ProvaCalculoIII

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CCE-UFES
PRIMEIRA PROVA DE CA´LCULO 3
Nome: Data: 19/07/2013
Todas as respostas devera˜o estar justificadas mediante ca´lculos expl´ıcitos.
(2,5 pontos) 1. Considere o campo vetorial F (x, y) = (2x + y, x).
a) Determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f .
b) Utilize o Teorema Fundamental para calcular
∫
C
Fdr, onde C e´ dada pela
equac¸a˜o vetorial r(t) =
√
ti + tj, 1 ≤ t ≤ 4.
(2,5 pontos) 2. Calcule a integral de linha∫
C
(senx− xy2)dx + (x2y + ey)dy
ao longo do quadrado C de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, orientado
positivamente. Ilustre a curva C e a regia˜o que ela delimita.
(2,5 pontos) 3. Seja F : R3 → R3 um campo vetorial dado por
F (x, y, z) =
x
2
i +
y
2
j + zk
a) Calcule diretamente a integral de superf´ıcie
∫∫
S
Fds, onde S e´ a fronteira
da regia˜o so´lida E delimitada pelo parabolo´ide z = 1− x2 − y2 e pelo plano
z = 0.
b) Conclua que o volume de E e´ igual a pi2 (Dica: Use o Teorema da Di-
vergeˆncia).
(2,5 pontos) 4. Utilizando o Teorema de Stokes, calcule∫
C
yzdx + 2xzdy + exydz,
onde C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 16, z = 5.
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