Exercícios Equações Diferencias

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Fonte: Q19 de 9.3 Exercícios da referência 1. 
Resposta: � = 7*+| . 
 
16) Resolva as seguintes EDO’s de primeira ordem especiais: a) �. = √23�� + 3 b) 1�1� = sin�5�) c) 1�1# = *(/O + 2#� d) �. = #*)O e) �. = �� sin 4� 
Respostas: 
a) � = √23 arctan��) + Q; b) ���) = − 15 cos�5�) + Q; c) � = − #*
(O + 2# + Q; d) � = *O16 �4# − 1) + Q; e) � = 14 3−�� cos�4�) + 34 �� sen�4�) − 38 � sen�4�) + 38 sen�4�)4 + Q. 
 
17) Encontre, por separação de variáveis, a solução geral das EDO’s autônomas de 
primeira ordem dadas e a coloque na forma explícita, se for possível. a) 1�1� = �� − 2)) b) 1a1# = a�6 − 7a) c) 1�1# = ��2 − �)�4 − �) d) 3 1�1� + 12� = 4 
Respostas: 
a) ���) = 5 1Q − 3�� + 2; b) a�#) = 6Q*bO1 + 7Q*bO ou a�#) = 0; c) ��#) = 2 + 2 ⋅ 5 1Q*~O + 1 ou ��#) = 0; d) ���) = 13 + Q*9)+ . 
 
18) Encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado. a) 1�1� = 1� , ��0) = 1 b) 1�1# = − 1 + ��2 arctan � , ��1) = ;4 
Respostas: a) ���) = √2� + 1; b) ��#) = tan NLarctan� o;4p + 1 − #P. 
 
19) Encontre os pontos críticos, as soluções de equilíbrio e construa as retas de fase da 
EDO autônoma dada. a) 1�1� = �� − 3� b) 1�1� = ���4 − ��) 
c) 1�1� = ��2 − �)�4 − �) d) 1�1� = � ln�� + 2) 
Fonte: Q21, Q25, Q26 e Q27 de Exercícios 2.1 da referência 3. 
Respostas: 
a) 0 e 3; ���) = 0 e ���) = 3; b) −2, 0, 2; ���) = −2, ���) = 0, ���) = 2; c) 0, 2 e 4; ���) = 0, ���) =2 e ���) = 4; d) −1 e 0; ���) = −1 e ���) = 0. 
 
20) Classifique cada ponto crítico das EDO’s da questão anterior como assintoticamente 
estável, instável ou semiestável. 
Fonte: Q21, Q25, Q26 e Q27 de Exercícios 2.1 da referência 3. 
 
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Respostas: 
a) 0 é assintoticamente estável (atrator) e 3 é instável (repulsor); b) −2 é instável, 0 é semiestável e 2 é 
assintoticamente estável (atrator); c) 0 é instável (repulsor), 2 é assintoticamente estável (atrator) e 4 é 
instável (repulsor); d) −1 é assintoticamente estável (atrator) e 0 é instável. 
 
21) Apresente todas as soluções das seguintes equações autônomas e, depois, classifique 
as soluções de equilíbrio em particular ou singular, justificando as classificações 
dadas. a) 1�1� = �� − 2)) b) 1�1# = ��2 − �)�4 − �) 
c) 3 1�1� + 12� = 4 d) 1�1� = �� − 3� 
Respostas: 
a) ���) = 5 1Q − 3�� + 2; ���) = 2; singular; b) ��#) = 2 + 2 ⋅ 5 1Q*~O + 1 ; ��#) = 0 �singular); ��#)= 2�singular); ��#) = 4 �particular); c) ���) = 13 + Q*9)+; ���) = 13 ; particular; d) ���) = 31 + \*�+ ; ���) = 0 �singular); ���) = 3 �particular). 
 
22) Uma população é modelada pela equação diferencial logística 
 1a1# = 1,2a 31 − a4.2004. 
a) Quais são os pontos críticos? 
b) Quais são as soluções de equilíbrio? 
c) Para quais valores de P a população está aumentando? 
d) Para quais valores de P a população está diminuindo? 
Fonte: Q09 de 9.1 Exercícios da referência 1. 
Respostas: 
a) 0 e 4.200; b) a�#) = 0 e a�#) = 4.200; c) 0 < a < 4.200; d) a > 4.200. 
 
 
Sugestão de mais questões: 
Da referência 1: 9.1 Exercícios: 10 (pág. 588); 9.3 Exercícios: 20, 21 (pág. 603). 
Da referência 2: Exercícios 20.3 da pág. 1145. 
Da referência 3: Exercícios 2.2: 8, 11, 12, 13, 18, 22, 24, (pág. 52). 
 
 
 
3.2 EDO’s com soluções por substituição 
 
23) Determine se as funções abaixo são homogêneas, e se forem, determine o grau de 
homogeneidade: 
a) ���, �) = �� + 2��� − �)� b) %��, �) = ��� + I�) + �) c) ℎ��, �) = cos ��� + � d) €��, �) = sin �� + � e) ��, �) = ln �� − 2 ln � f) ‚��, �) = ln ��ln �� 
Fonte: Q01, Q04, Q05, Q06, Q07, Q09 de 2.3 Exercícios da referência 3 (3ª ed). 
 
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Respostas: 
a) Homogênea de grau 3; b) Homogênea de grau −1; c) Não é homogênea; d) Homogênea de grau 0; e) 
Homogênea de grau 0; f) Não é homogênea.
 
24) Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada. a) �1� + �� − 2�)1� = 0 b) ��� + ��)1� + ��1� = 0 c) 1�1� = � − �� + � d) 1�1� = � + 3�3� + � e) � 1�1� = � + I�� − ��, � > 0 f) F��*9K/+ + ��G1� = ��1� 
Fonte: Q03, Q06, Q07, Q08, Q10 Exercícios 20.5 da referência 3. Item f - Q26 de 2.3 Exercícios da 
referência 3 (3ªed). 
Respostas: a) �� − �) ln|� − �| − � = Q�� − �); b) ��� = Q�� + 2�); c) ln��� + ��) + 2 arctan o��p = Q; d) �� − �)� = Q�� + �); e) ln��) − arctan N �I�� − ��P = Q; f) � ln|�| − �� − �)*K/+ = Q�. 
 
25) Resolva o problema de valor inicial dado. a) ��� 1�1� = �� − ��, ��1) = 2 b) ��� + 2��) 1�1� = ��, ��−1) = 1 c) F� + �*K/+G1� − �*K/+1� = 0, ��1) = 0 d) �1� + ��ln � − ln � − 1)1� = 0, ��1) = * 
Fonte: Q11 a Q14 de Exercícios 2.5 da referência 3. 
Respostas: a) �� + 3�� ln|�| = 8��; b) 2�) = �� + ��; c) ln|�| = *K/+ − 1 ; d) � ln X��X = −*. 
 
26) Uma curva passa pelo ponto � = 2, � = 1 e tem coeficiente angular − o+UK+ p em cada 
ponto. Determine a equação da curva. 
Observação: Q07 de Exercícios 20.4 da referência 2. 
Resposta: �� + 2�� = 8. 
 
27) As seguintes EDO’s podem ser reduzidas a uma de variáveis separáveis por meio de 
uma substituição apropriada. Resolva cada uma delas, usando esse procedimento de 
redução. a) 1�1� = �� + � + 1)� b) 1�1� = 1 − � − �� + � c) 1�1� = tan��� + �) d) 1�1� = sen�� + �) d) 1�1� = 2 + I� − 2� + 3 e) 1�1� = 1 + *K9+UT 
Fonte: Q23 a Q28 de Exercícios 2.5 da referência 3. 
Respostas: a) � = −� − 1 + tan�� + Q) ; b) (� �� + �)� − � = Q; c) 2� − 2� + senF2�� + �)G = Q; d) �Q −�) tan o+UK� p = 2; e) 4�� − 2� + 3) = �� + Q)�; f) ���) = � − −5 − ln �Q − �). 
 
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28) Ache a solução particular da EDO que satisfaça a condição inicial dada: a) 1�1� = cos�� + �) , ��0) = ;/4 b) 1�1� = 3� + 2�3� + 2� + 2 , ��−1) = −1 
Fonte: Q29, Q30 de Exercícios 2.5 da referência 3. 
Respostas: a) − cotg�� + �) + cossec�� + �) = � + √2 − 1 ou ���) = −� + 2 arctan o� + tan o;8pp ; b) 3� + 2� = = − 15 36 + 19*T��+9K)4. 
 
 
Sugestões de mais questões: 
Da referência 2: Exercícios 20.4: 1 a 6, 8 (pág. 1149). 
Da referência 3: 2.3 Exercícios: 2, 3, 9, 10 (3ª ed); Exercícios 2.5: 25, 26 (pág. 76). 
 
 
 
 
3.3 EDO’s exatas 
 
29) Verifique se a EDO dada é exata. Se for, resolva-a através do 1º método de solução. 
Se não, justifique. 
a) �2� − 1)1� + �3� + 7)1� = 0 
b) 32� − 1� + cos�3�)4 1�1� + ��� − 4�� + 3� sen�3�) = 0 
c) �3� cos�3�) + sen�3�) − 3)1� + �2� + 5)1� = 0 
d) �sen � − � sen �)1� + �cos � + � cos � − �)1� = 0 e) �� + �)�� − �)1� + ��� − 2�)1� = 0 
f) �� ln � − *9+K)1� + 31� + � ln �4 1� = 0 
Fonte: Q01, Q04, Q06, Q07, Q11, Q20 de 2.4 Exercícios da referência 3 (3ª ed). 
Respostas: 
a) sim; �� − � + �� �� + 7� = Q; b) não; c) sim; � sen�3�) − 3� + �� + 5� = Q; d) sim; � sen��) +� cos��) − (� �� = Q; e) não; f) não. 
 
30) Ache o valor de \ para que a equação diferencial dada seja exata. a) ��� + \��) − 2�)1� + �3��� + 20����)1� = 0 b) �6��� + cos �)1� + �\���� − � sen �)1� = 0 
Observação: Q27, Q 28 de Exercícios 2.4 da referência 3. 
Respostas: 
a) 10; b) 9. 
 
31) Resolva as equações diferenciais exatas dadas através do 1° método de solução. a) o1 + ln��) + ��p 1� = �1 − ln��))1� 
 
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b) 3���� − 11 + 9��4 1�1� + ���� = 0 c) �tan��) − sen��) sin��))1� + cos��) cos��) 1� = 0 d) F2� sen��) cos��) − � + 2��*+K8G1� = F� − sin���) − 4��*+K8G1� 
Observação: Q08, Q15, Q17, Q18 de Exercícios 2.4 da referência 3. 
Respostas: a) �� + �) ln��) − � = Q; b) ���� − arctan�3�) = Q; c) ln�sec��)) + cos��) sen��) = Q; d) � sen���) − −�� + 2*+K8 = Q. 
 
32) Resolva as equações diferenciais exatas dadas através do 2° método de solução. a) 3#� + 4#� + �2� + 2#� ) 1�1# = 0 b) 3��� + 2� cos � + ��� − � − �� sen �) 1�1� = 0 c) 2� + �)*+UK + 4��*+UK + ��)*+UK + 2�) 1�1� = 0 
Fonte: Q08, Q12, Q13 de Exercícios 20.6 da referência 2. 
Respostas: a) #� + 2#�� + ��= Q; b) ��� + �� cos � − 12 �� = Q; c) �)*+UK + �� + �� = Q 
 
33) Resolva os problemas de valor inicial dados. a) �� + �)�1� + �2�� + �� − 1 )1� = 0, ��1) = 1 b) �*+ + �)1� + �2 + � + �*K)1� = 0, ��0) = 1 c) ��� cos � − 3��� − 2�)1� + �2� sen � − �� + ln �)1� = 0, ��0) = * 
d) 3 11 + �� + cos � − 2��4 1�1� = ��� + sen �), ��0) = 1 
Fonte: Q21, Q22, Q25, Q26 de Exercícios 2.4 da referência 3. 
Respostas: a) 13 �� + ��� + ��� − � = 43 ; b) *+ + �� + 2� + �*K − *K = 3; c) �� sen��) − ��� − �� + � ln��) − −� = 0; d) ��� − � cos��) − arctan��) = −1 − ;4. 
 
34) Determine uma função ƒ��, �) para que a seguinte equação diferencial seja exata: 
ƒ��, �)1� + 3�*+K + 2�� + 1�4 1� = 0. 
Fonte: Q35 de 2.4 Exercícios da referência 3 (3ª ed). 
Resposta: ƒ��, �) = �*+K + �� − ���. 
 
35) Determine uma função „��, �) para que a seguinte equação diferencial seja exata: 
3�(/� �9(/� + ��� + �4 1� + „��, �)1� = 0. 
Fonte: Q361 de 2.4 Exercícios da referência 3 (3ª ed). 
Resposta: 
 
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„��, �) = �9(/� �(/� + 12 ��� + �)9(. 
 
 
Sugestões de mais questões: 
Da referência 2: Exercícios 20.6: 1 a 7, 9, 10, 11 (pág. 1157). 
Da referência 3: Exercícios 2.4: 6, 14, 20, 23, 24 (pág. 70); 2.4 Exercícios: 32 e 33 (pág. 68 – 3ª ed). 
 
 
 
3.4 EDO’s lineares 
 
36) Ache a solução geral das equações lineares abaixo usando o 1º método de solução. 
Determine se há termos transientes na solução geral. a) ��. − 2� = −� b) #�′ − � = # cos�#) − sen�#) c) #�′�#) − ��#) = �# − 1)*O d) � 1�1� + 2� = 3 e) �. = 2� + �� + 5 f) 1a1# + 2#a = a + 4# − 2 g) �. + 1# � = 1 + ## ∙ *O h) �. + � tan � = tan � − 1 i) 1�1� = � tan � + cos � j) ��. + 2� = *+ + ln��) 
Fonte: Itens a, b, c, g, h, i – Q01, Q03, Q09, Q07, Q08, Q10 de Exercícios 20.2 da referência 1; Itens d, e, 
f – Q10, Q12, Q22 de Exercícios 2.3 da referência 3. 
Respostas: a) � = �Q� + 1)�, � > 0; b) � = sen�#) + Q#, # > 0; c) � = Q# + *O , # > 0; d) ���) = 32 + Q�9�, � > 0; e) ���) = − 12 �� − 12 � − 114 + Q*�+; f) a�#) = 2 + Q*O9O8; g) � = Q# + *O , # > 0; h) � = +1 + Q cos � − cos � ln|sec � + tan �| , − ;2 < � < ;2 ; i) � = 314 sen�2�) + 12 � + Q4 ⋅ sec��) , ;2 < � < ;2 ; j) ���)= *+� − *+�� + ln��)2 − 14 + Q�� , � > 0. 
Há termos transientes em d (é Q�9�), f (é Q*O9O8), g (é Q#9(), j (é *+��9( − �9�) + Q�9�). 
 
37) Verifique se nas EDO’s da questão anterior há pontos singulares. Se houver, encontre-
os. 
Respostas: a (é 0), b (é 0), c (é 0), d (é 0), g (é 0) e j (é 0). 
 
38) Resolva os problemas de valor inicial dados. a) � 1�1� − � = 2��, ��1) = 5 
b) �� + 1) 1�1� + � = ln � , ��1) = 10 c) �. + �tan �)� = cos� � , ��0) = −1 
d) † 1D1# + ‡D = ˆ, D�0) = 0; †, ‡ e ˆ constantes e) 1‰1# = \�‰ − ‰Š), ‰�0) = ‰‹; \, ‰Š e ‰‹ constantes 
 
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Fonte: Q26 a Q30 de Exercícios 2.5 da referência 3. 
Respostas: a) ���) = 32� − 495 4 �; b) ���) = � ln��) − � + 21� + 1 ; c) � = 12 sen 2� − cos � ; d) D�#) = ˆ‡ 31 − *9ŒO 4 ; e) ‰�#) = ‰Š + *zO�‰‹ − ‰Š). 
 
39) Encontre uma solução contínua para o problema valor inicial dado. a) 1�1� + � = ���), ���) = Ž1, 0 ≤ � ≤ 1−1, � > 1 , ��0) = 1 b) 1�1� + 2�� = ���), ���) = Ž�, 0 ≤ � < 10, � ≥ 1 , ��0) = 2 c) �1 + ��) 1�1� + 2�� = ���), ���) = Ž�, 0 ≤ � < 1−�, � ≥ 1 , ��0) = 0 
Fonte: Q32 a Q34 de Exercícios 2.5 da referência 3. 
Respostas: 
a) � = ‘ 1, 0 ≤ � ≤ 12*(9+ − 1, � > 1. ; b) � = ’
12 + 32 *9+8 , 0 ≤ � < 1312 * + 324 *9+8 , � ≥ 1 ; c) � = “”
•12 − 12�1 + ��) , 0 ≤ � < 132�1 + ��) − 12 , � ≥ 1. 
 
40) Resolva o problema de valor inicial �. + a��)� = 4�, ��0) = 3, 
onde 
a��) = –2, 0 ≤ � ≤ 1− 2� , � > 1 
de forma que � seja contínua. 
Fonte: Q35 de Exercícios 2.3 da referência 3. 
Resposta: ���) = ‘2� − 1 + 4*9�+, 0 ≤ � ≤ 14�� ln|�| + �1 + 4*9�)��, � > 1. 
 
41) Expresse a solução do problema de valor inicial �. − 2�� = 1, ��1) = 1. 
Fonte: Q37 de Exercícios 2.3 da referência 3. 
Resposta: ���) = *+89( + (� √;*+8�erf��) − erf�1)). 
 
42) Considere o seguinte problema de valor inicial �. + *+� = ���), ��0) = 1. 
a) Expresse a solução do PVI para � > 0 como uma integral não elementar quando ���) = 1. 
Expresse a solução do PVI quando 
b) ���) = 0. c) ���) = *+ . 
Fonte: Q36 de Exercícios 2.3 da referência 3. 
Respostas: 
a) ���) = �Ei�*+) + * − Ei�1))*9˜™ . A função Ei�*+) é uma integral não elementar denominada função 
exponencial integral, definida como Ei�*+) = š *˜™ 1�, � > 0; 
b) ���) = *(9˜™; c) ���) = 1. 
 
 
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Sugestões de mais questões: 
Da referência 1: 9.6 Exercícios: 6, 7, 8, 10, 12, 15, 17, 19, 20 (págs. 632 e 633). 
Da referência 3: Exercícios 2.3: 4, 6, 9, 12, 14, 18, 20, 21 (págs. 62 e 63). 
 
 
 
3.5 Equação de Bernoulli 
 
43) Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada. a) � 1�1� + � = 1�� b) 1�1� − � = *+�� c) � 1�1� − �1 + �)� = ��� d) 3�1 + #�) 1�1# = 2#���� − 1) 
Fonte: Q15, Q16, Q18, Q20 de Exercícios 2.5 da referência 3.
Respostas: a) �� = 1 + Q�9�; b) �9( = − 12 *+ + Q*9+; c) �9( = −1 + 1� + Q� *9+; d) �9� = 1 + Q�1 + #�) 
 
44) Resolva o problema de valor inicial dado. a) �� 1�1� − 2�� = 3�), ��1) = 12 b) �(� 1�1� + ��� = 1, ��0) = 4 
Fonte: Q21, Q22 de Exercícios 2.5 da referência 3.
 
Respostas: a) �9� = − 95� + 495 �9:; b) ��/� = 1 + 7*9�+/�. 
 
 
Sugestões de mais questões: 
Da referência 2: Exercícios 20.5 (pág. 1154). 
Da referência 3: Exercícios 2.5: 17, 19 (pág. 76). 
 
 
 
 
 
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PARTE 4: MODELOS MATEMÁTICOS COM EDO’S DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 
 
4.1 Crescimento populacional 
 
45) Uma população de protozoários se desenvolve com uma taxa de crescimento relativo 
constante de 79,44% membro por dia. No dia zero, a população consiste em dois 
membros. Calcule o tamanho da população depois de seis dias. 
Fonte: Q01 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Resposta: 235 membros. 
 
46) Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da população, 
considere os dados da Tabela 1 que mostra a população do mundo no século XX. 
a) Qual é a condição inicial para o crescimento populacional considerado; 
b) Qual é a taxa de crescimento relativo no período de 1900 a 1910? Como o modelo 
se ajusta aos dados? 
c) Qual é a taxa de crescimento relativo no período de 1900 a 1950? Como o modelo 
se ajusta aos dados? 
Fonte: cap. 09 da referência 1. 
Respostas: a) a�0) = 1.650 milhões de pessoas; b) \ = 0,0058841/ano; a�#) = 1.650*‹,‹‹T~~)(O; c) \ =0,0087846/ano; a�#) = 1.650*‹,‹‹~C~):O. 
 
47) Use os dados da Tabela 1 para modelar a população do mundo na segunda metade do 
século XX. 
a) Utilize o modelo obtido no item c da questão anterior estimar a população em 
1993 e para prever a população no ano 2010. 
b) Qual é a taxa de crescimento relativo no período de 1950 a 1960? Como o modelo 
se ajusta aos dados? 
c) Utilize o modelo obtido no item anterior para estimar a população em 1993 e para 
prever a população no ano 2010. 
Fonte: cap. 09 da referência 1. 
Respostas: a) a�93) = 3.735 milhões de pessoas; a�110) = 4.337 milhões de pessoas; b) \ =0,017185/ano; a�#) = 2.560*‹,‹(C(~TO; c) a�43) = 5.360 milhões de pessoas; a�60) = 7.179 milhões 
de pessoas. 
 
Tabela 1 
Ano 
População 
(em milhões) 
1900 1.650 
1910 1.750 
1920 1860 
1930 2.070 
1940 2.300 
1950 2.560 
1960 3.040 
1970 3.710 
1980 4.450 
1990 5.280 
2000 6.080 
 
 
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48) Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichia coli. Uma célula 
dessa bactéria em um meio nutriente se divide em duas células a cada 20 minutos. A 
populaçãoinicial da cultura é de 60 células. 
a) Encontre a taxa de crescimento relativo. 
b) Ache uma expressão para o número de células depois de # horas. 
c) Calcule o número de células depois de oito horas. 
d) Estabeleça a taxa de crescimento depois de oito horas. 
e) Quando a população alcançará 20.000 células? 
Fonte: Q02 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) \ = ln 8/h; b) a�#) = 60 ∙ 8O; c) 1,0 × 10œ células; d) 2,1 × 10œ células/h; e) 2,8 h. 
 
 
 
4.2 Decaimento radioativo 
 
49) A meia-vida do rádio-226 ( Ra~~��: ) é de 1.590 anos. 
a) Uma amostra de rádio-226 tem uma massa de 100 mg. Encontre uma fórmula para 
a massa de Ra~~��: que permanece após # anos; 
b) Calcule a massa depois de 1.000 anos, com precisão de 1 mg; 
c) Quando a massa será reduzida a 30 mg? 
Fonte: cap. 09 da referência 1. 
Respostas: a) �#) = 100*9O =>�+)/(Tœ‹; b) 65 mg; c) 2.762 anos. 
 
50) O bismuto-210 tem uma meia vida de cinco dias. 
a) Se uma amostra tem 800 mg, encontre uma fórmula para a massa que restará 
depois de # dias. 
b) Calcule a massa depois de 30 dias. 
c) Quando a massa será reduzida para 1 mg? 
Fonte: Q08 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) �#) = 800 ∙ 29O/T; b) 12,5 mg; c) 48 dias. 
 
51) Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% de sua quantidade 
original. 
a) Qual a meia-vida do radônio-222? 
b) Quanto tempo levará para a amostra decair para 10% de sua quantidade original? 
Fonte: Q10 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) 3,82 dias; b) 12,7 dias. 
 
52) Os cientistas podem determinar a idade de um objeto antigo por um método chamado 
dotação de carbono-14. O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos 
converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono, 14C, com uma meia vida 
de cerca de 5.730 anos. A vegetação absorve o dióxido de carbono pela atmosfera e 
os animais assimilam o 14C através das cadeias alimentares. Quando uma planta ou 
animal morre, ele para de repor seu carbono, e a quantidade de 14C diminui através do 
decaimento radioativo. Portanto o nível de radioatividade também deve decair 
exponencialmente. Um pedaço de tecido foi descoberto tendo cerca de 74% de 14C 
radioativo em relação às plantas terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do pedaço 
de tecido. 
Fonte: Q11 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Resposta: 2.489 anos. 
 
 
Equações Diferenciais Página 22 de 32 
53) Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 
tinha desintegrado. Use o fato de que a meia vida do C-14 é cerca de 5.600 anos para 
determinar a idade aproximada da madeira. 
Fonte: Q11 de 3.2 Exercícios da referência 3 (3ª ed). 
Resposta: 1,560 × 10) anos. 
 
54) O sudário de Turim mostra a imagem, em negativo do corpo de um homem que 
aparentemente foi crucificado, e que acreditam ser de Jesus de Nazaré. Veja Figura 
3.1.9 da Rf. 02, pg. 92 (9ª edição). Em 1988, o Vaticano deu permissão para datar por 
carbono o sudário. Três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido 
e concluíram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos, idade consiste com seu 
aparecimento histórico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade 
original de C-14 remanescente no tecido em 1988. 
Fonte: Q12 de Exercícios 3.1 da referência 3. 
Resposta: 92,2%. 
 
 
 
4.3 Lei do esfriamento/aquecimento de Newton 
 
55) Uma garrafa de soda limonada em temperatura ambiente (72℉) é colocada em 
refrigerador onde a temperatura é de 44℉. Depois de meia hora a soda está resfriada 
a uma temperatura de 61℉. 
a) Qual a expressão da diferença da temperatura entre a da soda e do ambiente? 
b) Qual é a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na geladeira? 
c) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50℉? 
Fonte: cap. 09 da referência 1. 
Respostas: a) Δ‰�#) = 28*9‹,‹(::�O; b) 54 ºF; c) 93 min. 
 
56) Um peru assado é retirado do forno quando sua temperatura alcança 185º F e é 
colocado em uma mesa onde a temperatura é de 75º F. 
a) Se a temperatura do peru for de 150º F depois de meia hora, qual será a 
temperatura dele após 45 minutos? 
b) Quando terá o peru se resfriado a uma temperatura de 100º F? 
Fonte: Q13 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) 137° F; b) 116 min. 
 
57) Quando uma bebida gelada é retirada de um refrigerador, sua temperatura é de 5 ºC. 
Depois de 25 minutos em um ambiente a 20 ºC, sua temperatura aumenta para 10 ºC. 
a) Qual é a temperatura da bebida após 50 minutos? 
b) Quando sua temperatura será de 15 ºC? 
Fonte: Q15 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) 13° C; b) 68 min. 
 
58) Um termômetro marcando 70° F é colocado em um forno pré-aquecido a uma 
temperatura constante. Através de uma janela na porta do forno, um observador 
verifica que o termômetro marca 110° F após ½ min e 145° F após 1 min. Qual é a 
temperatura do forno? 
Fonte: Q17 de Exercícios 3.1 da referência 3. 
Resposta: 390° F. 
 
 
 
Equações Diferenciais Página 23 de 32 
59) A taxa de mudança da pressão atmosférica a em relação à altitude ℎ é proporcional a a, desde que a temperatura seja constante. A 15° C a pressão é 101,3 kPa ao nível do 
mar e 87,14 kPa a ℎ = 1.000 m. 
a) Qual é a pressão a uma altitude de 3.000 m? 
b) Qual é a pressão no topo do monte McKinley (montanha mais alta da América do Norte, 
localizada no Alasca, EUA), a uma altitude de 6.187 m? 
Fonte: Q17 de 9.4 Exercícios da referência 1. 
Respostas: a) 64,48 kPa; b) 39,91 kPa. 
 
 
 
4.4 Circuitos em série 
 
60) A equação diferencial ‡ 1y1# + y  = ˆ 
descreve a carga y em um condensador com capacidade   durante um processo de 
carga envolvendo uma resistência ‡ e uma força eletromotriz ˆ. Se a carga é 0 
quando # = 0, expresse y com função de #. 
Fonte: Q27 de Exercícios 19.2 do cap. 19, Cálculo com Geometria Analítica vol. 2, Swokwoski. 
Resposta: y�#) =  ˆ ¡1 − *9 ¢£¤¥. 
 
61) A Figura 1 mostra um circuito contendo uma 
força eletromotriz, um capacitor com 
capacitância de   farads e um resistor com 
resistência de ‡ ohms. A queda de voltagem no 
capacitor é y/ , onde y é a carga, em 
coulombs. Do uso das Leis de Kirchhoff e da 
definição de corrente elétrica, temos que o 
modelo é dado pela expressão: 
‡ 1y1# + 1  y = ˆ�#). 
Suponha que a resistência seja 5 Ω, a capacitância seja 0,05 F e a pilha forneça uma 
voltagem constante de 60 V. 
a) Resolva o problema de valor inicial com y�0) = 0 C, para encontrar uma 
expressão para a carga no tempo #, considerando a EDO que modela esse 
fenômeno como autônoma ou separável. 
b) Resolva o problema de valor inicial com y�0) = 0 C, para encontrar uma 
expressão para a carga no tempo #, considerando a EDO que modela esse 
fenômeno como linear de 1ª ordem. 
c) Qual o valor limite da carga? 
Fonte: Q31 de 9.3 Exercícios da referência 1. 
Respostas: 
a) e b) y�#) = 3 − 3*9)O; c) 3. 
 
62) Um resistor de resistência 1,50 kΩ e um capacitor de capacitância igual a 0,16 F são 
ligados em série, e uma diferença de potencial de 12,0 V é aplicada bruscamente ao 
conjunto. Em # = 0, a carga no capacitor era de 1,00 C. 
Figura 1 
 
Equações Diferenciais Página 24 de 32 
a) Qual é a expressão que permite calcular a carga no capacitor, em função do tempo? 
b) Em que instante, a carga no capacitor é de 1,50 C? 
Respostas: a) ¦�#) = 1,92 − 0,92*9 O�)‹; b) 3,14 min. 
 
63) Um circuito em série consiste em um resistor com ‡ = 2 Ω, um capacitor com   =0,2 F e uma bateria de voltagem constante ©. Com o capacitor totalmente carregado, 
abruptamente a bateria é desconectada no instante # = 0. Depois de um décimo de 
segundo a carga no capacitor é de 3 C. 
c) Qual é a expressão que permite calcular a carga no capacitor,em função do tempo? 
d) Qual é a constante de tempo do circuito? 
e) Em que instante, a carga no capacitor é de 2,5 C? 
f) Qual é a carga no capacitor em # = 10 s? 
Respostas: 
a) ¦�#) = 4*9�,TO ou ¦�#) = 3*‹,�T9�,TO; b) 0,4 s; c) 0,17 s; d) 5 × 109(( C ou 0,5 pC. 
 
64) Determine a carga e a corrente no instante # em um circuito em série ‡ , com ‡ =40 Ω,   = 1,6 × 109� F e ˆ�#) = 100 cos�10#) V, considerando a carga e a corrente 
iniciais iguais a zero. 
Resposta: ¦�#) = (‹‹~~( ocos�10#) + (:�T sen�10#) + *9(�TO/~p; i�#) = (‹‹~~( o��T cos�10#) − 10 sen�10#) − (�T~ *9(�TO/~p. 
 
65) A corrente em um circuito ‡† diminui de 1,0 A para 10 mA no primeiro segundo 
depois que a fonte é removida do circuito. Se † = 10 H, determine: 
a) a resistência ‡ do circuito; 
b) a expressão da corrente no circuito, em função do tempo; 
c) a corrente no circuito em # = 3,0 s; 
Respostas: 
a) 46 Ω; b) D�#) = 1,0*9),:O; c) 1,0 µA. 
 
66) Um solenoide com uma indutância de 6,30 mH é ligado em série com um resistor de 1,20 Ω. Considere que uma bateria de 14,0 V é ligada ao par de componentes no 
instante # = 0, quando nenhuma corrente atravessa o resistor. 
a) Escreva a equação da corrente que atravessa o resistor; 
b) Qual é a constante de tempo do circuito? 
c) Qual é a corrente que atravessa o resistor em # = 0,010 s? 
d) Quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80,0% do valor 
final? 
e) Qual é a corrente no resistor no instante # = 2,0¬? 
Respostas: 
a) D�#) = �T� F1 − *9)×(‹­O/�(G; b) 5,25 ms; c) 9,93 A; d) 8,45 ms; e) 10,1 A. 
 
67) Um circuito contêm um resistor de resistência de 3,0 Ω, um indutor de indutância 
igual a 2,0 mH e uma fonte ideal de força eletromotriz de 18,0 V. Em # = 0, a corrente 
que atravessava a fonte era de 2,0 ®. 
a) Escreva a equação da corrente que atravessa o circuito; 
b) Quanto tempo é necessário para que a corrente no circuito seja de 4,0 ®? 
Respostas: a) D�#) = 6,0 − 4,0*9(,T×(‹­O; b) 46 ms. 
 
 
Equações Diferenciais Página 25 de 32 
68) Uma força eletromotriz 
ˆ�#) = Ž120, 0 ≤ # ≤ 200, # > 20 
é aplicada em um circuito em série †‡ no qual a indutância é de 20 henrys e a 
resistência é de 2 ohms. A equação que modela esse tipo de circuito é 
† 1D1# + ‡D = ˆ�#). 
Ache a corrente D�#) se D�0) = 0. 
Fonte: Q33 de Exercícios 3.1 da referência 3. 
Resposta: 
D�#) = –60 − 60*9 O(‹, 0 ≤ # ≤ 2060�*� − 1)*9 O(‹, # > 20. 
 
 
Sugestões de mais questões envolvendo modelos matemáticos: 
Da referência 1: 9.4 Exercícios: 3, 4, 9, 14, 16, 22 (págs. 616 e 617). 
Da referência 3: Exercícios 3.1: 2, 3, 5, 6, 13, 15, 29, 39 e 43 (págs. de 91 a 96). 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Página 26 de 32 
PARTE 5: EDO’S LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 
 
 
 
5.1 EDO’s de segunda ordem simples e Redução de ordem 
 
69) Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem dadas: a) 1��1�� = sen��) b) �..�#) = − 1# c) �� + 1) 1��1�� + 1�1� = 0 d) #��.. + #�′ = 0 e) �� − 2)�.. + 3�′ = � 
Respostas: a) ���) = − sen��) + Q(� + Q�; b) ��#) = −# ln�#) + # + Q(# + Q�; c) ���) = Q( + Q� ln�1 + �) ; d) ��#) = Q( ln�#) + Q�, # > 0; e) ���) = 12 ¯14 �� + 13 � − 13 3 4 + 3Q(�� − 2)�4 + Q�° ou ���) = 18 �� + + 16 � + Q��� − 2)� + Q�, onde Q� = − 4 + 3Q(12 . 
 
70) A função indicada �(��) é uma solução da EDO dada. Use o procedimento da redução 
de ordem, para encontrar a segunda solução ����). a) �.. − 4�. + 4� = 0, �( = *�+ b) ���.. − 3��. + 4� = 0; �( = �� c) 4���.. + � = 0; �(��) = �(/� ln � d) ���.. − 3��. + 5� = 0; �(��) = �� cos�ln �) 
Fonte: Itens a, c, d – Q01, Q12, Q14 de Exercícios 4.2 da referência 3. 
Respostas: a) ����) = �*�+; b) ����) = �� ln��) ; c) �� = −�(/�; d) �� = �� sen�ln �). 
 
71) A função indicada �(��) é uma solução da EDO dada. Use a fórmula abaixo 
(demonstrada em sala), para escrever a solução geral. 
����) = �(��) M *9 š ±�+){+�(� 1� a) 9�.. − 12�. + 4� = 0; �( = *�+/� b) ���.. + ��. + 3�� − 144 � = 0; �( = sen �√� c) ���.. − 7��. + 16� = 0; �( = �) d) ���.. − ��. + 2� = 0, �(��) = � sen�ln��)) e) �1 − 2� − ��)�.. + 2�1 + �)�. − 2� = 0; �(��) = � + 1 
Observação: Itens a, c, d, e – Q07, Q09, Q13, Q15 de Exercícios 4.2 da referência 3. 
Respostas: a) ���) = Q(*�+/� + Q��*�+/�; b) ���) = Q( sen �√� + Q� cos �√� ; c) ���) = Q(�) + Q��) ln |�| ; d) �(�) == Q(� sen(ln(�)) + Q�� cos(ln(�)) ; e) �(� ) = Q((� + 1) + Q�(�� + � + 2).