Concreto Armado”, 4 volumes, Rio Grande do Sul, 
Editora DUNAS, 2ª Edição, 2003.
Notas de AulasNotas de Aulas
Prof. FlProf. Fláávio S. Silvavio S. Silva
EsforEsforççoo CortanteCortante
Considere-se a viga biapoiada da figura abaixo submetida a duas forças 
concentradas e equidistantes dos apoios. Na mesma figura indicam-se os 
diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores.
Observa-se que no trecho entre as 
cargas, o único esforço atuante é o 
momento fletor M, enquanto nos 
trechos entre as cargas e os apoios 
atuam o momento fletor e o esforço 
cortante V.
Componente de tensões em um elemento infinitesimal localizado entre as 
duas cargas.
EsforEsforççoo CortanteCortante
A tensão σx é obtida em função do 
momento fletor. Abaixo da linha neutra, a 
tensão σx é positiva (de tração) e acima da 
linha neutra a tensão σx é negativa (de 
compressão).
Nos trechos onde há esforço cortante, 
surgem tensões de cisalhamento ζxy=ζyx.
As tensões σ1 e σ2 estão inclinadas em 
relação ao eixo da vigas. Na altura da linha 
neutra, o ângulo de inclinação θ=45º.
EsforEsforççoo CortanteCortante
A treliça de MORSCH
Para as estruturas de concreto armado, o 
dimensionamento ao esforço cortante é
feito de acordo com o modelo da treliça 
idealizada por MORSCH, no qual após a 
fissuração do concreto, o esforço cortante é
equilibrado pela associação de bielas 
comprimidas de concreto e de diagonais 
tracionadas acompanhando as trajetórias 
das tensões principais.
As tensões de compressão nas bielas 
inclinadas devem ser limitadas para se 
evitar o esmagamento do concreto.
As diagonais tracionadas são formadas por 
estribos convenientemente dimensionados 
para o esforço de tração de cálculo.
Deve-se observar que o espaço entre as 
armaduras transversais deve ser limitado a 
um valor máximo para que as mesmas 
possam costurar as fissuras inclinadas.
EsforEsforççoo CortanteCortante
A Treliça Generalizada de MORSCH
Indica-se um trecho de uma viga submetida 
ao esforço cortante de cálculo Vd e a treliça 
idealizada em seu interior.
O ângulo de inclinação das bielas é igual a θ
e os estribos estão inclinados de um ângulo 
a a a a em relação ao eixo da viga.
A distancia entre duas bielas sucessivas é
dada por:
EsforEsforççoo CortanteCortante
As condições de equilíbrio são estabelecidas considerando-se as seções S1 e 
S2 , onde Fc é a força de compressão na biela e Fs é a força de tração nas 
diagonais da treliça.
EsforEsforççoo CortanteCortante
Cálculo da tensão de compressão na biela.
EsforEsforççoo CortanteCortante
Cálculo da tensão de compressão na biela.
Comparando-se as equações, verifica-se que a compressão no concreto é
menor quando se utilizam estribos inclinados a 45º. Entretanto, por razões 
práticas, empregam-se quase sempre estribos verticais.
EsforEsforççoo CortanteCortante
Adotando como uma aproximação Z=0,9d, sendo d a altura útil da viga, a 
expressão de calculo da tensão de compressão será:
A tensão σc dever ser limitada para evitar o esmagamento da biela de 
compressão. Deve-se portanto limitar o valor de σc < fcdr que é a resistência 
reduzida de compressão do concreto. Onde:
Onde ζwd é a tensão convencional 
de cisalhamento. 
EsforEsforççoo CortanteCortante
Cálculo da tensão de tração da diagonal tracionada
A força de tração na diagonal é dada pela expressão:
Para evitar o surgimento de uma fissura não interceptada por barras de 
armadura transversal (estribos), será considerada a disposição real dos 
estribos indicada na figura abaixo:
A área da seção transversal de um 
estribo considerando todos os seus 
ramos é dada po As1 e o espaçamento 
entre os estribos é dado por s.
Logo a área total da armadura no 
trecho de comprimento ac é dado por:
EsforEsforççoo CortanteCortante
Sendo Fsr a força de tração resistida pelos estribos no comprimento ac onde:
E considerando Fsr = Fs , obtém-se a expressão:
Para se obter a área de armadura dos estribos por metro de comprimento 
da viga, que denominaremos Asw , e considerando-se Z = 0,9.d, teremos:
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
As condições de cálculo a seguir são as definidas pela NBR-6118 sobre o 
dimensionamento ao esforço cortante de vigas de concreto armado.
Estas condições são aplicáveis às peças lineares com armaduras de 
cisalhamento e nas quais bw < 5d , sendo bw e d a largura e altura útil da 
seção transversal.
A tensão convencional de cisalhamento é dada por:
Conforme determinado anteriormente,
Onde
Caso ζwd > ζwu , deve-se redimensionar a seção transversal da peça. 
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
Para o cálculo da armadura transversal (estribos) teremos
Onde ζd é a tensão de cálculo e ζc é definido pela NBR-6118 em função da 
resistência a tração de cálculo do concreto. 
Adotando-se o coeficiente de minoração da resistência gc = 1,4, teremos:
Para a flexão simples e para a flexo-tração cortando a linha neutra, que são 
os casos abordados neste capítulo, teremos: 
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
As armaduras necessárias são obtidas com as equações:
A tensão de escoamento do aço fyd a ser adotada nos cálculos não deve ser 
maior que 435MPa (igual a tensão de escoamento dos aços CA-50). Logo, 
mesmo utilizando-se aço CA-60, o cálculo dos estribos deve ser feito como 
se o aço fosse CA-50.
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
A seção de armadura calculada não deve ser menor que Asw, min que será
dado pelas fórmulas:
Onde, e temos os valores tabelados abaixo:
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
Para reduzir o consumo de armadura, pode-se fazer o dimensionamento 
por trechos, dentro de cada vão da viga. Assim, o espaçamento será
variável dentro de cada vão da viga.
Entre duas seções onde o esforço cortante característico é menor que 
Vk,min basta adotar a armadura mínima. Nos outros trechos, dimensiona-
se a armadura para os maiores esforços cortantes.
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
EsforEsforççoo CortanteCortante –– CritCritéériosrios de de projetoprojeto
segundosegundo a NBRa NBR--61186118
Para o diagrama de esforços cortantes indicado abaixo, dimensionar a 
estrutura calculando a área de armadura para as seções principais da viga.
fck=20MPa
Aço CA-60
EsforEsforççoo CortanteCortante –– PePeççasas de de alturaaltura varivariáávelvel
Considera-se a viga de altura variável indicada na figura abaixo.
A força de tração na armadura 
principal pode ser decomposta em 
uma componente horizontal 
Rsd cosβ
e em uma componente vertical
Rsd senβ
Onde β é o ângulo de inclinação da 
face da viga.
EsforEsforççoo CortanteCortante –– PePeççasas de de alturaaltura varivariáávelvel
Considera-se a viga de altura variável indicada na figura abaixo em que a 
altura diminui no sentido crescente do momento fletor.
A decomposição da força de tração na armadura longitudinal é idêntica ao 
caso anterior. Entretanto, a variação da altura da viga tem um efeito 
desfavorável no dimensionamento do esforço cortante.
EsforEsforççooCortanteCortante –– ExercExercííciocio
Para o diagrama de esforços cortantes indicado abaixo, dimensionar a 
estrutura calculando a área de armadura para as seções principais da viga.
fck=20MPa
Aço CA-60
A viga deverá ter seção com
altura variável.
EsforEsforççoo CortanteCortante –– ExercExercííciocio
Para o diagrama de esforços 
cortantes indicado ao lado, 
dimensionar a estrutura 
calculando a área de armadura 
para as seções principais da 
viga.
fck=25MPa
Aço CA-50
Cobrimento c=3cm
Largura b=12cm
Altura h=50cm