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Matemática Editora Exato 27 RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. RELAÇÕES MÉTRICAS Dado o triângulo retângulo ABC abaixo: A BC a b c n h m Temos: � c e b são os catetos; � a é a hipotenusa; � h é a altura relativa a hipotenusa a ; � m é projeção ortogonal do cateto c e n é a projeção ortogonal do cateto b . Temos as seguintes relações: � Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângu- lo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos: 222 cba += � O produto de um dos catetos pela altura é igual ao produto do outro cateto pela projeção do pri- meiro cateto sobre a hipotenusa: nchb ⋅=⋅ e mbhc ⋅=⋅ � O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto corresponden- te: mac ⋅=2 e nab ⋅=2 � O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções de cada cateto: nmh ⋅=2 � O produto dos catetos é igual ao produto da hipo- tenusa pela altura relativa a ela: hacb ⋅=⋅ 2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Seja o triângulo retângulo abaixo: A B C a b c Temos: � a é a medida da hipotenusa; � b e c são as medidas dos catetos. Definimos: Seno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudo É a razão entre a medida do cateto oposto a esse ân- gulo e a medida da hipotenusa. No triangulo acima temos: a bC =ˆsen e a cB =ˆsen . Exemplo: Considere o seguinte triangulo: A B C 5 4 3 Determine Cˆsen e Bˆsen . 5 4 ˆsen =C e 5 3 ˆsen =B Cosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudo É a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Matemática Editora Exato 28 A B C a b c No triângulo, temos: a cC =ˆcos e a bB =ˆcos Exemplo: No triangulo abaixo determine Cˆcos e Bˆcos A B C 5 4 3 5 3 ˆcos =C e 5 4 ˆcos =B Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo agudoagudoagudoagudo É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. A B C a b c No triângulo, temos: c bCtg =ˆ e b cBtg =ˆ Em geral temos: Sendo x a medida de um ângulo agudo num triangulo retângulo temos: cateto oposto sen x hipotenusa = ; cateto adjacente cos x hipotenusa = ; cateto opostotgx cateto adjacente= . 3. ÂNGULOS NOTÁVEIS (30°, 45°, 60°) Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tan- gente dos ângulos 30°, 45° e 60° através da tabela abaixo: 30° 45° 60° Seno 2 1 2 2 2 3 Cosseno 2 3 2 2 2 1 Tangente 3 3 1 3 Exemplo: Determine o valor de x na figura abaixo: 16 30º x 16 30 xtg =° (observe na tabela tg30°) 163 3 x = 3 316 3162 = = x x EXERCÍCIOS 1 (UF(UF(UF(UF----RN)RN)RN)RN) Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos 0,6θ = . A B h θ Matemática Editora Exato 29 a) h=22,5m b) h=15m c) h=18,5m d) 20m 2 (UNESP)(UNESP)(UNESP)(UNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma al- tura. Se AB 2m= e ˆBCA mede 30º, então qual a me- dida da extensão de cada degrau? 3 (UNIFOR(UNIFOR(UNIFOR(UNIFOR----CE)CE)CE)CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol inci- dem sobre um local plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será, a- proximadamente: a) 10,2m d) 4,2m b) 8,5m e) 3,4m c) 5,9m 4 (COVESP(COVESP(COVESP(COVESP----PE)PE)PE)PE) Um barco atravessa um rio num trecho on- de a largura é 100m, seguindo uma direção que forma m ângulo de 30º com uma das margens. Assinale a alterna- tiva certa para a distância percorrida pelo barco para a- travessar o rio. a) 100m d) 150m b) 200m e) 250m c) 200 m 3 5 (F.C. C(F.C. C(F.C. C(F.C. CHAGASHAGASHAGASHAGAS----SP)SP)SP)SP) Um observador, no ponto A, vê o to- po de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme a figura a seguir. A B C 30º x Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente, 6 3m e 30m, então a distância x, entre o poste e o pré- dio é, em metros: a) 15 3 18− b) 15 3 10− c) 30 3 24− d) 30 3 20− e) 30 3 18− 6 (UNAMA(UNAMA(UNAMA(UNAMA----PA)PA)PA)PA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte cor- renteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: A B C 60º rio a) 240 3m b) 240m c) 80 3m d) 80m e) 40 3m 7 (USF(USF(USF(USF----SP) SP) SP) SP) � 30º 2m Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a: a) 3 m 2 b) 3m c) 2m d) 4m e) 4 3m Matemática Editora Exato 30 8 (UFRS)(UFRS)(UFRS)(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mos- tra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, comprimento do cabo AC é: A B C a) 15m d) 35m b) 20m e) 40m c) 25m 9 (MOJI(MOJI(MOJI(MOJI----SPSPSPSP)))) Uma escada que mede 4m tem uma de suas extremidades aparada no topo de um muro, e a outra ex- tremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro é: 4m 2,4m a) 2,3m c) 3,2m b) 3,0m d) 3,8m 10 (UNICAMP)(UNICAMP)(UNICAMP)(UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um ho- mem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ˆABC fosse 60º; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo ˆCBD fosse de 90º. Medindo AD 40m= , achou a largu- ra do rio. Qual a medida dessa largura? A B C D40 60º 30º a) 100m c) 140m b) 120m d) 150m 11 (FUVEST(FUVEST(FUVEST(FUVEST----SP)SP)SP)SP) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o an- gulo ˆCAB mede 75º e o ângulo ˆACB mede 75º. De- termine a largura do rio. a) 40m b) 20m c) 20 3m d) 30m e) 25m 12 (U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO----RS)RS)RS)RS) Em um triângulo ABC, retângulo em A, o cateto AB ^mede 5m e ˆcosB 0,4= , sua hipo- tenusa, em metros, mede: a) 2 b) 5,5 c) 9,5 d) 12,5 e) 13,5 13 (UFMG)(UFMG)(UFMG)(UFMG) Observe a figura. Nessa figura, ˆ ˆ ˆBAE, ACE e FDE são ângulos retos, e as medidas CD, AF e DE são 1, 2, 3, respectivamente. A á- rea do triângulo de vértice A, BA, BA, BA, B e EEEE é: A B C D E F a) 3 2 b) 2 4 c) 3 6 d) 3 6 14 (UFRS)(UFRS)(UFRS)(UFRS) o lampião representado na figura suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1 6 e 2 5 , a distância do lampião ao teto é: a) 1,3 b) 1,3 c) 0,6 d) 1 2 e) 6 13 Matemática Editora Exato 31 15 (UFRN)(UFRN)(UFRN)(UFRN)Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do pré- dio, então a altura do prédio, em metros, é: 75° 12m 12m O a) 4(3 3).+ b) 3. c) 3 . 2 d) 6( 2 2).+ e) 1 . 2 GABARITO 1 20m 2 3 m 3 3 E 4 B 5 E 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B 11 B 12 D 13 D 14 E 15 A
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