Aula07 Estatistica

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ESTATÍSTICA APLICADA
Modelos probabilísticos mais comuns
Professor Rodrigo Vieira
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Aulas prévias
Conceitos básicos de probabilidade:
Experimento aleatório, espaço amostral, eventos, definições de probabilidade, probabilidade condicional, independência.
Variável aleatória:
Conceito, variáveis discretas e contínuas, valor esperado e variância.
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Conteúdo desta aula
Principais modelos probabilísticos:
Variáveis aleatórias discretas: binomial, Poisson.
Variáveis aleatórias contínuas: uniforme, normal, t, qui-quadrado.
Como usá-los no cálculo de probabilidades.
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Modelos para variáveis discretas
Variável aleatória discreta: contradomínio finito ou infinito numerável.
Modelo binomial: aplicável a casos em que o contradomínio é finito.
Modelo de Poisson: também aplicável a casos em que o contradomínio é infinito numerável.
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Modelo binomial
Seja o seguinte experimento aleatório:
Número finito (n) de ensaios.
Cada ensaio tem apenas 2 resultados possíveis: “sucesso” ou “fracasso”.
Os ensaios são INDEPENDENTES entre si.
p = prob. de sucesso 1- p = prob. de fracasso são CONSTANTES.
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Modelo binomial
Experimento binomial
X = no. de “sucessos” em n realizações.
X segue o modelo binomial com os seguintes parâmetros: n e p.
X = {0, 1, ..., n}
E(X) = n × p		V(X) = n × p × (1- p)
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Modelo binomial
Observar o número de caras em 3 lançamentos de uma moeda: n=3; p=0,5
Observar o número de meninos nascidos em 3 partos de uma família: n=3; p = x
Observar o número de componentes defeituosos em uma amostra de 10 que apresentaram anteriormente 1% de defeituosos: n = 10; p= 0,01.
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Fórmula binomial
A probabilidade de ocorrências de k sucessos em n tentativas será:
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Exemplo 1
Estudos anteriores mostraram que há 73% de chance de consumidoras apresentarem uma reação positiva a anúncios publicitários com crianças. 
Uma agência apresentou um novo anúncio para 5 consumidoras. 
Qual é a probabilidade de que pelo menos 3 das 5 consumidores apresentem reação positiva? 
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Exemplo 1
Para cada consumidora (“ensaio”) há apenas 2 resultados: reação positiva ou não. 
Há um número finito de realizações, n = 5. 
Definindo “sucesso” como reação positiva, e considerando as consumidoras “independentes”. 
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Exemplo 1
A variável aleatória X, número de consumidoras com reação positiva em 5 que assistiram o novo anúncio terá distribuição binomial com parâmetros 
n = 5 e p = 0,73 (e 1- p = 0,27).
Evento de interesse: X ≥ 3
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Exemplo 1
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
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Exemplo 1
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
P(X≥3) = 0,284 + 0,383 + 0,207 = ?
P(X≥3) = 0,874
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Modelo de Poisson
Experimento binomial mas com n “infinito”.
Modelo binomial não pode ser usado.
Modelo de Poisson:
Analisar as ocorrências em um período contínuo.
Uso de uma quantidade constante: valor esperado.
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Modelo de Poisson
Os parâmetros para esse modelo:
 = taxa de ocorrência por período
Histórico ou experimental.
t = período contínuo analisado
Tempo, área, comprimento
Constate: Valor Esperado E(x)
E(x) = V(x) = m =  × t
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Modelo de Poisson
A variável aleatória X, número de sucessos em um período contínuo t 
Seguirá o modelo de Poisson com os parâmetros  e t.
Onde m =  × t; e = 2,71...
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Modelo de Poisson
E(X) = V(X) = m =  × t
Modelo usado para modelar filas.
Número mensal de acidentes de tráfego em um cruzamento. 
Número de itens defeituosos produzidos por hora em uma indústria. 
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Exemplo 2
Um departamento de polícia recebe em média 0,2 solicitações por minuto.
Qual  a  probabilidade  de  receber exatamente 5 solicitações em 10 minutos?
Qual a probabilidade de receber até 2 solicitações em 12 minutos?
Qual o desvio padrão do número de chamadas em meia hora?
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Exemplo 2
X = de chamadas ocorridas em um período contínuo (de tempo no caso).
Não há limite para o número de chamadas no período (apenas o número mínimo: 0)
 = o número médio de chamadas num intervalo específico (um minuto = 0,2)
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Exemplo 2
O período t será igual a 10 minutos
t = 10 min
 = 0,2
m =  x t = 0,20 x 10 = 2 chamadas
P(X = 5)?
Então a probabilidade de receber exatamente 5 chamadas em 10 minutos é 3,61%.
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Exemplo 2
O período t será igual a 12 minutos
t = 12 min
 = 0,2
m =  x t = 0,20 x 12 = 2,4 chamadas
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)?
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Exemplo 2
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Exemplo 2
P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)?
0,0907 + 0,2177 + 0,2613 = 0,5697
Então, a probabilidade de receber até 2 chamadas em 12 minutos é 56,97%.
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Exemplo 2
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Modelos para variáveis contínuas
Variáveis aleatórias contínuas: contradomínio infinito. 
Modelo uniforme.
Modelo normal.
Modelo t
Modelo qui-quadrado.
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Modelo uniforme
Faixas de valores de mesma amplitude têm a mesma probabilidade de ocorrer.
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Modelo uniforme
Usado na geração de números pseudo-aleatórios.
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Modelo normal
Se os dados apresentam distribuição simétrica.
Se à medida que os valores da variável afastam-se da parte central da distribuição, suas probabilidades de ocorrência diminuem.
Possibilidade de uso do modelo normal.
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Modelo normal
Muito adequado para descrever várias variáveis aleatórias:
Medidas corpóreas (alturas, comprimentos, etc.).
Dimensões de peças fabricadas (diâmetros, comprimentos, espessuras).
Importante para inferência estatística.
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Modelo normal
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Modelo normal
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Modelo normal
Para calcular probabilidades de intervalos de valores de uma variável aleatória que siga o modelo normal:
Apenas métodos numéricos de integração.
Os sábios dos séculos XVIII e XIX fizeram isso, sem computador...
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Distribuição normal padrão (z)
Normal com média = 0 e variância = 1.
Probabilidades calculadas para este modelo e registradas em tabela (Tabela).
Uma normal qualquer pode ser transformada em normal padrão.
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Distribuição normal padrão (z)
 = média de uma normal qualquer.
σ = desvio padrão de uma normal qualquer.
x = valor de interesse.
Z = número de desvios padrões a partir da média (se x < , z será negativo).
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Tabela da normal padrão
Valor de z com duas casas decimais:
P(Z > z) => cauda superior.
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Exemplo 2
Considere que uma variável aleatória X segue um modelo normal com média igual a 50 e desvio padrão = 10.
Calcule a probabilidade de X assumir valores entre 48 e 56.
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Exemplo 2
Precisamos encontrar os valores de z correspondentes a 48 e 56. 
Z1 = (48 - 50)/ 10 = - 0,20	
Z2 = (56 - 50)/ 10 = 0,60
Então: 	P (48 <X < 56) = P (-0,20<Z<0,60)
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Exemplo 2
Repare que a área entre 48 e 56 é igual à área de 48 até + MENOS a área de 56 até +.
P(48<X<56) = P(X>48) - P(X>56) = P(-0,20<Z<0,60)=P(Z>- 0,20) - P(Z > 0,60)
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Exemplo 2
P(Z > 0,60) = 0,2743 
P(Z > -0,20) = 1- P(Z > 0,20) = 1- 0,4207 = 0,5793 
P(48 < X < 56)= P(-0,20< Z <0,60) = P(Z>-0,20) - P(Z>0,60) = 0,5793 - 0,2743 = 0,3050 (30,5%).
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Exemplo 3
Veja o 11º exemplo da Unidade 7.
Supondo a mesma variável aleatória X com média 50 e desvio padrão 10. Encontre os valores de X, situados à mesma distância abaixo e acima da média, que contém 95% dos valores da variável.
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P(Z > z2) = 0,025
P(Z > 1,96) = 0,025
z2 = 1,96
z1 = -1,96
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Exemplo 3
Agora é possível obter os valores de x1 e x2. 
x1 = m + (z1× s) = 50 + [(-1,96) × 10] = 30,4
x2 = m + (z2× s) = 50 + (1,96 × 10) = 69,6
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Modelo t de Student
Derivação do modelo normal, desenvolvido por William Gosset (Student).
Mais apropriado para o processo de estimação de parâmetros usando pequenas amostras (Unidade 9).
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Modelo t de Student
O modelo tem média igual a zero (como anormal padrão).
Mas sua variância é: n/(n-2).
Onde n é o tamanho da amostra que foi retirada para o processo de Estimação. 
O modelo t tem n – 1 graus de liberdade.
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Para cada valor de n temos uma curva t.
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Exemplo 4
Veja o 13º exemplo da Unidade 7.
Imagine a situação do Exemplo 3, obter os valores de t simétricos em relação à média que contêm 95% dos dados, supondo uma amostra de 10 elementos. 
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Exemplo 4
Encontrar os valores de t1 e t2, simétricos em relação à média, que contém 95% dos dados.
t1 = - t2		P(t > t2) = 0,025
n = 10, então t terá 9 graus de liberdade.
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t2 = 2,262	 t1 = - t2 = -2,262
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Para saber mais
Sobre modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas e contínuas:
BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. São Paulo: Atlas, 2004, capítulos 5 e 6. 
STEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 2001, capítulos 4 e 5.
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Próxima aula
Inferência estatística
Conceito, tipos, parâmetros e estatísticas.
Distribuições amostrais das principais estatísticas: média e proporção.