Relações Métricas e Trigonometria no Triângulo Retângulo

Prévia do material em texto

Matemática 
 
Editora Exato 27 
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
1. RELAÇÕES MÉTRICAS 
Dado o triângulo retângulo ABC abaixo: 
A
BC
a
b c
n
h
m
 
Temos: 
� c e b são os catetos; 
� a é a hipotenusa; 
� h é a altura relativa a hipotenusa a ; 
� m é projeção ortogonal do cateto c e n é a 
projeção ortogonal do cateto b . 
Temos as seguintes relações: 
� Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângu-
lo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos: 
222 cba += 
� O produto de um dos catetos pela altura é igual 
ao produto do outro cateto pela projeção do pri-
meiro cateto sobre a hipotenusa: 
nchb ⋅=⋅ e mbhc ⋅=⋅ 
� O quadrado de cada cateto é igual ao produto da 
hipotenusa pela projeção do cateto corresponden-
te: 
mac ⋅=2 e nab ⋅=2 
� O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual 
ao produto das projeções de cada cateto: 
nmh ⋅=2 
� O produto dos catetos é igual ao produto da hipo-
tenusa pela altura relativa a ela: 
hacb ⋅=⋅ 
 
 
 
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Seja o triângulo retângulo abaixo: 
A
B
C
a
b
c 
Temos: 
� a é a medida da hipotenusa; 
� b e c são as medidas dos catetos. 
Definimos: 
Seno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudoSeno de um ângulo agudo 
É a razão entre a medida do cateto oposto a esse ân-
gulo e a medida da hipotenusa. 
No triangulo acima temos: 
a
bC =ˆsen e 
a
cB =ˆsen . 
Exemplo: 
Considere o seguinte triangulo: 
A
B
C
5
4
3 
Determine Cˆsen e Bˆsen . 
5
4
ˆsen =C e 
5
3
ˆsen =B 
Cosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudoCosseno de um ângulo agudo 
É a razão entre a medida do cateto adjacente a esse 
ângulo e a medida da hipotenusa. 
Matemática 
 
Editora Exato 28 
A
B
C
a
b
c 
No triângulo, temos: 
a
cC =ˆcos e 
a
bB =ˆcos 
Exemplo: 
No triangulo abaixo determine Cˆcos e Bˆcos 
A
B
C
5
4
3 
5
3
ˆcos =C e 
5
4
ˆcos =B 
Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo Tangente de um ângulo agudoagudoagudoagudo 
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida 
do cateto adjacente a esse ângulo. 
A
B
C
a
b
c 
No triângulo, temos: 
c
bCtg =ˆ e 
b
cBtg =ˆ 
Em geral temos: Sendo x a medida de um ângulo 
agudo num triangulo retângulo temos: 
cateto oposto
sen x
hipotenusa
= ; 
cateto adjacente
cos x
hipotenusa
= ; 
cateto opostotgx
cateto adjacente= . 
3. ÂNGULOS NOTÁVEIS (30°, 45°, 60°) 
Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tan-
gente dos ângulos 30°, 45° e 60° através da tabela abaixo: 
 
 30° 45° 60° 
Seno 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cosseno 
2
3
 
2
2
 2
1
 
Tangente 
3
3
 
1 3 
 
Exemplo: 
Determine o valor de x na figura abaixo: 
16
30º
x
 
16
30 xtg =° (observe na tabela tg30°) 
163
3 x
= 
3
316
3162
=
=
x
x
 
EXERCÍCIOS 
1 (UF(UF(UF(UF----RN)RN)RN)RN) Observe a figura a seguir e determine a altura h 
do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos 0,6θ = . 
A
B
h
θ
 
Matemática 
 
Editora Exato 29 
a) h=22,5m 
b) h=15m 
c) h=18,5m 
d) 20m 
 
2 (UNESP)(UNESP)(UNESP)(UNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos 
degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma al-
tura. Se AB 2m= e ˆBCA mede 30º, então qual a me-
dida da extensão de cada degrau? 
 
 
3 (UNIFOR(UNIFOR(UNIFOR(UNIFOR----CE)CE)CE)CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol inci-
dem sobre um local plano com uma inclinação de 60º 
em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento 
da sombra de uma construção de 6m de altura será, a-
proximadamente: 
a) 10,2m d) 4,2m 
b) 8,5m e) 3,4m 
c) 5,9m 
 
4 (COVESP(COVESP(COVESP(COVESP----PE)PE)PE)PE) Um barco atravessa um rio num trecho on-
de a largura é 100m, seguindo uma direção que forma m 
ângulo de 30º com uma das margens. Assinale a alterna-
tiva certa para a distância percorrida pelo barco para a-
travessar o rio. 
a) 100m d) 150m 
b) 200m e) 250m 
c) 
200
m
3
 
 
5 (F.C. C(F.C. C(F.C. C(F.C. CHAGASHAGASHAGASHAGAS----SP)SP)SP)SP) Um observador, no ponto A, vê o to-
po de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme 
a figura a seguir. 
A
B
C
30º
x 
Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente, 
6 3m e 30m, então a distância x, entre o poste e o pré-
dio é, em metros: 
a) 15 3 18− 
b) 15 3 10− 
c) 30 3 24− 
d) 30 3 20− 
e) 30 3 18− 
 
6 (UNAMA(UNAMA(UNAMA(UNAMA----PA)PA)PA)PA) A figura representa um barco atravessando 
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte cor-
renteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo 
um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a 
distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: 
A
B C
60º rio
 
a) 240 3m 
b) 240m 
c) 80 3m 
d) 80m 
e) 40 3m 
 
7 (USF(USF(USF(USF----SP) SP) SP) SP) 
�
30º
2m
 
Para permitir o aceso a um monumento que está em um 
pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa 
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração. 
O comprimento da rampa será igual a: 
a) 
3
m
2
 
b) 3m 
c) 2m 
d) 4m 
e) 4 3m 
 
 
Matemática 
 
Editora Exato 30 
8 (UFRS)(UFRS)(UFRS)(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos 
no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mos-
tra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está 
a 20m de altura, comprimento do cabo AC é: 
A B
C
 
a) 15m d) 35m 
b) 20m e) 40m 
c) 25m 
 
9 (MOJI(MOJI(MOJI(MOJI----SPSPSPSP)))) Uma escada que mede 4m tem uma de suas 
extremidades aparada no topo de um muro, e a outra ex-
tremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro 
é: 
4m
2,4m 
a) 2,3m c) 3,2m 
b) 3,0m d) 3,8m 
 
10 (UNICAMP)(UNICAMP)(UNICAMP)(UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um ho-
mem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B 
de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de 
forma que o ângulo ˆABC fosse 60º; determinou o ponto 
D no prolongamento de CA de forma que o ângulo 
ˆCBD fosse de 90º. Medindo AD 40m= , achou a largu-
ra do rio. Qual a medida dessa largura? 
A
B
C D40
60º 30º
 
a) 100m c) 140m 
b) 120m d) 150m 
 
 
 
11 (FUVEST(FUVEST(FUVEST(FUVEST----SP)SP)SP)SP) Dois pontos A e B estão situados na margem 
de um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na 
outra margem do rio, está situado de tal modo que o an-
gulo ˆCAB mede 75º e o ângulo ˆACB mede 75º. De-
termine a largura do rio. 
a) 40m 
b) 20m 
c) 20 3m 
d) 30m 
e) 25m 
 
12 (U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO(U. PASSO FUNDO----RS)RS)RS)RS) Em um triângulo ABC, retângulo 
em A, o cateto AB ^mede 5m e ˆcosB 0,4= , sua hipo-
tenusa, em metros, mede: 
a) 2 
b) 5,5 
c) 9,5 
d) 12,5 
e) 13,5 
 
13 (UFMG)(UFMG)(UFMG)(UFMG) Observe a figura. 
Nessa figura, ˆ ˆ ˆBAE, ACE e FDE são ângulos retos, e as 
medidas CD, AF e DE são 1, 2, 3, respectivamente. A á-
rea do triângulo de vértice A, BA, BA, BA, B e EEEE é: 
A
B C D E
F
 
a)
3
2
 b)
2
4
 
c) 
3
6
 d) 
3
6
 
 
14 (UFRS)(UFRS)(UFRS)(UFRS) o lampião representado na figura suspenso por 
duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que 
essas cordas medem 
1 6
e
2 5
, a distância do lampião ao 
teto é: 
 
a) 1,3 
b) 1,3 
c) 0,6 
d) 
1
2
 
e) 
6
13
 
 
 
Matemática 
 
Editora Exato 31 
15 (UFRN)(UFRN)(UFRN)(UFRN)Um observador, no ponto O da figura, vê um 
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador 
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m 
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do pré-
dio, então a altura do prédio, em metros, é: 
75°
12m
12m
O
 
a) 4(3 3).+ 
b) 3. 
c) 
3
.
2
 
d) 6( 2 2).+ 
e) 
1
.
2
 
 
GABARITO 
1 20m 
2 
3
m
3
 
3 E 
4 B 
5 E 
6 B 
7 D 
8 C 
9 C 
10 B 
11 B 
12 D 
13 D 
14 E 
15 A