VE1_Calculo_I-A_2014-2

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1a¯ VE de Ca´lculo I A (2014-2)
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Professor Se´rgio Almaraz
Turma S1 - 25/09/2014
Questa˜o Pontos Notas
1 30
2 25
3 25
4 20
Total 100
Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova nem usar calculadora.
Respostas sem uma justificava correta na˜o sera˜o consideradas.
Nome:
Questa˜o 1 (30 pontos)
Determine
(a) limx→−∞(xn − xn−1), onde n = 1, 2, 3, ....
(b) limx→0+ cos
( 1√
x
)
sen
(√x+ 1− 1√
x
)
.
Questa˜o 2 (25 pontos)
Considere a func¸a˜o
f(x) =

|x− 3| se x < 0
ax+ b se 0 ≤ x ≤ 1√
x+ 3 se x > 1,
onde a e b sa˜o constantes.
(a) Determine a e b tais que a f seja cont´ınua.
(b) Decida se a e b podem ser escolhidos de forma que f seja diferencia´vel em x = 1.
Questa˜o 3 (25 pontos)
Considere a equac¸a˜o
x cotan 2x = c
onde c > 0.
(a) Mostre que essa equac¸a˜o possui pelo menos uma soluc¸a˜o x ∈ (pi/2, pi).
(b) Mostre que essa equac¸a˜o possui pelo menos uma soluc¸a˜o x ∈ (0, pi/2).
Questa˜o 4 (20 pontos)
Calcule a derivada
d
dx
cos3
(
sen
(x3 + 3
x2 − 2
))
.