0005 Propriedades da media e da variancia

Prévia do material em texto

PROPRIEDADES DA ME´DIA E DA VARIAˆNCIA
Prof. Marcelo de Paula
Propriedades da me´dia aritme´tica: Considere µX a me´dia de um conjunto quantitativo de dados
formado por X1, X2, ..., Xn e C uma constante arbitra´ria.
P. 1 Se Xi = C, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o
µX = C.
P. 2 Sejam Yi = Xi±C, para i = 1, 2, ..., n. Enta˜o a me´dia de Y , denotada por µY , e´ dada por
µY = µX ± C.
P. 3 Sejam Yi = XiC, para i = 1, 2, ..., n. Enta˜o a me´dia de Y , denotada por µY , e´ dada por
µY = µXC.
P. 4 Considere duas constantes arbitra´rias a e b. Sejam Yi = a± bXi, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o,
pelas propriedades 1, 2 e 3, temos
µY = a± bµX .
P. 5 Considere o i-e´simo desvio dado por (Xi − µX), para i = 1, 2, ..., n. Enta˜o a soma de
todos os desvios em relac¸a˜o a me´dia e´ nula, isto e´,
n∑
i=1
(Xi − µX) = 0.
P. 6 O somato´rio do quadrado de todos os desvios e´ sempre um valor mı´nimo, isto e´, para
qualquer � arbitrariamente pequeno (� > 0) temos
n∑
i=1
(Xi − µX)2 <
n∑
i=1
[Xi − (µX ± �)]2 .
Propriedades da variaˆncia populacional σ2. Considere σ2X a variaˆncia de um conjunto quanti-
tativo de dados formado por X1, X2, ..., Xn e C uma constante arbitra´ria.
P. 1 Se Xi = C, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o a variaˆncia da constante e´ nula, ou seja,
σ2X = 0.
P. 2 Sejam Yi = Xi ± C, para i = 1, 2, ..., n. Enta˜o a variaˆncia de Y , denotada por σ2Y , e´ a
pro´pria variaˆncia de X, isto e´,
σ2Y = σ
2
X .
P. 3 Sejam Yi = XiC, para i = 1, 2, ..., n. Enta˜o a variaˆncia de Y , denotada por σ
2
Y , e´ dada
por
σ2Y = σ
2
XC
2.
P. 4 Considere duas constantes arbitra´rias a e b. Sejam Yi = a± bXi, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o,
pelas propriedades 1, 2 e 3, temos
σ2Y = b
2σ2X .
1