0003 Medidas de tendencia central

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MEDIDAS DE POSIC¸A˜O OU TENDEˆNCIA CENTRAL
Prof. Marcelo de Paula
As medidas de posic¸a˜o ou de tendeˆncia central constituem uma forma resumida de apresentar os resultados
contidos nos dados observados, pois representam um valor central, em torno do qual os dados se concentram.
As medidas de tendeˆncia central mais empregadas sa˜o a me´dia, a moda e a mediana.
1 Me´dia aritme´tica ou simplesmente me´dia
Dentre as treˆs medidas de posic¸a˜o, a me´dia aritme´tica, ou simplesmente me´dia e´ a mais usada por ser a
mais comum e compreens´ıvel delas, ale´m de ter um bom tratamento alge´brico. De uma maneira informal
a me´dia aritme´tica e´ uma medida de tendeˆncia central que nivela os dados sendo dada pela soma de todos
os valores observados divididos pelo nu´mero de observac¸o˜es. Seja um conjunto de dados, enta˜o sua me´dia
aritme´tica e´ dada por
Me´dia populacional: Me´dia amostral:
µ =
N∑
i=1
Xi
N X =
n∑
i=1
Xi
n
Exemplo: Foi pesada uma amostra de n = 12 pessoas adultas e os resultados foram (pesos em quilos):
73, 68, 75, 65, 74, 90, 70, 77, 95, 84, 90, 75. Enta˜o a me´dia amostral X dos pesos e´ determinada por:
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
12∑
i=1
Xi
12
=
73 + 68 + 75 + 65 + 74 + 90 + 70 + 77 + 95 + 84 + 90 + 75
12
= 78
X = 78 quilos.
Interpretac¸a˜o: O peso me´dio dessa amostra de pessoas e´ de 70 quilos. Ou ainda, o peso que nivela este
conjunto de dados e´ de 70 quilos.
2 Moda
A moda ou valor modal de um conjunto quantitativo de dados e´ uma medida de tendeˆncia central dada
pelo(s) valor(es) mais frequente(s) do conjunto, denotada por Mo = Xfreq. No exemplo anterior do peso
das 12 pessoas temos um conjunto bimodal, isto e´, um conjunto de dados que possui duas modas: Mo = 75
e Mo = 90 quilos.
Interpretac¸a˜o: Os pesos mais frequentes deste conjunto de dados sa˜o Mo = 75 quilos e Mo = 90 quilos.
Observac¸a˜o: Quando o conjunto de dados na˜o apresenta nenhum valor mais frequente, o conjunto
de dados e´ chamado amodal. Se o conjunto apresenta um valor mais frequente, e´ chamado de unimodal.
Se apresentar dois valores mais frequentes, e´ chamado bimodal. Se apresentar treˆs ou mais valores mais
frequentes, o conjunto de dados e´ chamado multimodal.
3 Mediana
A mediana e´ uma medida de tendeˆncia central que divide um conjunto quantitativo ordenado de dados
em duas partes iguais, 50% acima e 50% abaixo dela.
Caso 1. Quando o nu´mero de dados (n) for ı´mpar, a mediana e´ dada por:
Me = X(n+12 )
Caso 2. Quando o nu´mero de dados (n) for par, a mediana e´ dada por:
Me =
X(n2 )
+X(n+22 )
2
Em nosso exemplo do peso das 12 pessoas temos os pesos ordenados:
65, 68, 70, 73, 74, 75, 75, 77, 84, 90, 90, 95.
Dessa forma a mediana e´ a me´dia dos dois valores centrais, isto e´,
Me =
X(n2 )
+X(n+22 )
2
=
X( 122 )
+X( 12+22 )
2
=
X(6) +X(7)
2
=
75 + 75
2
= 75 quilos.
Interpretac¸a˜o: Nesta amostra, 50% das pessoas pesam acima de 75 quilos e 50% das pessoas pesam
abaixo de 75 quilos.
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