Unidade 1 Introdução a Matemática Financeira

Prévia do material em texto

Métodos 
Quantitativos 
Aplicados a Gestão
Introdução a Matemática Financeira
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Carlos Henrique de Jesus Costa
Prof. Douglas Mandaji
5
Un
id
ad
e
Introdução a Matemática Financeira
Introdução
Muitos de nós crescemos lendo as histórias do Tio Patinhas, criação de Walt Disney, desenhista 
norte-americano. Nelas, nos acostumamos a ver Tio Patinhas “curtindo” sua fortuna, guardada 
a sete chaves em seu cofre.
No mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe 
disso, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma maneira 
de entregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado 
financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o a terceiros.
Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a 
alguém espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional 
cobrada a título de aluguel do dinheiro.
Juros ( J )
É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a 
partir de dois pontos de vista:
•	de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo prejuízo, etc.
•	de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.
Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos:
•	 Introdução
•	 Juros Simples
•	 Diagrama de Fluxo de Caixa
•	 Juros Compostos
•	 Operações com Taxas
•	 Descontos
•	 Séries de Pagamentos ou Rendas
•	 Renda Imediata ou Postecipada
•	 Renda Antecipada (Com Entrada)
•	 Renda Diferida ou Série Uniforme de Pagamentos Diferida (Com Prazo de Carência)
6
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Regimes de Capitalização
É o processo de formação do juro. Os regimes de capitalização que normalmente são utilizados 
em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTO ou LINEAR e EXPONENCIAL, 
respectivamente.
Juros Simples
É o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual 
de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a 
cada período, não incidirão novos juros.
Capital ( C ) ou Valor Presente ( VP ) ou Present Value ( PV ) ou 
Principal ( P )
É qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que 
dá início a uma dada operação financeira é chamado capital inicial. Também conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Investimento Inicial, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, 
usa-se Presente Value, indicado nas calculadoras financeiras (HP–12C) pela tecla PV.
Taxa ( i )
É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado 
em forma percentual ou unitária. A termologia “i” vem do inglês “interest”, que significa juro.
A taxa de juro costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras.
Forma porcentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como 
unidade de tempo. São Exemplos: i = 30% am. (lê-se: 30 por cento ao mês)
 i = 0,5% ad. (lê-se: meio por cento ao dia)
Forma unitária ou centesimal: representa o juro de 1 unidade do capital, no período 
tomado como unidade de tempo. São Exemplos: i = 0,30 am.
 i = 0,005 ad.
Cálculo do Juro Simples
O juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo 
a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade:
7
Temos:
C – capital inicial ou PV – Present Value
J – juro simples
n – tempo de aplicação
i – taxa de juro unitária
Fórmula: J = C.i.n ou J = PV.i.n
Obs: Essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação “n” é expresso na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa “i” considerada.
Exemplos:
1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% 
ao ano. Qual será o valor do juro simples a ser pago?
Solução:
Dados:
C ou PV = R$ 1.200,00
n = 2 anos
i = 30% ou 0,30 a.a.
J = ?
2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. 
Qual o valor do juro simples a receber?
Solução:
Dados:
C ou PV = R$ 3.000,00
n = 3 meses
i = 1,2% ou 0,012 a.m.
J = ?
Fórmula
J = C.i.n
J = 1200 x 30% x 2
J = 1200 x 0,30 x 2
J = 720,00
Fórmula
J = C.i.n
J = 3000 x 1,2% x 3
J = 3000 x 0,012 x 3
J = 108,00
8
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Taxas Proporcionais:
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a 
elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Solução:
Lembrando que 1 ano = 12 meses, é só dividir 30 (taxa anual) por 12 meses para obter a 
taxa mensal. i = 30% : 12
 i = 2,5% a.m.
2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.
Solução:
Lembrando que 1 mês = 30 dias, é só multiplicar 0,08 (taxa ao dia) por 30 dias para obter 
a taxa mensal. i = 0,08% x 30
 i = 2,4% a.m.
Taxas Equivalentes:
Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
período, produzem o mesmo juro.
Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes.
Exemplos:
1) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine 
o juro simples obtido.
Solução:
Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula de 
juro simples devemos determinar a taxa mensal equivalente ou taxa mensal proporcional em 
relação à taxa dada: i = 25% : 12
 i = 2,0833...% ao mês
Logo:
J = C.i.n
J = 2.400 x 2,0833% x 10
J = 499,99 ou J = 500,00 (arredondando)
9
2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 
4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.
Solução:
Neste caso o tempo foi dividido em anos, meses e dias, a primeira coisa a ser feita é a 
obtenção do número de dias correspondentes, lembrando que:
Tempo: 1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias
 2 anos, 4 meses e 10 dias = (2 x 360 + 4 x 30 + 10) = 850 dias
Taxa : 36% ao ano, é só dividir por 360 dias para obter a taxa ao dia.
 i = 36% : 360
 i = 0,1% ao dia.
Juros: J = C.i.n
 J = 18.500 x 0,1% x 850
 J = 15.725,00
Juro Exato e Juro Comercial:
Quando falamos em juro exato, estamos, na verdade, nos referindo aos dias do calendário, 
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existentes em cada mês. Como, por exemplo: 
janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 dias ou 366 dias, 
se o ano for bissexto.
No caso de juro comercial, é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo 
critério do prazo comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias. Desta forma, um 
ano tem 360 dias.
A técnica mais usada é a do cálculo do juro simples comercial para o número 
exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação.
Um ano é bissexto quando o seu número é divisível por 4. Por exemplo: 
1948,1956,1992, etc. Os anos cujos números terminam em 00 são bissexto de 
4 em 4 séculos. O ano 2000 foi bissexto, então o próximo ano terminado em 00 
que será bissexto é 2400.
Determinação do número exato de dias entre duas datas:
Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de várias maneiras, a seguir 
alguns exemplos:
1º) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias 
extremos deve ser incluído.
10
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
2º) Considerando o número exato de dias de cada mês, lembrando que:
Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro – 31 dias;
Abril, Junho, Setembro e Novembro – 30 dias;
Fevereiro – 28 dias ou 29 dias (anos bissextos).
Podemos, por exemplo, determinaro número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do 
mesmo ano do seguinte modo:
11 de março a 11 de abril - 31 dias
11 de abril a 11 de maio - 30 dias
11 de maio a 18 de maio - 18 – 11 = 7 dias
 Total - 31 + 30 + 7 = 68 dias
3º) O mesmo cálculo utilizando a calculadora financeira HP-12C. Vamos incluir 
um ano qualquer, por exemplo, 2005, então teremos:
Data Inicial: 11/03/2005 e Data Final: 18/05/2005
f 6 - acrescentando 6 casas decimais (após a vírgula)
g [ D.MY ] - introduzindo a função data (Brasil)
11.032005 [ ENTER ] - entrando com a primeira data
18.052005 g [ DYS ] - entrando com a segunda data e calculando a 
 variação
68,000000 - 68 dias.
4º) Usando a tecla [ DATE ] na calculadora financeira HP-12C:
Calcule a data de vencimento, de uma fatura com prazo de vencimento de 90 dias, cuja 
emissão ocorreu no dia 27/09/2004.
f 6 - acrescentando 6 casas decimais
g [ D.MY ] - introduzindo a função data
27.092004 [ ENTER ] - entrando com a primeira data
90 g [ DATE ] - entrando com a quantidade de dias e 
 calculando a data de vencimento
26.12.2004 - data do vencimento da fatura.
Exemplos:
1) Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/2003 sendo quitada em 
15/03/2003, com a taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato e comercial pagos 
nesta operação.
Solução:
11
Dados:
PV ou Capital = R$ 14.500,00
i = 48% ao ano
Vencimento da prestação: 01/02/2003
Data do pagamento: 15/03/2003
Juro Exato e Juro Comercial = ?
Cálculo do prazo de atraso “em dias” na calculadora financeira HP-12C:
f 6
g [ D.MY ]
01.022003 [ ENTER ]
15.032003	 	g	 [	∆DYS	]
42 dias
a) Juro Exato = 14.500 x 0,48 x 42 = R$ 800,88
 365
b) Juro Exato = 14.500 x 0,48 x 42 = R$ 812,00
 360
2) A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 
10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00?
Solução:
Dados:
PV ou Capital = R$ 66.000,00
J = R$ 11.000,00
n = 3 meses e 10 dias = 3 x 30 + 10 = 100 dias
i = ?
J = C.i.n
11.000 = 66.000 . 100 . i
i = 11.000 
 66.000 . 100
i = 0,00167 ao dia
Obs.: Como o exercício está pedindo a taxa mensal, devemos multiplicar o resultado por 30 dias:
i = 0,00167 x 30 dias = 0,05 ao mês ou 5% ao mês
12
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
3) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00, que, no prazo de 2 anos, rendeu 
R$ 8.400,00 de juro?
Solução:
Dados:
PV ou Capital = R$ 12.000,00
J = R$ 8.400,00
n = 2 anos
i = ?
J = C.i.n
8.400 = 12.000 . 2 . i
i = 8.400 
 12.000 . 2
i = 0,35 ao ano ou 35% a.a.
Diagrama de Fluxo de Caixa
Definimos fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas 
e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. Na verdade, estamos nos referindo à 
entrada e saída de dinheiro. É importante ressaltar que o conceito caixa (financeiro) não pode 
ser confundido com o conceito de competência (contábil).
Utilizamos o fluxo de caixa para demonstrar graficamente as transações financeiras em um 
período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número 
de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas 
verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais 
apontadas para baixo.
Esquema gráfico simplificado:
13
Esquema gráfico detalhado:
Lembrando...
PV se refere ao “Valor Presente” ou Capital Inicial, que significa o valor que eu 
tenho na data focal 0 (zero).
FV se refere ao “Valor Futuro” ou Montante, após juros, entradas e saídas, será 
igual ao valor que terei no final do fluxo.
PMT se refere as “Prestações” ou Recebimentos e/ou Pagamentos, que significa 
as entradas e saídas durante o fluxo.
Juros Compostos
Juro composto é conhecido popularmente como juros sobre juros. Mas, na verdade, o 
correto é afirmar que os juros incidem em cada período financeiro, a partir do segundo, é 
calculado sobre o montante relativo ao período anterior.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados 
ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros 
compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
Observe a demonstração a seguir do regime de capitalização composta para uma aplicação 
financeira de R$ 1.000,00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês.
n
Capital 
Aplicado
Juros de cada período Valor acumulado (Montante)
1 R$ 1.000,00
R$ 1.000,00 x 10% =
R$ 100,00
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 =
R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00
R$ 1.100,00 x 10% =
R$ 110,00
R$ 1.100,00 + R$ 110,00 =
R$ 1.210,00
3 R$ 1.200,00
R$ 1.210,00 x 10% =
R$ 121,00
R$ 1.210,00 + R$ 121,00 =
R$ 1.331,00
14
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Diagrama de Fluxo de Caixa para o Regime de Capitalização Composta
Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV)
A tabela acima permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no 
regime de juro simples (a partir do segundo período).
Para encontrarmos o montante (M) ou valor futuro (FV) de uma operação comercial ou 
financeira, vamos considerar um capital (C) ou valor presente (PV), uma taxa (i) e calculemos o 
montante (M) ou valor futuro (FV) obtido a juros compostos, após (n) períodos de tempo.
•	Valor futuro após período 1:
FV1 = PV + PV x i = PV. (1 + i)
•	Valor futuro após período 2:
FV2 = FV1 + FV1 x i = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 + i)
2
•	Valor futuro após período 3:
FV3 = FV2 + FV2 x i = FV2.(1 + i) = PV.(1 + i)
2.(1 + i) = PV.(1 + i)3
•	Valor futuro após período n:
Para um período n é possível perceber que: FVn = PV.(1 + i)
n
Assim teremos: FV = PV.(1 + i)n ou M = C.(1 + i)n
Observação: Nas calculadoras financeiras é possível calcular diretamente uma das variáveis 
da fórmula FV = PV.(1 + i)n, para tanto é preciso que sejam conhecidas três das variáveis 
para que seja calculada a quarta variável.
Na calculadora financeira HP-12C, por exemplo, temos as seguintes teclas para cálculo de 
juros compostos:
representa o capital (do inglês Present Value)
representa o montante (do inglês Future Value)
representa taxa (do inglês interest)
representa o número de períodos
15
Exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, 
durante 5 meses.
Solução:
Dados: 
FV = ?
PV = R$ 5.000,00
i = 4% ao mês
n = 5 meses
Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C:
f REG → limpa registros
5.000 CHS PV → valor do capital (negativo)
4 i → valor da taxa
5 n → períodos
FV
Aparecerá no visor o valor de: R$ 6.08326
Operações com Taxas
Em alguns tipos de operação financeira costuma-se expressar a taxa de juro em termos anuais. 
No entanto, essas mesmas operações são, às vezes, realizadas em períodos de capitalização 
mensal, bimestral, semestral, etc. Desse fato, decorrem situações em que a taxa de juro é 
expressa em um período de capitalização não coincidente com o período de tempo ao qual a 
taxa se refere.
Nesses casos, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva.
A Taxa nominal é expressa numa unidade de tempo que não coincide com o período de 
tempo nos quais os juros são capitalizados.
Exemplos:
a) 6% ao ano, com capitalização mensal.
b) 2,7% ao mês, com capitalização diária.
Fórmula
FV = PV.(1 + i)n
FV = 5.000.(1 + 4%)5
FV = 5.000.(1 + 0,04)5
FV = 5.000.(1,04)5
FV = 5.000.(1,2166529)
FV = R$ 6.083,26
16
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
A taxa nominal é usada no mercado financeiro com relativa freqüência, principalmente no 
exterior. Entretanto,não é usada em cálculos financeiros, pois o que de fato interessa é como os 
juros são efetivamente capitalizados.
A Taxa efetiva é aquela que, como o próprio nome já diz, efetivamente verifica uma operação 
financeira, tem seu foco direcionado para medir o ganho efetivo de uma determinada aplicação.
Na verdade, entendemos que as taxas são maiores ou menores dependendo do tempo e 
principalmente do risco em que são negociadas. Vamos observar a seguinte tabela de taxas e 
sua relação com o risco.
Taxa ao 
mês
Investimento ou 
Empréstimo
Observações:
0,5% Poupança
Por ser um investimento dos mais seguros, oferece o menor 
risco e, conseqüentemente, uma menor taxa.
6% Parente
Emprestar dinheiro a um parente representa um risco maior 
para receber recursos.
14% Bolsa de Valores
O risco é muito alto, pois o mercado financeiro sofre 
ataques especulativos que podem aumentar ou diminuir a 
remuneração.
50% Agiota
Pedir dinheiro ao um agiota é uma opção para quem não 
possui dinheiro, o que, normalmente, é um mal negócio, 
além de ser uma operação considerada ilegal.
11% Cartão de Crédito
Para as empresas Administradoras de Cartões de Crédito o 
consumidor oferece um risco alto, por isso, é um mal negócio 
pegar dinheiro emprestado ou parcelar as faturas do cartão.
2% Banco
Nos Bancos as taxas para empréstimos devem ser 
negociadas e, somente, serão mais atrativas se o cliente 
oferecer garantias reais (carro, imóveis, promissórias, etc).
Na verdade, costuma-se dizer que a melhor aplicação para quem se encontra em 
situação de devedor será sempre quitar suas dívidas.
Taxas Equivalentes
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo 
capital (PV), por um período de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento.
No sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema de 
capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si.
Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, 
num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto.
17
Sejam:
ia = taxa anual de juro composto
im = taxa mensal de juro composto
M1 e M2 = Montante ou Valor Futuro
Então, se ia equivalente a im, pela definição de taxas equivalentes, temos:
M1 = C.(1 + ia)
1
M2 = C.(1 + im)
12
M1 = M2 → igualando os montantes;
C.(1 + ia)
1 = C.(1 + im)
12 → cancelando os capitais;
(1 + ia)
1 = (1 + im)
12 → ia equivalente a im.
Analogamente, podemos estabelecer as seguintes relações:
(1 + id)
360 = (1 + im)
12 = (1 + ib)
6 = (1 + it)
4 = (1 + is)
2 = (1 + ia)
1
id = taxa diária de juro composto
im = taxa mensal de juro composto
ib = taxa bimestral de juro composto
it = taxa trimestral de juro composto
is = taxa semestral de juro composto
ia = taxa anual de juro composto
Exemplos:
1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre.
Solução:
Dados:
is (taxa semestral) = 10% ou 0,10 a.s.
ia (taxa anual) = ?
Resposta: 0,21 aa ou 21% aa.
{
18
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de 
juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros?
Solução:
Dados:
ia (taxa anual) = 30% ou 0,30 a.a.
im (taxa mensal) = ?
Resposta: A taxa mensal equivalente seria de 2,21% ao mês.
Outra Fórmula para Cálculo de Taxas Equivalentes em Juros 
Compostos
Esta fórmula é baseada no modo análogo apresentado anteriormente sobre equivalência de 
taxas de juros:
 Fórmula para cálculo de taxas equivalentes:
Onde: i(eq) = Taxa Equivalente;
 ic = Taxa Conhecida;
 QQ = Quanto eu Quero;
 QT = Quanto eu Tenho.
19
Exemplos:
1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre.
Solução:
Dados:
ieq = ?
ic = 10% ou 0,1
QQ = 360 dias (período anual, transformado em dias)
QT = 180 dias (período semestral, transformado em dias)
Na Fórmula
Resposta: 0,21 aa ou 21% aa.
2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de 
juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros?
Solução:
Dados:
ieq = ?
ic = 30% ou 0,3
QQ = 30 dias (período mensal, transformado em dias)
QT = 360 dias (período anual, transformado em dias)
20
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Na Fórmula
Resposta: A taxa mensal equivalente seria de 2,21% ao mês.
Programa para Cálculo da Taxa Equivalente pela Calculadora 
Financeira HP-12C
O professor Carlos Shimoda, em seu livro de matemática financeira para usuários do Excel®, 
2ª edição, publicado pela editora Atlas/SP em 1998, p.48, apresenta um programa para calcular 
a taxa equivalente através da calculadora HP-12C.
21
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP-12C:
Obs: Mesmo após desligarmos a calculadora o programa continuará 
instalado. Somente será removido se seguirmos os passos de “Limpeza de 
Programa”, ou seja, para limpar o programa pressione as teclas f e PRGM.
Após seguir todos os passos, testaremos a calculadora usando os exemplos anteriores:
22
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Exemplos:
1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre.
Solução:
Dados:
is (taxa sem) = 10% ou 0,10 a.s. 180 dias (período semestral, transformado em dias)
ia (taxa anual) = ? 360 dias (período anual, transformado em dias)
2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de 
juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros?
Solução:
Dados:
ia (taxa anual) = 30% ou 0,30 a.a. 360 dias (período anual, transformado em dias)
im (taxa mensal) = ? 30 dias (período mensal, transformado em dias)
23
Taxa Acumulada de Juros com Taxas Variáveis
É utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, 
saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representado por 
(1 + i) e a taxa negativa por (1 – i). Assim, teremos a seguinte fórmula genérica:
iac = [ (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x ... x (1 + in) – 1 ] x 100
Exemplos:
1) Calcular a taxa acumula de juros à seguinte seqüência de taxas: 4%, 2%, –1,5%, 3,5% 
e –0,8%.
Solução:
Na Fórmula
Resposta: A taxa acumulada de juros é de 7,28% ao período.
24
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Taxa Média de Juros
Tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Na verdade, devemos em 
primeiro lugar calcular a taxa acumulada e, em seguida, a taxa média.
imédia = { [ (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x ... x (1 + in) ] 
1/n – 1 } x 100
Obs: “n” é o número de taxas analisadas.
Exemplos:
1) Calcular a taxa média de juros à seguinte seqüência de taxas: 4%, 2%, –1,5%, 3,5% e 
–0,8%.
Solução:
Na Fórmula
Resposta: A taxa média de juros é de 1,42% ao mês.
25
Descontos
A operação desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da 
antecipação de recurso, ou seja, em outras palavras, podemos dizer que desconto é o abatimento 
feito no valor nominal de uma dívida, quando ela é negociada antes do seu vencimento.
Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto 
(método exponencial).
Vamos resumir a operação de desconto através do seguinte esquema:
Desconto Racional Simples ou “Por Dentro”
No Brasil, o desconto racional simples não é muito praticado, por um motivo muito simples: 
esta modalidade é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceder 
um desconto em função de uma negociação.
Esta modalidade será sempremais interessante para quem solicita o desconto, mas como 
na maioria dos casos quem tem a posse dos recursos financeiros normalmente determina a 
metodologia de cálculo da operação, portanto, torna-se uma prática pouco usada.
Porém, é importante conhecer esta metodologia para poder compará-la com as demais.
Para entendê-la melhor, vamos aplicar as seguintes fórmulas:
Onde:
DRS = Desconto Racional Simples
Valor Nominal (VN): é também chamado de valor de face, é o valor do título apontado na 
data do vencimento.
Valor Líquido (VL): é o valor que foi negociado antes do vencimento ou simplesmente o 
valor recebido após a operação de desconto.
O valor líquido (VL) também pode ser encontrado através da seguinte fórmula:
Onde:
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
26
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
O Desconto Racional (DR) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula:
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, 
à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?
Solução:
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 2 meses
id = 2,5% ao mês ou 0,025 ao mês
DRS = ?
1º) Resolução: “Algébrica”
DRS = 25.000 x 0,025 x 2 
 (1 + 0,025 x 2)
DRS = 1250 
 1,05
DRS = R$ 1.190,48
VL = 25.000 – 1.190,48
VL = 23.809,52
2º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
27
Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”
Podemos definir o Desconto Bancário (DBS), ou Desconto Comercial (DCS), ou simplesmente 
desconto por fora, como o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal de 
um determinado compromisso antes do seu vencimento.
Esta modalidade de desconto é muito usada nas operações comerciais e principalmente nas 
operações bancárias, tendo em vista que para as instituições financeiras este tipo de operação é 
muito mais interessante do ponto de vista financeiro que a operação de Desconto Racional Simples.
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:
Onde:
DBS = Desconto Bancário Simples
VN = Valor Nominal
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
VL = Valor Líquido
Obs.: Na verdade, a fórmula DBS = VN x id x nd , tem sua origem na fórmula do juros 
simples, J = PV x i x n.
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, 
à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário?
Solução:
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 2 meses
id = 2,5% ao mês ou 0,025 ao mês
DBS = ?
1º) Resolução: “Algébrica”
DBS = 25.000 x 0,025 x 2 
DBS = 1250 
DBS = R$ 1.250,00
VL = 25.000 – 1.250,00
VL = 23.750,00
28
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
2º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
Desconto Racional Composto
O Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), 
valor futuro (VF) ou valor nominal (VN).
Considere um título de valor nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um valor 
líquido (VL) que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN quando aplicado por (n) períodos a 
uma taxa de desconto composto (id) por período.
Vamos verificar:
Vimos nos itens anteriores que, conceitualmente, o Desconto (D) é igual ao valor nominal 
(VN) menos o valor líquido (VL), ou seja, D = VN – VL. Este mesmo conceito também será 
aplicado a todas as metodologias de cálculos do desconto composto.
Onde:
DRC = Desconto Racional Composto
VN = Valor Nominal
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
VL = Valor Líquido
Exemplo:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00, 
considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes 
do seu vencimento.
Solução:
Dados:
VN = R$ 5.000,00
nd = 3 meses
id = 3,5% ao mês ou 0,035 ao mês
DRC = ?
VL = ?
29
1º) Resolução: “Algébrica”
VL = 5.000 
 (1 + 0,035)³
VL = 5.000 
 (1,035)³
VL = 5.000 
 1,10872
VL = R$ 4.509,71
DRC = 5.000,00 – 4.509,71
DRC = R$ 490,29
2º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
Desconto Composto (Bancário ou Comercial)
A partir do valor nominal, poderemos determinar o valor líquido, com base no conceito do 
cálculo por fora.
Onde:
DBC = Desconto Bancário Composto
VN = Valor Nominal
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
VL = Valor Líquido
Exemplo:
Determinar o desconto composto bancário de um título de valor nominal de R$ 5.000,00, 
considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes 
do seu vencimento.
30
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Solução:
Dados:
VN = R$ 5.000,00
nd = 3 meses
id = 3,5% ao mês ou 0,035 ao mês
DBC = ?
VL = ?
1º) Resolução: “Algébrica”
VL = 5.000.(1 - 0,035)³
VL = 5.000 . (0,965)³
VL = 5.000 . 0,8986...
VL = R$ 4.493,16
DBC = 5.000,00 – 4.493,16
DBC = R$ 506,84
2º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
Séries de Pagamentos ou Rendas
Chamamos de rendas ou séries de pagamentos os capitais que dispomos periodicamente 
para algum fim. Pagar uma prestação, aplicar na poupança ou fazer algum investimento são os 
exemplos mais comuns de rendas.
31
Classificação:
•	Termos da renda: sucessão de depósitos ou de prestações.
•	Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos 
consecutivos.
•	Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e 
seus respectivos valores podem ser prefixados (você conhece as parcelas). Exemplo: Compra 
de bens a prazo.
•	Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser 
previamente determinado. Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos 
é indeterminado).
Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda uniforme pode ser:
•	Imediata ou Postecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no 
fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. 
Assim, o vencimento do último termo ocorre no fim do período n. Exemplo: Compra de 
um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a 
assinatura do contrato. (30/60/90...)
•	Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O 
vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: Depósito mensal de 
uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado. (0/30/60/...)
•	Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um 
determinado número de períodos, a contar da data zero. O vencimento do último termo 
ocorre no fim de c + n períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações 
mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses.
Observação:
•	A série uniforme é a série de pagamentos mais comum na prática.
•	Resumindo, as séries de pagamentos uniformes podem ser:
→ IMEDIATA ou POSTECIPADA (Sem Entrada, 0 + n, END),
→ ANTECIPADA (Com Entrada, 1 + n, BEGIN) ou
→ DIFERIDA (Com Carência, c + n).
32
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Teclas1 e Funções Financeiras na Calculadora HP12C, que 
utilizaremos nos próximos exemplos:
OBS: Para efetuarmos cálculos de uma prestação ou financiamento com entrada na HP-12C, 
será necessário introduzir no display da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente obtida 
através da sequência de teclas “g” [BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período.
Renda Imediata ou Postecipada
(SEM ENTRADA 0/30/60/... FUNÇÃO “END” NA HP-12C)
1 As termologias (teclas na HP-12-C) usadas acima vêm do inglês: “i” Interest que significa Taxa ou Juro; “PV” Present Value 
que significa Valor Presente ou Capital Inicial; “FV” Future Value que significa Valor Futuro ou Montante; “n” Number que significaNúmero de Períodos; “CHS” Change Sign que significa Mudar o Sinal servindo para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número; 
“PMT” Payment que significa Pagamento ou Recebimento; “END” que significa Fim servindo para cálculos de séries de pagamentos 
Postecipados ( 0 + n ) e “BEG” Begin que significa Começar servindo para cálculos de séries de pagamentos Antecipados ( 1 + n ).
33
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico:
Exemplo 1:
Um automóvel custa à vista o valor de R$ 45.600,00 (PV), e pode ser financiado em 72 (n) 
parcelas mensais iguais, sem entrada, com a taxa de 2,1% (i) ao mês. Determinar o valor das 
prestações (PMT).
Solução:
Dados:
Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada”
PV = R$ 45.600,00
n = 72 meses
i = 2,1% ao mês ou 0,021 ao mês
PMT = ?
34
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
1º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
f [REG]
45600 CHS PV → entrando com o valor à vista do carro “negativo”
72 n → entrando com o prazo de financiamento
2,1 i → entrando com a taxa de financiamento
PMT → calculando o montante final (depósitos + juros)
R$ 1.233,94
2º) Resolução: Algébrica (Fórmula)
Exemplo 2:
Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 (n) meses, a quantia 
de R$ 100,00 (PMT). Calcule o montante (FV) da renda, sabendo que essa financeira paga 
juros compostos de 2% (i) ao mês, capitalizados mensalmente.
Solução:
Dados:
Renda Imediata (END): “no fim de cada mês”
PMT = R$ 100,00
n = 5 meses
i = 2% ao mês ou 0,02 ao mês
FV = ?
35
1º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
f [REG]
100 CHS PMT → entrando com o valor da quantia mensal “negativo”
5 n → prazo da aplicação
2 i → taxa da aplicação
FV → calculando o montante final (depósitos + juros)
R$ 520,40
2º) Resolução: Algébrica (Fórmula)
Renda Antecipada (Com Entrada)
As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento 
ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema 
de pagamento com entrada (1+ n), ou seja, a renda antecipada ocorre quando o vencimento do 
primeiro termo se dá na data zero e o vencimento do último termo ocorre no início do período n.
Esquemas de Fluxo de Caixa:
a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos:
Onde: PMT = pagamentos ou prestação
36
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos:
Onde: PMT = pagamentos ou prestação
Algumas fórmulas (cálculo algébrico):
Exemplo 3:
Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 (PV) pode ser financiado em 36 (n) pagamentos 
iguais; com o primeiro pagamento no ato da compra, sabendo-se que a taxa de financiamento 
é de 1,99% (i) ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento (PMT).
Solução:
Dados:
Renda Imediata (BEGIN): “com o primeiro pagamento no ato da compra”
PV = R$ 17.800,00
n = 36 meses
i = 1,99% ao mês ou 0,0199 ao mês
PMT = ?
1º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
f [REG]
g 7 [BEGIN] → cálculo de prestações com entrada
17800 CHS PMT → entrando com o valor da quantia mensal “negativo”
36 n
1,99 i
PMT → calculando o valor da parcela
R$ 683,62
37
2º) Resolução: Algébrica (Fórmula)
Renda Diferida ou Série Uniforme de Pagamentos Diferida (Com 
Prazo de Carência)
São aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo 
menos a partir do 2º período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo (n), o 
período seguinte será (n+1), o próximo será (n+2) e assim sucessivamente. Podemos dizer também 
que são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de certo período de carência.
Observe o diagrama de fluxo de caixa.
Algumas fórmulas (cálculo algébrico):
38
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Exemplo 4:
Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 (n) prestações iguais 
de R$ 150,00 (PMT); a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 (c) meses para o 
primeiro pagamento. Determine o valor à vista (PV) desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de 
juros praticada pela loja é de 3% (i) ao mês.
Solução:
Dados:
Renda Diferida (BEGIN): “a loja está oferecendo ainda uma carência”
PMT = 150,00
n = 5 meses
c = 3 meses → 3 meses → usar o modo [BEGIN] na HP12C
 3 – 1 = 2 meses → usar o modo [END] na HP12C
i = 3% ao mês
PV = ?
1º) Resolução: Calculadora Financeira HP–12C
MODO [BEGIN] UTILIZANDO CARÊNCIA = 3 MESES :
f [REG] - Limpar Registros
g 7 BEGIN - Série de Pagamento Antecipada
150 PMT - Entrando com o Valor da Parcela
5 n - Prazo
3 i - Juros
P V 707,56 - 1º Valor Presente da Mercadoria
CHS FV - 1º Valor da Mercadoria Vira Valor Futuro
0 PMT - Valor da Parcela da Carência
3 n - Período de Carência para o Modo [BEGIN]
PV 647,52 - Valor à Vista da Mercadoria
MODO [END] UTILIZANDO CARÊNCIA → 3 MESES – 1 MÊS = 2 MESES:
f [REG] - Limpar Registros
g 8 END - Série de Pagamento Postecipada
150 PMT - Entrando com o Valor da Parcela
5 n - Prazo
3 i - Juros
P V 686,96 - 1º Valor Presente da Mercadoria
CHS FV - 1º Valor da Mercadoria Vira Valor Futuro
0 PMT - Valor da Parcela da Carência
2 n - Período de Carência para o Modo [END]
PV 647,52 - Valor à Vista da Mercadoria
39
2º) Resolução: Algébrica (Fórmula)
40
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Material Complementar
BRANCO, A.C.C., Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-
12C, Microsoft Excel®. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
VERAS, L.L., Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras 
Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
41
Referências
GIMENEZ, C.M., Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, 2006.
SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007.
SCIPIONE, J.T., Matemática Financeira, São Paulo, PEARSON, 1998.
42
Unidade: Introdução a Matemática Financeira
Anotações