GABARITO SEÇÃO 3

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resposta comentada: Realizando a derivada em termos da variável y, 
tratando x como uma constante, teremos 
𝑓𝑦 = 8𝑥
2𝑦 − 𝑥 
Sendo assim, 𝑓𝑦ሺ1,1ሻ = 8 ⋅ 1
2 ⋅ 1 − 1 = 8 − 1 = 7. 
 
𝑓𝑥 = 2𝑥 senሺ2𝑦ሻ 
A derivada segunda será dada por 
𝑓𝑥𝑥 = 2 senሺ2𝑦ሻ 
Considerando o ponto 𝑃ሺ0, 𝜋ሻ temos 
𝑓𝑥𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛ሺ2𝜋ሻ = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓𝑥ሺ𝑥, 𝑦ሻ = 𝑦 cosሺ𝑥ሻ − 𝑥𝑦 senሺ𝑥ሻ 
𝑓𝑦ሺ𝑥, 𝑦ሻ = 𝑥 cosሺ𝑥ሻ 
 
𝐷𝑢𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ = 𝑎 ⋅ 𝑓𝑥ሺ𝑥, 𝑦ሻ + 𝑏 ⋅ 𝑓𝑦ሺ𝑥, 𝑦ሻ 
𝐷𝑢𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ = ሺ𝑦 cosሺ𝑥ሻ − 𝑥𝑦 senሺ𝑥ሻሻ ቆ
ξ3
2
ቇ + ሺ𝑥 cosሺ𝑥ሻሻ ൬−
1
2
൰ 
𝐷𝑢𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ =
ξ3
2
𝑦 cosሺ𝑥ሻ −
ξ3
2
𝑥𝑦 senሺ𝑥ሻ −
1
2
𝑥 cosሺ𝑥ሻ 
Ou ainda 
𝐷𝑢𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ = −
1
2
𝑥 cosሺ𝑥ሻ +
ξ3
2
𝑦 cosሺ𝑥ሻ −
ξ3
2
𝑥𝑦 senሺ𝑥ሻ